CC BY
59
УДК 372.851
ИВАНОВ Игорь Анатольевич, кандидат педагогических наук, доцент кафедры общей математики, декан социально-педагогического факультета Сочинского государственного университета туризма и курортного дела. Автор 53 научных публикаций
ПОСТРОЕНИЕ СОДЕРЖАНИЯ КУРСА АЛГЕБРЫ И НАЧАЛ АНАЛИЗА В КЛАССАХ ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНОГО ПРОФИЛЯ В КОНЦЕПЦИИ ЛИЧНОСТНО ОРИЕНТИРОВАННОГО ОБУЧЕНИЯ
В статье рассматривается содержание курса алгебры и начал анализа для естественнонаучных профильных классов. Содержание образования проектируется с учетом применения в учебном процессе рациональной логики, использование которой в обучении математике позволяет сформировать прикладные умения и навыки, которые вместе с соответствующими знаниями, составляют основу профессиональной компетентности будущего специалиста.
Прикладная математика, профильное обучение математике, рациональная логика, профессиональная компетентность
Содержание образования - динамичный элемент системы образования, отражающий наличный уровень научно-технического развития общества на конкретном этапе его исторического развития. Для курсов математики в профильных классах оно должно включать инвариантное ядро общего курса математики (ведущие понятия и основные методы математики, а также различные направления приложений математического аппарата) и вариативную оболочку (с целесообразностью усиления соответствующих профилю аспектов содержания). Такое содержание должно содействовать логическому завершению курса математики (появлению у учеников представления о целостности курса математики) и формированию логических и методологических знаний, актуальных для будущей профессиональной деятельности учащихся.
Инновационные процессы в сфере образования выводят проблематику содержания и методов обучения на качественно иной уровень. Перемещение акцента с предметно центрированного на личностно ориентированное обучение влечет перестройку содержания, средств и методов обучения. Одним из наиболее актуальных вопросов обучения математике в старшей школе является отбор такого содержания и методов обучения, которые в рамках личностно ориентированного обучения будут не только способствовать развитию наиболее важных черт личности ученика (социальной значимости, активности, зрелости и т.д.) средствами предмета, но и приведут к иному качеству усвоения отобранного содержания, что в целом будет содействовать формированию ключевых компетенций.
Кроме того, современный уровень развития правовой и этической культуры общества дает возможность ученику ставить вопрос об ответственности системы образования перед ним, его будущим, и диктует необходимость тщательного отбора содержания образования для того, чтобы ученик не был перегружен изучением содержания, которое в дальнейшем ему не потребуется. Потенциал математического образования в интеллектуальном воспитании личности общеизвестен, но в современных условиях уже не представляется возможным сначала заниматься интеллектуальным развитием личности, а потом снабжать ученика знаниями, необходимыми в дальнейшей его конкурентоспособной производственной или институциональной деятельности. Наибольшим спросом на рынке образовательных услуг в условиях прагматического подхода к образованию как со стороны ученика и его родителей, так и со стороны общества будут пользоваться те образовательные учреждения, в которых интеллектуальное воспитание ученика и его подготовка к будущей профессиональной деятельности будут осуществляться на содержании, характерном именно для избранного учеником профиля.
Существенным моментом, определяющим содержание образования в будущем, в силу ускорения темпов научно-технического прогресса и, как следствие, необходимости усвоения и переработки школьником огромного потока информации, по-видимому, станет смещение акцентов при его проектировании с глубины на широту получаемых школьником математических знаний. Действительно, в настоящее время уже существуют информационные технологии, позволяющие использовать универсальные системы символьной математики, которые не требуют программирования и позволяют выполнять символьные вычисления, существенно расширяя возможности компьютерной алгебры. В качестве примера можно привести широко используемую в инженерных и экономических расчетах среду математических вычислений -МаЛсас1 и аналогичные ей. В этом программном продукте такие операции, как упрощение алгебраических выражений, дифференцирова-
ние и интегрирование функций, построение графиков функций, элементы линейной алгебры выводятся на уровень «калькулятора», т.е. человек, не владеющий процедурой вычислений или владеющий ею слабо, но знающий определения основных используемых в его предметной области математических понятий и понимающий соответствующую постановку задачи, в состоянии решать весьма сложные математические задачи, например задачу решения систем линейных уравнений высокого порядка при исследовании модели многоотраслевой экономики В.В. Леонтьева, или предметно обсуждать вопросы бездефицитной международной торговли в рамках соответствующей линейной модели.
