CC BY
19
УДК 519.2
Б. Ф. Эминов, В. М. Захаров
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ УКРУПНЯЕМЫХ И УКРУПНЕННЫХ
ЦЕПЕЙ МАРКОВА
Ключевые слова: Укрупненные и укрупняемые цепи Маркова, регулярная цепь Маркова, предельные матрица и вектор,
вычислительная сложность.
Представлены асимптотические свойства регулярных цепей Маркова, основанные на предельных матрицах и векторах укрупняемых и укрупненных цепей Маркова. Показаны связи между этими свойствами. Предложен метод вычисления асимптотической характеристики функций цепей Маркова, из класса укрупненных цепей Маркова. Показано, что предельное распределение функции регулярной укрупняемой цепи Маркова совпадает с предельным распределением укрупненной цепи. Для асимптотических свойств оценена сложность их вычисления.
Keywords: Aggregated and aggregating Markov's chains, regular Markov's chain, final's matrix and vector, computational
complexity.
In the paper we consider asymptotic properties of regular Markov's chains. Properties based on the final's matrices and vectors of aggregated and aggregating Markov's chains. We presented relationships between these properties. The proposed statements are proved. We proposed a method for calculating the asymptotic characteristics offunctions of Markov chains, from the class of aggregated Markov chains. It's shown that the limiting distribution of function of regular aggregating Markov chain coincides with the limit distribution of the aggregated chain. We evaluated computational complexity of asymptotic properties.
Введение
Укрупнение случайного процесса в общем виде рассматривается как замена стохастического процесса с большим числом состояний на процесс с укрупненными состояниями [1-3]. К числу востребованных в различных приложениях укрупненных стохастических процессов относятся функции цепей Маркова [1] с конечным числом состояний [4-11]. Общий подход к построению данных функций ЦМ (ФЦМ) состоит в следующем: множество состояний исходной цепи Маркова (ЦМ) разбивается на непересекающиеся классы, и исследуется поведение ЦМ при условии, что состояния, принадлежащие одному классу, не различаются [1, 2].
Для того чтобы в построенной функции ЦМ посредством разбиения множества состояний исходной ЦМ связь укрупненных состояний во времени была представима в виде простой ЦМ необходимо, чтобы последовательность
укрупненных состояний обладала марковским свойством [2] (независимость "будущего" от "прошлого" при заданном "настоящем"). В ФЦМ связь состояний во времени, в общем случае, нельзя представить в виде простой ЦМ [1, 2].
Впервые про укрупнение ЦМ описано в работе [1], где результат укрупнения рассматривается как характеристическая функция конечных ЦМ, а функции ЦМ, не обладающие марковским свойством, названы "ненастоящими" (или скрытой марковской моделью [9]). В работе [2]: определены свойства регулярной стохастической матрицы (РСМ), наличие которых при заданном разбиении множества состояний на непересекающиеся классы интерпретируется как возможность укрупнения ЦМ; функции ЦМ, обладающие марковским свойством, названы укрупненными ЦМ; дано аналитическое
представление укрупненной ЦМ на основе РСМ исходной ЦМ; отмечено, что для заданной эргодической ЦМ [2], обладающей возможностью укрупнения, соответствующая укрупненная ЦМ является также эргодической ЦМ.
Задаче укрупнения ЦМ и ее приложению, начиная с [2], посвящено большое число работ, в частности значительный список подобных работ представлен в статьях [3-13]. В следующих работах решается задача укрупнения ЦМ. В работе [6] предлагается метод укрупнения непрерывных ЦМ без построения стохастической матрицы новой цепи на основе [2]. В [9] предлагается метод укрупнения ЦМ с сохранением энтропии, при выполнении свойства укрупняемости, за счет сохранения графа переходов ЦМ. В [5] описан алгоритм укрупнения непрерывной ЦМ, базирующийся на сплайн-деревьях. В [7] рассматриваются методы укрупнения предельного вектора простой ЦМ по принципу «разделяй и властвуй», определяемые структурой стохастической матрицы и числом нулевых элементов. В [12] приводится алгоритм проверки регулярных ЦМ на возможность укрупнения и построения укрупненных ЦМ.
