CC BY
105
школа на путях i
обновления!
1УДК 371.315 ББК 74.262.21
ПРЕДМЕТНЫЕ И МЕТАПРЕДМЕТНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ШКОЛЬНОГО КУРСА МАТЕМАТИКИ. ТЕМА «НЕРАВЕНСТВА»
А. В. Боровских, В. Е. Веревкина
В статье проводится анализ проблем, возникающих при изучении курса математики средней школы на примере темы «Неравенства». Показано, что причиной основных затруднений школьников является каскад из неявных смен представлений о математических объектах и действиях с ними, которые никак не обрабатываются в методике. Первая смена - это смена представления о числовом неравенстве как о результате выполнения действия сравнения чисел на представление о числовом неравенстве как о логическом утверждении, которое может быть истинно или ложно. Вторая - смена представления о решении как о действии по определенному алгоритму на представление о решении как о целесообразном преобразовании, подчиняющемся некоторым правилам. Третья - смена представления об уравнении как информации относительно некоторого конкретного, но неизвестного числа на представление о неравенстве и уравнении как об условии на переменную. Четвертая - смена представления о законах арифметики, как устанавливаемых на основе очевидности, на представление о законах алгебры, устанавливаемых на основе доказательства. И, наконец, пятая смена - смена представления о преобразовании числового неравенства как переходе к другому неравенству на представление о преобразовании алгебраического неравенства как переходе к тому же неравенству, но в другой форме. На основании введенного принципа инкапсуляции предложены варианты решения возникающих проблем.
Ключевые слова: методика преподавания, тема «Неравенства», предметное содержание, над-предметное содержание, инкапсуляция, деятельностная педагогика.
DISCIPLINARY AND META DISCIPLINARY PROBLEMS OF SCHOOL MATHEMATICS. THE TOPIC „INEQUALITIES"
A. V. Borovskikh, V. E. Verevkina
The article analyzes the problems arising in the study of Mathematics in secondary schools on the example of „Inequalities". It is shown that the main cause of student's difficulties is a cascade of implicit shifts of representations of mathematical objects and operations, which is not processed in the teaching methodology. The first shift is a change of the representation about numerical inequalities as result of an operation with the comparison of numbers to the representation about a numerical inequality as a logical statement which may be true or false. The second is a change of representation of the solving as an operation according to a specific algorithm on the representation of the solving as an expedient transformation subjected to certain rules. The third is a shift of the representation of an equation as a piece of information about some specific, but an unknown number to the representation about an inequality and equation as a condition imposed on a variable. The fourth one is a shift of the representation about the laws of arithmetic that were established on the basis of the evidence to the representation about the laws of algebra that were established on the basis of the proof. And finally the fifth change is the change of the representation of the transformation of a numerical inequality as the transition to another inequality to the representation of the transformation of algebraic inequalities as a transition to the same inequality but in a different form. On the basis of the introduced principle of encapsulation solutions to these problems are presented.
Keywords: teaching methodology, „Inequalities", disciplinary content, over disciplinary content, encapsulation, activity-based pedagogy.
Тема «Неравенства» (см.: [1-6]) занимает одно из первых мест в ряду тем, с наибольшим трудом осваиваемых учащимися. И хотя по этому поводу написаны сотни учебных пособий и методических разработок, результат от этого не улучшается. Школьники расценивают задачи с неравенствами как специально придуманный лабиринт, в котором никогда не знаешь, куда идти, и откуда выбраться простому человеку, не обладающему неким особым даром, невозможно. Учителя честно исполняют указания многочисленных методичек, «как давать материал темы», но почему-то ученики это «давание» не берут, а если и берут, то не благодаря методикам, а потому, что это им как-то по-другому объяснили либо дома мама с папой, либо в каком-нибудь интеллектуальном летнем лагере или на математическом кружке. Таким образом, мы можем констатировать, что в методике преподавания темы «Неравенства» есть проблемы, которые пока не выявлены и не стали предметом специального педагогического рассмотрения. В настоящей работе мы обсудим эти проблемы и предложим способы их решения.
Как будет показано, эти проблемы находятся отнюдь не в сфере математики как системы оперирования с числами и величинами. Они находятся в области, расположенной как бы «за» дисциплиной «Математика», и связаны с тем, что математические операции являются как бы «снимком» неких действий, которые мы осуществляем в предметной и в социальной реальности. Эти действия включены в ту или иную деятельность, законы которой и абстрагируются в виде законов математики, и основной причиной проблем с изучением математики у школьников является то, что внешне похожие и даже родственные с математической точки зрения законы могут происходить из совершенно разных видов деятельности и иметь поэтому совершенно разный смысл. Формальное их смешение или отождествление приводит к противоречиям, потере смысла, конфликту представлений о математических объектах и, в конечном счете, - к ошибкам.