История математики1 и математического образования2 свидетельствует о том, что, по существу, не важно, какое именно математическое содержание используется в процессе обучения - в любом случае имеет место интеллектуальное развитие и воспитание личности, поэтому современное математическое образование может основываться на содержании, актуальном для современного уровня развития науки и техники. Кроме этого, ученику необходимо владеть математическим аппаратом, достаточным для разрешения элементарных вопросов хотя бы в области экономики. Таким образом, существует содержательная основа процесса обучения, которая в новых условиях начинает влиять на структуру и содержание школьного математического образования - это субъект процесса обучения - ученик вместе с его объективно существующим субъектным опытом.
Кроме указанного выше, можно отметить, что педагогическая практика последних 10-15 лет достаточно убедительно показала, что в системе школьного образования должны существовать условия, позволяющие ученикам начиная с позднего подросткового возраста - примерно с 15 лет, реализовывать свои интересы, склонности и дальнейшие планы на будущее. Социологические исследования3 показали, что большинство учеников старших классов (порядка 70%) предпочитают знать основы главных
предметов, а углубленно изучать те, по которым планируют специализироваться, т.е. про-филизация обучения в старшей школе соответствует структуре образовательных и жизненных установок большинства старшеклассников. Это обстоятельство на первый взгляд представляется небесспорным - ученик «навязывает» содержание образования. Однако понимание этого факта в научно-методических кругах на уровне образовательной идеи уже существует, и из подобным образом сформулированной проблемы можно извлечь выводы для позитивного формирования содержания математического образования в концепции личност-но ориентированного обучения.
Нельзя не отметить, что школа будущего будет характеризоваться не только новыми организационными формами и содержанием образования, но и прежде всего высоким уровнем развития средств коммуникации на базе современных информационных технологий, которые уже оказывают влияние на все стороны и аспекты функционирования системы образования. Стремительность прогресса в развитии информационных технологий не позволяет даже на ближайшую перспективу осуществить адекватную антиципацию в этой сфере относительно характера и принципов функционирования таких основных составляющих информатики, как элементная база и программное обеспечение {hardware, software), а также их воздействия на общество и систему образования4.
Стандарт среднего (полного) общего образования по математике (профильный уровень) не в полной мере отражает рассмотренные выше тенденции в развитии современного общества. Содержание математического образования, в частности, перегружено сведениями чисто теоретического характера и, по-прежнему, не включаются в рассмотрение важнейшие разделы прикладной математики, например построение и изучение линейных математических моделей и вопросы линейной алгебры как одного из средств их изучения. Недостаточно внимания уделяется вопросам дискретной математики, методам вычислений.
Основу отбора содержания общего математического образования в настоящее время составляют следующие принципы:
- реализации поставленных целей на небольшом по объему информационно емком и практически значимом материале, доступном для учащихся школьного возраста;
- преемственности, заключающийся в том, что традиционное содержание обучения математике, сложившееся в течение длительного периода, отражает тот объем математических знаний, который является фундаментом математической науки и сочетается с современными тенденциями развития отечественной и зарубежной школы.
Содержание математического образования представляется в виде нескольких крупных блоков: арифметика, алгебра, функции, анализ данных, геометрия.
Это содержание реализуется в содержательно-методических линиях, отражающих развитие общих методологических понятий и идей: математические методы и приемы рассуждений, математический язык, математика и внешний мир, история математики5.
