Эволюция теории прочности бетонов. От простого к сложному Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

УДК 691.3

В.П. СЕЛЯЕВ, д-р техн. наук, Академик РААСН, П.В. СЕЛЯЕВ, канд. техн. наук (selyaevpv@gmail.com), Е.Л. КЕЧУТКИНА, инженер

Национальный исследовательский Мордовский государственный университет им. Н.П. Огарева (430005, Республика Мордовия, г. Саранск, ул. Большевистская, 68)

Эволюция теории прочности бетонов. От простого к сложному

Предложена модель структуры цементных композитов, основанная на принципах фрактальной геометрии, согласно которой сложные системы природы состоят из частей (фракталов), подобных целому на каждом масштабном уровне. Показано, что классические теории прочности не отражают реальную картину сопротивления разрушению фрактальных структур. Экспериментально и теоретически доказано: разрушение цементных композитов - это многоуровневый, многостадийный процесс; при действии сжимающих нагрузок структура бетонов может разрушаться как путем отрыва, так и путем среза; фрактальная модель более точно описывает соотношение между прочностью при сжатии и растяжении, масштабный эффект, зависимость прочности при сжатии от коэффициента трения. Диаграммы деформирования, полученные с применением программного комплекса Welle Geotechnik, подтвердили дискретно-непрерывный характер разрушения цементных композитов при сжатии.

Ключевые слова: бетоны, фрактал, масштабный уровень, композит, разрушение, квантовый характер.

V.P. SELYAEV, Doctor of Sciences (Engineering), Academician of RAACS, P.V. SELYAEV, Candidate of Sciences (Engineering) (selyaevpv@gmail.com), E.L. KECHUTKINA, Engineer

National Research N.P. Ogarev Mordovia State University (68, Bolshevistskaya Street, Saransk, 430005, Republic of Mordovia, Russian Federation)

Evolution of the Theory of Concrete Strength. From Simple to Complex

A model of the structure of cement composites based on the principles of the fractal geometry according to which the complex systems of nature consist of parts (fractals), which at each scale level is like the whole, is proposed. It is shown that the classical theory of strength does not reflect the real picture of the resistance of fractal structures to destruction. It is experimentally and theoretically proved that the destruction of cement composites is a multi-level, multi-stage process; under the action of compressive loads, the concrete structure can be destroyed both by cleavage and by cutting; a fractal model more exactly describes the relation between compression and tension, scale effect, dependence of compression strength on the friction coefficient. Deformation diagrams obtained with the use of the software complex "Welle Geotechnik" confirm the discrete-continuous character of the destruction of cement composites under compression.

Keywords: concretes, fractal, scale level, composite, destruction, quantum nature.

Прочность — это основной показатель качества материала, характеризующий его возможности сопротивляться силовым воздействиям. Теоретическая прочность определяется силами внутреннего сцепления. Однако на практике она значительно ниже и зависит от технологии изготовления, скорости нагружения, температуры, состава окружающей газовой среды, формы и размеров образцов, механизма разрушения. Поэтому всегда актуальной является задача ее повышения.

Современные тенденции, направленные на создание и применение высокопрочных бетонов, начали формироваться в первой половине XX в. в «империи небоскребов» США.

В СССР также в 1950-е -1960-е гг. разрабатывались технологии производства высокопрочных бетонов. Результаты исследований были обобщены и опубликованы в работах И.Н. Ахвердова, О.Я. Берга, Г.Н. Писан-ко, В.И. Сытник, С.В. Шестоперова [1-3]. Предложено [3] к высокопрочным относить бетоны с марочной прочностью 700 кг/см2 и выше. Экспериментальными исследованиями было показано, что можно изготовлять бетоны с пределом прочности 600-1200 кг/см2 на обычно применяемых материалах [3]. На высокопрочном щебне были получены бетоны (1966 г.) с прочностью 1400 кг/см2. Для достижения высокой прочности бетонные смеси готовились с наибольшей возможной жесткостью, применяя для уплотнения двух- частотные вибраторы, вибропрессование, вибровакуумштампова-ние, ударные, взрывные воздействия. Предлагаемые технологии основывались на реализации традиционных принципов: максимальная плотность и однородность, минимальная пористость и дефектность структуры.

Революционные преобразования в технологии высокопрочных бетонов наметились при внедрении химических, механохимических методов активации бетонных

смесей. В технологию производства цементных бетонов были привнесены принципы и методы, разработанные при создании полимерцементных, полимерных бетонов. Работами В.И. Соломатова, О.В. Кунцевича, А.В. Сатал-кина экспериментально было установлено, что введением в цементную композицию полимерных модификаторов можно не только увеличить подвижность смеси, снизить водоцементное отношение, но и в 2—3 раза повысить прочность бетона [4—6]. Произошла переоценка роли и ответственности наполнителей, влияния поровой структуры на прочность цементных композитов [4, 7, 8]. Экспериментально было установлено, что частицы наполнителя, поры в структуре композита могут выполнять функции: демпферов, гасящих энергию разрушения; точек бифуркации, изменяющих направление развития трещины разрушения, увеличивающих путь (поверхность) разрушения, а следовательно, повышающих нагрузку разрушения, прочность бетона [7, 8].

Использование высокопрочных бетонов, созданных по новым принципам, требует более ответственного подхода при проектировании, применения более обоснованных представлений о механизме разрушения.

Ранее считалось, что каждый материал может обладать только одним каким-либо видом сопротивления разрушению. Например, разрушение бетона, по мнению многих известных исследователей А.А. Гвоздева, О.Я. Берга, В.И. Мурашева, происходит вследствие разрыва бетона как при растяжении, так и при сжатии.

А.А. Гвоздев пришел к выводу, что прочность бетона в значительной мере зависит от вторичного поля напряжений и определяется сопротивлением растяжению (отрыву) по площадкам, параллельным направлению сжимающих сил.

О.Я. Берг также придерживается теории отрыва при разрушении бетона сжимающей нагрузкой. Он устано-

L-J! ®

вил, что наблюдаемое при одноосном сжатии увеличение объема образца происходит в результате накопления микротрещин, параллельных направлению действия сжимающих сил [3].

В.И. Мурашев утверждает, что к бетону неприменимы классические теории прочности, предложенные для других материалов, — теории максимального нормального напряжения, максимальной деформации, максимального касательного напряжения [9].

