Вероятностная модель межрегиональных отношений в контексте поставок природного газа Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.217

А.В. Борисова1

ВЕРОЯТНОСТНАЯ МОДЕЛЬ МЕЖРЕГИОНАЛЬНЫХ ОТНОШЕНИЙ В КОНТЕКСТЕ ПОСТАВОК ПРИРОДНОГО ГАЗА

Предложена вероятностная модель поставок природного газа от поставщика к транспортеру и затем к конечному потребителю. Проведено исследование надежности поставок природного газа в зависимости от двусторонних отношений стран, участвующих в процессе, получены оценки вероятности прекращения поставок газа.

Ключевые слова: марковские процессы, стохастические матрицы, поставки природного газа.

1. Введение. Законы рыночной экономики обусловливают все возрастающий спрос на энергоресурсы, среди которых природный газ является самым чистым и обеспечивает максимальный уровень выхода энергии. Наиболее серьезную угрозу безопасности газоснабжения стран Евросоюза представляет прекращение поставок газа из внешних источников.

Проблема обеспечения энергоресурсами экономики стран заставляет принимать различные меры по повышению надежности поставок. Исследованию моделей поставок природного газа посвящено множество работ (см., например, [1-4]). Разработаны модели для оптимизации поведения компании на рынке природного газа [1], модель оптимизации трубопроводной газотранспортной системы [2]. Проведено моделирование цепи поставок природного газа, включая производство, транспортировку, контракты и рынки [3]. Описаны взаимодействия между различными узлами этой цепи (в том числе поставщиком, транспортером и потребителем) [4]. В [5] проведено описание численного моделирования модели газового рынка Европы. Результаты показывают существенную взаимосвязь между потреблением газа и условиями его поставки.

В данной работе построена и изучается математическая вероятностная модель межрегиональных отношений в контексте поставок природного газа. Она отражает влияние взаимоотношений стран, входящих в состав цепочки поставки природного газа (поставщика, транспортера и потребителя), на поставку газа. Модель основана на предположении марковости перехода в следующее состояние в дискретном времени. В процессе исследования модели изучаемой системы использовался аппарат марковских процессов [6, 7], имеющий очень широкий спектр применения в различных приложениях (см., например, [8-10]). Исследование основывается на выявлении и изучении различных свойств марковских матриц, являющихся матрицами переходных вероятностей системы. В частности, рассматриваются некоторые спектральные свойства марковских матриц [11, 10]. Цель данной работы — исследовать вероятностные характеристики перехода всей системы в состояние коллапса, т. е. в состояние, когда поставка газа прекращается. Получены явные формулы для вероятностей коллапса на к- м временном шаге и формула для математического ожидания числа таких шагов в зависимости от начального состояния системы. Исследованы состояния системы с точки зрения упорядочивания вероятностей коллапса на последующих шагах. Также получены статистические результаты исследования вероятностных характеристик состояния коллапса рассматриваемой модели с помощью компьютерного моделирования.

2. Модель. Будем рассматривать цепочку поставки природного газа, состоящую из поставщика (S), транспортера (Т) и потребителя (С). В качестве такой цепочки может выступать, например, система газопроводов, поставляющая газ из России через Украину в страны Европы. Будем моделировать изменения в сфере взаимоотношений между этими странами. Полагаем, что отношения в задаче являются двусторонними и могут быть либо позитивными, либо негативными. Отношения стран приводят либо к сотрудничеству в сфере поставки природного газа, либо негативно отражаются на возможности поставки газа по этой цепочке.

Динамика модели будет иметь форму дискретного марковского процесса. Пусть заданы временные интервалы к = 0,1,..., N.

1 Факультет ВМК МГУ, асп., e-mail: asik.vmkQgmail.com

Определение!.. Вектором основного состояния системы гк в момент времени к называется вектор двусторонних отношений rk = (rkt,rkc,rkc), где переменные rkt, гкс, гкс характеризуют отношения между поставщиком и транспортером, транспортером и потребителем, поставщиком и потребителем соответственно.

