ИЗУЧЕНИЕ ПРОЦЕССОВ ВЫРАВНИВАНИЯ НА ЗАНЯТИЯХ КУРСА ПО ВЫБОРУ "ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ" В 10 КЛАССЕ ЕСТЕСТВЕННО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОФИЛЯ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 378

А.В. Иванов

ИЗУЧЕНИЕ ПРОЦЕССОВ ВЫРАВНИВАНИЯ НА ЗАНЯТИЯХ КУРСА ПО ВЫБОРУ «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» В 10 КЛАССЕ ЕСТЕСТВЕННО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОФИЛЯ

В статье изложены элементы методики формирования понятия процессов выравнивания на занятиях курса по выбору «Дифференциальные уравнения» с обучающимися 10 класса естественно-математического профиля. Разобраны примеры решения задач, приведены методические комментарии.

Ключевые слова: методика обучения математике, курс по выбору, дифференциальные уравнения, процессы выравнивания.

Основная задача обучения математике в школе - обеспечить прочное и сознательное овладение обучающимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности каждому члену общества, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования. Сформированность представлений о математических понятиях как о важнейших математических моделях, позволяющих описывать и изучать разные процессы и явления, и сформиро-ванность умений моделировать реальные ситуации, исследовать построенные модели, интерпретировать полученный результат являются требованиями к предметным результатам курса математики в соответствии с федеральным государственным стандартом нового поколения [7].

Математическое моделирование формируется в школе посредством решения обучающимися задач прикладной направленности. Многие важные задачи прикладной направленности сводятся к решению дифференциальных уравнений, на которые уделено до5 часов в школьной программе по алгебре и началам анализа в 11 классе [3, 4, 5]. Необходимость в более глубокой работе по формированию умений математического моделирования в старшей профильной школеможет быть удовлетворена на основе курса по выбору «Дифференциальные уравнения». Особенно этот курс востребован в классах естественно -математического профиля, где обучающиеся ориентированы на освоение областей знания, в которых дифференциальные уравнения используются для математического моделирования реальных процессов и решения прикладных задач. Рассмотрим методические особенности работы в рамках курса по выбору на примере темы «Процессы выравнивания».

В процессах теплопроводности, экономике (в «модели равновесия») и диффузии скорость изменения величины пропорциональна разности между значением искомой величины и некоторым постоянным значением. Такие процессы называются процессами выравнивания и описываются дифференциальным уравнением первого порядка.

Для изучения математической модели процессов выравнивания вначале организуется обсуждение следующей задачи.

Задача 1. Скорость остывания нагретого тела в каждый момент времени пропорциональна разности между температурой Т1 окружающей среды и его температурой Т в этот момент времени. Выведем закон остывания тела с течением времени.

Решение. Скорость остывания - это производная температуры Г по времени t:

r = ä_r

dt

По условию скорость остывания пропорциональна разности температур Т — 7\:

dT

(знак «минус» взят для того, чтобы показать, что температура тела падает).

Данное уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Решим его.

dT 7 -= —kdt,

т-т1

(—=(—kdt,

© Иванов А.В., 2018.

Научный руководитель: Мугаллимова Светлана Ринатовна - кандидат педагогических наук, доцент кафедры высшей математики и информатики, Сургутский государственный педагогический университет, Россия.

ISSN 2223-4047

Вестник магистратуры. 2018. № 5-4(80)

1п(Т - Тг) = -кЬ + С1,

Т -Т1 = Се-Ы.

Полагая, что в начальный момент времени Ь0 = Отемпература телаТ (0) = Т0, получим:

С = Т0- Ть Т = Т1 + (Т0- Т±)е-Ы.

Полученное уравнение и выражает зависимость температуры Тот времени £\

Выработанная модель и соответствующее ей решение представляют собой теоретический результат, который далее закрепляется при решении следующих задач.

Задача 2 [2]. Для варки кофе Пете и Вове нужна вода температурой 80° С. Они знают, что после закипания, чайник остывает со скоростью, пропорциональной разности температур чайникаТ и кухни Т1 = 20°С и чтокоэффициент пропорциональности для их чайника равен к = -П3 (подумайте, как они могли найти коэффициентк). Сколько минут £ надо подождать Пете и Вове после закипания чайника, чтобы начать варить кофе?

Решение.Подставим исходные данные задачи в уравнение, полученное ранее:

Т = Т1 + (Т0- Тг)е-Ы.

Получим:

1пз

Т = 20 + 80е-~2о *.

Необходимо найти значение £ при Т = 80. Подставив данные величины, получим:

80 = 20 + 80е~\

3

е 20 = -

4

3

20

Ответ: через 8 минут.

Задача 3. Подождав £минут после закипания чайника, Петя и Вова заварили по кофе. Петя добавил в кофе сливок, накрыл чашку бумажной салфеткой и отошёл позвонить по телефону. Владимир сразу же накрыл чашку бумажной салфеткой, а добавил то же количество сливок только через 10 мин, когда вернулся Петя, и они начали пить кофе вместе. Кто же пил более горячий кофе?

Решение. Вначале найдём температуру кофе Вовы. Для этого используем результат прошлых задач.

Из курса физики известно, что коэффициент к = у,где I = 2 • 10-3м- толщина стенки чашки, 5 = 11 • 10-3м2- площадь боковой поверхности стенок чашки, а ц ~ 0,6 Вт/ (м • К)- теплопроводность материала чашки.Температура комнаты в Кельвинах 293 К.