По мнению В.И. Мурашева, установление общей теоретической зависимости между свойствами прочности и деформативности бетона и его составом и структурой представляет собой нерешенную задачу. Поэтому оценка прочности и деформативности бетона основана на эксперименте, по средним, нормативным и расчетным значениям, полученным с заданной надежностью [9].

Мнение ученых о механизме разрушения бетона единогласно, и развитие процесса разрушения объясняют появлением новых и развитием имеющихся микротрещин [1, 3, 7—9].

В классических теориях условие разрушения описывается аналитически в виде зависимости:

/(о,е)<С(г=1,2, 3),

(1)

По теории Мора разрушение не происходит, если соблюдается условие:

max [х„ -/(оя)]<0. (2)

Элемент материала при росте х„ начнет разрушаться при наиболее неблагоприятном сочетании нормальных и касательных напряжений.

Условие прочности можно записать в виде неравенства, которое известно как условие Кулона—Навье:

х„<хы+/а, (3)

где х„ — касательное напряжение на площадке n; хы — сопротивление сдвигу; а — нормальное напряжение на площадке n; f— коэффициент трения.

Можно доказать, что по теории Мора для бетона:

Oft - Ofa >

Чоыоь ,

(4)

где о,-, е,- — критические значения напряжений, деформаций, описывающие состояние элементарного объема; /(о, е) — функция главных напряжений или деформаций, при равенстве которой величине С происходит локальное разрушение. Разрушается структурный элемент, но не весь образец. Кроме того, первая теория прочности (Галилей, Ламе, Рэнкин) — <Утах< 01< Лы; 01 < 02 ^ Оз не учитывает влияния на прочность двух других главных напряжений; вторая теория прочности (Мариотт, Навье, Панселе, Сен-Венан) дает возможность получить соотношение Ль/Лы, записав неравенство £тах< £1 < ад Е1 < £2^ ез через напряжения, получаем Лъ/Ль1 = 1/ц, что не соответствует опытным данным; третья теория прочности (Кулон, Треска, Гест) Хтах^ хы не учитывает влияния нормальных напряжений и дает решение Лы — 0,5^. На практике прочность бетона на сдвиг в два раза больше прочности бетона при растяжении, т. е. Лье >2Лы.

В последние годы экспериментально и теоретически доказано, что каждый материал, в том числе и бетон, в зависимости от того, в какие условия он будет поставлен, может разрушаться как путем отрыва, так и путем среза. Предположение об одновременном существовании у бетона двух видов сопротивления разрушению дает возможность объяснить целый ряд аномальных зависимостей, характерных для цементных композитов. Прежде всего бетон относится к материалам, у которых сопротивление сжатию выше сопротивления растяжению. Прочность бетона при срезе Лы в два раза больше прочности при растяжении Лы = 2Лы, что не соответствует выводам классических теорий прочности, согласно которым Лы = 0,5Лы. Прочность бетона зависит от размеров дефектов и образца (масштабный эффект).

Многочисленными экспериментальными исследованиями было установлено: не всегда главным критерием разрушения является предельное напряжение или предельная деформация. Опыты показывают, что на разрушение материала будет влиять не только касательное, но и действующее по той же площадке нормальное напряжение.

Это обстоятельство было учтено при создании универсальной теории прочности Мором (1900 г.), который предположил, что разрушение происходит тогда, когда на некоторой площадке с нормалью п величина касательного напряжения достигает критического значения, зависящего от действующего на этой площадке нормального напряжения.

что не соответствует экспериментальным данным.

Приведенный краткий анализ показал, что классические теории прочности не отражают особенности проявления прочностных и деформативных свойств бетона. Необходимы новые подходы, которые должны отражать наличие теоретических зависимостей между свойствами прочности и деформативности бетона и его структурой.

Попытки установить зависимости между прочностными свойствами и структурой предпринимались многими учеными: Н.А. Житкевичем (1912 г.), А.Ф. Лолейтом (1925 г.), К.В. Сахновским (1927 г.), И.А. Рыбьевым, Ю.М. Баженовым, А.Г. Комаром, С.В. Шестоперовым, И.М. Грушко.

Наиболее характерная экспериментальная зависимость прочности бетона от структурных составляющих предложена А.Е. Шейкиным в виде функции [10]:

Rt =

Ri

1

(5)

(1-0)

Ц\/(12 +Е2/Е1

где R1, Е1 — прочность, модули Пуассона и Юнга матрицы; Е2 — модули Пуассона, Юнга заполнителя; 6 — относительная длина зоны нарушенного сцепления матрицы и заполнителя; — относительное объемное содержание матрицы и заполнителя.

И.А. Рыбьевым предложена формула для определения прочности бетона с учетом теории Гриффитса в виде функции [11]:

_ VW7 __

bopt (S/ôoHr/ro)" (5/5o)m(r/ro)"

kjü

(6)

где V 2y£s/ / — прочность бетона при длине трещины 21, модуле Юнга Eb и удельной плотности поверхностной энергии y; 8/8о — толщина пленок между частицами; г/го — расстояние между частицами; ffo, 8о — для оптимальных структур.

Толщину пленок 8 можно определить по формуле:

5 = ^(0,806з^Х-1),

(7)

где d — диаметр зерна заполнителя.

Предложенные функции прочности (5) и (6) дают качественную оценку влияния структурных параметров на прочность композита. Основное влияние на прочность бетона оказывают дефекты структуры. Так, если в формуле (5) принять 6=1 (нет сцепления), то Rb=R1, если обеспечено надежное сцепление между матрицей и заполнителем, то проявляется влияние заполнителя на прочность композита (рис. 1).

Очевидно, следуя формулам (5), (6) и (7), основными структурными параметрами являются: d, г, 8, I, 6,

Rb/Ri

1,3

1,2

1,1

0

2

4

6

8

E2/E1

Рис. 1. Зависимость относительной прочности бетона от соотношения модулей упругости матрицы Е1 и заполнителя Е2 от относительного объемного содержания матрицы q1 и заполнителя

2-7,^=3; 3^1/72=5)

Рис. 2. Структурные параметры: d - диаметр частиц; б - расстояние между частицами

Учитывая, что г = а?+8; q1+q2 = 1; 0<6<1; I = 6d (рис. 2), остаются три независимых параметра: dl, 6(-, q2i. Однако они не являются константами. Современные бетоны -это сложные иерархически организованные масштабно-инвариантные системы, которые на каждом масштабном уровне могут быть представлены двумя компонентами - матрицей и наполнителем и структурными параметрами dl, I, q2¡ (рис. 2).