Каждая компонента вектора основного состояния принимает значения 0 или 1: rkj = 1 в случае позитивных отношений, и г| = 0 в случае негативных отношений. Заметим, что размерность пространства основных состояний равна 8. Каждому основному состоянию поставим в соответствие номер г, 1 ^ г ^ 8. Обозначим основное состояние через гW = (г^ 1 ^ г ^ 8.

Определение2. Вектором расширенного состояния системы хк в момент времени к называется вектор хк = (гк,дк) = (rkt, гкс, гкс,дк), где переменная дк характеризует наличие поставки газа от поставщика к потребителю на шаге к: дк = 1, если поставка газа есть, и дк = 0, если поставки нет.

Заметим, что размерность пространства расширенных состояний равна 16. Обозначим расширенное состояние системы через 1 ^ i ^ 16.

Пусть задано начальное состояние системы х° = (r°t,г°с,г°с,д°), где д° = 1, т.е. в начальный момент поставка газа есть.

Целью данной работы является исследование надежности поставок природного газа в зависимости от взаимоотношений между странами.

Определение 3. Коллапсом называется состояние системы в некоторый момент времени к, при котором д1 = 1 для всех I = 0,1,..., к — 1 и дк = 0.

Другими словами, система приходит в состояние коллапса, если прекращается поставка газа от поставщика к потребителю. Считаем, что система, пришедшая в состояние коллапса, не выходит из него, т. е. если дк = 0, то д1 = 0 для любого I ^ к.

Определение 4. Траекторией системы называется последовательность С векторов хк = (rk,дк) расширенного состояния системы, к = 0,1,..., N: С = (х°, ж1,..., xN).

Определение 5. Траекторией, в момент времени к приходящей к коллапсу, называется траектория С, такая, что д1 = 1 для всех I = 0,..., к — 1, и дк = 0.

Определение 6. Траекторией, до момента времени к приходящей к коллапсу, называется траектория С, приходящая к коллапсу в момент времени I, где I < к.

Считаем, что для любого к = 0,1,..., N — 1 расширенное состояние системы хк+1 на шаге к + 1 зависит только от расширенного состояния системы хк на предыдущем шаге к. Таким образом, на

пространстве основных и расширенных состояний мы зададим марковский процесс. Для расширенных

JV-1

состояний каждая траектория С = (х°,хг,... ,xN) реализуется с вероятностью р(С) = П р(хк+1\хк),

к=о

где р(хк+1\хк) — условная вероятность расширенного состояния хк+1.

Целью работы является исследование вероятностных характеристик наступления коллапса системы поставки газа, основываясь на изменениях во взаимоотношениях между поставщиком, транспортером и потребителем. Для достижения поставленной цели предполагается решение следующих основных задач: построить математическую модель системы, оценить вероятность наступления коллапса в зависимости от номера шага, начального состояния системы и параметров марковского процесса, определить такие параметры системы, которые обеспечивают наиболее надежный режим поставки.

3. Подход к описанию динамики в пространстве основных состояний. Введем матрицу переходных вероятностей

^ an a i2

д _ «21 О22 \Й81 а82

где aij — вероятность перехода из основного состояния i на шаге к в основное состояние j на шаге к +1. Ввиду предположения о марковости процесса эти вероятности не зависят от шага к. Матрица А является марковской, и каждая ее строка представляет собой вероятностный вектор.

Обозначим г-ю строку матрицы А через Sj = (а,ц Щ2 • • • Щз), 1 ^ i ^ 8.

... ai8\

■ ■ ■ а,28

■ ■ ■ ass}

з=1

Зададим вектор-столбец вероятностей перехода из состояний неколлапса в состояние коллапса q = (qi, g2,..., qg)T, где g^ — вероятность коллапса на следующем шаге для системы, находящейся в г-м состоянии, 1 ^ i ^ 8.