Количество теплоты, выделившееся при остывании кофе, определяется уравнением

(( = 3,3(Т - 293)йг.

С другой стороны, количество теплоты, отданное кофе, находим из равенства

((( = -ст(Т,

где с « 4,1 • 103Дж/(кг • К)- удельная теплоёмкость кофе, т = 8 • 10-2кг- масса кофе.

Рассматривая последние два уравнения вместе, приходим к уравнению:

(Т

-(Т— = -0,01(( Ь.

Т-293

Решим его:

Т = 293 + 60е-0'01, Т = 293 + 60е-0Л « 374.

Температура кофе Владимира, спустя 10 минут, стала 74° С(до добавления сливок). Для того чтобы найти температуру кофе со сливками, воспользуемся уравнением теплового баланса

ст(Т - Тв) = С1т1(Тв - Тс),

где ТВ- температура кофе со сливками Владимира, Т = 347 К- температуракофе, ТС = 293 К-

температура сливок, с1 « 3,9 • Ю3^^- удельная теплоёмкость сливок, т1 = 2 • 10-2кг- масса сливок, добавленная в кофе.

Тв = 336 К.

Кофе со сливками Владимира принял температуру 63°С.Для нахождения температуры кофе Пети надо, во-первых, воспользоваться уравнением теплового баланса, а потом с получившейся температурой кофе со сливками, воспользоваться уравнением остывания тела, учитывая, что коэффициент в уравнении отдачи тепла изменится с с тна ст + с 1т1.

ст(Т0 - Т2) = С1т1(Т2 - Тс),

где Т2- температура кофе со сливками Пети до телефонного звонка. Имеем: Т2 = 341 К, ТВ =

336 К.

Получаем, что Петя пил более горячий кофе, чем Вова.

Задача 4 [6]. При обходе заповедника два егеря обнаружили тушу убитого дикого кабана. Её осмотр показал, что выстрел браконьера был точным и кабан убит наповал. Рассудив далее, что браконьер должен вернуться за добычей, егеря решили дождаться его, укрывшись недалеко от того места, где лежала туша. Вскоре показались два человека, прямо направлявшиеся к убитому животному. Задержанные неизвестные всячески отрицали свою причастность к браконьерству. Однако у егерей уже были косвенные улики их виновности, но для её полного доказательства следовало ещё уточнить время, когда был убит кабан. Как определить время убийства кабана, если известно, что в момент задержания неизвестных температура туши кабана Гбыла равна 31°С, а спустя чассоставляла 29°С, в момент выстрела температура кабана была 37°С, а температура воздуха 21°С?

Решение. Пользуясь результатами решения задач 2 и 3, получаем уравнение

Ы-2-21 = -кг,

Т0-21

гдеТ0 - температура при г = О.Тогда, при Т0 = 31, г = 1,Т = 29 получим:

31 —21

к = Ы3-21 = \п1,25 = 0,22314.

При Т = 37находим время:

г =---in3-21 = -2,Ю630.

Иначе говоря, прошло около 2 часов и 6 минут с момента убийства кабана до момента задержания предполагаемых браконьеров.

Задачи 1 - 4 образуют комплекс, в котором переход от одной задачи к другой, следующей, обуславливается «приращением» проблемы за счет ввода новых связей и отношений. При этом все задачи сконцентрированы вокруг одной модели - модели процессов выравнивания.

Практика показывает, что работа с изложенным выше материалом позволяет решить ряд педагогических задач. Построение математической модели задачи и ее внутримодельное решение повышают уровень математической подготовки обучающихся. Практическая направленность задачтребует от обучающихся глубоких знаний в области математики и физики, позволяет на высоком уровне реализовать межпредметные связи. Таким образом, разработанный нами курс, имея профильную ориентацию, обеспечивает реализацию требований образовательного стандарта, и, кроме того, повышает мотивацию обучающихся, способствует их профессиональной ориентации.

Библиографический список

1. Абрамов, А.М. Избранные вопросы математики: 10 кл. Факультативный курс [Текст] / А. М. Абрамов, Н. Я. Виленкин, Г. В. Дорофеев и др. - М.: Просвещение, 1980. - 191 с.

2. Амелькин, В. В. Дифференциальные уравнения в приложениях[Текст] / В. В. Амелькин. - М.: Наука. Глав. ред. физ.-мат. лит., 1987. - 160 с.

3. Виленкин, Н.Я. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень. 11 класс. Учебник для учащихся общеобразоват. организаций (углубленный уровень) / Н.Я. Виленкин, О. С. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд. - 18-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2014. - 312 с.

4. Колмогоров, А.Н. Алгебра и начала математического анализа: учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; под ред. А. Н. Колмогорова. 17-е изд. - М.: Просвещение, 2008. - 384 с.

5. Колягин, Ю.М. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; под ред. А. Б. Жижченко. - 2-е изд. - М.: Просвещение, 2010. - 336 с.

6. Пономарев, К.К. Составление дифференциальных уравнений / К. К. Пономарев. - Мн.: Вышейшая школа, 1973. - 560 с.

7. Федеральный государственный образовательный стандарт среднего (полного) общего образования [Текст]: [утвержден приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от «17» мая 2012 г. № 413]: офиц. текст. - М., 2012. - 46 с.

ИВАНОВ АЛЕКСАНДР ВЛАДИМИРОВИЧ - магистрант, бюджетное учреждение высшего образования, Сургутский государственный педагогический университет, Россия.