1. Проблема смены представлений в теме «Неравенства»
Переходя к содержательному анализу школьной темы «Неравенства», мы выделим прежде всего проблему смены представления
о неравенстве, которая никак не отражается в методике, но которая играет ключевую роль во всех «приключениях» с этим объектом. Дело в том, что, начиная тему в 7-м классе, учитель обычно совершенно не задумывается, что стоит в представлениях учеников за термином «неравенство». А стоит за ним вполне конкретная ситуация, которая была твердо усвоена в начальной школе - когда надо было сравнить два числа. Именно там, в начальной школе, двигаясь от житейского сравнения предметов по разным признакам (дедушек с внуками - по возрасту, автомобилей с велосипедами - по стоимости, Москвы и Тараканов-ки - по населению и т. п.), школьников приводили к абстрактному математическому действию сравнения количеств, выражаемых числами. Сначала целыми, потом дробными. Но что самое главное - само неравенство фиксировало результат сравнения, оно было «ответом на вопрос, что больше». И с этой точки зрения неравенство 2 < 3 означало, что мы выполнили действие сравнения и зафиксировали это записью. А неравенство 2 > 3 вообще ничего не означает, оно не является результатом сравнения. Ну, или, в крайнем случае, оно означает ошибку ученика.
Но вот мы оказались в 7-м классе, и учитель пишет на доске неравенство: х + 2 > 5. Что же оно означает? Для учителя - понятно что: условие на переменную х. А для учеников? Ведь они смотрят на это неравенство с той позиции, которая была ими усвоена в начальной школе: неравенство - результат сравнения. А кто, что и с чем сравнивал? Судя по всему - сравнивал учитель. Сравнивал какой-то неизвестный и непонятный х (о том, что такое "х", мы ниже поговорим отдельно), сложенный с двойкой, и 5. Ну хорошо, допустим, он это как-то сравнил (хотя совершенно неясно, как можно сравнить неизвестное?) и написал нам результат сравнения. Но вот проблема: написав это неравенство, пусть даже как результат какого-то мистического процесса сравнения, учитель вдруг просит его решить! И вот это - уже действительно, как говорит молодежь, «засада». Что значит «решать» результат сравнения? Ученики ведь никогда не «решали» неравенство 2 < 3!
Абсурдность поставленного вопроса о «решении неравенства» вскрывает сразу несколь-
ШКОЛА НА ПУТЯХ ОБНОВЛЕНИЯ
ко проблем, связанных с изменением представлений учащихся.
Первая из них связана с переходом от оперирования с числами к оперированию с переменными величинами. Использование буквы x здесь означает совсем не то же самое, что было в начальной школе. Там тоже был «х», но под x подразумевалось неизвестное - вполне определенное, конкретное число, которое надо было найти (в социализированной ситуации: «Вася загадал число и сказал нам про него что-то, а мы должны его отгадать»). Та же буква в темах «Многочлены», «Функции», «Неравенства» и др. означает совсем другую вещь - переменную величину, которая, вообще говоря, может принимать произвольные значения. Как вводить в школе понятие переменной величины (да и других произвольных объектов, например, произвольного треугольника), мы кратко обсуждали в [7; 8]; более подробно в связи с темой «Многочлены» это будет изложено нами в отдельной статье.
Здесь мы только сформулируем суть подхода, состоящего в персонализации произвольности [8]: для того чтобы освоить произвольность того или иного объекта, нужно создать специальную «социальную» учебную ситуацию, в которой один человек (ученик или учитель) может делать с этим объектом то, что захочет (например, менять величину x), а другой - строить свои действия так, чтобы от этого не зависеть (например, преобразовать многочлен к более простому виду). Так построенные действия будут гарантированно относиться именно к произвольному объекту в теоретическом понимании этого слова.
Конечно, применять прием персонализа-ции произвольности всю оставшуюся жизнь нет никакого смысла: по мере того, как ученик привыкает выступать и в роли «задающего произвольность» объекта, и в роли «преодолевающего эту произвольность», после совмещения этих ролей у него формируется навык «игры с самим собой»: «а если я начну менять объект, как захочу, изменится ли мое доказательство/ построение/и т. п.?». При этом социальные роли уходят из сознания, оставляя только привычную нам интеллектуальную схему работы с произвольным объектом, которая может употребляться в дальнейшем обучении уже без
обращения к социальным, внешним формам этой схемы. Но именно в 7-м классе, когда произвольные объекты только появляются, такие «социальные» формы интеллектуальной деятельности оказываются чрезвычайно эффективными и даже просто необходимыми.
Но допустим, что проблемы с введением переменной величины уже пройдены, и дети понимают, что это такое. И допустим, что дети могут понять, что неравенство - это условие, наложенное на переменную величину.
Вторая проблема, к которой мы переходим, связана с уже упомянутым нами словом «решить». И здесь нас тоже ожидает конфликт представлений - представлений о том, что означает это слово. Учитель в 7-м классе должен хорошо понимать и учитывать, что в начальной школе у учеников уже сложилось вполне определенное представление о том, что значит «решить». Решить - это значит в известной ситуации выполнить действия по известному алгоритму. Например, младшеклассники решали уравнение 2x + 3 = 5 и твердо усвоили, что надо делать: вычесть из обеих частей 3, а потом разделить обе части на 2.
