CC BY
49
УДК 378.147.315.7:004 ББК 74.580.53в635
В. И. Сербин
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ИНФОРМАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В АВТОМАТИЗИРОВАННОЙ ОБУЧАЮЩЕЙ СИСТЕМЕ
V. I. Serbin
DEFINITION OF PARAMETERS OF INFORMATION PROCESSES IN THE AUTOMATED TRAINING SYSTEM
Цель исследований - расчёт параметров информационных процессов в автоматизированной обучающей системе. Для определения параметров обучения используются методы теории информации. Рассчитаны параметры информационных процессов в автоматизированной обучающей системе. Результаты работы используются для оценки результатов обучения в автоматизированных обучающих системах.
Ключевые слова: математическая модель, автоматизированная обучающая система, активное обучение, контроль знаний, интенсивность, среднее время, время решения задачи, вероятность решения задачи, функция оценки, показательный закон распределения, функция распределения вероятности, метод наибольшего правдоподобия, дифференциальная энтропия.
The purpose of the work is to calculate the parameters of information processes in automated training systems. To determine the parameters of training the methods of the information theory are used. Parameters of information processes in the automated training system are calculated. The results of the work are used for estimation of the results of training in the automated training systems.
Key words: mathematical model, automated training system, active training, control of knowledge, intensity, average time, time of the problem solution, probability of the problem solution, function of estimation, indicative law of distribution, function of distribution of probability, method of the greatest probability, differential entropy.
Модель обучения, состоящая из двух состояний
Рассмотрим модель обучающей системы, состоящую из двух чередующихся режимов: режима активного обучения Е0) и режима контроля знаний Ei. В режиме активного обучения производится передача знаний и решение тренировочных задач, развитие навыков и умений. В режиме контроля знаний выполняются контрольные задания, которые позволяют оценить уровень знаний, умений и навыков. Обозначим: Po(t ) - вероятность того, что в момент времени t система находится в режиме активного обучения Е0) ; Pi (t) - вероятность того, что в момент времени t система находится в режиме контроля знаний Ei. Здесь время t > 0 . Данная модель обучающей системы может быть описана с помощью марковского процесса типа «гибель-размножение» [1].
Параметрами процесса обучения являются:
- 1 - интенсивность режима активного обучения;
- m - интенсивность режима контроля знаний.
Представим процесс обработки информации в режимах Е0) или Ei как последовательность обработки элементарных единиц информации (ЕИ).
Обозначим: и - уровень подготовки обучаемого; v - трудность заданий тренинга и контроля знаний.
Сделаем следующие важные предположения и допущения:
1. Уровень подготовки обучаемого и - монотонно возрастающая функция интенсивности активного обучения 1, т. е. и = f0)(k). В самом простом случае, когда уровень подготовки обучаемого - линейная функция 1, будем иметь и = к0)1, где к0) > 0 - некоторая константа. Будем в дальнейшем считать 1 мерой уровня подготовки обучаемого и .
2. Трудность заданий контроля знаний v - монотонно возрастающая функция интенсивности контроля знаний m, т. е. v = f1(m). В самом простом случае, когда трудность заданий контроля знаний - линейная функция m, будем иметь v = к^т, где к > 0 - некоторая константа. Будем в дальнейшем считать m мерой трудности заданий контроля знаний v .
Система уравнений Колмогорова
Система уравнений Колмогорова, описывающих поведение системы во времени, имеет вид
При длительном обучении марковский процесс переходит в предельное состояние, при котором предельное значение вероятности того, что система находится в режиме активного обучения, равно
а предельное значение вероятности того, что система находится в режиме контроля знаний, равно
В формуле (7) первый сомножитель Р (¥) = ^(1, т) с точностью до обозначений -это вероятность правильного решения задачи, так называемая функция успеха Раша [2].
Если случайная величина Т - время решения задачи, то функция
является функцией распределения случайной величины, распределённой по показательному закону, или вероятностью того, что задача будет решена не позже времени ґ. В итоге получим, что формула (7) задаёт величину вероятности сложного события «решить задачу и решить её за время ґ» [3], состоящего в том, что «задача решена» и «задача решена за время ґ». Формулы (4) и (8) задают оценку за решение задачи [4].
Определение количества информации
Рассмотрим процесс обучения как процесс обработки информации.
Тогда интенсивность режима активного обучения 1 - это количество ЕИ, обработанных в единицу времени, или скорость обработки информации. Среднее время активного обучения,
=_1Р0(Ґ)+И(ґ),
аґ
(1)
^=1Ро(о -ті(ґ).
