CC BY
74Научно-образовательный журнал для студентов и преподавателей «StudNet» №5/2022
Научная статья Original article УДК 378
ИЗУЧЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИИ И НЕРАВЕНСТВ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ
STUDYING SYSTEMS OF EQUATIONS AND INEQUALITIES IN THE SCHOOL COURSE OF MATHEMATICS
Семенова Мирослава Денисовна, 5 курс бакалавриат, Оренбургский государственный педагогический университет
Semenova Miroslava Denisovna, 5th year undergraduate student, Orenburg State Pedagogical University
Аннотация: В статье рассмотрена возможность использования систем уравнений и неравенств в качестве высокоэффективного способа закрепления, углубления, повторения и масштабирования знаний теории в целях совершенствования творческой составляющей учеников в области математической деятельности.
Abstract: The article considers the possibility of using systems of equations and inequalities as a highly effective way of consolidating, deepening, repeating and scaling the knowledge of theory in order to improve the creative component of students in the field of mathematical activity.
4049
Ключевые слова: системы уравнений, системы неравенств, теория уравнений, уравнение, неравенство, виды уравнений, применение уравнений и неравенств, средства решения.
Keywords: systems of equations, systems of inequalities, theory of equations, equation, inequality, types of equations, application of equations and inequalities, means of solution.
Одной из самых древних наук является математика, она в свою очередь составляет основу смежных наук: экономики, физики, химии, биологии и других, тем самым, это говорит о том, что математические знания применяются во многих отраслях науки. Полезные свойства от изучения науки математики оказывают благоприятное воздействие на человека,помогая отлично тренировать память, уметь выстраивать умозаключения, вырабатывать способность к анализу; она учит логическим рассуждениям и умению строить аргументацию. Большую часть школьного курса математики занимает изучение материала, базирующегося на уравнениях и неравенствах.
Главная заслуга теории уравнений заключается в служении их по отношению к реализации конкретных практических целей. Значительная часть задач, связанных с количественными отношениями и с пространственными формами настоящего мира, направляется к части решения разнообразных видов уравнений и неравенств. В ходе постоянной практики решения уравнений и неравенств, люди становятся способны ответить на множество вопросов, возникающих в сферах науки и техники, решить различные задачи областях транспорта, сельского хозяйства, промышленности, связи и многих других. Ввиду необходимости для человека овладения вышеперечисленными навыками в ходе изучения математики, создается курс математики уже со школьной скамьи. При активном изучении систем уравнений и неравенств, человек совершенствует и эффективно закрепляет, расширяет полученные теоретические знания [1, c.23].
4050
Сама по себе система уравнений является многоаспектной, если трактовать ее как общематематическое понятие, так как основными сферами появления и функционирования определения «уравнение» являются:
- различные формулы, которые осуществляют цели по решению уравнения, в ходе которых происходит определение чисел или координат точек плоскости;
- средства решения текстовых задач;
- особого рода формулы, которые служат объектом изучения в математике [2,^211].
Важность и масштабность материалов, в которых представлены системы уравнений и неравенств, предопределяют организацию информации в содержательно-методическую линию уравнений и неравенств. При трактовке определений уравнений и неравенств их содержание объясняется на самой практике, на конкретных примерах. Демонстрируется правильная последовательность решения линейных и квадратных уравнений, методы решения уравнений высших степеней, способы решения дробно-рациональных уравнений, а также простых уравнений. Также учащиеся могут ознакомиться с решением неравенств на основе метода интервалов и многое другое. Освоение навыков по решению уравнений и неравенств имеет направленность в сторону обучения учеников составлению уравнений и их систем по условию задачи - здесь стоит задача по овладению способами и методами решения базовых разновидностей уравнений [3, ^21].
Основные этапы знакомства с уравнениями и их изучения в основной школе начинается с 5 класса, и в курсе математики ученики на протяжении всего обучения сталкиваются с понятием уравнения. С переходом в класс выше, происходит изменение способов решения уравнений и, соответственно, их обоснование. На основе подбора либо применения правил поиска неизвестных компонентов происходит решение уравнений и их систем.
Например, в ситуации заданной задачи х + 4 = 18, прохождение этапов
4051
решения осуществляется путем выявления существенных и несущественных признаков. К существенным признакам относится равенство, содержащее переменную, а к несущественным можно отнести то, какой буквой обозначена переменная, или в какой части уравнения она находится. Если рассматривать программу обучения школьников в 5 классе, то решение уравнений будет построено на множестве натуральных чисел. Здесь прослеживается связь с предыдущим курсом начальной школы, когда основным способом решения является поиск решения на базе зависимости между итогами действий и их составляющими. Поэтому в 5-м классе рассматриваются 6 простейших видов уравнений:а + х = Ь;а — х = Ь;х — а = Ь;х * а = Ь;х : а = Ь; а : х = Ь[5,е. 110].