Следовательно, каждый масштабный уровень ( ) будет иметь свои структурные параметры, которые образуют множество характеристик сложной системы.

Мандельброт Б.Б. обосновал принципы фрактального строения природных систем, которые дают возможность описать сложные системы природы «языком разума» [12]. Он предложил считать структуру фрактальной, если она состоит из частей, которые на каждом масштабном уровне подобны целому. О наличии самоподобия структурных уровней композитов отмечалось в работах В.И. Соломатова, М.А. Садовского, С.М. Скоробогатова, Ю.В. Зайцева, Е.М. Чернышева, В.П. Селяева [13-17]. Количественной характеристикой внутреннего порядка (самоподобия) сложных природных систем, структур является фрактальная размерность. Работами Л.М. Ошкиной, Л.И. Куприяшкиной, Т.А. Низиной экспериментально доказано, что фрактальная размерность является объективной, воспроизводимой характеристикой, подтверждающей фракталь-ность строения структуры, наличия самоподобия на различных масштабных уровнях [18-20]. О сложности структурной системы можно судить по распределению микротвердости в пределах площади поперечного сечения образцов (рис. 3); не менее сложным является распределение пор по размерам в объеме изделия.

700 600 500 400 300 200 100

I 600-700 I 500-600 400-500 300-400 200-300 ■ 1100-200 10-100

Рис. 3. Распределение микротвердости по поверхности наполненных диатомитом цементных композитов (скорость перемешивания -360 об/мин, время перемешивания - 40 с)

10

Степень наполнения,%

20 30

28 26 С 24

| 22

!

3 20 ^

£ 18

§ 16 & 14 12 10

Фрактальная размерность

Рис. 4. Зависимость между фрактальной размерностью и прочностью при сжатии [11]

Таблица 1

Фрактальная размерность наполненного цементно-песчаного раствора

Степень наполнения,% Соотношение цемент/песок

1:2 1:3 1:4

10 1,418 1,43 1,445

20 1,38 1,415 1,428

30 1,42 1,433 1,435

Результаты определения фрактальной размерности, полученные методами: наименьшего размаха (Херста); вертикальных сечений; островов; Фурье - анализа профилей, приведены в табл. 1, 2 и на рис. 4 [20].

Фрактальность строения структуры ЦК подтверждает масштабное подобие структуры и необходимость, целесообразность выделения при анализе строения структуры материала различных уровней. Специали-стами-бетоноведами принято анализ структуры производить на двух, трех, пяти уровнях, условно выделив макро-, мезо-, ультра-, микро-, наноструктуры.

Авторами предлагается: масштабные уровни структуры бетона коррелировать (подобно С.С. Вялову) с размерами соответствующих дефектов и рассматривать санти-, милли-, микро-, наноструктурные уровни (предложенная классификация приведена в табл. 3); при анализе влияния структры композита на его свойства применять принцип, предложенный В.И. Солома-товым, - рассматривать структуру в структуре, компо-

0

б

I, Ш

б

I ■!,

TTTTT

б

LI I'll 1 [ i ill: J 111! L i 1L111! 111

■ -е-1 - A - ■ 1 -G-

V i

niiin 1 i ■fl 1 f ГПТТ1 iiinii

© 1 1 1 1 1 1 1 1 V

WjHEJJH ппппоопп с n Ana tiüli а и cjy.q aacJbaaa

.лШЕ.

л i ä Iii я с ran uuiiuEi uca

■<P-H

I I I

Рис. 5. Фрактальная модель структуры бетона: а - первичный фрактал; б - расчетная модель фрактала; в - цепочный фрактал; г - плоский фрактал; 1, 2, 3, 4, 5 - уровни структуры

Таблица 2

Значения фрактальной размерности поровой структуры цементных композитов

Состав 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Количество цеолита (х1) 20% 10% 10% 13% 17% 10% 10% 17% 13% 13%

Песок/цемент (Х2) 1/1 4/1 1/1 3/1 2/1 2/1 3/1 1/1 1/1 2/1

В/Ц (Х3) 0,6 0,6 0,9 0,6 0,6 0,8 0,7 0,7 0,8 0,7

D(увеличение Х10) 2,03 2,55 2,16 2,2 2,42 2,22 2,2 2,07 2,03 2,13

D(увеличение Х25) 2,03 2,47 2,24 2,19 2,4 2,2 2,2 2,05 2,02 2,11

d

d

Рис. 6. Эпюра напряжений Классификация и основные параметры масштабных уровней

Таблица 3

б

а

б

в

б

г

б

n

Масштабные уровни структуры Единицы измерения, м Размер дефектов Объемное содержание, отн. ед., j

Заполнители Поры Цемент Поры Наполнитель Мкр Песок Щебень

Санти-(бетон) 10-2 0,5-5 см 0,5 см 0,13 0,2 0,025 0,25 0,42

Милли- (цементно-песчаный раствор) 10-3 0,5-5 мм 0,1 мм 0,19 0,095 0,025 0,69 -

Микро-(мастика) 10-6 5-500 мкм 1-100 мкм 0,6 0,3 0,1 - -

Нано-(цементный камень) 10-9 2-200 нм 0,6-100 нм 0,85-0,7 0,15-0,3 - - -

зит в композите, предполагая композит состоящим на каждом уровне из матрицы и наполнителя.

Например, бетон с крупным заполнителем имеет все четыре масштабных уровня структуры, которую на сан-тиуровне можно представить в обобщенном виде, состоящей из матрицы (раствор — масштабные уровни 2, 3, 4) и заполнителя с размером зерен 0,5—5 см.

С учетом проведенного анализа для объяснения и подтверждения аномальных эффектов проявления прочности бетона предлагается применять фрактальную модель структуры цементного композита, которая формируется исходя из следующих принципов:

1. Цементные композиты состоят из масштабно-инвариантных структурных элементов конечного размера (фракталов), которые по физическим и химическим свойствам, соотношению фаз подобны целому.

2. Структура цементного композита является иерархически организованной системой, построенной по принципу структура в структуре, блок в блоке, и на каждом масштабном уровне может быть представлена двумя обобщенными компонентами — матрицей и наполнителем.

3. Каждый элементарный акт разрушения, соответствующий разрушению одного фрактала, может быть

описан на основе классической теории разрушения, применяемой в предельных случаях.

4. Структурная система цементного композита, состоящая из множества элементов (фракталов), характеризуется флуктуацией физических параметров, что является причиной развития метастабильных состояний, увеличением во времени количества отказавших фракталов и разрушением системы при накоплении разрушенных элементов выше предельно допустимого уровня.

