CC BY
14
#
МОДЕРНИЗАЦИЯ МЕТОДОВ ОТКРЫТОГО ПЕРСОНАЛИЗИРОВАННОГО ОБУЧЕНИЯ АЛГЕБРЕ В ФАЗЕ АДАПТАЦИИ
MODERNIZING METHODS OF OPEN INDIVIDUALIZED ALGEBRA TEACHING IN THE ADAPTATION PHASE
А. Г. Солонина, Н. П. Филичева
Осуществлена модернизация методов обучения. Предложена совокупность методов обучения алгебре в открытой школе, способствующая адаптации и развитию личности обучающегося, повышению эффективности и научности обучения алгебре.
A. G. Solonina, N. P. Filicheva
The authors have fulfilled modernization of the instruction methods. They propose a set ofalgebra teaching methods in the open school, which facilitates students' adaptation and individuality devel-opment, increase the effectiveness and scientific nature of algebra instruction.
Ключевые слова: открытое персонализированное обучение, метод представления сущности, когнитивные схемы, адаптирующий исследовательский метод.
Keywords: open individualized training, method of representing the essence, cognitive schemes, adapting research method.
В связи с увеличением числа детей, покинувших общеобразовательную школу, не закончив ее, возросла значимость обучения в открытой (сменной) общеобразовательной школе. С одной стороны, имеет место недостаточно высокий уровень развития детей. С другой стороны, - «главная задача современной школы - это раскрытие способностей каждого ученика, воспитание личности, готовой к жизни в высокотехнологичном конкурентном мире» (из Послания Президента Д. А. Медведева Федеральному Собранию Российской Федерации). Отметим также следующие противоречия: между многообразием индивидуально-личностных особенностей учащихся и ограниченными возможностями используемых методик обучения математике в открытой школе; между низкими учебными достижениями обучающихся и высокими учебными требованиями, предъявляемыми образовательным стандартом; между мало пригодными педагогическими технологиями и методиками, эмпирически и теоретически наработанными для взрослых, и возможностями разновозрастного, резко помолодевшего современного контингента учащихся открытой школы.
Эти противоречия порождают проблему модернизации обучения в открытой школе, способствующей взаимно обогащающему личностному развитию всех участников образовательного процесса.
Целью данного исследования является модернизация методов обучения алгебре в открытой школе, создающая условия для повышения эффективности обучения и адаптации обучающихся к специфическим особенностям алгебры.
Теоретической основой нашего исследования является концепция персонализированного обучения [1]. В
соответствии с этой концепцией и закономерностями развития личности процесс персонализированного обучения рассматривается как последовательность трех фаз: адаптации, лабилизации, интеграции. В данной статье ограничимся модернизацией методов обучения алгебре в фазе адаптации.
Введем следующее определение. Открытым персонализированным обучением математике назовем такое обучение, в котором:
• обучение осуществляется в открытой (сменной) общеобразовательной школе;
• обучение открыто для инноваций;
• созданы условия для взаимно обогащающего личностного развития участников образовательного процесса, причем существенным средством развития служат успехи в освоении математики;
• процесс обучения компьютеризирован и открыт для всех учащихся, учителей, родителей и других заинтересованных лиц.
Основной целью учителя в фазе адаптации открытого персонализированного обучения является создание условий для развития представлений учащихся о математике как учебном предмете и алгебре как учебной дисциплине. Цель учащегося состоит в понимании специфических особенностей математики и алгебры.
Как известно, методы обучения - система последовательных взаимосвязанных действий учителя и учащихся, обеспечивающих усвоение содержания образования [2]. Однако усвоение содержания школьного алгебраического образования может быть недостаточно эффективно. Практика обучения математике студентов первого курса университета показала, что многие сущностные аспекты математики, алгебры и содержательно-методических ли-
81
ний школьного математического образования оказываются не понятыми. Студенты не могут дать определений основных понятий школьного курса математики, считают, что можно доказывать все теоремы лишь иллюстрацией на примерах.
В фазе адаптации открытого персонализированного обучения мы предлагаем следующие основные методы обучения:
• метод представления сущности (математики, алгебры, содержательно-методических линий);
• метод когнитивных схем;
• адаптирующий исследовательский метод.
Рассмотрим метод представления сущности (математики, алгебры, содержательно-методических линий). Учитель математики должен иметь четкое понимание сущности указанного учебного предмета, учебной дисциплины и соответствующих содержательно-методических линий.
Математика как система есть совокупность взаимосвязанных сущностных элементов: неопределяемых понятий, определяемых понятий и их определений, теорем, аксиом, проблем, задач, алгоритмов. Математика имеет определенный язык, методы и логику.
