Об одной математической модели амбивалентной системы обучения неродному языку Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 14.07.07

В. Г. Кирий, Чан Ван Ан

Иркутский государственный технический университет ул. Лермонтова, 83, Иркутск, 664074, Россия

E-mail: tavistu@gmail.com

ОБ ОДНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ АМБИВАЛЕНТНОЙ СИСТЕМЫ ОБУЧЕНИЯ НЕРОДНОМУ ЯЗЫКУ

В статье предлагается математическая модель процесса обучения неродному языку как процесса, происходящего с одновременным присутствием двух противоположностей: наличием родного и неродного языков. Системы с такими свойствами называются амбивалентными. В качестве математической модели таких систем предлагаются дифференциальные уравнения Колмогорова. Предлагаемая модель обучения на основе этих уравнений показывает зависимость уровня знания обучаемого от начального уровня знания, от интенсивности процесса изучения неродного языка и его забывания. С использованием лингвистической теории билингвизма дается интерпретация таких особенностей процесса обучения, как режим изучения, образование интерязыка, режим отката и режим окостенения.

Ключевые слова: амбивалентная система, математическая модель, уровень знания, интерязык, откат, обучение, окостенение.

Чем больше учишься, тем больше знаешь. Чем больше знаешь, тем больше забываешь. А чем больше забываешь, тем меньше знаешь. А чем меньше знаешь, тем меньше забываешь. Но чем меньше забываешь, тем больше знаешь.

Под амбивалентной системой обучения неродному языку понимается такая система, когда учащийся изучает иностранный язык, начальный уровень знания которого недостаточен для активного общения с окружающей его средой. В процессе такого обучения происходит взаимодействие двух противоположностей: родного и неродного языков, что приводит к появлению смеси языков, в лингвистике называемой интерязыком [2].

Как показано в работах [1; 2], поведение подобных систем описывается системой дифференциальных уравнений Колмогорова, решение которых выявляет характерные особенности поведения таких систем, например, время обучения, откат, окостенение и т. д.

Запишем систему дифференциальных уравнений Колмогорова:

dP0(t) = -Х0 P0(t) + | Pi(t); at

dP,(t) = a0P0(t) - (A + ii)Pi (t) +12P2(t); (i)

at

dP2(t) = Ai P(t) P2(t), at

где P0 (t) - вероятность состояния «знание родного языка»;

Pi (t) - вероятность состояния «интерязыка»;

Р2 (t) - вероятность состояния «знание неродного языка».

Под вероятностью состояния языка можно понимать количественную оценку уровня знания языка в пределах от нуля до единицы. Причем уровень знаний включает в себя не только запас слов, но и фонетику, грамматику и синтаксис языка. Предполагается, что эта оценка определяется при тестировании обучаемого.

Параметры модели ць ц2, Х0, характеризуют интенсивности перехода от одного состояния к другому:

A 0 - интенсивность использования родного языка для изучения неродного языка;

ISSN 1818-7900. Вестник НГУ. Серия: Информационные технологии. 2010. Том 8, выпуск 1 © В. Г. Кирий, Чан Ван Ан, 2010

Я1 - интенсивность обращения к неродному языку в процессе его изучения; ц - интенсивность обращения к родному языку при забывании значений слов, выражений понятий неродного языка;

ц2 - интенсивность использования неродного языка в процессе его изучения. Под интенсивностью понимается количество обращений за единицу времени (неделя, месяц, семестр).

Очевидно, что процесс обучения существенно зависит от начального уровня знаний неродного языка, что приводит к необходимости его учета в модели.

Таким образом, исследуемые вероятности состояний в общем случае должны зависеть от четырех параметров, связанных с интенсивностями переходов, и от двух параметров, связанных с вероятностями начальных уровней знаний: ц1, ц2, ^ь Р0(0), А(0), Р2(0), при этом Л(0) = 1 - (Ро(0) + Р2(0)).

Обозначим х = Р2(0); г = Р0(0), где Р2(0) - вероятность, задающая начальный уровень знаний неродного языка; Р0(0) - вероятность, задающая начальный уровень знаний родного языка.

Для решения системы дифференциальных уравнений (1) находим характеристическое уравнение с переменным к:

-Я 0 - к Я„

0

-(Я1 + Ц Ь к Ц 2

Я1

- ц 2 - к

= 0.