По вопросу получения и исследования предельного вектора укрупненной ЦМ известны следующие работы. Предложен алгоритм [8] вычисления предельного вектора укрупненной ЦМ с помощью вычисления предельных вероятностей реализации исходной ЦМ. Представлены [7] способы вычисления с меньшей вычислительной сложностью таких характеристик, как предельный вектор, матрица времен попадания и время блуждания до попадания в поглощающее состояние. В [4] предложены методы вычисления предельного вектора для ЦМ с большим числом состояний без решения системы линейных уравнений вида яР = я
приведением стохастической матрицы исходной ЦМ к блочному виду.
Представление ФЦМ в виде укрупненных ЦМ позволяет изучать укрупненный процесс методами ЦМ и решать различные прикладные задачи. Отметим некоторые. В [14] предлагается применять укрупнение состояний двумерной цепи Маркова (процесса "рождения и гибели"), описывающей системы обслуживания с различными пространственными и временными приоритетами. В
[15] решается задача объединения марковских последовательностей в простую однородную ЦМ с помощью процедуры укрупнения состояний ЦМ. В
[16] предложены формулы для вычисления собственных значений стохастической матрицы (СМ) укрупненной ЦМ на основе СМ исходной ЦМ. В [13] показана возможность минимизации марковских автоматов и в [17] представление скрытых полумарковских моделей в полиномиальном виде над полем Галуа на основе укрупнения ЦМ. В [18] укрупнение ЦМ применяется для криптоанализа алгоритмов блочного шифрования.
В работе рассмотрение ФЦМ связано с классом регулярных ЦМ, как имеющих единственное эргодическое множество [2] и предельные вектор жпр и матрицу Рпр. Задача
построения непосредственно укрупненной ЦМ не рассматривается, ее решение представлено в работах [2, 12].
Целью работы является определение асимптотических характеристик регулярных укрупняемых и укрупненных цепей Маркова и представление метода вычисления асимптотической характеристики ФЦМ, из класса укрупненных цепей Маркова, уменьшающего вычислительную сложность.
1. Связь укрупняемых и укрупненных цепей Маркова
Пусть задана регулярная конечная ЦМ [2] системой
(3, Р, ), (1)
где £ = {5,} - конечное множество состояний ЦМ,
3 = п, _
Р = (р-), I, ] = 0, п -1 - регулярная СМ ЦМ размера
П*П,
р- - переходные вероятности ЦМ, ж0 - вектор начального распределения вероятностей состояний ЦМ.
Выполним разбиение исходного множества состояний 3 ЦМ (1) на t непересекающихся подмножеств (на классы) вида А = {А0, Аь ..., Агл}, где при } ф d и Уj,Уd = 0,( -1
укрупненной ЦМ будет задаваться стохастической матрицей Р = (р,) размера Ш, d, j = 0, t -1. Пусть
У л1 = Б , А] п Ad = 0 .
(2)
j=0
Ра = Е Рш , I,к = 0, п -1, j = 0^ -1 (3)
5, £ А1
- вероятность попасть из состояния 5к в множество А у за один шаг исходной ЦМ (1).
Теорема 1 [2]. Для того чтобы состояния ЦМ (1) можно было укрупнить посредством разбиения на классы А = {А0, Аь ..., А«}, необходимо и достаточно, чтобы для любых двух
классов Аа и А,- и для Увк £Ad, к = 0,п -1,
d, j = 0^ -1, вероятности рА имели одно и то же
значение. Вероятности {р^} переходов между
классами образуют СМ Р укрупненной ЦМ.
Утверждение 1. Пусть задана предельная матрица Рпр регулярной ЦМ. Тогда ЦМ, заданная стохастической матрицей Рпр, при любом разбиении (2) является укрупняемой.
Доказательство. У регулярной ЦМ существует стохастическая предельная матрица Рпр. Все строки этой матрицы одинаковы и равны
предельному вектору лпр . Зададим некоторую
простую ЦМ, определяемую законом в виде СМ Рпр. При любом разбиении (2), для любых двух классов
Ал и А,- и для £Ad , к = 0,п -1, d,Ц = 0^ -1,
вероятности ркА (3) имеют одно и то же значение
(значения ркА^ для всех к-ых строк будут
одинаковы). Т.е. по условию теоремы 1 данная ЦМ укрупняема. Утверждение доказано.
Определение 1. Цепь Маркова с регулярной стохастической матрицей Р, удовлетворяющая условию теоремы 1, будем называть укрупняемой.
Определение 2. Цепь Маркова со СМ Р, полученную укрупнением цепи Маркова (1) по разбиению (2), будем называть укрупненной.