Помимо этого в курсе математики 5 класса предусмотрено изучение уравнений и с введением десятичных дробей: (9,5 — у) * 3,2 = 87,44. При решении данных уравнений происходит отработка способностей к выполнению тождественных преобразований.
Можно заметить, что в программе 6-го класса в решение уравнений добавляется способ решения путем применения свойства противоположных чисел, когда в уравнениях можно оперировать со знаками «+» и «-» их перестановкой со стороны от знака равно.
В 7 классе ученики знакомятся с понятием равносильности, происходит решение линейных уравнений с одной переменной с обобщением знаний, проводится исследование линейного уравнения ах + Ь = 0в зависимости от параметров а и Ь:ах = — Ь. При изучении темы «Многочлены» учащиеся используют разложение на множители для решения уравнений вида:
х2 + 7х + 6 = 0; (х2 + 6х + х + 6 = 0;х(х + 6) + (х + 6) = 0; (х + 6)(х + 1) = 0 ^ х = —6 или х = —1).
Уже годом позже, в 8 классе, процесс обучения дополняют квадратные уравнения и уравнения, содержащие переменную в знаменателе, имеющие
4052
следующий вид: ах2 + Ъх + с = О.Для решения данного вида уравнения можно применять такие способы решения:
- черед выделение полного квадрата;
- поиск дискриминанта по формуле;
- графическим способом;
- по теореме, обратной теореме Виета. [4,^]
В 9 классе добавляются к изучению дробно-рациональные, биквадратные уравнения, с применением способов графического решения с одной переменной. Графический способ решения уравнений состоит в следующем: «Дано уравнение /(х) = д(х). Строим в одной системе координат графики у = f(x) и у = д(х). Отыскиваем абсциссы точек пересечения». Необходимо помнить, что возможности решения уравнения графическим способом ограничены ввиду того, что запас графиков имеет ограничение и степень точности поиска корней.
Что касается 10-11 классов, то данные о системах уравнений и неравенств, полученные раннее, систематизируются и углубляются. Здесь можно говорить о сфере решаемых уравнений и неравенств: тригонометрические, показательные, логарифмические, иррациональные и дифференциальные уравнения [6,^142].
Если говорить о неравенствах, на всех этапах их освоения, главной их целью признается овладение в полной мере учениками приемами решения неравенств как комплексного аппарата решения множества задач из математики, смежных сфер знаний и практической деятельности.
Самыми первыми задачами школьника, при решении неравенств в начальной школе можно отнести знакомство с понятиями «больше» и «меньше», когда устанавливается понятие, что 6 больше 5, а 10 меньше 14. Процесс изучения побуждает к формированию навыков сравнения на базе счета, и реализуется данный процесс на раздаточном материале и примерах из обыденности. На заре 2 класса ученики проходят этап освоения сравнения
4053
величин, чисел, сравнению выражения с числом, появляется новый для них знак равно, происходит появление числовых неравенств (5 > 9; 2 < 7). Далее, годом старше, знак больше и меньше прячется за символом «*», который представляет вопрос, какой всё-таки знак тут выбрать. Например: (17 — 9 * 19 — 5). Также ведется работа по усвоению учащимися смысла терминов больше (меньше) «на», больше (меньше) «в». Следующим этапом уже идёт добавление третьего числа и, посредством данной операции, получение двойного неравенства, например,2 < 3 < 6.
На основном этапе изучения математики в школьной программе, неравенства применяются путем исследований функций, постройки графиков, определяются свойства функций. Школьникам необходимо усвоить, что неравенства представляют собой метод перебора логических возможностей решения задач и построения функций. Овладение способностями к решению неравенств, влечет за собой появление нового этапа - решение системы неравенств и задач линейного программирования. Решение неравенств вида х — а < 0, х — а > 0 готовит учащихся к изучению курса анализа.
Определим особенности изучения неравенств:
1. Аналогично уравнениям, наблюдается отсутствие равносильности неравенств.
2. Множество методов решения неравенств отражается в следовании от неравенства вида а > Ь к уравнению вида а = Ь. В последующем, происходит перенаправление от найденных корней уравнения к вариантности решений первоначального неравенства. Например, эта ситуация может возникнутьв ходе решения рациональных неравенств, при применении метода интервалов или при решении простейших неравенств с тригонометрическим уклоном.
3. Графические средства имеют большое значение в процессе изучения неравенств. Например: в ходе решения неравенств 4 — х2 > 0путем применения методов интервалов, можно перейти к неравенству (2 — х)(2 +
4054
х) > 0, потом обращаемся к уравнению (2 — х)(2 + х) = 0, решив которое получим х = 2,х = —2.