Обозначим через Pk(i) вероятность наступления коллапса на шаге к при условии отсутствия коллапса на 0,1,..., А; — 1 шагах и через P(i, к) — вероятность наступления коллапса до шага к, где г — номер начального состояния системы. Лемма 1. Для P}.(i) верна формула

к—2

= (1) п=О

Доказательство. Поскольку динамика системы описывается марковским процессом, стохастическая матрица Ап задает вероятности перехода из одного состояния в другое через п шагов [9]. Заметим, что SiAn~lq определяет вероятность наступления коллапса через п шагов, если изначально система находится в состоянии г, 1 ^ i ^ 8.

Если Pi (г), ...,Pk(i) — вероятности наступления коллапса на шагах 1,..., к для начального состояния г соответственно, и при условии отсутствия коллапса на предыдущих шагах, то вероятность

к

ненаступления коллапса на первых к шагах равна 1-Х) -Ж^)- Тогда по формуле условной вероятности

i=i

получаем

P1(i) = siq; P2(i)=siAq(l-P1(i))-, P3(i) = SiA2q (1 - Pi (г) - P2(i)); ... (2)

( k~l \

Pb{i) = siAk-\[l^Y^Pl{i)y (3)

Вычислив эти вероятности рекуррентно, получаем формулу (1) для вероятности наступления коллапса на шаге к.

Лемма 2. Для вероятности наступления коллапса до шага к верна формула

к-1 1-2

Р(ц k) = Y, SiAl~lq П (1 - SiAnq). (4)

1=1 п=О

Степень надежности всей системы помогают определить оценки вероятности наступления коллапса. Например, в случае наличия возможности у потребителя выбрать цепочку транспортер-поставщик из нескольких вариантов потребитель может оценить и сравнить надежность каждого варианта системы, используя формулы оценок вероятности наступления коллапса. Если рассматривать страны Европейского Союза в качестве единого потребителя, такой расчет оценок вероятностей наступления коллапса может быть полезен для сравнения двух конкурентных проектов газопроводов: "Южный поток" ("South Stream") и "II а бук ко" ("Nabucco"). Приведем несколько различных оценок для P(i, к).

Теорема 1. Для вероятности P(i,k) наступления коллапса до момента к имеют место следующие оценки:

k-1

Р{ик) < ||д||]Г||А||*, (5)

1=о

fc-i

и более точные оценки:

P(i,k)^\\q\\ "pi, ^ (6)

k-l

P(i,k) < |(^,д)| + |д|]Г||А||*, (7)

i=i

k-l

P(i,k) < \(si,q) \ + |g| ||A||2 'pjj (8)

где ||A|L = таxc¿(A) — сингулярная норма матрицы А, где (Ji(A) — i-e сингулярное число матрицы

i

А, % = 1,..., т.

Доказательство. Для множителя SiAl~1q из (4) верна оценка

¡SiA^ql <: ||s¿|| ЦА'-^Ц = ЦА'-^Ц < ЦАЦз-1 ||д||.

1-2

Заметим, что (1 — SiAnq) ^ 1, так как 0 ^ SiAnq ^ 1. п=о

Таким образом, для оценки вероятности наступления коллапса получаем

к к

p(i, k + i)^Yl M,-1?l < NI ЕII-Aii2_1 > (9)

i=i i=i

откуда следует оценка (5). Используя формулу суммы геометрической прогрессии в (5), получаем оценку (6). Выделяя отдельно первое слагаемое из первой суммы в (9) и используя формулу суммы геометрической прогрессии, получаем оценку (8).

Замечание 1. Оценки (7) и (8) вероятности наступления коллапса в некоторых случаях могут оказаться значительно точнее основной оценки (5). Для некоторых определенных значений векторы Si и q могут быть почти ортогональными, тогда их скалярное произведение близко к 0, что означает малость первого слагаемого в оценках (7) и (8).