аґ
(2)
Р0 (ґ) = -----^е-(1+т)ґ = і - е-
1+т 1+т 1+т'
(і - е“(1+т)ґ) ,
(3)
(4)
Р0(¥) = Ііт Р (ґ) = —!т
(5)
1
Рі (¥) = Ііт Рі (ґ) = ------= 1 - Ро(¥).
(6)
Полученные предельные значения не зависят от начальных условий. Из формул (3), (4), (5) и (6) окончательно получим:
(7)
Рі(ґ) = 1 - Ро(ґ).
(8)
її(1, т, ґ)=і - е (1+т)ґ = р(т < ґ)
(9)
или среднее время обработки одной ЕИ, равно с =1. Тогда общее количество ЕИ, обработан-
1
ных за всё время активного обучения, равно
— 1г — .
а
Интенсивность режима контроля знаний т - это количество ЕИ, обработанных в единицу времени, или скорость обработки информации. Среднее время контроля знаний, или среднее
время обработки одной ЕИ, равно X —1. Тогда общее количество ЕИ, обработанных за всё
т
время контроля знаний, равно
, г й1 — т г — —.
X
В итоге общее количество ЕИ, обработанных за всё время обучения, равно
й — dо + —1 г + тг — (1 + т) г. (Ю)
Очевидно, что 1 > 0, а > 0, т> 0, X > 0, й0 > 0, й1 > 0.
При решении математических задач в качестве ЕИ можно принять элементарную опера-
цию преобразования данных (ОПД). Время выполнения одной ОПД - это время поиска нужной ОПД среди множества возможных в данной ситуации операций, при этом временем выполнения самой ОПД можно пренебречь.
Из формулы (9) получим, что плотность распределения вероятности случайной величины Т равна
/(1,т, ґ)=(1+т)е (1+т)ґ.
Тогда дифференциальная энтропия случайной величины Т , или среднее количество информации, обработанной в процессе обучения, равна [5]:
~ е
Н (Т) — -1 / (1, т, г )1ое2 / (1, т, г )йг — ^ -. (11)
0 1+т
Нахождение параметров обучения
Параметры обучения 1, а, т, X предварительно считаются неизвестными и определяются путём обработки экспериментальных статистических данных. Пусть в обучении принимает участие п обучаемых и каждый обучаемый решает т задач. По результатам решения этих задач составим таблицу времени решения задач Т размером п X т ; г у - это время, потраченное
7-м обучаемым на решение }-й задачи. Обозначим: 17 - интенсивность активного обучения, 7 —1,2,..., п ; Ц} - интенсивность контроля знаний, } —1,2,..., т . Найдём точечные оценки величин 17 и т } методом наибольшего правдоподобия [6].
После этого по формуле (6) вычислим оценку за решение 7-м обучаемым }-й задачи:
р1(г}) — —17— + е~(Х‘ +т)% .
1 77 1 +т} 1 +т }
Количество ЕИ, обработанных 7-м обучаемым при решении }-й задачи, равно
$7} — (17 +т} ) ^ .
И наконец, по формуле (11) вычислим среднее количество информации, обработанной 7-м обучаемым при решении }-й задачи:
— ^ е
17 + т }
Результаты данного исследования были проверены при изучении дисциплины «Математическая логика». При решении тренировочных задач были показаны следующие результаты (количество обучаемых п — 9, количество решённых задач т —12). Таблица времени решения задач в минутах Т представлена в табл. 1.
Таблица 1
п/т 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 02 03 03 04 02 06 02 02 06 06 05 07
2 03 04 05 06 03 08 05 04 08 08 07 10
3 03 04 04 05 03 07 05 03 07 07 06 08
4 02 05 04 07 04 05 02 03 06 03 04 07
5 03 06 04 06 05 11 07 08 10 12 08 11
6 02 06 04 05 03 10 10 20 06 03 05 06
7 01 03 04 05 03 11 11 01 04 04 06 11
8 02 07 04 05 03 10 10 01 06 03 06 10
9 02 06 04 06 08 10 06 19 08 14 20 15
Оценки обучаемых за решение каждой задачи, полученные в результате расчётов, переведены в 100-балльную систему и приведены в табл. 2.
