Изучение поведения моделей обучения с использованием марковского процесса Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 004.942

В. В. Лаптев, В. И. Сербин

ИЗУЧЕНИЕ ПОВЕДЕНИЯ МОДЕЛЕЙ ОБУЧЕНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МАРКОВСКОГО ПРОЦЕССА

Введение

В соответствии с принципами деятельностного подхода [1] обучение - это не только передача знаний, но и, в первую очередь, передача опыта и практики. Основные положения этого подхода заключаются в том, что конечной целью обучения является не запоминание знаний, а формирование умений. При этом знания не являются целью обучения, а служат средством для решения задач и выполнения некоторой профессиональной деятельности. Поэтому автоматизированная обучающая система обязана обеспечивать процесс тренировки решения задач, и подсистема тренинга является обязательной составляющей такой системы.

Процесс обучения можно представить как ряд чередующихся процессов, например:

— процесс изучения теории;

— процесс решения задач;

— процесс получения помощи (подсказки).

Рассмотрим работу системы, обеспечивающей два режима работы: режим изучения теории и режим решения задач (тренинг). Работа системы начинается с режима тренинга, но как только оказывается, что решение очередной задачи невозможно из-за отсутствия необходимых знаний, система переключается в режим изучения теории, после чего вновь запускается процесс решения задач.

Если система обеспечивает ещё и режим помощи, то при возникновении затруднений в режиме тренинга при решении задач система переключается либо на процесс изучения теории, либо на процесс помощи, после чего процесс решения задач возобновляется.

Любая модель обучающей системы должна описывать поведение её компонентов как функцию от времени. В [2] предложена формула для вычисления оценки результата решения учеником задачи, зависящая от времени решения. В данной работе рассмотрены две модели процесса обучения, зависящие от времени. Первая модель описывает поведение системы, обеспечивающей два режима работы, вторая - поведение системы с тремя режимами работы.

Двухкомпонентная модель обучения

Рассмотрим систему обучения, состоящую из двух чередующихся процессов: процесса тренинга и процесса передачи теоретических знаний. Пусть Ро($) - вероятность того, что в момент времени t система находится в режиме тренинга, и ) - вероятность того, что в момент времени t система находится в режиме обучения. Здесь время работы системы t е (0,¥).

Процесс называется пуассоновским, если он удовлетворяет постулатам Пуассона: каково бы ни было число случайных событий в период времени (0, t), (условная) вероятность того, что в течение интервала времени ^, t + At) произойдёт случайное событие, равна 1At + o(At), а вероятность того, что произойдёт более одного случайного события, есть o(Дt) [3]. Здесь 1 называется интенсивностью потока случайных событий.

Будем понимать под случайным событием переходы между режимами тренинга и обучения. Пусть выполняются следующие условия:

1) время решения задачи и время изучения какой-то темы не зависит от времени начала (свойство стационарности);

2) время решения задачи не зависит от того, решались ли другие задачи ранее; время изучения темы не зависит от времени изучения других тем (свойство отсутствия последействия);

3) наступление двух или более переходов между процессами тренинга и изучения теории за малый промежуток времени практически невозможно (свойство ординарности).

Тогда эти процессы удовлетворяют постулатам процесса Пуассона, и такую модель обучения можно описать с помощью марковского процесса типа «гибель-размножение» [3]. Обозначим: X - интенсивность тренинга; ц - интенсивность изучения теории (1 > 0, т > 0). Такую модель обучения можно описать с помощью марковского процесса. На рис. 1 показан граф состояний системы.

Рис. 1. Граф состояний системы

Составим систему уравнений Колмогорова, описывающих поведение системы во времени:

^Р0^)

--ХР0(і) + тр>1(^),

(1)

dP1(ґ)

-ІРо(ґ) -МВД.

Очевидно, что Р0 (0 + Р^) = 1.

dP0 (ґ) dP1 (ґ)

+ -

- 0.

Если при t = 0 система находилась в процессе тренинга, то начальными условиями будут следующие:

Р0(0) = 1, Р1(0) = 0.

Используя преобразования Лапласа [4], перейдём от оригиналов к изображениям:

Р0^) ® ^)(р), Pl(t) ® ^(р),

dPo (ґ) ® рРо (р) -1, ® р^1 (р) - 0.

dґ

Тогда получим

или

dґ

\ рр0 (р) -1 - -1^0 (р) + (р),

[М(р) -1^0(р) -(р)

(р+1) ^0( р) -м^1( р) -1,

-1^0 (р) + (р + М)^1 (р) - 0.