4. Реализация прикладной роли неравенств в ходе решения задач функционального характера и при рассмотрении корней уравнений в зависимости от различных параметров [7,^204]
Полученные навыки решения неравенств различными способамислужат основой для нового уровня тем «Решение квадратных неравенств» и «Действительные числа». Квадратные неравенства решаются несколькими способами, например:
- основываясь на умении разложить квадратный трехчлен на множители, нарисовать график и отразить ответ.
- при разложении квадратного трехчлена на множители применять метод интервалов.
- графический метод решения неравенства: ах2 + Ъх + с > 0; ах2 > —Ьх — с.
По большому счету, процесс изучения неравенств в школьной программе имеет схожую уравнениям организацию.
Линия уравнений и неравенств имеет тесную связь с числовой линией: в таком случае можно сказать о том, что решение каждого очередного вида уравнений масштабирует представления школьников о числовых множествах. Из этого следует, что множественные варианты заданий, цель которых отработать обязательную подготовку учеников в сфере алгебраических знаний, могут обеспечить обращение к различным вариантам вычислений с целыми, действительными и рациональными числами на постоянной основе. Таким образом, уравнения и неравенства могут быть применены в разделе «Операции над числами и свойства этих операций» в качестве высокоэффективного способа закрепления, углубления, повторения и масштабирования знаний теории, в целях совершенствования творческой составляющей учеников в области математической деятельности.
4055
Необходимо отметить, что нахождение решений задач из многовариантности математических разделов при помощи уравнений и неравенств способно сформировать представление о единой математике и относительном характере ее разделения на арифметику, геометрию и алгебру. При поиске решений задач жизненного характера особая роль придается методам уравнений и неравенств. Поиск решения задач, имеющих близкую связь с направлением современного производства, экономикой народного хозяйства и с другими смежными направлениями может являться весьма результативным методом реализации принципа политехнического обучения и тесной связи обучения математическим наукам с реальной жизнью, подготовкой учеников к открытому и добровольному выбору их будущей профессии.
Список источников и литературы
1. Бантова М.А. Методическое пособие к учебнику математики/М.А. Бантова, Т.В. Бельтюкова, С.В. Степанова. - М.: Просвещение, 2017 - 64 с.
2. Василенко Ю.К. Тождества, уравнения, неравенства: Пособие для повышения квалификации учителей математики. - Белаидит. Белгород, 2018.
3. Алгебра: учебник для 7-х классов общеобразовательный учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; под. ред. С.А. Теляковского.- М.: Просвещение, 2018. - 240 с.
4. Алгебра: учебник для 8-х классов общеобразовательный учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; под. ред. С.А. Теляковского.- М.: Просвещение, 2015. - 238 с.
5. Алгебра: учебник для 8-х классов общеобразовательный учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; под. ред. С.А. Теляковского.- М.: Просвещение, 2015. - 238 с.
4056
6. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: Уч. пос. для студ. пед. инст-в по физ-мат. спец-м/ А. Блох, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев и др. Сост.В.И. Мишин. - М.: Просвещение, 2016. -416 с.: ил
7. Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах. - М. : Академия, 2015. - 288 с.
Literatura
1. Bantova M.A. Methodological guide to the textbook of mathematics / M.A. Bantova, T.V. Beltyukova, S.V. Stepanova. - M.: Enlightenment, 2017 - 64 p.
2. Vasilenko Yu.K. Identities, equations, inequalities: A manual for advanced training of teachers of mathematics. - Belaidit. Belgorod, 2018.
3. Algebra: a textbook for 7th grade educational institutions / Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorov; under. ed. S.A. Telyakovsky. - M .: Education, 2018. - 240 p.
4. Algebra: a textbook for 8th grade educational institutions / Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorov; under. ed. S.A. Telyakovsky. - M .: Education, 2015. - 238 p.
5. Algebra: a textbook for 8th grade educational institutions / Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorov; under. ed. S.A. Telyakovsky. - M .: Education, 2015. - 238 p.
6. Methods of teaching mathematics in high school: Private methodology: Uch. settlement for stud. ped. inst. in physics and mathematics. special-m / A. Bloch, V.A. Gusev, G.V. Dorofeev and others Compiled by V.I. Mishin. - M.: Enlightenment, 2016. -416 p.: silt
7. Istomina N.B. Methods of teaching mathematics in elementary grades. - M.: Academy, 2015. - 288 p.
© Семенова М.Д., 2022 Научно-образовательный журнал для студентов и
преподавателей «StudNet» №5/2022
Для цитирования: Семенова М. Д. Изучение систем уравнений и неравенств
в школьном курсе математики // Научно- образовательный журнал для
студентов и преподавателей «StudNet» №5/2022
4057