Введем матрицы V и и в соответствии с [2].
Пусть матрица V = (у-), I = 0, п -1, j = 0, t -1 -
булева матрица размера пх^ единичное значение элемента V- которого определяет, что состояние исходной ЦМ входит в укрупненное состояние А-:
Г1, 5, £ А:
V : =1П А . Зададим матрицу и = (и-), I и,5, г а:
Пусть каждое из подмножеств А-
1 = 0, п -1, Ц = 0^ -1, размера tхn, у-ая строка
п-1
(стохастический вектор, Е и, = 1) которой
1=0
отражает информацию о классе А- :
- ненулевой элемент и- показывает, что укрупненное состояние А- содержит состояние из исходной ЦМ;
- значение элемента и— принимается вероятностным и вычисляется как
Ц = 0^ -1, будет новым состоянием укрупненной ЦМ (по терминологии [2]), а стохастический закон
=
, 5, 6 А,
0, в, г А!
п -1
где "у, - число всех состояний si исходной ЦМ,
,=0
принадлежащих классу Aj.
Следствие 1 (из теоремы 1) [2]. Пусть:
1) задана ЦМ (1), состояния которой можно укрупнить по заданному разбиению (2);
2) определены матрицы и и V по матрице Р и заданному разбиению (2).
Тогда стохастическая матрица Р укрупненной ЦМ задается формулой
Р = иРУ . (4)
Замечание 1. Для произвольно заданной ЦМ вида (1) определить является ли она укрупняемой по заданному или по некоторому возможному разбиению вида (2) можно по алгоритму из [12].
Теорема 2 [2]. Если матрица Р укрупняема при заданном разбиении (2) и матрицы и и V определены как выше, то
VUPV = PV. (5)
Условие (5) эквивалентно возможности укрупнения ЦМ [2] по заданному разбиению вида (2).
Следствие 2 (из теоремы 2). При выполнении условий теоремы 2 справедливо равенство [2]
Рк = иРкУ , (6)
где к - натуральное число, 2 < к < да .
Доказательство основывается на замечаниях из [2, С. 163]. В соответствии с условием (5) выполним преобразования формулы (4). Т.к.
Р = иРУ, то Р2 = Р ■ Р = иру ■ иру = ир(уиРУ)
. В соответствии с формулой (5) выражение VUPV заменим на PV: Р2 = иР(УиРУ) = иРРУ = иР V .
Т.е. Р2 = иР2У. По индукции, увеличивая степень к, и учитывая утверждение 1, получим, что равенство (6) верно при всех к, 2 < к < да .
2. Свойства укрупняемой цепи Маркова
Утверждение 2. Если исходная регулярная ЦМ укрупняема по разбиению (2) и матрицы и и V определены как выше, то результатом ее укрупнения также будет регулярная ЦМ.
Доказательство. Для регулярной ЦМ существует предельная матрица Рпр. Тогда, в соответствии с утверждением 1, заданная стохастической матрицей Рпр ЦМ при любом разбиении (2) является укрупняемой. Тогда по
следствию 1 справедлива формула Рпр = иРпрУ, где Рпр - СМ укрупненной ЦМ, полученной на основе
ЦМ с СМ Рпр.
По следствию 2 справедлива формула (6):
Рк =иРкУ пр пр
Т.к. матрица Рп
Рпр = Рпр . Соответственно при неизменности Р,
- предельная, то
, и,
V, значение Ркр будет равно Рпр. Т.е. Рпр не
изменяется и является предельной. Тогда согласно теореме 4.1.2 из работы [2, стр. 93] полученная
укрупненная ЦМ со стохастической матрицей Р является регулярной. Утверждение доказано.
Утверждение 2 устанавливает, что у ЦМ, полученной укрупнением регулярной ЦМ, существуют предельный вектор
япр = (ЯПр, япр,..., ЯПр) и предельная матрица Рпр .
Утверждение 3. Пусть ЦМ (1), заданная матрицей Р, укрупняема по заданному разбиению (2). Получена матрица Рк возведением матрицы Р в степень к, 2 < к < да . Тогда ЦМ, заданная матрицей Рк, также является укрупняемой по разбиению (2).