Решив систему, получим ^0( Р) =

р + М

1

- + -

р[р + (1 + М)] р + (1 + М) р[р + (1 + М)]

М М М 1

1

+1+М 1+М -1+М+ 1+М

р + (1 + м) р р + (1 + м) р р + (1 + м)

1 -1+М 1+м

р[р + (1 + М)] р р + (1 + М)

ж р) --

Выполнив обратное преобразование Лапласа, перейдём от изображений к оригиналам и получим:

ЗД = ^ + 1^- е"(Я+т)', (2)

1+— 1+—

ад=^+—1+- е- (1+—к. (3)

1 + — 1 + —

При длительном обучении марковский процесс переходит в стационарное состояние, в котором

^Рр(() = 0 Щ(г) = 0

& ’ &

Тогда значения коэффициентов изучения теории и тренинга не зависят от начальных условий:

Р(ге = Нш Ро(Г) = -+-, (4)

1 + —

Ре&и = Иш P1(t) =1^ . (5)

t®¥ 1 + —

Величина РГе - это вероятность того, что система в некоторый момент времени находится в процессе тренинга. Назовем эту величину коэффициентом тренинга. Величина Ре&и - это вероятность того, что система в произвольный момент времени находится в процессе обучения. Эту величину назовем коэффициентом изучения теории. Очевидно, что РГе + Ре&и = 1.

Обозначим: а =1, — =1, тогда получим:

1 —

Рге = —= -^ , (6)

- + - 1+ -а

Ре&и =-Г-^-1а . (7)

- + - 1 + —

-

Выводы из двухкомпонентной модели. Функция Р0 (^, определяемая формулой (2),

в области определения t е (0, ¥) убывает от Р0(0) = 1 до Р0( ¥ ) = Рге = -Л-. Функция Р1 (t) ,

1+-

определяемая формулой (3), в области определения t е (0, ¥) возрастает от Р1(0) = 0

до Р1 (¥) = Ре&и = —1— . Данный результат хорошо согласуется с однопараметрической моделью 1 + —

-

Раша [5], в которой функция успеха Р(—, —), или вероятность того, что ученик с уровнем подготовки - правильно выполнит задание трудности а , выражается формулой

Р(-, -) =-^—.

1 +--

Как видим, функция успеха Раша Р(—, —) с точностью до обозначений соответствует полученному нами коэффициенту передачи знаний Рес1и .

Введённые нами величины, обратные интенсивностям процессов, можно интерпретировать следующим образом: а - трудность заданий тренинга; л - уровень изучения теории, или затраты на обучение.

Р (?) л

Отношение —— на интервале ? е (0,¥ изменяется от 0 до отношения —. Обозначим:

Р«(0 ^ ' а

к - ііт ^ -1—П

іР0(і) т а

(8)

Назовём величину к коэффициентом эффективности обучения. Величина к равна отношению интенсивности тренинга к интенсивности изучения теории. Она же равна отношению уровня обученности к трудности заданий тренинга.

Трёхкомпонентная модель обучения

Рассмотрим теперь систему обучения, состоящую из трёх процессов: процесса тренинга, процесса изучения теории и процесса помощи. Пусть Р0 (?) - вероятность того, что система находится в момент времени ? в процессе тренинга; Р^?) - вероятность того, что система находится в момент времени ? в процессе изучения теории; Р2 (?) - вероятность того, что система находится в момент времени ? в процессе помощи. Здесь время работы системы ? е (0, ¥ .

Допустим, что процессы тренинга, обучения и помощи также удовлетворяют постулатам процесса Пуассона, при этом 1 - интенсивность тренинга; т - интенсивность изучения теории; 12 - интенсивность запросов о помощи; т 2 - интенсивность помощи. На рис. 2 показан граф состояний системы.

^2

Рис. 2. Граф состояний системы

Опишем такую модель обучения с помощью марковского процесса. Составим систему уравнений Колмогорова, описывающих поведение системы во времени:

dP0(t)

СР1(і )

- -(11 + 12 )Р0 (і) + М-1Р1 (і) + т2Р2 (іX

— 1іР0 (і ) — М-1Р1 (і X

— 12Р0 (і) — М-2Р2 (і).

Очевидно, что Р0(і ) + Р1(і) + Р2(і) — 1, — 0.

(9)

СР2(!)

Сі

Сі

Сі

' 0 V/ ^ 11 V/ ^ 1 2 '

Если при ? = 0 система находилась в процессе тренинга, то начальные условия будут такими:

Рс(0) = 1, Р1(0) = 0, Р2(0) = 0.