Фрактальные модели представлены подобными на четырех масштабных уровнях структурными элементами. Условия подобия отражают подобие основных структурных параметров (qli■+q2i■=1; qjj=idem; Е2/ E1i=idem).

Структурный элемент на каждом ( ьм) масштабном уровне будем представлять в виде квадрата (рис. 5) с размерами ребра ai■=di■+бi■, внутри которого находится заполнитель в форме идеального диска диаметром di. Расстояние между зернами заполнителя равно б, и определяется по формуле (7).

На границе с дефектом в матрице под влиянием концентрации напряжений (рис. 6) формируется область пластического деформирования, размеры которой гп Д. Броеком [21] предложено определять по формуле вида:

Хук-Бенявский(Кулон-Навье) Те = ¿о + уое О! + оз ^ О! — оз ео529

ае =

2 г+" 2

те = 0,5(о1 — оз)8т29

Брейс-Марелл

Зотш = 2ТЪ(1 + ав/^^-гуое,

где Го = Лы

Рис. 7. Расчетная модель фрактального элемента композита с трещиной (Е. Хук, З.Т. Бенявский, В.Ф. Брейс, С. Марелл)

Таблица 4

Расстояние между дефектами

Показатели структуры Компоненты

Цемент Поры МК Песок Щебень 2

Уо. кг/м3 3000 - 2000 2600 2800 -

т, кг на 1 м3 500 - 50 950 1000 2500

ъ м3 0,167 0,086 0,025 0,365 0,357 1 м3

d, см - 0,005 0,005 0,5 5 -

б;, см - 0,004 0,0087 0,064 0,68 -

^тт - 0,16 0,22 0,62 2,05 -

Таблица 5

Зависимость соотношения прочности Rb/Rbt от коэффициента трения

Соотношение Rb/Rbl Коэффициент трения, у

0 0,2 0,4 0,6 0,8 0,9 1

Хук-Бенявский Ль V1 +у2+у Иы д/1+у2—у 1 1,48 2,19 3,14 4,3 5,09 6

Брейс-Марел Кь 4 Кы V1 +у2—у 4 4,88 5,97 7,14 8,3 9,09 10

Формула (15) к = 1,35 5А. ^ 1-у 5,4 6,75 9 13,5 27 54

ТММТТТТМТа

2! -Ч 9-

ттмтмтмтг

11144444411 1,

Рис. 8. Расчетная модель фрактального элемента: а - горизонтальная трещина; б - трещина под углом 45о

В10 В20 В30 В40

Класс прочности бетона

В50

Рис. 9. Зависимость коэффициента трения от класса бетона на осевое сжатие

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

50 40

К

=? 30

к

20 10

//

//

4 //

/'3

//

//

//

- СНиП Л'

\

^ 2

- ГГ^ГТГГГ^Г- "" " ________ """"/

.........

10 20 30

40 50 60 70 Класс прочности бетона

80 90

Рис. 10. Зависимость соотношения Яь„/Яьт от класса бетона на осевое сжатие и коэффициента трения у: 1, 2, 3- по табл. 3; 4 - по 2.03.01-84*

Гп1 =

(8)

где к1 — коэффициент интенсивности напряжений при растяжении.

Тогда, записав условие разрушения структуры в виде неравенств (9), можно судить об иерархической последовательности разрушения структуры композита:

8,- < 2гщ 8т,п > = Къ,^. (9)

В табл. 4 приведен состав композита и определенные по формуле (7) численные оценки расстояния б(- между дефектами от1п на различных масштабных уровнях.

Анализ результатов, приведенных в табл. 4, показывает, что разрушение структуры начинается с микроуровня. По мере увеличения напряжения начинают разрушаться структуры более высокого уровня. Рост напряжений в элементах структуры может происходить при росте нагрузки или при отказе (разрушении) фракталов. Разрушение фракталов реализуется при выполнении условия (9), имеет квантовый характер [22, 23]; следуя В.В. Новожилову, параметр б(- будем называть квантом разрушения. Механизм разрушения микрообъема с параметром б можно описать с позиций кинетической концепции прочности.

Учитывая квантовый характер разрушения фрактальных структур, предлагаем рассматривать два сценария развития процесса разрушения цементных композитов (бетонов).

В первом случае разрушение — процесс формирования и развития магистральной трещины разрушения. Под нагрузкой развивается процесс разрыхления, разупрочнения структуры. Мелкие дефекты, поры, трещинки объединяются, сливаются и образуют трещину, которая начинает развиваться, если разупрочнение достигло критического уровня.

Во втором случае в материале в процессе технологии изготовления формируется «спящая» трещина, которая начинает стремительно развиваться, как только разупрочнение структуры достигнет критического уровня.

Предполагаем, что разрушение фрактала происходит при растяжении — отрывом, при сжатии — сдвигом. При этом длина трещины разрушения при растяжении и при сжатии будет одинакова 10, но в первом случае она будет ориентирована под углом 90о к силовым линиям, а при сжатии — под углом 45о.

В.Ф. Брейс, С. Марелл, Е. Хук, З.Т. Бенявский [24, 25, 26] рассмотрели модели фракталов, у которых одна и та же трещина разрушения была критической и при сжатии, и при растяжении. Располагалась она под

б

а

В

У

0

В

(10)

углом 45о к направлению силовых линий. В результате были получены соответствующие решения:

Яь _ 4 ; Ъ _Л+у2+у. В-Ы V1 Н-у2—'У ' Яы V 1+у2—у

Рассматривая модель, предложенную в работах авторов [27], в виде фракталов (рис. 8), у которых трещины разрушения размером 21 расположены под углом 90 или 45о, получим следующие решения.

При растяжении фрактального элемента реализуется отрывной механизм разрушения, и тогда прочность материала структурного элемента будет равна:

Дм-

kl •Шо

(11)

При сжатии возможна реализация механизма разрушения бетона путем среза. В таком случае прочность материала можно определить из условия прочности Кулона — Навье, которое имеет вид:

хе<50+УОв. (12)

Тогда прочность бетона при сжатии будет равна [9]:

Яь=

4 кг

(13)

где к2 — коэффициент интенсивности напряжений при сдвиге; у — коэффициент трения.