Пониманию сущности алгебры поможет схема (рис.1), на которой изображено развитие алгебры как науки. Период развития алгебры до XVII в. называют «предысторией» алгебры [3]. С позиции современной алгебры сущностными являются алгебраические операции, которые в содержании школьной математики называют действиями (сложение, вычитание, умножение и деление).
В содержании школьного алгебраического образования выделяют следующие содержательно-методические линии: линия чисел, линия уравнений, линия неравенств, функционально-графическая линия и др.
Сущностными идеями линии чисел является идея расширения понятия числа и, в соответствии с современной алгеброй, определяемые на множествах чисел операции (действия). Отметим также, что имеются различные модели числовых множеств.
Сущностные понятия линии уравнений: понятие корня уравнения, понятие равносильности уравнений. Сущностная идея - зависимость наличия корней уравнения от множества, в котором ищутся корни.
Сущностные аспекты линии неравенств состоят в следующем: линейность отношения порядка на множестве действительных чисел; связь отношения порядка с операциями сложения, вычитания; сходства и отличия свойств числовых неравенств со свойствами равенств; равносильность неравенств, содержащих переменные, и др.
К сущностным аспектам функционально-графической линии относятся: понятие независимой переменной, зависимой переменной, зависимости; соотношение между функцией и ее графиком и др.
Метод представления сущности заключается в следующем:
1) форма представления конкретного материала содержания школьного алгебраического образования должна соответствовать сущности математики, алгебры, содержательно-методической линии;
82
2) конкретный материал параграфа должен иметь сущностное введение, в котором указано, какие в этом параграфе рассматриваются понятия, даются ли определения этих понятий, сколько указано теорем, даются ли их доказательства, или они только иллюстрируются на примерах и т. д.;
3) выделены сущностные идеи и понятия соответствующей содержательно-методической линии.
Для примера реализации метода представления сущности рассмотрим материал школьного учебника «Рациональные числа» [4, § 4, п. 9]. В тексте должны быть слова «Определение, теорема, иллюстрация теоремы на примерах». Предлагаем следующее сущностное введение: «Дано определение понятия рационального числа, две теоремы о представлении рационального числа в виде десятичной дроби; доказательство теорем не приводится, дана только их иллюстрация на примерах». Наличие сущностного введения делает материал конкретного параграфа открытым, прозрачным для учащихся, создает благоприятные условия для эффективного усвоения соответствующего фрагмента содержания алгебраического образования. В данном пункте параграфа предложена сущностная идея расширения понятия числа. В соответствии с методом представления сущности в этом параграфе должны быть указаны операции (сложение, вычитание, умножение, деление), но их в параграфе нет.
Рассмотрим следующий метод обучения - метод когнитивных схем. С 1950-х гг. начала активно развиваться когнитивная психология, сначала в США, затем в других странах, включая Россию. Инициатива введения в психологию понятия «схемы» и «схематизм» в связи с получением новых знаний принадлежит Ф. Ч. Бартлетту (1932 г.). По его предположению, схема представляет собой архив родового знания в долговременной памяти. Американский психолог Ульрик Найссер ввел понятие когнитивной схемы как системы интеллектуальных операций, связанных с выполнением деятельности, и предложил различать эти схемы по степени обобщенности. Когнитивная схема позволяет ассимилировать информацию, отделяя известное от неизвестного. Она является амодальной и обобщенной и поэтому позволяет обрабатывать и ассимилировать информацию, имеющую различную модальность. Когнитивный цикл включает процессы антиципации (предвосхищения) поступающей извне информации, ее вычленения из потока, организации с помощью когнитивной («направляющей») схемы и двигательной поисковой активности, которая способствует получению новой информации [5]. «Понятие схемы и родственные ему понятия рамок, сценариев, планов уходят корнями в когнитивную науку, - писал Д. Рамельхарт. Понятие схем может служить базой для теории оперирования информацией, осуществляемой человеком. Теория схем - это теория знаний, их репрезентаций и использования. Согласно теории схем, все знания упакованы в определенные структуры (элементы), они-то и называются схемами» [6]. М. А. Холодная определяет когнитивную схему как обобщенную и стереотипизирован-
#
С XIX в.
СХУШв.
С XVII в.
ную форму хранения прошлого опыта относительно строго определенной предметной области (прототип, фрейм, сценарий, когнитивная карта и т. д.). Когнитивная схема - одно из основных понятий когнитивных теорий, которое обозначает особым образом организованную систему прошлого опыта, обретенного в процессе познания, с помощью которой объясняется переживание опыта настоящего времени [7]. Применение когнитивных схем представления учебного материала способствует повышению эффективности учебного процесса. Психологи утверждают, что комплексная подача учебной информации в образном, словесном, графическом, знаковом, символическом виде способствует наилучшему ее пониманию и прочности усвоения [8].