Доказательство. По следствию 1 верно
равенство Р = иРУ . По следствию 2 верно
равенство Рк = иРкУ, 2 < к < да . Обозначим матрицу Р через Q и пусть Q задает стохастический
закон новой регулярной ЦМ. Тогда за С) обозначим матрицу укрупненной ЦМ, если она укрупняема, т.е. если верно равенство С) = иОУ (следствие 1).
Равенство верно в силу свойств 1-2 и т.к. Рк = <С . Т.е. ЦМ, заданная матрицей Рк, является укрупняемой по разбиению (2). Утверждение доказано.
3. Свойства укрупненной цепи Маркова
Теорема 3. Пусть:
1) задана ЦМ (1), укрупняемая по заданному разбиению (2);
2) по матрице Р вычислены ее к-ая степень -матрица Рк , 2 < к < да , и стохастическая матрица
Р укрупненной ЦМ по формуле (6);
3) по ЦМ, заданной матрицей Рк, и по заданному разбиению (2) построена укрупненная
ЦМ, определяемая стохастической матрицей Рку);
4) по матрице Р вычислена ее к-ая степень - матрица (Р)к.
Тогда Ру) = (Р)к.
Доказательство. Обозначим матрицу Рк как Q. Зададим регулярную ЦМ, определяемую законом в виде СМ Q, и выполним ее укрупнение.
Обозначим за Q СМ укрупненной ЦМ. По
следствию 1 справедливы формулы <С = иОУ и
Р = иРУ .
Возведем матрицу Р в к-ую степень. По следствию 2 получим (Р)к = иРкУ. Подставим вместо Рк символ Q: (Р)к = иОУ. Видно, что верно
равенство (Р)к = <С, где <С является матрицей Рку}.
Теорема доказана.
Из теоремы 3 следует, что матрицу Рк можно вычислить не только по формуле (6) с
тлк
предварительным вычислением степени Р , но и по следующей альтернативной процедуре:
- на шаге 1 вычисляется матрица Р с помощью алгоритма [12] по матрице Р;
- на шаге 2 по матрице Р вычисляется степень Р .
Таблица - Вычислительная нахождения матриц из теоремы 3
сложность
а)
Матрица Р2 = РхР Р
Действий с элементами 1 пхп умножение раз
Сложность по х п п3 (k-1)п3
по + п-1 (п-1)п2 (k-1)(п-1)п2
б)
в)
г)
Матрица
Действий с элементами 1 гхп
Слож- по х П П
ность по + П-1 (п (п-1)
Матрица (УР)*¥
Действий с элементами 1 /х/
Сложность по х П П/2
по + П-1 (п-1)/2
Матрица Р2 =1 5 х Р Рк
Действий с элементами 1 /х/ умножение k-1 раз
Слож- по х / г3 (Ы)/3
ность по + /-1 /2(/-1) (k-1)(t-1)t2
Найдем оценку сложности вычисления Рк по формуле (6): сложим вычислительные сложности для матриц Рк, и*Рк и (иР)*¥, представленные соответственно в таблице, пункты а, б, в. Получим сложность:
- по умножению (к-1)я3 + /п(п + /);
- по сложению (к-1)(п-1)п2 + /(п-1)(п + /). Т.к. основной вклад вносит операция
умножения, то итоговой оценкой будет 0((к-1)п3).
Теперь найдем сложность вычисления
матрицы Рк по альтернативной процедуре:
1) вычисление матрицы Р - 0(8п2) [12];
2) возведение Р в степень k (таблица, пункт г):
- по умножению - (^-1)/3;
- по сложению - (k-1)(t-1)t2.
Т. к. основной вклад вносит операция умножения, то итоговой оценкой будет 0(^-1)^ + 8п2). Т.е. при / < п и k > 2 вычислительная сложность второй процедуры меньше. Например, это видно
при п = 9 и / = 4 и k > 2:
1-й процедуры - 729(М) операций умножения;
2-й процедуры - 64(^1) + 648 операций умножения.
Проиллюстрируем утверждение 3 и теорему 3 примерами.