Отношение пределов прочности при сжатии и растяжении для бетона будет равно:

1 (14)

W = V- U = S(a)v - 0,5oeA,

(16)

где V — удельная плотность поверхностной энергии; S(a)=4lбadi-Di; б — толщина пластины с трещиной

0 10 20 30 40

Размер ребра куба, а, см Рис. 11. Зависимость прочности от размера куба: по формуле (23) - 1; по формуле (24) - 2

(б=1); А=п12 — площадь релаксации; и=0,5яо212/Е. Критическая (для заданных напряжений о) длина трещины 210 будет соответствовать максимуму функции V, который находим из условия СЖ/С1=0:

оа= аа=аа№-^)-°,5. (17)

0 " V л/0 ' 7

Если формулы (11) и (13) записать с учетом (17), то получим выражения для определения прочности композита на различных масштабных уровнях а в следующем виде:

Яш

Vre/o/

Яыа= г4п

а/я/о,<1-у)

(18)

(19)

Яь, кх (1—у)'

Установлено, что -^-=к= 1,3—1,4 [6].

В формулах (11) и (13) длина трещины 210 дается как расстояние, измеренное по прямой от начала до конца трещины.

Истинный размер площади поверхности, образованной при развитии трещины в композите с фрактальной структурой, будем аппроксимировать функцией вида:

S(a) = S0ad-Di, (15)

где С — топологическая размерность; D¡ — фрактальная размерность; a — масштабный уровень измерения; S0 — площадь гладкой поверхности. Для гладкой прямой линии (; = 1) сС{ =1; для гладкой поверхности сС{=2; ; =2.

Следуя Гриффитсу, с учетом фрактальности строения структуры композита уравнение баланса энергий высвобождаемой (энергия релаксации упругих связей) и расходуемой на образование новых поверхностей разрушения V, можно записать в виде:

Для подтверждения достоверности полученных решений (14), (18), (19) проведем анализ экспериментальных данных, представленных в нормативной (СНиП 2.03.01—84*) и научной литературе [28].

Экспериментально установлена зависимость коэффициента трения у от класса бетона по прочности на сжатие В [28, 29], которую можно представить в виде линейной функции вида:

у = 0,4 + 0,005В. (20)

Формула получена по экспериментальным данным испытания бетонов классов В10—В50, и полученные результаты хорошо интерпретируются прямыми линиями (рис. 9).

Анализ экспериментальных данных показывает, что формула (14) более адекватно описывает зависимости прочности бетона от коэффициента трения, между прочностью при сжатии и растяжении. Известные решения Хука—Бенявского и Брейса—Марелла дают заниженные значения (рис. 10). В табл. 5 приведены данные о зависимости соотношения Rb/Rbl от коэффициента трения.

Формулы (14) и (20) дают возможность получить функцию, выражающую зависимость прочности при растяжении от прочности при сжатии в более простом (по сравнению с формулой Фере) и физически обоснованном виде:

^„(0,6-0,005^) = ^„(0,6-0,0051) 4&2А1 5,4 ,

где 1—у=(0,6—0,005В); 4-^=4-1,35=5,4; Rbtn, Rbn — нормативные сопротивления бетона (СНиП 2.03.01—84*).

В литературе для оценки прочности бетона при растяжении рекомендовано применять формулу Фере, которая имеет вид:

Яыт= 0,233 Щ; Яып = ^(1-1,64«), (22)

где R — кубиковая прочность, следовательно, R=B; — коэффициент вариации, равный 0,135.

700

600

500

ш

и- 400

СО

Ё 300

сс

31 200 100 0

Абсолютные перемещения, мм

Рис. 12. Диаграмма зависимости нагрузки от перемещения (скорость нагружения 0,5 мм/мин, частота сбора данных 0,1 с)

п _-

(21)

2

0

Сравнение результатов, полученных по формулам (21) и (22), приведено в табл. 6. Первые строки (2, 3, 4) табл. 6 представляют данные по СНиП. Коэффициент у (строка 4) определен по формуле (16). В пятой и шестой строках таблицы представлены расчетные значения Rbn/Rbtn и Rbtn, полученные по формулам (14) и (21), которые имеют хорошую сходимость с нормативными данными. В седьмой строке таблицы приведены данные вычислений по формуле Фере (22).

Формула авторов имеет лучшую сходимость расчетных значений RЫn с нормативными.

Особый интерес представляют формулы (18) и (19), из анализа которых следует, что прочность цементных композитов зависит от фрактальной размерности D и масштабного фактора а. Зависимость предела прочности Rbtm композитов от объема изделия исследована на вероятностных моделях в работах В.В. Болотина [30] и предложена формула вида:

'" (23)

где а, Ь и в — эмпирические коэффициенты; 1)о — некоторый стандартный объем; Яш — соответствующий ему предел прочности.

В работе [30] получены численные значения коэффициентов: а=0,58, Ь=0,42, в=3.

Исследования масштабного эффекта на фрактальных моделях приводят к функциям (18) и (19), согласно которым следует, что с увеличением фрактальной размерности и уменьшением масштаба измерений прочность увеличивается. Для высоконаполненных цементных композитов по экспериментальным данным [18] можно принять D=1,5.

С учетом, что ^^1,5; а=15 см, получим формулу (24), в которой:

|^=сй-а-0>25 = 1,97ог0'25,

КЫ

(24)

где Яыа и Лыо — прочность кубика с размером ребра а и 15 см; а0 — коэффициент приведения к стандартному объему.

1-й участок (0,2-1,2 кН)

1,2 1

0,8 0,6 0,4 0,2 0

300

0,04 0,06 0,08 0,1 Абсолютные перемещения, мм

0,12 0,14

3-й участок (250-292 кН)

.........11

295 290 285 280 275 270 265 260 255 250 245

1,44 1,45 1,46 1,47 1,48 1,49 1,5 1,51 1,52 1,53 1,54 Абсолютные перемещения, мм

575

570

565

5-й участок (552-572 кН)

я 560

555

550

68 66 64 62 60 58 56

2-й участок (55-66,5 кН)

54

0,77 0,78 0,79 0,8 0,81 Абсолютные перемещения, мм

490 485 480 ^ 475

я

™ 470 Ё

я 465

ш

460 455 450 445

440

0,82 0,83

0,84

4-й участок (445-487 кН)

1,94 1,96 1,98 2 2,02 2,04 Абсолютные перемещения, мм

490 480 470 460 450

6-й участок (480-422 кН)