4. Анализ асимптотической динамики. Предположим, что марковская матрица А положительна, т.е. a,ij > 0 для всех 1 ^ i,j ^ 8.

В этом разделе покажем невозможность ненаступления коллапса системы, т. е. покажем, что при любом начальном состоянии 1 ^ г ^ 8 система всегда приходит в коллапс на каком-либо шаге к.

Теорема 2. Для любого начального состояния системы 1 ^ г ^ 8 вероятность P(i,k) наступления коллапса до шага к возрастает с шагом к и

P(i, оо) = lim P(i,k) = 1.

к—>оо

Доказательство. Согласно критерию стохастичности матрицы [6, с. 382], все собственные значения марковской матрицы не превосходят 1, и 1 всегда является ее собственным значением. Отсюда и из леммы о норме марковской матрицы [9] следует, что ||А||2 = 1.

По теореме о степенном пределе стохастической матрицы [6] получаем, что всякая слабособственная матрица имеет степенной предел. По предположению матрица А положительна, следовательно она является примитивной. По теореме о слабособственности стохастической матрицы [6] примитивная матрица А является слабособственной, откуда следует, что матрица А имеет степенной предел. Согласно теореме о сходящейся последовательности марковских матриц [6], степенной предел матрицы А также будет марковской матрицей. Обозначим ее А°°.

Покажем, что вероятность наступления P(i, оо) коллапса до бесконечности определена выражением P(i, оо) = lim P(i, к) корректно, т. е. предел P(i, к) при к ^ оо существует. Для этого покажем,

к—>оо

ос

что ряд P(i, оо) = ^ Pi(i) сходится. Из (3) имеем i=i

lim = lim " »Akq = 1 " < 1,

fc-foo Pf; fc-foo SiAK Lq

так как, очевидно, sA°°q > 0. Значит, по признаку Д'Аламбера ряд сходится, и вероятность наступления коллапса до бесконечности определена корректно.

Найдем значение этой вероятности. Имеем

к / к \ к — 1 P(i, оо) = lim VPi(i) = 1 - ( 1 - lim Vp«(«) 1 = 1 - lim TT C1

k—>ocz—' \ k—>ocz—' / k—>oo J--L

1=1 x 1=1 7 n=0

Для положительной матрицы А и ненулевого вектора q имеем 0 < SiAnq ^ 1. Следовательно, каждый множитель бесконечного произведения неотрицателен и строго меньше 1.

Рассмотрим Бп = (1 — «¿А0?)... (1 — ЗгАпц). Из 0 < ^ 1 следует, что Бп > Бп+1, таким

образом, получаем убывающую последовательность, ограниченную снизу нулем. Следовательно, предел бесконечного произведения равен 0. Значит, Р(г, оо) = 1 — 0 = 1, т.е. для любого начального состояния 1 ^ 'I ^ 8 система приходит в состояние коллапса на каком-либо шаге к.

Поскольку 0 < зАпц < 1, при п € -/V, то все Рк(г) > 0, 1 ^ I ^ 8. Учитывая это, из (4) следует, что Р(г, к) возрастает с каждым шагом.

5. Подход к описанию динамики в пространстве расширенных состояний. Формулы (1) и (4) для вероятностей коллапса имеют сложный вид, и с их помощью сложно получить хорошие соотношения и результаты для газовой модели. Новый подход состоит в рассмотрении расширения матрицы и получении с его помощью более простых выражений для вероятностей наступления коллапса.

Будем рассматривать расширенные состояния системы (см. п. 2). Всем расширенным неколла-псным состояниям, т.е. векторам вида х = (гзг,ггс,гсз,1), присвоим номера от 1 до 8. Объединим все расширенные коллапсные состояния системы в одно состояние и присвоим ему номер 9. Таким образом, будем рассматривать

х

^ — (rgt\ T"tc\ i'cs\ 1) — (0; 1);

т(8) = ( (8) (8) (8) 1\ = /1 1 1 1\

^ V 1 Ы 1 ' 1 ) V ' ' '

Ж(9) = (г^,Пс,гсв,0) {гвиПс,гСв = {0,1}).