Пример 1. Пусть задана ЦМ (1) со множеством состояний = {5,} и со СМ P = (рщ),
/,к = 0,п -1, вида [2]
Р =
>20)2 V X XX)
(7)
Р =
Разбиение вида {5,} = {А0, А^ = ({50, 52}, {51}) удовлетворяет теореме 1 о возможности укрупнения ЦМ [2]. Примем данное разбиение для построения укрупненной ЦМ. В соответствии с
алгоритмом из [12] стохастическая матрица Р укрупненной ЦМ может быть получена через элементы СМ Р по формуле
Р00 + Р02 Р01 /0\
. (8)
ч р10 + р12 Р11) Подставив в (8) значения элементов матрицы (7), получим матрицу Р с состояниями
А = {Ао, А1}:
Р = А Г V 1 А
Выполним развитие исходной ЦМ, заданной матрицей (7), на несколько шагов вперед (например, на 3 и 10 шагов), т.е. требуется вычислить матрицы Р3 и Р10. Далее выполним по алгоритму из [12] укрупнение ЦМ, заданных этими матрицами. Аналогично выполним на тоже число шагов развитие укрупненной ЦМ, определяемой СМ
Р, вычислив матрицы Р3 и Р10. Проверим -совпадут ли стохастические законы итоговых укрупненной и укрупняемой ЦМ? Вычислим 3-ью и 10-ую степени СМ Р исходной ЦМ (например, с помощью среды МаШешаИса 5 [19]): Г13 13 25^ Г 419431 209715
(9)
32 64 64 13 13
32 16 32 25 13 13
V 64 64 32 )
209715
1048576 1048576 524288
209715 52429 209715
524288 262144 524288
209715 209715 419431
Также вычислим укрупненной ЦМ:
524288 1048576 1048576
СМ Р
степени
(9)
( 51 13 ^ ( 838861 209715 ^
Р3 = 64 64 13 3 и Р10 = 1048576 209715 1048576 52429
V16 16 ) V 262144 262144 )
Далее укрупним ЦМ, заданные матрицами
Р3 и Р10, с помощью (8):
50 51 52
5
0
5
5
2
и
(13 25 13 ^
• + -
32 64 64 13 13 J3_
v32 + 32 16 у v
( 419431 209715 209715 ^
1048576 524288 1048576 209715 209715 52429
+
524288 524288 262144
Видно, что полученные СМ совпадают с Р3 и с
Обозначим:
Яр _ (япр, япр,..., япр)
пр 4 0 1 п-1 '
стохастический предельный вектор СМ Р;
И~ _ w, япр,.., я пр) -
предельный вектор
я(У) _ (япр (У) япр (y) япр (y)) пр -^0 , !■■■!« i-1 )
стохастический СМ Р;
.пр ч,.0 я\г-", ■■■, я1 -1") - укрупненный стохастический предельный вектор, полученный на основе разбиения (2), примененного к вектору япр .
Замечание 2. Стохастический вектор яПУр)
можно вычислить по формуле
япр • V . (10)
Теорема 4. Если: 1) матрица Ps при заданном разбиении (2) удовлетворяет условию укрупнения в соответствии с теоремой 1; 2)
укрупненная матрица P построена по матрице Ps и разбиению (2) то
= я(У) _~я~ V (12)
pr пр пр •
Доказательство. С учетом замечания 2 заменим я^) в доказываемом равенстве на правую
часть формулы (10): получим Япр _ япр V. Докажем верность этого равенства.
Матрицу Рпр можно вычислить через
предел от Р : Р _ lim Рk. По формуле (6) из
р k ^^
Рk:
следствия 2
распишем
Рр _ lim Рk _ lim УР^ _ U lim РkV.
k
k
k
Т.к.
Рпр = Ипда Рк, то Рпр = иРпрУ.
Матрицу Рпр можно представить как произведение Рпр = %%х1 х жпр , где х1 - единичный вектор-столбец из / элементов. Матрицу Рпр можно представить как произведение Рпр = %пх1 х япр , где %пх1 - единичный вектор-столбец из п элементов. Тогда равенство Рпр = иРпрУ можно расписать как
^ х1 х Япр = и х £п х1 Япр х У .
Из определения матрицы и = (иД , = 0, п -1, у = 0, t -1, имеющей размеры /хп, следует условие стохастичности по строкам
п-1
" и, = 1. Тогда результатом умножения и х %пх1 ,=0
будет единичный вектор-столбец ^ х1 из /
элементов. С учетом вышесказанного основное равенство можно записать как
%tх1 х хпр = %tх1 япр х У. Сократив в обеих частях равенства вектор %%х1, получим Япр = япр х У.
Теорема доказана.