410

440 430 420

2,28

2,42

2,54

2,56

2,32 2,34 2,36 2,38 Абсолютные перемещения, мм

Рис. 13. Диаграммы деформирования на: а - участок 1; б - участок 2; в -участок 3; г - участок 4; д - участок 5; е - участок 6

2,58 2,5 2,62 2,64 Абсолютные перемещения, мм

2,66

б

а

в

г

д

е

Таблица 6

Нормативные и рассчитанные по формулам авторов значения величин RЬtn и Rbn/Rbtn

Прочностные характеристики бетона Класс бетона (СНиП 2.03-01-84*)

B10 B20 B30 B40 B50

Rbn, МПа 7,5 15 22 29 36

Rbtn, МПа 0,85 1,4 1,8 2,1 2,3

Rb„ AR,», (СНиП) 8,8 10,7 12,2 13,8 15,6

Y 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65

Rbn /Rbtn (14) 9,8 10,8 12 13,5 15,4

Rbtn (21) 0,76 1,39 1,83 2,14 2,33

Rinn (22) 0,84 1,3 1,75 2,12 2,46

Изменение прочности кубов из цементных композитов в зависимости от размера ребра определялось по формулам (23) и (24). Результаты вычислений приведены в табл. 7 и на рис. 11.

В строке 3.1 табл. 7 приведены данные зависимости масштабного эффекта от соотношения объемов ио/и, а в строке 3.2 — от соотношения размеров куба — а0/а.

Результаты анализа полученных данных свидетельствуют о том, что для описания масштабного эффекта предпочтительнее применять формулы (19), (24), которые дают более точные оценки изменения прочности при испытании кубов различных размеров, а также учитывают через фрактальную размерность D структурную неоднородность композита.

Проведенный анализ показывает, что разрушение композитов при сжатии следует рассматривать как процесс последовательного накопления повреждений с микро- до сантиуровня, разрыхления, разупрочнения матрицы, создания условий для развития трещины (спящей или вновь сформированной). Подтверждением этого сценария являются диаграммы деформирования (рис. 12).

На рис. 12 показана диаграмма деформирования, полученная при скорости нагружения 0,5 мм/мин. В этом случае отчетливо видно, что процесс нарастания деформаций сопровождается дискретными актами повышения и падения напряжений.

При увеличении масштаба можно проследить, как меняется характер дискретных актов нагрузки и разгрузки.

На первом этапе нагружения происходит упрочнение структуры. Диаграмма имеет, вид характерный для самоупрочняющихся материалов. На втором этапе наблюдается почти линейная зависимость о—£.

Третий этап характеризуется появлением нелинейности, обусловленной нарастанием частоты дискретных

A

£б / £bu

Рис. 14. Изменение амплитуды сбросов нагрузки на кривой деформирования

разрушений фракталов. Четвертый этап на диаграмме деформирования выражен ниспадающей ветвью, что означает лавинный рост магистральной трещины разрушения (рис. 13).

Диаграммы на рис. 12 и 13 получены с применением программного комплекса Welle Geotechnik R (модель 13-PD/401) при скорости нагружения 0,5 мм/мин.

На рис. 13 показано в увеличенном масштабе прерывистое развитие деформации при различных уровнях нагружения (в точках 1, 2, 3, 4, 5, 6).

В области точек 1, 2 идет уплотнение структуры бетона, разрушаются слабые, рыхлые структурные образования, закрываются трещины. Показана цепочка дискретных актов разрушения. Нагрузка увеличивается на 0,8 кН, и затем происходит сброс. Но в целом с ростом деформаций прослеживается тенденция роста воспринимаемой нагрузки. На втором участке в диапазоне 55 —250 кН нагружение сопровождается практически стабильным нарастанием деформаций с редкими сбросами нагрузки. При нарастании деформации выше 0,35 ebu (ebu — предельная деформация, соответствующая максимальной нагрузке при сжатии) характер дискретных разрушений меняется. Возрастает амплитуда роста нагрузки и спада, увеличивается частота сбросов нагрузки (рис. 14, 15). На отрезке диаграммы 3—5 возрастает число отказов, разрушения структурных элементов, повышается амплитуда нагрузки дискретного цикла нагружения. На шестом участке в области ниспадающей диаграммы деформирования разрушение также имеет дискретный характер.

Диаграммы деформирования убедительно показывают, что разрушение композитов при нагружении является дискретно-непрерывным процессом, т. е. он суммируется из множества отдельных, частных актов разрушения структуры.

Новожиловым В.В. введено понятие «квант разрушения» применительно к процессу, который развивается при усталостных динамических испытаниях [23]. Предлагается квант разрушения понимать как меру минимально возможного скачка трещины, который может быть реализован в данной среде. Минимально возможную удельную энергию разрушения, которая затрачивается на скачок усталостной трещины, равный кванту разрушения, определяют как квант энергии разрушения. Однако, как показывают результаты испытаний цементных композитов, под действием статического нагружения разрушение также носит квантовый характер. Непрерывный процесс складывается из дискретных процессов разрушения структуры.

Объяснение этого явления вполне соответствует гипотезе о фрактальности строения структуры композита. Сложная макроструктура формируется из более мелких структурных элементов, которые подобны целому.

n

£б / £ьи

Рис. 15. Частота отказов структурных элементов с ростом деформаций

Таблица 7

Изменение прочности /ы„//¿/„„кубов из цементных композитов в зависимости от а размера ребра

Rbia /Rbio Численные значения

а, м 110-5 110-4 110-3 110-2 110-1 1,510-1 210-1 4-10-1

1,97 af025 11,1 6,23 3,5 1,97 1,1 1 0,93 0,788

0,58+0,42 0,58+0,42 - - 42,58 4,78 1 0,86 0,79 0,685

9,61 4,78 2,53 1,48 1 0,94 0,91 0,84

ai, см 0,001 0,01 0,1 1 10 15 20 40

1,75a"0'25 10 5,6 3,16 1,77 1 0,89 0,84 0,7

Выводы.

Экспериментально установлено, что под действием статического нагружения непрерывный процесс разрушения складывается из дискретных актов разрушения отдельных структурных элементов (фракталов). Разрушение структуры начинается с микроуровня.

Предложены принципы, на основании которых сформирована фрактальная модель структуры цементных композитов в виде иерархически организованной масштабно-инвариантной системы. Анализ предложенных моделей позволил установить:

— зависимость прочности от размеров дефектов структуры;

— влияние сил трения на прочность цементных композитов при сжатии;

— вид функции, определяющей связь между прочностью при растяжении и сжатии.