Во введенных обозначениях динамика системы имеет форму марковского процесса с девятью состояниями. Построим для него матрицу переходных вероятностей В размерности 9x9. Используя обозначения раздела 5, получим

В =

(оц(1 — 9i) ••• 018(1-98) ßngi + Öi2g2 + • • • + ai89s\ 08i(l-9i) ••• 08s(l 9s) osi9i + a82g2 + • • • + a$$q$

v 0 ... о 1 )

(10)

Заметим, что 9-я строка матрицы В означает, что если система попадает в 9-е состояние (состояние коллапса), то остается там на следующем шаге с вероятностью 1.

Обозначим через ¿>1,..., элементы последнего столбца матрицы В:

к = anqi

01898;

г = 1,.... 8.

Лемма 3. Элемент Ьг последнего столбца матрицы В определяет вероятность наступления коллапса на следующем шаге, если на данном шаге система находится в состоянии г. Элементы последнего столбца матрицы Вк, полученной возведением матрицы В в к-ю степень, равны соответствующим вероятностям наступления коллапса до шага к.

Замечание 2. Матрица В не является положительной, но она является неотрицательной, стохастической и слабособственной [6].

Запишем матрицу В в виде

/ ЬД

в =

в

V0...0 1}

где В — положительная матрица. Выразим вероятность наступления коллапса до шага к через матрицу В. Обозначим через Р(к) вектор-столбец вероятностей P(i, к) наступления коллапса до шага к, зависящих от начального состояния системы г, 1 ^ i ^ 8: Р(к) = (Р( 1, к)... Р(8, к))Т, и через Р^ — вектор-столбец вероятностей наступления коллапса на шаге к: Р% = (Рк( 1) • • • Рк(&))Т■

Лемма 4. Для вероятности наступления коллапса до шага к верно равенство

Р(к) = (Е - Вк) (1 ... 1)Т,

где Е — единичная матрица размерности 8x8.

Следствие 1. Для вероятности наступления коллапса на шаге к верно равенство

.т

Pk = Вк~1(Е — В) (1 ... 1)J

(Н)

(12)

В п. 4 было доказано, что система при к ^ оо попадает в состояние коллапса с вероятностью 1. Вычислим математическое ожидание шага, на котором наступает коллапс системы в зависимости от начального состояния системы. Обозначим через Ек = (Е&(1) ... Е&(8)) вектор-столбец математических ожиданий уровня наступления коллапса для всех начальных состояний системы.

Теорема 3. Для математического ожидания уровня наступления коллапса системы верно равенство

Ек = (Е - B)~l (1 . Доказательство. Согласно формуле (12), имеем

1)

г

(13)

ъ = У2кРк = (Е- В) У"кВк~1 (1 ... 1)

г

fc=i

fc=i

(14)

Согласно критерию сходимости матричного степенного ряда [6, с. 115-117], для сходимости ряда в (14) необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения матрицы В принадлежали области

ос

сходимости производящего ряда. Для матричного ряда (14) ряд ^ кук~1 является производящим.

к=1

Этот ряд сходится к 1/(1—у)2 абсолютно при |у| < 1. Теперь найдем собственные значения матрицы В. Покажем, что они совпадают с собственными значениями марковской матрицы В, за исключением собственного значения матрицы В, равного 1. Имеем

В — \Е

(

В — ХЕ

\ 0...0

Ьг \

bs 1-Х )

= (1 - А) \В - ХЕ\ .

По теореме о слабособственности марковских матриц [6] матрица В является слабособственной, поэтому все ее собственные значения, кроме одного, по модулю меньше 1. Значит, все собственные значения матрицы В по модулю меньше 1 и принадлежат области сходимости производящего ряда. Следовательно, матричный ряд сходится, и математическое ожидание уровня наступления коллапса существует.