Учитель совместно с учащимися разрабатывает когнитивные схемы для различных конкретных фрагментов содержания алгебраического образования. Примером когнитивной схемы является упомянутая выше схема (рис. 1). Ниже приведен пример когнитивной схемы на тему «Квадратные уравнения» (рис. 2).
Рассмотрим адаптирующий исследовательский метод. Использование этого метода направлено на развитие исследовательских умений учащихся, которые позволяют им адаптироваться к специфическим особенностям алгебры. Для достижения этой цели необходимо в фазе адаптации открытого персонализированного обучения организовать систематическую совместную, но распределенную учебно-исследовательскую деятельность учащихся. Учитель разрабатывает единые задания для совместной исследовательской деятельности, каждый учащийся самостоятельно их выполняет. Затем синтезируется единый вариант исследования, в который включены лучшие достижения учащихся. Задания для учебно-исследовательской деятельности должны удовлетворять следующим условиям:
• знакомить учащихся со специфическими особенностями алгебры;
• ликвидировать пробелы в изложении сущностных идей, понятий алгебры в учебнике;
• быть посильными для учащихся;
• предоставлять возможность самостоятельной постановки исследовательских задач;
С XX в.
В конце XIX - начале XX вв. алгебра вступает в современный этап развития, характеризующийся объединением ранее разрозненных алгебраических идей на общей аксиоматической основе и существенным расширением области приложений алгебры. Современная точка зрения на алгебру - теория алгебраических операций. Предметом изучения современной алгебры являются множества с заданными на них операциями. При этом абстрагируются от природы элементов множеств. Исследуются группы, кольца, поля и др. Рассматриваются алгебраические системы.
В середине XIX в. центр тяжести в алгебраических исследованиях постепенно перемещается с теории уравнений на изучение произвольных алгебраических операций. Явное выделение абстрактного понятия алгебраической операции было сделано в связи с исследованием природы комплексных чисел. Алгебраические операции выполняются над матрицами, векторами, подстановками и другими нечисловыми объектами.
В ХУП-ХУШ вв. под алгеброй понималась наука о тождественных преобразованиях буквенных формул, о решении алгебраических уравнений и т. п. Однако буквы в этот период обозначают только числа. В книге Л. Эйлера «Введение в алгебру» указаны целые числа, обыкновенные и десятичные дроби, корни, логарифмы, алгебраические уравнения 1-4-й степеней, прогрессии. Таким образом, алгебра сложилась приблизительно в том объеме, который теперь принято называть «элементарной» алгеброй. Главное внимание обращается на исследование корней многочленов, на решение алгебраических уравнений в квадратных радикалах.
К середине XVII в. сложилась современная алгебраическая символика и тем самым завершилась «предыстория». Формируется язык алгебры. Развитие собственно алгебры происходило в три последующих столетия, причем точка зрения на ее предмет несколько раз существенно менялась.
Рис. 1. Развитие предмета алгебры как науки
• предусматривать возможность критического анализа конкретного материала с выявлением недостатков и предложениями их устранения;
• предусматривать возможность использования средств компьютерной математики.
Приведем примеры исследовательских заданий.
Исследовательская работа № 1
1. Дайте определение положительного рационального числа.
2. Сформулируйте теоремы об умножении (произведении) и делении (частном) положительных рациональных чисел.
3. Докажите эти теоремы или проиллюстрируйте на примерах.
4. Запишите в виде одного предложения введение к исследовательской работе.
5. Оформите работу в письменном или электронном виде.
Это задание соответствует специфическим особенностям алгебры - изучению алгебраических операций. Отметим, что множество положительных рациональных чи-
83
квадратные уравнения
ах2 + Ьх+с = 0, а Ф О
полное квадратное уравнение ах2 + Ьх + с = О, Ь Ф 0 и с Ф О
неполное квадратное уравнение
ах2+ Ьх+с= О, Ъ - 0 или с- О
приведенное неприведенное
квадратное квадратное
уравнение уравнение
х2 + рх + д = 0 ах2 + Ьх + с - 0,
\а\ > 1
-а =
и о
3 -
а
л
§
я
о о
Ь чл Ь2 -4ас (х + —у -2 а
4а
2 4
и г - Р
2 V я 4 4
0 = Ь2 -4ас Если 0>0, то
-ь+4р
2а '
-ъ-4Б
х2 --
2 а
Если О=0, то
Если 1X0, то уравнение не имеет действительных корней
если а
то
уравнение не имеет действительных корней
Рис. 2. Когнитивная схема на тему «Квадратные уравнения»
если
с
-<0,
а
то
С
л", = __
\ а
1 с
х2 — - 'Л--
V а
84
$
сел образуют группу относительно операции умножения. В дальнейшем они могут быть изучены на профильном уровне. Эта работа ликвидирует пробелы изложения материала параграфа «Рациональные числа». Работа является посильной для учащихся и может быть выполнена на различных уровнях (одни учащиеся доказывают, другие -иллюстрируют на примерах).