Усиление внимания к общеобразовательной функции математики, вариативность программ и учебников, многообразие подходов к проектированию структуры курсов существенно изменяют значение межпредметных связей в курсе математики. Предполагается, что математика должна стать не источником, а потребителем знаний, полученных на уроках естествознания, и опытное познание закономерностей реального мира может стать базой для создания математического аппарата и его применений6.
Немаловажный аспект межпредметных связей возникает в связи с включением в содержание обучения математике комбинаторики, элементов теории вероятностей и математической статистики. Это не только создает новые возможности для построения статистических теорий в физике и изучения генетики в биологии, но, что представляется еще более важным, ставит проблему реализации взаимосвязей между математикой и предметами гуманитарного цикла.
Анализ содержания образования, представленного в современных учебниках по математике в старшей школе и составляющего обязательный минимум содержания основных образовательных программ (профильный уровень) в контексте концепции профильного обучения7 на старшей ступени общего образования, позволяет сделать следующие выводы.
1. Сложилось достаточно устойчивое содержание образования в старшей школе. Его можно уже условно назвать каноническим (тригонометрия, показательная и логарифмические функции и уравнения и неравенства, степени и корни, производная и интеграл и их применение, системы уравнений).
2. Содержание образования старшей школы практически не изменилось за последние как минимум 15 лет - все авторы рассматривают одни и те же разделы, изменяя только последовательность их изучения. Весьма мало учебников, в которых представлено содержание образования, значительно отличающееся от канонического (например, учебник Г.В. Дорофеева8).
3. Практически во всех учебниках самым большим по объему является раздел, посвященный тригонометрии (тригонометрические функции, формулы, уравнения, отчасти тригонометрические неравенства).
4. Все больший объем в учебниках9 занимает раздел, посвященный изучению элементов теории вероятностей и математической статистики. Этот раздел был методически проработан и апробирован еще в советский период развития системы математического образования в стране в школах с углубленным изучением математики (например, учебник Н.Я. Виленкина10 ).
Весь предшествующий период функционирования системы математического образования показал высокую эффективность воздействия канонического содержания на процесс достижения целей математического образования советского периода. Однако, как было отмечено выше, в современных условиях при изменившейся образовательной парадигме и смещении не просто акцентов, а вектора развития науки и техники в современном цивилизационном про-
цессе, приходится признать, что каноническое содержание образования вступило в противоречие с требованиями к содержанию образования, которые предъявляются современным производством и социальными институтами к выпускнику школы.
В качестве средства повышения эффективности обучения и достижения целей образования в средней профильной школе нами предлагается рассмотреть применение элементов рациональной логики в обучении. Ведущей идеей при реализации такого подхода является широкое внедрение в процесс обучения содержания и логики прикладной математики, т.е. рациональной логики. Именно рациональная логика оказывается наиболее приспособленной к реализации процесса обучения математике в профильной школе в концепции личностно ориентированного обучения. Уже само определение понятия рационального рассуждения содержит «дружественную» для ученика и методики обучения математике фразеологию. «Сложное рациональное рассуждение или система таких рассуждений могут иметь весьма неоднородную структуру. Такое рассуждение может включать физические соображения, ссылки на интуицию, различные более или менее правдоподобные упрощения, решения других математических задач и ссылки на теоремы на чисто дедуктивном уровне, вычисления...»11.
Одно из сужений понятия «рационального рассуждения», например, известно как «правдоподобные рассуждения»12. Можно утверждать, что в обучении математике как учебному предмету без рациональных рассуждений невозможно построить курс, т.к. для большинства доказательств школьного курса характерны логические пропуски и схематизация, часто имеются ссылки на наглядность, а следовательно, они по необходимости являются рациональными рассуждениями.