Таблица 2
п/т 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 55 76 68 75 74 87 88 89 78 78 83 89
2 40 67 53 64 63 81 75 80 69 68 76 83
3 42 68 60 69 64 84 76 85 73 72 79 86
4 54 66 62 66 60 88 88 85 77 85 85 88
5 38 55 56 60 47 74 66 66 61 56 71 79
6 51 57 57 66 62 77 61 54 73 83 80 87
7 71 74 60 68 64 79 64 94 81 80 79 83
8 53 56 59 68 63 79 64 94 74 84 78 83
9 50 52 54 58 29 72 67 40 62 47 46 70
Количество ЕИ, обработанных 7-м обучаемым при решении }-й задачи, , приведено
в табл. 3.
Таблица 3
п/т 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 1,04 0,84 0,97 1,04 0,68 1,18 0,47 0,45 1,35 1,37 1,07 1,32
2 1,34 0,82 1,24 1,11 0,79 0,97 0,79 0,60 1,20 1,22 0,97 1,13
3 1,40 0,91 1,08 1,03 0,86 1,01 0,90 0,52 1,21 1,23 0,96 1,08
4 1,01 1,31 1,22 1,69 1,28 0,89 0,43 0,62 1,25 0,63 0,78 1,19
5 1,24 1,03 0,86 0,91 1,15 0,97 0,87 0,94 1,17 1,43 0,84 0,87
6 0,86 1,12 0,92 0,84 0,74 1,04 1,40 2,66 0,80 0,41 0,60 0,57
7 0,46 0,66 1,06 1,01 0,84 1,52 1,92 0,17 0,67 0,68 0,93 1,43
8 0,91 1,49 1,03 0,97 0,82 1,30 1,67 0,16 0,96 0,49 0,88 1,22
9 0,77 0,87 0,76 0,75 1,63 0,62 0,59 1,73 0,73 1,31 1,58 0,81
И наконец, среднее количество информации, обработанной 7-м обучаемым при решении }-й задачи, И7]-, приведено в табл. 4.
Таблица 4
n/m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 1,65 2,27 2,13 2,35 2,08 2,63 2,46 2,49 2,49 2,48 2,54 2,67
2 1,81 2,59 2,39 2,69 2,34 3,11 2,85 2,90 2,90 2,88 2,98 3,18
3 1,76 2,48 2,31 2,58 2,25 2,94 2,72 2,76 2,76 2,74 2,83 3,00
4 1,69 2,34 2,19 2,42 2,14 2,72 2,54 2,57 2,57 2,56 2,63 2,77
5 1,89 2,77 2,54 2,89 2,47 3,43 3,09 3,15 3,15 3,13 3,26 3,53
6 1,85 2,68 2,47 2,79 2,40 3,26 2,97 3,02 3,02 3,00 3,11 3,35
7 1,77 2,51 2,33 2,60 2,27 2,98 2,75 2,79 2,79 2,78 2,86 3,04
8 1,79 2,54 2,36 2,64 2,30 3,04 2,79 2,84 2,84 2,82 2,92 3,10
9 1,95 2,93 2,67 3,08 2,59 3,78 3,32 3,40 3,40 3,37 3,54 3,92
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. - М.: Наука, 1988. - 451 с.
2. Rasch G. Probabilistic Models for Some Intelligence and Attainment Tests. - Copenhagen, Denmark: Danish Institute for Educational Research, 1960.
3. Сербин В. И. Методы оценки знаний в подсистеме тренинга обучающей системы // Вестн. Астрахан. гос. техн. ун-та. - 2007. - № 1 (36). - С. 247-251.
4. Лаптев В. В., Сербин В. И. Учёт времени при оценивании результатов автоматизированного контроля // Изв. Волгоград. гос. техн. ун-та. Сер.: Актуальные проблемы управления вычислительной
техники и информатики в технических системах. - 2010. - № 11 (71). - С. 102-105.
5. Кудряшов Б. Д. Теория информации. - СПб.: ПИТЕР, 2009. - 320 с.
6. Сербин В. И. Метод расчёта параметров автоматизированной обучающей системы из двух состояний // В мире научных открытий.- 2012. - № 1 (25). Математика. Механика. Информатика. - С. 153-166.
Статья поступила в редакцию 9.04.2012
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРЕ
Сербин Владимир Иванович - Астраханский государственный технический университет; преподаватель отделения связи и телекоммуникаций; viserbin@mail.ru.
Serbin Vladimir Ivanovich - Astrakhan State Technical University; Lecturer of the Post and Telecommunication Office; viserbin@mail.ru.