Исследовательская работа № 2
1. Верно ли утверждение: если в несократимой дроби т/п знаменатель п = 2г • 51, где г и 5 - натуральные числа, то т/п обращается в конечную десятичную дробь.
2. Можно ли обобщить это утверждение на случай, когда г и 5 - целые неотрицательные числа?
3. Если верно, то докажите эти утверждения (или проиллюстрируйте на примерах).
Отметим, что если критически проанализировать материал указанного выше пункта параграфа «Рациональные числа», то можно выявить следующий недостаток: не указаны специфические особенности рациональных чисел, которые могут быть представлены в виде конечной десятичной дроби.
Исследовательская работа № 3
1. Критически проанализируйте изложение в учебнике вопроса о решении квадратных уравнений, обратив особое внимание на равносильность уравнений.
2. Какие можно внести предложения об улучшении изложения вопроса о равносильности квадратных уравнений?
3. Реализуйте эти предложения.
Исследовательская работа № 4
1. Как можно задать рациональные числа в калькуляторе, компьютере?
2. Каков алгоритм выполнения действий с рациональными числами (сложение, вычитание, умножение, деления) на калькуляторе, компьютере?
3. Составьте систему задач на тему «Рациональные числа» для решения на калькуляторе, в компьютере.
Отметим, что современные учащиеся проявляют большой интерес к информационным технологиям, автоматизации расчетов на компьютерах, поэтому данная исследовательская работа направлена на раз-
витие внутренней мотивации учащихся в процессе обучения алгебре.
Предложенная модернизация методов обучения в открытой школе позволит учащимся более эффективно и глубоко, на современном уровне, усваивать содержание алгебраического образования в фазе адаптации. При этом создаются благоприятные условия для взаимно обогащающего личностного развития всех участников образовательного процесса благодаря совместной учебно-исследовательской деятельности, способствующей раскрытию сущности математики, алгебры, содержательно-методических линий.
СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ
1. Солонина А. Г. Концепция персонализированного обучения. - М.: Прометей, 1997.
2. Педагогический энциклопедический словарь / Гл. ред. Б. М. Бим-Бад. - М.: Большая Российская Энциклопедия, 2003.
3. Математическая энциклопедия / Гл. ред. И. М. Виноградов. - М.: Советская Энциклопедия, 1984. - Т. 4.
4. Макарычев Ю. Н, Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. Алгебра: Учеб. для 8 кл. общеоб-разоват. учреждений. - М.: Просвещение, 1997.
5. Когнитивная психология: Учеб. для вузов / Под ред. В. Н. Дружинина, Д. В. Ушакова — М.: ПЕР СЭ, 2002.
6. D. E. Rumelhart. Schemata: the Building Blocks of Cognition. In: Rand J. Spiro, B. C. Bruce, W. F. Brewer (Eds.), Theoretical Issues in Reading Comprehension. Perspectives from Cognitive Psychology, Linguistics, Artificial Intelligence, and Education. Hillsdale, N. J.: Lawrence Erlbaum Associates Publishers, 1980.
7. Социологический словарь. - [Электрон. ресурс]. - Режим доступа: http:mirslovarei.com/content_ soc/K0GNITIVNAJA-SXEMA-10289.html.
8. Гурова Л. Л. Процессы понимания в развитии мышления // Вопросы философии, 1986. - № 2.
ОБУЧЕНИЕ УЧАЩИХСЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ ТЕОРЕМ В КОНТЕКСТЕ ДЕЯТЕЛЬНОСТНОЙ КОНЦЕПЦИИ УДЕ
TEACHING STUDENTS TO PROVE THEOREMS IN THE CONTEXT OF THE ACTIVITY THEORY OF DUE
И. В. Ульянова
В статье раскрываются особенности методики обучения учащихся доказательству планиметрических теорем с использованием блоков укрупнен-
I. V. Ulyanova
The article describes the peculiarities of the methods of teaching students to prove plane geometry theorems using blocks of enlarged problems. It is argued that
85