Внешняя похожесть алгоритма решения этого уравнения на алгоритм решения неравенства 2x + 3 > 5 часто побуждает учителей идти «по легкому пути» (а методистов - толкать учителей на этот «легкий путь»), используя аналогию и не думая о том, что этот «легкий путь» заводит учеников в тупик. Тупик заключается в том, что по мере продвижения в изучении математики алгоритмы решения и уравнений, и неравенств резко усложняются и за рамками квадратных уравнений и неравенств становятся уже настолько громоздкими и разнообразными, что их невозможно ни запомнить, ни использовать.
Принципиальный же качественный переход, который необходимо совершить учащимся, чтобы не уйти в этот тупик, связан с тем, что под словом «решить» мы начинаем понимать не «выполнить действия по определенному алгоритму», а «упростить условие каким угодно образом», при этом, однако, подчиняясь некоторым правилам. Тем самым алгоритм из априори предписанного «руководства к действию» превращается в «след действия», формирующийся в процессе решения задачи, он строится
не до решения задачи, а в ходе этого решения. Особо следует подчеркнуть, что если не совершить в умах учащихся упомянутый переход на материале простейших линейных неравенств, то потом, когда неравенства станут сложными, осуществить его будет гораздо труднее.
Любой учитель может проверить, как именно понимают ученики слово «решить» на простом тесте - достаточно предложить решить
1
= 1. Ответ «мы такие уравне-
уравнение
2 х + 3
ния не решали» как раз и означает, что под «решить» ученики понимают «выполнение действий в известных условиях по известному алгоритму». Если же ученики просто «переворачивают дробь», сведя задачу к известной им элементарной задаче решения линейного уравнения - значит, они понимают слово «решить» уже в новом, интересующем нас смысле.
Отметим, что здесь математика очень близко и тесно соприкасается с преподаванием русского языка. Конечно, на уроках родного языка ученики знакомятся с неоднозначностью смысла слов, учатся необходимости воспринимать смысл слова в зависимости от контекста. Однако существует и специфический математический язык, обучение ему - прерогатива именно преподавателя математики. Если он хочет успеха, он должен постоянно добиваться максимальной точности в понимании учениками употребляемых слов и словосочетаний.
Третья проблема, которую мы обнаруживаем, состоит в том, что правила действий с неравенствами, так сказать «конструктор преобразований», оказываются уже за рамками очевидности (это показывает пример неравенства 3 - 2x > 5, при решении которого ученики делают известную ошибку, не меняя знак неравенства при делении на отрицательное число), и требуют доказательства. Необходимость освоения различного типа аргументации как раз соответствует возрастным потребностям семиклассников, они возникают как результат соци-ально-деятельностного развития [8] (то есть эволюции детского сообщества, его структуры и определяющих ее отношений между разными видами деятельности, в том числе смену ведущей деятельности и т. п.). Поэтому включение в учебный процесс действия обоснования правил является вполне уместным.
К сожалению, с целью «упрощения обучения и облегчения усвоения» значительная часть современных учебников и методических пособий ограничивается лишь констатацией этих правил, не думая о том, что простое их запоминание ни к чему, кроме путаницы в головах, не приводит. Нам необходимо уяснить, что все-таки лучше один раз потратить чуть больше времени и сил на освоение навыков аргументации, чем потом заучивать наизусть всю последующую математику.
Четвертая проблема связана с третьей и обнаруживается тогда, когда мы начинаем выстраивать способ проверки правил преобразования неравенств. Как известно, основной метод такой проверки - подстановка в исходное и преобразованное неравенства каких-то числовых значений с целью убедиться, что эти неравенства оказываются либо одновременно верными, либо одновременно неверными. И вот тут-то нас поджидает еще один конфликт представлений: как уже говорилось, в начальной школе неравенство 2 < 3 означало результат выполненного действия сравнения, а неравенство 2 > 3 было абсурдом или, в крайнем случае, свидетельством ошибки ученика. Но тогда, когда мы проверяем или обосновываем правила преобразования неравенств, мы рассматриваем эти записи совсем в другом смысле - как логические утверждения, которые могут быть верными или неверными. Эта, довольно деликатная, смена представлений о числовом неравенстве обычно никак не отслеживается, не обрабатывается, не преодолевается, а в результате - загоняется в подсознание как некий конфликт, который потом проявляет себя в самых неожиданных ситуациях.
Желающие «нащупать» этот конфликт у своих учеников могут воспользоваться простой задачкой из замечательного пособия [9]. Требуется ответить на вопрос: «Верно ли, что 2 < 3?». Довольно часто встречающийся ответ: «Нет, потому, что 2 < 3» означает, что использовано представление о неравенстве из начальной школы - как о констатации результата выполнения действия сравнения. Если же ответ «Да, потому, что 2 < 3», то используется представление о неравенстве как об условии, которое, в данном случае, выполнено. Аналогичная ситуация с вопросом «Верно ли, что 2 < 2?».