Учет фрактального строения структуры цементных композитов позволил получить физически обоснованную аналитическую функцию для описания масштаб-

Список литературы

1. Ахвердов И.Н. Высокопрочный бетон. М.: Гос-стройиздат, 1961. 162 с.

2. Берг О.Я. К вопросу о прочности и пластичности бетона. Доклады Академии наук СССР. 1950. Т. 70. № 4. С. 617-620.

3. Берг О.Я., Щербаков Е.Н., Писанко Г.И. Высокопрочный бетон. М.: Стройиздат, 1971. 208 с.

4. Соломатов В.И. Полимерцементные бетоны и пласт-бетоны. М.: Стройиздат, 1967. 182 с.

5. Кунцевич О.В. Бетоны высокой морозостойкости для сооружений Крайнего Севера. Л.: Стройиздат, Ленингр. отд. 1983. 132 с.

6. Саталкин А.В., Солнцева В.А., Папова О.С. Це-ментно-полимерные бетоны. Л.: Стройиздат, 1971. 168 с.

7. Соломатов В.И., Селяев В.П., Соколова Ю.А. Химическое сопротивление материалов. М.: РААСН, 2001. 284 с.

8. Селяев В.П., Низина Т.А., Балыков А.С., Низин Д.Р., Балбалин А.В. Фрактальный анализ кривых деформирования дисперсно-армированных мелкозернистых бетонов при сжатии // Вестник ПНИПУ. Механика. 2016. № 1. С. 129-146.

9. Мурашев В.И., Сигалов Э.Е., Байков В.Н. Железобетонные конструкции. М.: Госстройиздат, 1962. 659 с.

10. Шейкин А.Е., Чеховский Ю.В., Бруссер М.И. Структура и свойства цементных бетонов. М.: Стройиздат, 1979. 344 с.

ного эффекта, согласно которой прочность композита зависит от масштабного уровня структуры, размеров образцов (а) и фрактальной размерности (D).

Экспериментально и теоретически доказано, что цементные композиты при действии сжимающих нагрузок могут разрушаться как путем отрыва, так и путем среза. Предположение об одновременном существовании у бетона двух видов сопротивления разрушению подтверждается при анализе фрактальной модели, описывающей: соотношение между прочностью при сжатии и растяжении, проявление масштабного эффекта; зависимость прочности при сжатии от коэффициента трения; зависимость между прочностью бетона при растяжении и кубиковой прочностью.

Предлагается при расчете прочности элементов из цементных композитов, работающих на сжатие, применить условие прочности Кулона—Навье, которое учитывает влияние касательных и нормальных напряжений на процесс разрушения.

References

1. Akhverdov I.N. Vysokoprachnyi beton [High-strength concrete]. Moscow: Gosstroyizdat. 1961. 162 p.

2. Berg O.Ya. To a question on concrete strength and ductility. Doklady Akademii Nauk SSSR. 1950. Vol. 70. No. 4, pp. 617—620. (In Russian).

3. Berg O.Ya., Shcherbakov E.N., Pisanko G.I. Vysoko-prochnyi beton [High-strength concrete]. Moscow: Stroyizdat. 1971. 208 p.

4. Solomatov V.I. Polimertsementnye betony i plastbetony [Cement-polymer concrets and polymer concrets]. Moscow: Stroyizdat. 1967.182 p.

5. Kuntsevich O.V. Betony vysokoi morozostoikosti dlya sooruzhenii Krainego Severa [Concrete high frost resistance for the construction of the Far North]. Leningrad: Stroyizdat. 1983. 132 p.

6. Satalkin A.V., Solntseva V.A., Papova O.S. Tsementno-polimernye betony [Cement-polymer concretes]. Leningrad: Stroyizdat. 1971. 168 p.

7. Solomatov V.I., Selyaev V.P., Sokolova Yu.A. Khimi-cheskoe soprotivlenie materialov [Chemical resistance of materials]. Moscow: RAASN. 2001. 284 p.

8. Selyaev V.P., Nizina T.A., Balykov A.S., Nizin D.R., Balbalin A.V. Fractal analysis of the deformation curves of dispersion-reinforced fine concrete in compression. Vestnik PNIPU. Mekhanika. 2016. No. 1, pp. 129-146. (In Russian).

9. Murashev V.I., Sigalov E.E., Baikov V.N. Zhelezo-betonnye konstruktsii [Reinforced concrete structures]. Moscow: Gosstroyizdat. 1962. 659 p.

10. Sheikin A.E., Chekhovskii Yu.V., Brusser M.I. Struktura i svoistva tsementnykh betonov [Structure and properties of cement concrete]. Moscow: Stroiizdat. 1979. 344 p.

11. Ryb'ev I.A. Stroitel'nye materialy na osnove vyazhush-chikh veshchestv [Construction materials based on binders]. Moscow: Vysshaya shkola. 1978. 309 p.

L-J! ®

11. Рыбьев И.А. Строительные материалы на основе вяжущих веществ. М.: Высшая школа, 1978. 309 с.

12. Mandelbrot B.B. The fractal geometry of nature. New York: Freeman, 1983. 480 p.

13. Соломатов В.И., Выровой В.Н., Селяев В.П. Полиструктурная теория композиционных строительных материалов. Ташкент: ФАН, 1991. 345 с.

14. Селяев В.П., Селяев П.В. Эволюция и проблемы технологий, надежности создания изделий на основе цементных композитов. Материалы Российско-китайского форума инженерных технологий: Сборник трудов. 8—16 октября 2015. КНР. г. Ханчжоу. С. 185— 195.

15. Скорабогатов С.М. Катастрофы и живучесть железобетонных сооружений (классификация и элементы теории). Екатеринбург: Ур ГУПС, 2009. 512 с.

16. Зайцев Ю.М. Моделирование деформации и прочности бетона методами механики разрушения. М.: Стройиздат, 1982. 196 с.

17. Чернышев Е.М., Дьяченко Е.И., Макеев А.И. Неоднородность структуры и сопротивление разрушению конгломератных строительных композитов. Воронеж: Воронежский ГАСУ, 2012. 98 с.

18. Селяев В.П., Соломатов В.И., Ошкина Л.М. Химическое сопротивление наполненных цементных композитов. Саранск: Издательство Мордовского университета, 2001. 152 с.

19. Куприяшкина Л.И. Наполненные цементные композиты. Саранск: Издательство Мордовского университета, 2007. 180 с.