Сумма производящего ряда равна 1/(1 — у)2. Отсюда, согласно критерию сходимости матричного степенного ряда [6, с. 115-117], сумма ряда из (14) равна (Е — В)~2. Тогда математическое ожидание шага наступления коллапса (14) равно

1к = (Е^В)(Е^В)~2 (1 ... 1)Т = (Е- В)'1 (1

1)

г

Теорема доказана.

6. Прогнозирование коллапса в общем случае. В общем случае газовой модели рассматриваем матрицы В и Вк размерности 9x9 следующего вида:

/

В =

ЪА

в

/

вк =

V0...0 1/

ß(k)

ь\к)\

dk)

(15)

\о...о 1 /

Системное тестирование модели для разных входных параметров привело к появлению следующей гипотезы.

Гипотеза. Существует достаточно большое т, такое, что если в (15) выполнено Ъ^ > > b^ > ... > то для всех k ^ т верно Ь^ > Ъ^ > ... >

Замечание 3. Гипотеза доказана для случая, когда матрица В имеет размерность 3 х 3. В этом случае число т = 0.

Таким образом, если вероятность наступления коллапса на шаге т из состояния г больше, чем из состояния i + 1, то это же верно и для к шагов Вк.

Матрицу для газовой модели к такому виду можно привести определенной перестановкой соответствующих строк и столбцов, т. е. такой вид матрицы Вт однозначно определяет "нежелательный переход" из какого-либо состояния системы j: нежелательным будет переход в состояние, которое в матрице Вт вида (15) будет иметь номер строки меньший, чем номер строки состояния j в этой же матрице.

На рисунке приведены примеры графиков вероятности наступления коллапса до момента к для некоторых входных параметров, полученые при помощи программы, написанной в среде Maple. Действительно, гипотеза имеет место для среднего и левого графиков при т = 2, т. е. начиная со второго шага графики для различных состояний не пересекаются. Для графика справа число т = 0.

Р( 1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0

Графики вероятностей наступления коллапса до момента к из всех возможных начальных состояний для трех различных матриц переходных вероятностей

7. Заключение. Исследована модель межрегиональных отношений в контексте поставок природного газа. Предложено и проанализировано два подхода к описанию динамики модели, с помощью которых получены следующие результаты. Обоснованы явные формулы для вычисления вероятности наступления коллапса (прекращения поставок) на шаге & и до шага к (лемма 1, лемма 2, лемма 4 и следствие 1); приведены их оценки (теорема 1); проведено исследование поведения системы на бесконечном интервале времени и доказано, что всегда наступает коллапс системы (теорема 2); получена явная формула для математического ожидания шага наступления коллапса (теорема 3). Исследован эффект упорядочивания вероятностей коллапса на последующих шагах (гипотеза).

Гассмотренная модель может составить материал для дальнейших исследований. Так, требует обоснования гипотеза. Представляет интерес изучение свойств упорядочивания состояний системы в терминах спектральных свойств рассмотренных положительных матриц и их собственных векторов.

Методы и подходы, предложенные в данной работе, допускают интерпретацию в терминах других приложений марковских процесов и могут найти применение при анализе других прикладных задач, не обязательно связанных с поставкой газа.

СПИСОК ЛИТЕГАТУГЫ

1. Allevi Е., Bertocchi M.I., Vespucci М.Т., Innorta М. A mixed integer nonlinear optimization model for gas sale company // Optimization Letters. 2007. N 1. P. 61-69.

2. Sklyarov Yu. S., Kostyukov V.V. Optimal control with a quadratic criterion in distributed gas-transport systems // J. Math. Sci. 1996. 82. N 2. P. 3296-3300.