Наконец, отметим еще одну - пятую проблему, возникающую в связи с темой «Неравенства», но проявляющуюся гораздо позже. Это проблема освоения учащимися различения формы и содержания в том или ином предметном материале. Такое различение появляется почти одновременно с математикой на уроках литературы - когда начинают обсуждаться форма и содержание того или иного литературного произведения; неявно оно возникает и в других дисциплинах. В курсе же математики наиболее благодатным материалом для такого различения является как раз тема «Неравенства», поскольку именно в преобразовании неравенств мы эти две вещи четко разделяем в предметном материале: сохраняя содержание неравенства, то есть условие на переменную, меняем форму этого условия. Хотя для самого предметного материала как это различение, так и его фиксация в терминах «форма» и «содержание» не нужны, для дальнейшего интеллектуального развития учащихся понимание такого различия очень важно, и поэтому пренебрегать этим в целях экономии времени не стоит. Такая «экономия» потом выльется в необозримые проблемы при решении более сложных задач, где выбор формы представления данных задачи и смена форм представлений (аналитическая-графическая-образная-алгебраическая-геометрическая и т. д.) станут главными для успешного решения.
2. Принцип инкапсуляции
Итак, перед нами налицо как минимум пять нетривиальных проблем, требующих решения, и все они связаны либо с кардинальным изменением представлений в сознании детей о том или ином объекте, либо с введением новых объектов и представлений о них. Как решать эти проблемы?
Здесь следует остановиться на вопросе, главном для данных проблем, - о том, как необходимо осуществлять смену представлений (например, о числовом неравенстве или о понимании слова «решить») у школьников? «Очевидный» вариант - «дать» другое, новое представление вместо старого - приводит, как свидетельствуют текущие результаты, к двум по-
следствиям, и оба оказываются неудовлетворительными.
Первое из них, наиболее часто встречающееся, состоит в том, что новое представление просто отторгается, не воспринимается детьми - внешне это выгладит так, что дети «не берут» то новое, что им «дает» учитель. А старое, не изменяя, дети пытаются «приспособить» к решению тех задач, которые им задаются, что, естественно, у них не очень получается. Второе последствие, более редкое, но более губительное, состоит в том, что ученик, беря все-таки через силу новое представление, вытесняет старое (а уничтожить его нельзя) в подсознание, и оно оттуда, в силу вполне изученных З. Фрейдом [10] законов, начинает вредить актами «забывчивости», «невнимательности», «путаницы» и т. п. И если первое последствие - отторжение материала - более-менее легко исправляется просто повторным изучением материала, но уже в рамках грамотной методики, то для исправления второго необходима специальная техника по типу психотерапевтической для того, чтобы вывести конфликт представлений из подсознания в сознание и разрешить его, опять же, на основе грамотно построенной методики.
Как же осуществлять смену представлений так, чтобы потом не было необходимости ничего исправлять? Здесь очень важно понимать, что мышление любого человека, в том числе и ребенка, целостно и не допускает поэтому явно противоречащих друг другу вещей. Конфликт может быть только как момент, как импульс к размышлению, но он обязательно должен быть разрешен путем установления между конфликтующим представлениями (в нашем случае -старыми и новыми) каких-то вполне определенных отношений. Это могут быть отношения «раздела сфер влияния», то есть в одних условиях мы пользуемся одними представлениями, а в других - другими. Это могут быть отношения «частное-общее», когда в общих рассуждениях мы используем одни представления, а в частных случаях - другие, как более удобные. Бывают и другие варианты. Но наиболее часто встречающимся в школьной математике является достаточно нетривиальный тип отношения - отношение инкапсуляции1. Поясним сначала суть этого
1 Термин заимствован из объектно-ориентированного программирования, где он используется в аналогичной ситуации.
отношения на простом примере, а потом дадим ему общее определение.
В начальной школе сначала осваивается натуральный счет, потом дети переходят к счету в десятичной системе счисления, затем, уже в средней школе, осваивают дроби и отрицательные числа. Все четыре типа счета происходят из разных видов деятельности; мы остановимся на первых двух. Первый - натуральный счет - происходит из деятельности перебора. И именно из практически очевидного свойства этой деятельности - что количество не зависит от способа перебора - фактически и следуют все основные законы арифметики: коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность. (С философской точки зрения было бы правильнее сказать, что количество как раз и есть то, что не зависит от способа перебора, а это и есть определение понятия «количество». Но мы оставим эти тонкости за рамками рассмотрения, поскольку детям количество дается не как продукт их собственной деятельности, а как данность, реальность, вещь, которую нужно освоить.)
Второй вид счета - счет в позиционной системе счисления - происходит из деятельности учета разнотипных, вообще говоря, вещей. Если эти вещи никак не соотносятся друг с другом, учет распадается на некоторое количество переборов. А вот если одна вещь оказывается, в некотором смысле, «равна» другой (например, коробка конфет = 20 отдельных конфет), учет превращается в некое искусство перевоплощения сущностей друг в друга, рафинированным материальным средством которого становятся канцелярские счеты (в старину называвшиеся «абак»), или узелки на веревках, или столбцы записей на табличках или папирусах, или еще какой-то аналогично устроенный инструмент.