Подход к уяснению различия между логикой прикладной и теоретической математики рассмотрен у И.И. Блехмана13. В конечном итоге понятие рационального рассуждения, содержащего недедуктивные элементы, принимается большим по объему. Дедуктивные рассуж-
дения представляют собой предельный случай рациональных рассуждений и степень их достоверности принимается равной единице, т.е. р{=\. Таким образом, если все рг= 1, то имеем дело с логикой чистой (теоретической) математики, если хотя бы одна из вероятностей р1 отлична от единицы, то вероятность рА конечного рассуждения А отлична от единицы - и это рациональная логика, т.е. логика прикладной математики.
У рациональной логики в школьном курсе математики имеется большой дидактический потенциал. Этот образовательный ресурс связан с одной из важнейших задач, решаемой в прикладной математике, - задачей проектирования, синтеза и анализа математических моделей. Любая математическая модель строится на основе именно рациональной логики, т.к. необходимо применение различных допущений и упрощений в процессе ее построения. Использование рациональной логики в обучении приводит к формированию большей интеллектуальной «подвижности» ученика в сфере построения математических моделей -ученик менее «зажат» рамками формальной логики, у него имеется возможность к математическому творчеству, т.е. креативная деятельность ученика стимулируется самой логикой, применяемой в курсе.
Опираясь на вышеуказанные положения, можно построить процесс обучения математике в профильной школе с широким привлечением логики прикладной математики, в частности разработать методику изучения понятий, теорем, алгоритмов. Результатом такой работы станет новый подход в проектировании содержания образования и применении методов обучения математике в профильной школе.
Таким образом, современная ситуация в развитии методических идей, используемых при обучении математике в старшей профильной школе, и дальнейшая их концептуализация характеризуются усилением прикладных аспектов в обучении. Такой подход связывается с реализацией идеи развития личности обучаемого средствами предмета, выражаемой в концепции личностно ориентированного обучения.
В современных учебниках алгебры и начал анализа изложение учебного материала опирается на предполагаемый авторами достаточно высокий уровень развития математической подготовки «среднего» ученика, что вполне обоснованно. Тем не менее даже хорошо подготовленным ученикам требуется некоторое время (а иногда и весьма длительное), чтобы осознанно овладеть изучаемыми понятиями курса и научиться применять их на практике. Причина заключается в отрыве «теоретического» аспекта в изучении математики от «практического»: формальное изучение понятий на основе абстрактно-дедуктивного метода введения понятий оказывается в ряде ситуаций неэффективным. Иначе, изложение материала ориентировано только на ученика с выраженной теоретической формой мышления и не учитываются возможности ученика с практической направленностью мышления. Фактически этап мотивации носит чисто теоретический характер - предполагается, что ученик старшей школы готов к осознанию существования потребности во введении нового понятия на теоретическом уровне.
Более того, применение рациональной логики в профильной школе представляется эффективным для пропедевтики изучения математического содержания образования в системе высшего профессионального образования как на уровне содержания образования, так и на уровне воспитания культуры прикладного математического исследования.
Даже предварительный анализ содержания математического образования в вузах естественнонаучного, технического и экономического профилей в соответствии со стандартами специальностей высшего профессионального образования (ВПО) подготовки специалистов приводит к выводу, что содержание образования в современной школе недостаточно коррелирует с содержанием образования в высшей школе соответствующего профиля. Консерватизм школьной системы математического образования не позволяет радикально изменить содержание образования, что негативно сказывается на психологическом состоянии современного выпускника школы, а потом и студента вуза.
Важным фактором, влияющим на формирование содержания образования в школе, в ближайшем будущем станет перераспределение учебной нагрузки в вузе в сторону увеличения доли самостоятельной работы студентов в процессе обучения. Уже сейчас эта доля приближается к 60% от общего объема часов, выделяемого на изучение дисциплины. Очевидна тенденция на дальнейшее сокращение аудиторной нагрузки студента. В этих условиях тем более актуальной становится этап подготовки будущего специалиста именно на этапе школьного образования и на соответствующем профилю содержании образования.