В общем случае решение такой системы дифференциальных уравнений имеет вид:

где

При этом

Р0 (г, х)= с1(х)а1вк1^ + с2(х)а2ек2? + с3(х)а3е Р1 (г, х)= с1(х)в1е 1 + с2(х)р2е 2 + с3(х)Р3е 3

к л

кг

Р2 (г, х)= С1(х)У^^ + С2(х)У 2ек2' + С3(х)У 3е

к л

кг

к = 0 к к

Л1 - V, Л2 _ О з Л3 _ О •

Ь = Я0 + Я1 + ц + ц2; с = ц1ц2 + Я0Я1 + Я0ц2; 8 = Ь2 -4с;

(2)

Ух =

Ц1Р1 ■

Я 0 + к1

Я1Р1 ;

Ц 2 + к1 '

Ц1Р 2

Ц1Р3

Я 0 + к 2

Я 0 + к3

У 2 =

Я1Р 2

Ц 2 + к 2 '

У 3 =

Я1Р3

Ц 2 + к3 '

а1 =а 2Р1 - а1Р 2; Ь1 =а 3Р1 - а1Р 3;

а2 =У1а 2 -У 2 а1; Ь2 =У1а 3 -У 3а1;

г (Ь2Р1 + Ь2 а1 - Ь1у1) + х(Ь2 а1 + Ь1а1) - Ь2 а1

С2( х) = С3( х) = с1( х) =

Ь2 а1 - Ь1а2

г (а2Р1 + а2 а1 - а1у1) + х(а2 а1 + а1а1) - а2 а1 Ь1а2 - а1Ь2 '

г - с2 (х)а2 - с3 (х)а3 а

а1 =

а2 =

а3 =

Как видим, полученное решение показывает зависимость не только от времени, но и от начального уровня знания неродного языка, причем эта зависимость имеет линейный характер.

На приведенных рисунках показаны зависимости при в1 = 1, в 2 = 1, в 3 = 1.

X

Рис. 1. Зависимость уровня знаний обучаемого от начального уровня и времени обучения

Рассмотрим более подробно зависимости вероятностей состояний процесса обучения для родного, неродного языков и интерязыка при конкретных значениях параметров обучения: г = 0,3; X0 = 2; X = 5; = 8; ц2 = 1; х = 0, которые представлены на рис. 2

Как видно из этих графиков, процесс обучения состоит из двух этапов: первый этап - режим обучения, при котором уровень знания неродного языка увеличивается, второй - когда при достаточном большом интервале времени ^ наступает установившийся режим, называемый режимом «окостенения».

В состоянии «окостенения»

р = .

О(окостенения) "

р

¡(окостенения)

р

2(окостенения)

А 0 + М1Ц 2 + А 0^ 2

А1 + ^-+ М2

А0

.

А +М1М 2 ,,, '

А1 + ^-+ М2

А0

где р0(окостенения), ^окостенения), ^(окостенения) - вероятности достигнутых в режиме «°к°стенения»

уровня знаний родного языка, интерязыка и неродного языка. Как следует из этих уравнений, режим «окостенения не зависит от начального уровня х неродного языка.

Для исследования зависимости режима обучения от начального уровня знания неродного языка, для момента времени ^ = 0,2 при фиксированных параметрах

г = 0,3; А0 = 2; А^ = 5; ц^ = 8; |м2 = 1, получены графики зависимости вероятностей состояний процесса обучения от х, представ-

I

Рис. 3. Зависимости вероятностей состояний процесса обучения от начального уровня знания неродного языка

Как видно из графика, Р0(0,2, х), Р1(0,2, х), Р2(0,2, х) линейно зависят от параметра х.

Эта зависимость показывает, что в режиме обучения преподаватель должен учитывать начальные уровни знаний студентов неродного языка, который можно определить с помощью входного тестирования. По результатам тестирования он может делить студентов на несколько групп по начальным уровням знаний неродного языка.

Если требуется, чтобы студент за время обучения достиг уровня знания неродного языка не меньше 0,4 (Р2(0,2, х) > 0,4), то он должен выбрать студентов, которые имеют начальные уровни неродного языка х > 0,25.

Если требуется, чтобы студент за время обучения t = 0,2 достиг уровня знаний неродного языка в состоянии «окостенения» (согласно рис. 1 равному 0,5) то, решая уравнение

P2(t, х) P2(окостенения), ^ 0,2;

к t к t к t с1(х)у1е + е2(х)у2в + е3(х)у3в

+ + +-+ ц 2

t = 0,2.

Вычисляем, что начальный уровень знаний неродного языка должен быть равен 0,455. При определенных значениях параметров процесса обучения неродного языка можно наблюдать интересное явление отката, сущность которого заключается в том, что после некоторого времени обучения происходит забывание неродного языка.

Р'( ^0,1)

РД ^0,1)

т

Установившийся режим

Р2(т ,0,1) (тах)

обучение

Откат

окостенение

Р2(0,0,1)

Р

2(окостенения)

На рис. 4 представлен график зависимости вероятности состояния неродного языка, когда при определенных параметрах процесса обучения наблюдается режим отката

г = 0,3; х = 0,1; X0 = 1; Х1 = 4; ц = 4; ц2 = 6.

Р2

Рис. 4. Зависимость вероятности состояния неродного языка при наличии «отката»

На основании предложенной математической модели процесса обучения может быть поставлена и решена задача определения таких параметров процесса обучения, как время обучения, время отката и время «окостенения».