В чем состоит инкапсуляция? С одной стороны, перебор как деятельность включен в учет, и поэтому натуральная арифметика относится к позиционной как более частное к более общему. Но это - лишь половина отношения, и притом меньшая. Большая состоит в том, что мы на позиционную арифметику переносим
свойства арифметики натуральной. И в этом вся интрига. Почему? А потому, что в системе учета с «трансформациями» даже простейшие арифметические законы являются совершенно неочевидным. Ведь совсем не факт, что, разлив вино из бочки по бутылкам, а потом из бутылок вылив его обратно в бочку, мы получим столько же вина, сколько и было в начале! А вынув из упаковки пачку бумаги и разобрав ее по листам, Вы никогда не сможете, сложив их вместе, воткнуть их в исходную упаковку. Операции трансформации типа разделения на более мелкие части с последующей сборкой их обратно никогда не дают в реальности исходного объекта! Поэтому арифметические законы в позиционной арифметике не могут быть экстрагированы из самой деятельности учета - они переносятся в эту арифметику из натуральной.
И в этом состоит сущность инкапсуляции: более общее представление, включая в себя более частное, «забирает себе», «адсорбирует» и законы, свойства, правила более частного представления. Психологическая сторона инкапсуляции состоит в том, что интуиция в отношении более общего представления работает на базе более частного, так что более частное, оставаясь как бы «скрытым» внутри общего, обеспечивает на самом деле корректное оперирование с более общим представлением2.
Именно такое отношение нам и следует создать, как минимум, у пяти пар описанных выше представлений. Первая - представления о числовом неравенстве как о результате выполнения действия сравнения чисел и как о логическом утверждении, которое может быть истинно или ложно. Вторая - о решении как о действии по определенному алгоритму и о решении как о целесообразном преобразовании, подчиняющемся некоторым правилам. Третья пара - представление об уравнении как информации относительно некоторого конкретного, но неизвестного числа и представление о неравенстве и уравнении как об условии на переменную. Четвертая пара - представление о законах арифметики, устанавливаемых на основе очевидности, и представление о законах алгебры, устанавливаемых на основе доказа-
Пренебрежение этим принципом, как это было сделано в некоторых системах развивающего обучения, приводит к потере интуитивной базы для арифметики - в результате дети, владея деятельностью измерения (лежащей в основе исчисления дробей), не умеют выполнять элементарные арифметические действия.
2
тельства. И наконец, пятая пара - представление о преобразовании числового неравенства как переходе к другому неравенству и представление о преобразовании алгебраического неравенства как переходе к тому же неравенству, но в другой форме.
3. Принцип социализации
Как обеспечить эти пять инкапсуляций? Прежде всего, следует подчеркнуть, что в отношении инкапсуляции новое представление всегда является «скачком» относительно прошлого и не выводимо из прошлого. Поэтому его необходимо вводить как бы извне, экстрагируя из деятельности того или иного типа. Если деятельность предметная, то можно использовать широко известный принцип материализации (см., например, [11]). Однако в работе с произвольными объектами (каковым является, в частности, переменная величина) удобнее обращаться к социальным ситуациям - в этом и состоит принцип социализации.
Как это осуществить? Мы приведем пример (апробированный нами в обычной подмосковной школе; возможны, конечно, и другие педагогические конструкции), позволяющий продемонстрировать принцип социализации. Создадим социальную ситуацию, в которой необходимо будет отнестись к неравенству как к условию и в которой потребуется упростить его. Такой ситуацией может быть, например, соревнование, в котором два ученика (или две команды) должны сказать, верно или неверно, что 2x+3 > 5 для конкретных значений переменной величины x. Значения называет учитель, а игроки должны посчитать и ответить -кто быстрее.
Совершенно понятно, что в этой простой игре мы сразу заложили представление о неравенстве как об условии и представление о решении (которое мы пока не называли никак) как об упрощении этого условия. Очевидно, что условия соревнования создают мотив упрощения (и поэтому никто не будет спрашивать, зачем это нужно делать, ни сейчас, ни потом, когда задачи перейдут в чисто математическую плоскость). И достаточно быстро найдется «умник», который сообразит, что вместо всех вычислений для каждого значения х достаточно смотреть, выполнено ли неравенство x > 1.
Как только этот замечательный акт совершился, «умника» надо привлекать на допрос с целью выяснения, почему он заменил одно неравенство другим и на чем он основывался. Очевидно, что ученик скажет, что он вычел из обеих частей неравенства по 3, а потом разделил их на 2. После чего можно предложить ему сформулировать общее правило: что нужно сделать, чтобы упростить линейное неравенство (а учителю заодно ввести и необходимый термин «решение неравенства»).
Практически наверняка ученик правило деления на число даст точно так же, как это было в уравнениях (аналогия очевидна), после чего имеет смысл предложить проверить сформулированное правило для неравенства с отрицательным коэффициентом (например, -2x +3 > 5). Именно здесь, после получения неправильного ответа, можно предложить проверить, «подходит ли» в то и в другое неравенство то или иное x, и, обнаружив расхождение, проблематизиро-вать ситуацию, поставив вопрос о том, как доказывать, что правило верное?
Способ доказательства, собственно, был уже введен на этапе проблематизации - это подстановка значений x. И тут можно начать первую инкапсуляцию. При подстановке разных значений x мы получаем числовые неравенства, про которые говорили, что они верные или неверные. Но раньше мы так не говорили. Как нам соотнести эти два наших способа употребления числовых неравенств? Здесь учитель, конечно, может подсказать, что использовавшаяся в начальной школе привычка результат сравнения записывать в виде неравенства может быть трансформирована в логическое высказывание. Это - высказывание о результате сравнения, то есть мы утверждаем, что в результате сравнения получается 2 < 3. Запись инкапсулируется в утверждение, и при этом на логические высказывания переносятся правила арифметики: если есть верное высказывание о неравенстве, то, применив к неравенству действия по правилу арифметики, мы получим верное высказывание о другом неравенстве. После того, как это понято, первую инкапсуляцию можно считать осуществленной; осталось только дать пару упражнений для закрепления - на оперирование с верными и, главное, неверными неравенствами.