Анализируя содержание математического образования в соответствии со стандартами высшего профессионального образования по специальностям естественнонаучного и экономического профилей можно предложить следующее содержание образования, способствующее реализации общеобразовательной функции старшей профильной школы и коррелирующее с содержанием образования по математике в соответствии со стандартами специальностей по указанным профилям ВПО.
Общеобразовательный блок (каноническое содержание образования и элементы линейной алгебры):
- тригонометрия, показательная и логарифмическая функции, производная и интеграл, уравнения и неравенства;
- элементы математической логики;
- определители, матрицы, системы линейных уравнений и неравенств.
Цель изучения блока - знакомство с содержанием математического аппарата и формирование умений и навыков его применения при решении прикладных задач. Предполагается достаточно высокий темп изучения содержания, не планируется решение большого числа одних и тех же типов примеров и изучение весьма специфичных методов решения уравнений, неравенств и их систем. Элементы линейной алгебры включаются с целью применения их при знакомстве с линейными математическими моделями. Кроме этого реализуется принцип преемственности содержания образования
между средней и высшей школами. В известном смысле общеобразовательный блок отражает содержание теоретической математики вместе с применяемой в ней дедуктивной логикой.
Изучение содержания этого раздела предполагает широкое применение информационных технологий (на основе Excel, Mathcad и др.). На этой базе можно вычислять производные, интегралы, определители, выполнять операции над матрицами; решать системы линейных уравнений. Эти умения используются в дальнейшем при изучении математических моделей.
Блок «Методы вычислений» предполагает содержание, связанное с формированием умений работы с приближенными числами и знакомство с простейшими численными методами на базе рациональной логики. Здесь изучаются:
- арифметические операции над приближенными числами; вычисление приближенных значений функции; прямая и обратная задачи теории погрешностей;
- некоторые численные методы решения уравнений, вычисления интегралов, решения дифференциальных уравнений.
Изучение содержания этого блока предполагает желательное применение каких-либо инструментальных сред {Excel, Mathcad и т.д.).
Введение этого блока в содержание образования дает возможность ученикам сформировать адекватное представление о математике как о единой структуре, включающей прикладной и теоретический аспекты.
Блок «Анализ и обработка данных» предусматривает знакомство с методами сбора и обработки данных (элементы комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики).
Блок «Математическое моделирование». Математизация естественных и гуманитарных наук, безусловно, связана с математическим моделированием14. Приведем некоторые данные об использовании математических подходов, методов и моделей в задачах управления 125 крупнейшими корпорациями США15.
ЧАСТОТА ИСПОЛЬЗОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПОДХОДОВ, МЕТОДОВ И МОДЕЛЕЙ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ КОРПОРАЦИЯМИ (США)
Метод, модель Частота использования, % корпораций
Редко Умеренно Постоянно
Статистический анализ 2 38 60
Имитационное моделирование 13 53 34
Сетевое планирование 26 53 21
Линейное программирование 26 60 14
Теория очередей 40 50 10
Нелинейное программирование 53 39 8
Динамическое программирование 61 34 5
Теория игр 69 27 4
В этом блоке предполагается систематическое знакомство с многообразием видов математических моделей на основе рассмотренного ранее содержания. Цель этого блока -логическое завершение курса математики старшей школы и демонстрация учащимся универсального характера математики и ее методов
для исследования проблем из разнообразных областей деятельности человека.
Реализация предложенного содержания математического образования в профильных классах предусматривается с помощью специально разрабатываемого курса алгебры и начал анализа с применением рациональной логики.
Примечания
1 История математики с древнейших времен до начала XIX столетия: в 3 т. Т. 1: С древнейших времен до начала нового времени. М., 1970; Там же. Т. 2: МатематикаXVII столетия. М., 1970; Там же. Т. 3. Математика XVIII столетия. М., 1972.