Для получения таких зависимостей предлагается исследовать производную функции Р2 х) от t

Р2 ^, х)^) = с2(х).у2.к+ с3(х).у3.к3.екъ3'

0

t

0

+

Считается, что интервал обучения длится до такого момента времени, когда производная функции Р2 (¿, х) от t равняется нулю (точка экстремума на рис. 4). Для определения времени обучения решается уравнение:

р2>, х)^) = 0;

с2 (х).у 2 .к2 .ек^ + с3 (х).у 3 .к3 .ек3 = 0;

с3( х).у 3.к3

33

С2 (Х).У 2 к2 ^ = -С3 (Х)Т3 к3 ^ ;

е

,k2t

С2(Х).У 2 .к2

С3(х).у 3 .к3 = е (к2 -kз)t,

С2( Х)Т 2к 2 '

(к2 - к3 =уД > 0);

с3( х).У 3.к3 = еЛ

При условии, что

х).у 2.к 2

С3(х).У 3 .к3

< 0.

С2(Х).У 2 .к2

Находим момент времени наступления экстремума т:

1п(- с3(х).у3.к3 )

т = -

х).у 2.к 2

л/5

Так как время обучения - положительная величина, измеряемая от начала процесса до перегиба, то для получения зависимости этого параметра от начального уровня знания неродного языка х принимаем, что

1П(- С3(Х).У3к3 ) > 0;

С2(Х).У 2 .к2

с3( х).У 3 .к3

<-1.

(3)

С2( х).у 2.к 2

На рис. 5 показан график зависимости времени обучения от начального уровня знания не родного языка х при конкретных значениях остальных параметров процесса обучения

г = 0,3; X0 = 1; А1 = 4; М1 = 4; |м2 = 6. Из условия (3) находим, что значение х лежит в интервале 0 < х < 0,28.

0.25

».25 0.2 1.15 0.15 013 1.1 СГ.075 0.05 0.035

\

\

\ \

\

о чт ше ода о.п 0.14 о.17 0.2 д,а «5 о,аз

х

Рис. 5. Зависимость времени обучения от начального уровня знания неродного языка

Так как аналитическое исследование зависимости времени отката от х является затруднительным, то предлагается графическое исследование этой зависимости.

На рис. 6 представлены несколько графиков таких зависимостей от х, из которых видно, что при малых значениях х время отката растет, а при больших значениях остается постоянным

В таблице показаны значения времени отката, вычисленные при условии, что значение времени начала окостенения равно 1,2:

х 0,1 0,2 0,3 0,6 0,7

^откат 1,02 1,1 1,2 1,2 1,2

Предлагаемая математическая модель позволяет исследовать другие возможные варианты процесса обучения неродному языку. Так, например, на рис. 7 показан процесс обучения, который при определенных параметрах

(г = 0,4; х = 0,5; X 0 = 2; ^ = 2; ц = 2; ц 2 = 1)

начинается с отката.

После отката идет процесс восстановления начального уровня знаний неродного языка. Для такого процесса обучения могут быть предложены, очевидно, разные варианты объяснения, например, кратковременное прерывание обучения неродному языку.

Также на основании предложенной математической модели можно вносить коррективы в индивидуальный график обучения, если преподавателя не устраивает интенсивность усвоения обучаемого материала.

I

Рис. 7. Зависимость уровня знания неродного языка после «отката»

0.09 0.06 0.03

15 1 з 45

Рис. 8. График зависимости уровня знания неродного языка при корректировке

На рис. 8 показана зависимость вероятности уровня неродного языка от времени обучения, когда в определенный момент времени внесены корректировки в процессе обучения: после отката преподаватель поменял прежние параметры обучения, которые его не устраивали, на новые. В результате такого изменения параметров процесс усвоения неродного языка существенно улучшился.

Список литературы

1. Кирий В. Г. Амбивалентные системы: философия, теория, практика. Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2009. 87 с.

2. Кирий В. Г, Рогозная Н. Н. Математическая модель субординативного билингвизма. Возникновение интерязыка // Вестн. Ирк. гос. техн. ун-та. 2009. № 1. С. 37-42.

Материал поступил в редколлегию 23.01.2010

V. G. Kiriy, Chan Van An

ABOUT ONE MATHEMATICAL MODEL OF AMBIVALENT SYSTEM OF TRAINING IN THE FOREIGN LANGUAGE

In clause the mathematical model of process of training to the native language, as process occurring with simultaneous presence of two contrasts is offered: by presence of the native language and foreign language. The systems with such properties are called ambivalent. As mathematical model of such systems the differential equations Kolmogorov are offered. The offered model of training on the basis of these equations shows dependence of a level of knowledge of student, trained from an initial level, from intensity of process of study of the foreign language and his forget. Using the linguistic theory of bilingualism the interpretation of such features of process of training as a mode of study, education inter- language, mode of kickback and mode of ossifficatio is given.

Keywords: ambivalent system, mathematical model, level of knowledge, interlanguage, kickback, training, ossifficatio.