3. Tomasgard A., Romo F., Fodstad M., Midthun K. Optimization models for the natural gas value chain // Geometric Modeling, Numerical Simulation, and Optimization. Part III. Berlin; Heidelberg: Springer, 2007. P. 521-558.

4. Hershauer J. C., Walsh K.D., Tommelein I. D. Supply chain management: interlinking multiple research streams // Applied Optimization. 2005. N 92. P. 383-410.

5. Weizsäcker С. С., Ferner J. An integrated simulation model for European electricity and natural gas supply // Electrical Engineering. 2001. 83. N 5. P. 265-270.

6. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. M.: Наука, 1966.

7. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1973.

8. Каре лова O.JL, Бань ко М. А. Применение марковских цепей при прогнозировании демографической ситуации в мире // Математическое моделирование. 2006. 18. № 2. С. 43-50.

9. Выдрин A.C., Михалёв A.B. Стохастические матрицы и анализ защищенности автоматизированных систем // Фундаментальная и прикладная математика. 2007. 13. № 1. С. 61-99.

10. James С. Fu, Liqun Wang, Wendy Lou W.Y. On exact and large deviation approximation for the distribution of the longest run in a sequence of two-state Markov dependent trials //J. Appl. Probability. 2003. 40. N 2. P. 346-360.

11. Seneta E. Nonnegative Matrices and Markov Chains. N.Y.: Springer, 1981.

Поступила в редакцию 05.10.09

УДК 519.612:632.4 В.А. Крылов1

АППРОКСИМАЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ АМПЛИТУД ИЗОБРАЖЕНИЙ РАДАРА С СИНТЕЗИРОВАННОЙ АПЕРТУРОЙ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ СМЕСЕЙ

В работе предлагается метод для решения проблемы аппроксимации распределения амплитуд для изображений, полученных радаром с синтезированной апертурой (РСА), с использованием метода конечных смесей распределений. Данный метод включает в себя стохастический Expectation Maximization (ЕМ) алгоритм и метод логарифмических кумулянт для оценки параметров компонент смеси. Распределения для компонент смеси выбираются из специального словаря, содержащего характерные для РСА распределения. Предложенный метод является полностью автоматическим. Эксперименты с реальными РСА-изображениями высокого разрешения показывают результаты высокой точности как с точки зрения визуального анализа, так и с точки зрения количественных характеристик (коэффициент корреляции, расстояние Колмогорова-Смирнова).

Ключевые слова: радар с синтезированной апертурой, распределение амплитуд, метод конечных смесей, стохастический ЕМ-алгоритм, метод логарифмических кумулянт.

1. Введение. В контексте задач дистанционной регистрации данных одна из важнейших задач связана с аппроксимацией распределений амплитуд изображений, полученных со спутников и радаров, в частности при помощи радаров с синтезированной апертурой (РСА) [1]. Приближенные распределения амплитуд используются в ряде дальнейших прикладных задач, таких, как удаление шумов, классификация и распознавание объектов. В литературе предложен ряд распределений, хорошо аппроксимирующих наблюдаемые распределения амплитуд РСА, эти распределения можно условно разбить на два класса: эмпирические и теоретически-обоснованные. К первому классу относятся: ло-гнормальное распределение, распределение Вейбулла и обобщенное гамма-распределение [1]; эти распределения, не имея теоретических обоснований применимости к РСА, показали хорошие результаты в экспериментах. В свою очередь, для теоретически-обоснованных распределений, таких, как распределение Накагами,

К1/2

-распределение (К-распределение описывает распределение интенсивностей, а соответствующее распределение К1/2 было предложено для амплитуд [1]) и обобщенное распределение Гаусса-Рэлея [1, 2], были предложены доказательства (с дополнительными предположениями) соответствия этих моделей определенным видам поверхностей (вода, лес, поле) [1]. Однако слабость всех приведенных выше моделей заключается в невозможности описания распределений неоднородных

1 Факультет ВМК МГУ, асп., e-mail: vkrylovQcs.msu.ru