2Ляпунов А.А. О реформе математически программ II Математика в шк. 1973. № 2. С. 57-60; Математика'. хрестоматия по истории, методологии, дидактике / сост. Г.Д. Глейзер. М. 2001; Рыбников К.А. История математики: учеб. М., 1994.
3 Концепция модернизации российского образования до 2010 года II Вестн. образования России. 2002. № 6. С. 10-40.
4Башмаков М.И., Поздняков С.Н., Резник Н.А. Информационная сфера обучения. СПб., 1997.
5Концепция модернизации российского образования...
6 Жохов А.Л. Мировоззренчески направленное обучение математике в общеобразовательной и профессиональной школе (теоретический аспект): моногр. М., 1999; Межпредметные связи курсов математики и физики восьмилетней школы: учеб. пособие / Н.А. Балакин, Т.С. Кармакова, Н.П. Петровых, Н.Г. Щербаков. Хабаровск, 1988.
1 Гладкая И.В., Ильина С.П., Ривкина Р.В. Основы профильного обучения и предпрофильной подготовки: учеб.-метод. пособ. для учителей / под ред. А.П. Тряпициной. СПб., 2006; Смирнова ИМ. Профильная модель обучения математике II Математика в шк. 1997. № 1. С. 32-36.
%ДорофеевГ.В., КузнецоваЛ.В., СедоваЕ.А. Алгебра и начала анализа. 10 кл.: учеб. для общеобразоват. учреждений: в 2 ч. М., 2003. Ч. I.
9Алгебра и начала анализа: учеб. для 11 кл. общеобразоват. учреждений / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. 3-е изд. М., 2004;Вернер А.Л., КарпА.П. Математика: учеб. пособ. для 11 кл. гуманит. профиля. 2-е изд. М., 2002; МордковичА.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: учеб. для общеобразоват. учреждений. 2-изд. М., 2001; МордковичА.Г., СмирноваИ.М. Математика. 11 кл.: учеб. для общеобразоват. учреждений. М., 2005.
10 Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса: учеб. пособ. для учащихся шк. и классов с углубл. изучением математики. 3-е изд. М., 1993; Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О. С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 11 класса: учеб. пособ. для учащихся шк. и классов с углубл. изучением математики. 3-е изд. М., 1993; Обучение в математических школах / сост. С.И. Шварцбурд, В.М. Монахов, В.Г. Ашкинузе. М., 1965.
11 БлехманИ.И., Мышкис А.Д., Пановко Я.Г. Прикладная математика: предмет, логика, особенности подходов. Киев, 1976. С. 93.
12 Обучение в математических школах / сост. С.И. Шварцбурд, В.М. Монахов, В.Г. Ашкинузе. М., 1965; ПойаД. Математика и правдоподобные рассуждения. 2-е изд., испр. М., 1975.
13Блехман И.И., Мышкис А.Д., Пановко Я.Г. Указ. соч.
ыХорафасД.Н. Системы и моделирование. М., 1967.
15 Guisseppi A. Forgionne. Corporate Management Science Activities: An Update //Interfaces. 1983. № 13. P. 20-23.
Ivanov Igor
STRUCTURE OF THE COURSE ON FOUNDATIONS OF ALGEBRA AND ANALYSIS IN THE NATURAL SCIENCE SPECIALIZATION CLASSES WITHIN THE PERSON-ORIENTED LEARNING CONCEPTION
The article considers the contents of the course on algebra and analysis foundations for the Natural Science specialization classes. The content of education is projected with provision for using rational logic in the educational process. The use of rational logic in teaching Mathematics allows generating applied skills. These applied skills together with the corresponding knowledge create a basis for the future specialist’s professional competence.
Контактная информация: e-mail\ vestnik@pomorsu.ru
Рецензент - ФефиловаЕ. Ф., кандидат педагогических наук, доцент, профессор кафедры методики преподавания математики Поморского государственного университета имени М.В. Ломоносова