20. Федер Е. Фракталы / Пер. с англ. М.: Мир, 1991. 254 с.

21. Броек Д. Основы механики разрушения / Пер. с англ. М.: Высшая школа, 1980. 368 с.

22. Травуш В.И., Селяев В.П., Селяев П.В., Кечутки-на Е.Л. О возможном квантовом характере деформации и разрушения композитов // Промышленное и гражданское строительство. 2016. № 9. С. 94—101.

23. Новожилов В.В. О необходимом и достаточном критерии хрупкой прочности // Прикладная математика и механика. 1969. Т. 33. Вып. 2. С. 212—222.

24. Hoek E., Bieniawski Z.T. The results of studies of the initiation and propagation of fracture from a single Griffith crack in a biaxial compressive stress field are reported in this paper // Proceedings of the 1-st Congress of the International Society on Rock Mechanics. Lisbon. 1966. Vol. 1, pp. 243-249.

25. Brace W.F. Brittle fracture of rocks // International Conference on the State of Stress Earth. New York: Elsevier. 1964. pp. 110-178.

26. Murell S. The theory of the propagation of elliptical Griffith cracks under various conditions of plane strain or plane stress // Proceedings of the 5 the Rock Mechanics Symposium. New York. 1963, pp. 563-577.

27. Селяев В.П., Селяев П.В., Кечуткина Е.Л. Основы фрактальной механики разрушения бетона. Механика разрушения строительных материалов и конструкций. Материалы VIII Академических чтений РААСН. — Международной научно-технической конференции. Казань: КГАСУ, 2014. С. 289-298.

28. Селяев В.П., Селяев П.В., Сорокин Е.В., Колотуш-кин А.В., Кечуткина Е.Л. Влияние сил трения на прочность бетона // Региональная архитектура и строительство. 2012. № 3. С. 12-17.

29. Бондаренко В.М., Селяев В.П., Селяев П.В. Физические основы прочности бетона // Бетон и железобетон. 2014. № 4. С. 2-6.

30. Болотин В.В. Статистические методы в строительной механике. М.: Стройиздат, 1965. 279 с.

12. Mandelbrot B.B. The fractal geometry of nature. New York: Freeman. 1983. 480 p.

13. Solomatov V.I., Vyrovoi V.N., Selyaev V.P. Polistruk-turnaya teoriya kompozitsionnykh stroitel'nykh materi-alov [Polystructural theory of composite building materials.]. Tashkent: FAN. 1991. 345 p.

14. Selyaev V.P., Selyaev P.V. Evolution and challenges of technology, reliability and creating products based on cement composites. Proceedings of the Russian-Chinese Forum of engineering technologies. 8—16 October 2015. PRC. Hangzhou, pp. 185-195. (In Russian).

15. Skorabogatov S.M. Katastrofy i zhivuchest' zhelezobetonnykh sooruzhenii (klassifikatsiya i elementy teorii) [Accidents and vitality of reinforced concrete structures (classification and elements of the theory)]. Ekaterinburg: Ur GUPS. 2009. 512 p.

16. Zaitsev Yu.M. Modelirovanie deformatsii i prochnosti betona metodami mekhaniki razrusheniya [Modelling of deformation and strength of concrete methods of fracture mechanics]. Moscow: Stroyizdat. 1982. 196 p.

17. Chernyshev E.M., D'yachenko E.I., Makeev A.I. Neodnorodnost' struktury i soprotivlenie razrusheniyu konglomeratnykh stroitel'nykh kompozitov [The heterogeneity of the structure and fracture resistance conglomerate building composites]. Voronezh: Voronezh State Architecture and Civil Engineering. 2012. 98 p.

18. Selyaev V.P., Solomatov V.I., Oshkina L.M. Khimi-cheskoe soprotivlenie napolnennykh tsementnykh kompozi-tov [The chemical resistance of cement-filled composites]. Saransk: Publisher University of Mordovia. 2001. 152 p.

19. Kupriyashkina L.I. Napolnennye tsementnye kompozity [Filled cement composites].Saransk: Publisher University of Mordovia. 2007. 180 p.

20. Feder E. Fraktaly: per. s angl [Fractals: translation from English]. Moscow: Mir. 1991. 254 p.

21. Broek D. Osnovy mekhaniki razrusheniya. Per. s angl [Basics of fracture mechanics. Translation from English]. Moscow: Vysshaya shkola. 1980. 368 p.

22. Travush V.I., Selyaev V.P., Selyaev P.V., Kechutkina E.L. On the possible quantum nature of the deformation and fracture of composites. Promyshlennoe i grazhdanskoe stroitel'stvo. 2016. No. 9, pp. 94-101. (In Russian).

23. Novozhilov V.V. A necessary and sufficient criteria for brittle strength. Prikladnaya matematika i mekhanika. 1969. Vol. 33. Iss. 2, pp. 212-222. (In Russian).

24. Hoek E., Bieniawski Z.T. The results of studies of the initiation and propagation of fracture from a single Griffith crack in a biaxial compressive stress field are reported in this paper. Proceedings of the 1-st Congress of the International Society on Rock Mechanics. Lisbon. 1966. Vol. 1, pp. 243-249.

25. Brace W.F. Brittle fracture of rocks. International Conference on the State of Stress Earth. New York: Elsevier. 1964. pp. 110-178.

26. Murell S. The theory of the propagation of elliptical Griffith cracks under various conditions of plane strain or plane stress. Proceedings of the 5 the Rock Mechanics Symposium. New York. 1963, pp. 563-577.

27. Selyaev V.P., Selyaev P.V., Kechutkina E.L. Basics fractal mechanics of concrete deterioration. Fracture mechanics of materials and structures. Materials VIII Academic readings RAASN. — International scientific and technical conference. 2014. Kazan: KGASU, pp. 289-298. (In Russian).

28. Selyaev V.P., Selyaev P.V., Sorokin E.V., Kolotush-kin A.V., Kechutkina E.L. Influence of friction on the strength of concrete strength. Regional'naya arkhitektura i stroitel'stvo. 2012. No. 3, pp. 12-17. (In Russian).

29. Bondarenko V.M., Selyaev V.P., Selyaev P.V. Physical basis of concrete strength. Beton i zhelezobeton. 2014. No. 4, pp. 2-6. (In Russian).

30. Bolotin V.V. Statisticheskie metody v stroitel'noi me-khanike [Statistical methods in structural mechanics]. Moscow: Stroyizdat. 1965. 279 p.

iA ®