Теперь можно вернуться к вопросу о доказательстве правил, и сформировать вторую инкапсуляцию, которую лучше всего изобразить схемой:
приж=4,дает ТГ при ж = 4 ,цает
Неравенство с переменной (например, 2x + 3 > 5) задает условие. Если при подстановке в неравенство некоторого числа получается верное утверждение (то есть условие выполнено), и мы совершаем с полученным неравенством (2 • 4 + 3 > 5) действие по правилам арифметики, то получается тоже верное утверждение (2 • 4 > 5 - 3). Но это означает, что, совершив то же самое действие с неравенством с переменной, то есть с условием (2 x > 5 - 3), мы из этого неравенства получим при x = 4 верное утверждение. Значит, правила действий с неравенствами, содержащими переменную, обосновываются тем, что при применении этих правил старое и новое неравенства справедливы при одних и тех же значениях переменной. Таким образом, правила действий с числовыми неравенствами инкапсулировались в правила действий с алгебраическими неравенствами, содержащими переменную.
Третья инкапсуляция связана с понятием решения. Собственно говоря, мы ее начали делать с самого начала - когда организовали соревнование и преобразовывали неравенство к более простому виду. При этом, как мы поняли, сохраняется само условие (оно выполняется при одних и тех же значениях переменной), но меняется... что? Внешний вид, или, как говорят, форма неравенства. Чем это представление о решении отличается от того, которое было раньше - выполнить решение по определенному алгоритму? Обычный ответ - тем, что там было уравнение, а тут неравенство. Очень важно этот ответ преодолеть и предложить посмотреть на уравнение тоже - как на условие, налагаемое на переменную. И тогда обнаружится, что мы можем решать уравнение двумя способами - по алгоритму или по правилам. Что важнее? Как выясняется, правила, поскольку алгоритм (можно вспомнить алгоритм на примере того же уравнения 2x + 3 = 5) сам подчиняется этим правилам. Значит, решение уравнения по
алгоритму было тогда, в начальной школе, просто версией, адаптированной для новичков: «кто-то» сначала по правилам составил алгоритм, а потом уже школьникам предложили его запомнить и по нему решать. А теперь ситуация будет обратная: алгоритм решения мы, с помощью правил, будем составлять сами.
Далее можно поупражняться с примерами, в которых необычное уравнение или неравенство за 1-2 операции трансформируется в обычное.
Как мы видим, внутрь третьей инкапсуляции оказались вложенными четвертая - инкапсуляция представления о преобразовании неравенства как перехода к другому неравенству в преобразование неравенства как изменение вида (формы) с сохранением условия (содержания) - и пятая - инкапсуляция понятия уравнения из начальной школы в понятие уравнения/неравенства как условия.
4. Заключение
Таким образом, мы представили схему введения новых представлений, связанных с неравенствами, которая не оставляет не разрешившихся конфликтов представлений и в которой за счет инкапсуляции старые представления оказываются базой интуиции для новых, а заодно и средством для построения обоснований. Формирование отношения инкапсуляции мы построили на принципе социализации, то есть реализации той или иной интеллектуальной проблемы и порождаемых ею действию и отношений во внешней, социальной форме. Конечно, предложенная система сложнее банального заучивания действий по алгоритму, и приведенные нами рассмотрения могут занять не один, а даже два или три урока. Но зато впоследствии учителю не придется тратить уйму времени на то, чтобы безуспешно бороться с тем, что ученики упорно делают ошибки в самых невообразимых местах.
В завершение следует особо выделить следующий момент. Среди обозначенных нами пяти конфликтов представлений ни один не является чисто математическим. Конфликт между представлением о том, что некая запись (в нашем случае - неравенство) означает действие или его результат, и о том, что эта запись означает некое логическое высказыва-
ние - не принадлежит именно математике. Это - конфликт представлений о смысле текста, более широко - знака, то есть конфликт, лежащий даже не в интеллектуальной плоскости, а скорее в плоскости культуры. Он разворачивается не только в математике, но и в других дисциплинах, прежде всего - в литературе. Конфликт между представлениями о неравенстве как о результате действия и о неравенстве как об условии - это конфликт из сферы интеллектуального развития, он вводит учащихся в мир логики, обоснования, доказательств. Интеллектуальной сфере принадлежит и переход от «очевидности» правил арифметики к обоснованию правил алгебры. Логика становится основой рассуждений в этом возрасте практически на всех предметах, и здесь мы видим лишь реализацию этого процесса на материале математики.