При длительном обучении имеем:

Решив систему (9), получим:

) = 0 щад = 0 йР2(1) = 0

Рге = —.--------------------Г", (Ю)

М1 М2

Гі

РеШи = Л Г , (11)

1 + ^ + ^

Мі М2

Г 2 М 2 Г1 | Г 2 М1 М2

Рыр = ^2 Г . (12)

1 + —+ - 2

система находится в процессе тренинга Р0 (ґ), убывает от 1 до РГе =----------------~~—. Вероятность

і Г г 2 1 + — + —

Очевидно, что Ргге + ре^н + РЫр = 1.

Аналогично двухкомпонентной модели, имеем:

РГе = Пт Р0 ^) - коэффициент тренинга, или вероятность того, что система в некоторый

t®¥

момент времени находится в процессе тренинга.

Реёи = 1™ Р1 (?) - коэффициент изучения теории, или вероятность того, что система

t®¥

в некоторый момент времени находится в процессе обучения.

РЫр = Пт Р2 (^ - коэффициент помощи, или вероятность того, что система в некоторый

момент времени находится в процессе помощи.

Выводы из трёхкомпонентной модели. Вероятность того, что в момент времени t

1 ^1 + 12 М1 М2

того, что в момент времени t система находится в процессе изучения теории Р^О, возрастает

от 0 до Рес!и =--—-—. Вероятность того, что в момент времени t система находится

1 1] 12 1 + — + — М1 М2 12

в процессе помощи Р2(t), возрастает от 0 до РЫр =-~М2 .— .

1 ^1 12 1 + — + — М1 М2

По аналогии с двухкомпонентной моделью введем величины, обозначим:

1111

°1 =Т" , ^1 = ~ , °2 = ^ , Л2 = — .

1 М1 12 М 2

^ л

Обозначим: к = —, к 2 = —. Тогда имеем:

°1 °2

P =--------------------=----------------, (13)

i + hi + h2 1 + ki + k2 V '

а1

hi

Pedu = hSi П = , . k\, , (14)

i + hi +h^ 1 + ki + k

2

Л2

Рр = °2 _ =, + *2.. ■ (15)

, + Ж + ^2 1 + к1 + к2

а1 а2

Отношение Р,() на интервале Iе (0,¥ изменяется от 0 до отношения к, =11 = — .

р0(1) т, а,

Величина к, равна отношению интенсивности тренинга к интенсивности изучения теории. Она

же равна отношению уровня обученности к трудности заданий тренинга. Можно назвать

эту величину эффективностью изучения теории.

Отношение р2(^) на интервале ? е (0, ¥ изменяется от 0 до отношения к2 =12 = .

Р0({) т 2 а2

Величина ,2 равна отношению интенсивности запросов о помощи к интенсивности помощи. Она же равна отношению сложности помощи к трудности запросов о помощи. Можно назвать эту величину эффективностью предоставления помощи.

Заключение

В работе построены двух- и трёхкомпонентные модели обучения. Полученные результаты позволяют анализировать качественные данные с помощью количественных методов, используя минимальное число параметров процессов, входящих в состав системы обучения.

Важным достоинством этих моделей является их инвариантность относительно начальных условий.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Атанов Г. А. Деятельный подход в обучении. - Донецк: ЕАИ-пресс, 2001. - 160 с.

2. Сербин В. И. Методы оценки знаний в подсистеме тренинга обучающей системы // Вестн. Астрахан. гос. техн. ун-та. - 2007. - № 1 (36). - С. 247-251.

3. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её приложения. - М.: Мир, 1964. - Т. 1. - 499 с.

4. Киселёв А. И., Краснов М. Л., Макаренко Г. И. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям: учеб. пособие. - М.: Высш. шк., 1967. - 310 с.

5. Rasch G. Probabilistic Models for Some Intelligence and Attainment Tests. Copenhagen, Denmark: Danish Institute for Educational Research, 1960.

Статья поступила в редакцию 7.12.2009

STUDY OF EDUCATIONAL MODEL BEHAVIOUR BY MEANS OF THE MARKOV PROCESS

V. V. Laptev, V. I. Serbin

This article describes the two-component educational model, consisting of training, teaching processes and the three-component educational model, consisting of training, teaching, helping processes. Probabilities of the training, teaching or helping processes as the function of the time have been produced by means of the Markov process. Probability formulas for steady-state conditions have been produced.

Key words: educational model, components of the model, training process, teaching process, helping process, Markov process.