Конфликт между разными представлениями о решении - это конфликт между разными представлениями об управлении своими действиями, принадлежащий области психического развития. Д. Б. Эльконин, описывая переход от «игры по алгоритму»3 к «игре по правилам» (ролевой игре), отмечал его как чрезвычайно важный шаг в психическом развитии ребенка [12]. Именно этот шаг в игровой деятельности создает базу для обучения той части математики, которая имеет дело с произвольными объектами, в частности - с переменными величинами. А поскольку произвольные объекты встречаются практически во всех дисциплинах, то математика оказывается лишь материалом, на котором формируются универсальные навыки управления собственными действиями. Наконец, представления о преобразовании объекта (неравенства), расщепляющиеся в представления о преобразовании формы объекта при сохранении его содержания - тоже элемент культурного развития, который, как мы уже отмечали, реализуется в том или ином виде и в других курсах школьной программы.
Все это показывает, что мы, анализируя проблемы с освоением чисто математической темы, на самом деле выходим на уровень мета-предметного (надпредметного; мы не будем
ударяться в смысловые оттенки этих понятий) развития разного сорта (см., напр. [8; 13-20]), которое сейчас оказывается гораздо более важным, чем предметное. Действительно, вряд ли более трети школьников будет в своей дальнейшей жизни решать неравенства. Но управлять своими действиями в произвольных условиях, рассуждать логически, различать форму и содержание, понимать, что очевидно и что требует обоснования, - будут все. И поэтому очень важно, строя методику обучения тому или иному предмету, тщательно продумывать именно метапредметные аспекты и проблемы - прежде всего потому, что они имеют исключительную практическую значимость.
СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ
1. Макарычев, Ю. Н. Алгебра Учебник 7 класса [Текст] / Ю. Н. Макарычев [и др.]; под ред. С. А. Теляковского. - М.: Просвещение, 2008.
2. Макарычев, Ю. Н. Алгебра Учебник 8 класса [Текст] / Ю. Н. Макарычев [и др.]; под ред. С. А. Теляковского. - М.: Просвещение, 2008.
3. Макарычев, Ю. Н. Алгебра. Учебник 9 класса [Текст] / Ю. Н. Макарычев [и др.]; под ред. С. А. Теляковского. - М.: Просвещение, 2008.
4. Никольский, С. М. Алгебра Учебник 7 класса [Текст] / С. М. Никольский [и др.]. - М.: Просвещение, 2010.
5. Никольский, С. М. Алгебра Учебник 8 класса [Текст] / С. М. Никольский [и др.]. - М.: Просвещение, 2010.
6. Никольский, С. М. Алгебра Учебник 9 класса [Текст] / С. М. Никольский [и др.]. - М.: Просвещение, 2012.
7. Боровских, А. В. Деятельностные принципы в педагогике и педагогическая логика [Текст] / А. В. Боровских, Н. Х. Розов. - М.: Макс Пресс, 2010. 80 с.
8. Боровских, А. В. Надпредметное содержание школьного образования [Текст] / А. В. Боровских, Н. Х Розов // Педагогика. - 2014. -№ 1. - С. 3-14.
9. Дорофеев, Г. В. Пособие по математике для поступающих в вузы [Текст] / Г. В. Дорофе-
3 В оригинале - «выполнение последовательности действий». Слово «алгоритм» тогда не было столь широкоупотребительным, но мы считаем вполне уместным его использовать в наше время.
ев, М. К. Макаров, Н. Х. Розов. - М: Дрофа,
2007.
10. Фрейд, З. Психопатология обыденной жизни // Фрейд З. Малое собрание сочинений. СПб.: Азбука-классика, 2010. - 992 с. - С. 5-150.
11. Салмина, Н. Г. Виды и функции материализации в обучении [Текст] / Н. Г. Салмина. -М.: Изд-во Моск. ун-та, 1981. - 136 с.
12. Эльконин, Д. Б. Психология игры [Текст] / Д. Б. Эльконин. - М.: Педагогика, 1978. - 304 с.
13. Асмолов, А. Г. Как проектировать универсальные учебные действия в начальной школе: от действия к мысли: пособие для учителя [Текст] / А. Г. Асмолов [и др.]; под ред А. Г. Асмолова.- М.: Просвещение,
2008. - 151 с.
14. Громыко, Ю. В. Метапредмет «Проблема» [Текст] / Ю. В. Громыко. - М.: Ин-т учебника Пайдейя, 1998. - 382 с.
15. Громыко, Ю. В. Метапредмет «Знак». Схематизация и построение знаков. Понимание символов [Текст]: учеб. пособие для учащихся ст. классов / Ю. В. Громыко. - М.: Пушкинский ин-т, 2001. - 288 с.
16. Губанова, Т. М. Опыты мыследеятельност-ной педагогики [Текст] / Т. М. Губанова. -М.: Ин-т учебника Пайдейя, 1998. - 296 с.
17. Образовательный проект «Вертикаль» [Текст] / Т. М. Губанова, А. Ю. Губанов, А. В. Нечипоренко. - Кн. 1. Департамент образования администрации г. Мегиона, 2007. -350 с. - Кн. 2. Департамент образования администрации г. Мегиона, 2008. - 344 с.
18. Устиловская, А. А. Метапремет «Задача» [Текст] / А. А. Устиловская. - М.: НИИ Ин-новац. стратегий развития общего образования, Пушкинский ин-т, 2011. - 272 с.
19. Хуторской, А. В. Метапредмет «Числа»: Экспериментальный интегрированный курс [Текст] / А. В. Хуторской. - Черноголовка, 1994. - 68 с.
20. Хуторской, А. В. Метапредметное содержание и результаты образования: как реализовать федеральные государственные образовательные стандарты (ФГОС) [Электронный ресурс] / А. В. Хуторской // Интернет-журнал «Эйдос». - 2012. - №1. - Режим доступа: http://www.eidos.ru/journal/2012/0229-10.htm (дата обращения: 30.09.2015).
REFERENCES
1. Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. Algebra. Uchebnik 7 kl-assa. Moscow: Prosveshchenie, 2008.
2. Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. Algebra. Uchebnik 8 kl-assa. Moscow: Prosveschenie, 2008.
3. Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K.I., Suvorova S. B. Algebra. Uchebnik 9 kl-assa. Moscow: Prosveshchenie, 2008.
4. Nikolskiy S. M., Potapov M. K., Reshetnikov N. N., Shevkin A. V. Algebra. Uchebnik 7 kl-assa. Moscow: Prosveshchenie, 2010.
5. Nikolskiy S. M., Potapov M. K., Reshetnikov N. N., Shevkin A. V. Algebra. Uchebnik 8 kl-assa. Moscow: Prosveshchenie, 2010.
6. Nikolskiy S. M., Potapov M. K., Reshetnikov N. N., Shevkin A. V. Algebra. Uchebnik 9 kl-assa. Moscow: Prosveshchenie, 2012.
7. Borovskikh A. V., Rozov N. H. Deyatelnostnye printsipy v pedagogike i pedagogicheskaya logika. Moscow: Maks Press, 2010. 80 p.
8. Borovskikh A. V., Rozov N. H. Nadpredmetnoe soderzhanie shkolnogo obrazovaniya. Peda-gogika. 2014. No. 1, pp. 3-14.
9. Dorofeev G. V., Potapov M. K., Rozov N. H. Posobie po matematike dlya postupayushchikh v vuzy. Moscow: Drofa, 2007.
10. Freud Z. Psihopatologiya obydennoy zhizni. Maloe sobr. soch. S.-Pb.: Izd. gruppa «Azbuka-klassika», 2010. 992 p. Pp. 5-150.
11. Salmina N. G. Vidy i funktsii materializatsii v obuchenii. Moscow: Izd-vo Mosk. un-ta, 1981. 136 p.
12. Elkonin D. B. Psihologiya igry. Moscow: Peda-gogika, 1978. 304 p.
13. Asmolov A. G. (ed.) Kak proektirovat univer-salnye uchebnye deystviya v nachalnoy shkole: ot deystviya k mysli. Posobie dlya uchitelya. Moscow: Prosveshchenie, 2008. 151 p.
14. Gromyko Yu. V. Metapredmet "Problema". Moscow: In-t uchebnika Paydeyya, 1998. 382 s.
15. Gromyko Yu. V. Metapredmet "Znak". Skhematizatsiya i postroenie znakov. Poni-manie simvolov: ucheb. posobie dlya uchash-chihsya st. klassov. M.: Pushkinskiy in-t, 2001. - 288 s.
16. Gubanova T. M. Opyty mysledeyatelnostnoy pedagogiki. M.: Institut uchebnika Paydeyya, 1998. - 296 s.
ШКОЛА НА ПУТЯХ ОБНОВЛЕНИЯ
17. Gubanova T. M., Gubanov A. Yu., Nechiporen-ko A. V. Obrazovatelnyy proekt „Vertikal". Book 1. Departament obrazovaniya adminis-tratsii Megion-city, 2007. 350 p. Book 2. Departament obrazovaniya administratsii Megion-city, 2008.344 p.
18. Ustilovskaya A. A. Metapremet "Zadacha". Moscow, 2011. 272 p.
19. Hutorskoy A. V. Metapredmet „Chisla": Eksper-imentalnyy integrirovannyy kurs. Chernogolov-ka, 1994. 68 s.
20. Hutorskoy A. V. Metapredmetnoe soderzhanie i rezultaty obrazovaniya: kak realizovat federal-nye gosudarstvennye obrazovatelnye standarty (FGOS). Internet-zhurnal „Eidos", 2012, No. 1. Available at: http://www.eidos.ru/jour-nal/2012/0229-10.htm (accessed: 30.09.2015).
Боровских Алексей Владиславович, доктор физико-математических наук, профессор кафедры образовательных технологий факультета педагогического образования Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова e-mail: bor.bor@mail.ru
Borovskikh Alexey V., ScD in Physics and Mathematics, Professor, Educational Technology Department, Teacher Education Faculty, Lomonosov Moscow State University e-mail: bor.bor@mail.ru
Веревкина Виктория Евгеньевна, учитель математики МБОУ СОШ №3 г. Красногорска Московской обл.; аспирант Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова e-mail: verevkina_v.e@mail.ru
Verevkina Victoria E., Math teacher, Secondary School No. 3, Krasnogorsk, Moscow Region; Post-graduate student, Lomonosov Moscow State University e-mail: verevkina_v.e@mail.ru