Пример 2. Пусть задана регулярная ЦМ (1) со множеством состояний = {5,} и со СМ Р = (рк),
¡,к = 0,п -1, п = 3, вида (7). Пусть принято разбиение {5,} = {А0, А!} = ({50, 52}, {^1}), которое удовлетворяет теореме 1 о возможности укрупнения
ЦМ. Сравним предельный вектор ;?пр ,
вычисленный из стохастической матрицы Р укрупненной цепи, и укрупненный предельный
вектор я'пр' , полученный на основе разбиения (2),
примененного к вектору япр .
Пусть япр = яр УрУр) - предельный
вектор для исходной ЦМ (1). Он существует, так как
ЦМ регулярна. Вычислим япр по стохастической
матрице Р на основе системы линейных уравнений вида [2]:
k
П-1
I'
_^япрPk,k _ 0, п-1
(13)
_ 1
При п = 3 система (13) будет иметь следующее решение: япр = {2/5, 1/5, 2/5}.
Пусть Япр = (Я"р, ;гпр) - предельный вектор
укрупненной ЦМ, который вычислим по
стохастической матрице Р (9) на основе системы линейных уравнений вида (13). Он существует, так как укрупненная ЦМ наследует свойство регулярности от регулярной исходной ЦМ (1) (вытекает из утверждения 2) и равен
Я7р = (4/5,1/5).
Вычислим укрупненный предельный вектор
Я",
(У)
на основе разбиения (2), примененного к
предельному вектору япр ЦМ (1). Компоненты получаются сложением компонент
вектора япр
вектора япр , принадлежащих одному и тому же
множеству разбиения. Так как разбиение (2) для примера имеет вид А = {А0, А1} = ({50, 52}, {51}), то соответственно вероятности предельного вектора
( у )
Я",
или
можно укрупнить как я^р _ (япр +япр, япр)
гпр
0
Г(У) _
_ (4/5, 1/5). Как видно, значения
векторов %пр и япур' совпали (выполнение условия
теоремы 4).
Замечание 3. Теорема 4 обосновывает альтернативную формулу (12), по отношению к
формуле (10), для вычисления вектора я^р .
В соответствии с теоремой 4, опишем
10
я
i_0
k _0
пр
следующий метод вычисления вектора я^) . Пусть
задана укрупняемая стохастическая матрица Р исходной регулярной ЦМ (1) по заданному разбиению (2).
Шаг 1. Вычисляем по матрице Р и
разбиению (2) алгоритмом [12], матрицу Р укрупненной ЦМ.
Шаг 2. Вычисляем по матрице Р на основе системы линейных уравнений вида (13) ее
предельный вектор япр , удовлетворяющий
равенству (12).
Оценим сложность вычисления вектора
Япр :
1) вычисление матрицы Р укрупненной ЦМ - алгоритм укрупнения ЦМ - 0(8п2) [12];
2) вычисление стохастического предельного
вектора япр матрицы Р - методом Крамера [20] -
0(/3), где / - длина вектора Япр .
Т.е. сложность равна 0(8п2 + г3).
Теперь оценим вычислительную сложность
укрупненного предельного вектора яПУр , полученного на основе разбиения (2), примененного к вектору япр :
- для нахождения япр решение системы
(13) из п линейных уравнений методом Крамера -0(п3) [20]; _
- применение разбиения (2) к вектору япр -
(п-/) сложений.
Т.е. сложность равна 0(п3).
20000 -\ °
0 5 10 15 20 25 Рис 1 - Графики сложности вычисления япр и
я( у)
Представим на рис. зависимости сложности
вычисления векторов япр и я^' (которые в силу
теоремы 4 одинаковы) от числа п состояний ЦМ: средняя кривая соответствует изменению сложности
0(п3) вычисления вектора я^р при росте значения
п, верхняя и нижняя кривые соответствуют изменению сложности 0(8п2 + г3) вычисления
вектора япр при росте значения п при минимальном
/ = 2 и максимальном / = п-1 соответственно. Из графика видно, что чем меньше /, тем сложность
вычисления предельного вектора япр меньше, чем для вектора я1Ур) .
Обозначим: вектор як из п элементов -стохастический вектор распределения вероятностей состояний ЦМ через конечное число k шагов (^ переходов из состояния в состояние ,
/, у = 0,п -1); я0у) - укрупненный стохастический
вектор из / элементов, полученный на основе
разбиения (2), примененного к вектору я0; ) -
укрупненный стохастический вектор из / элементов, полученный на основе разбиения (2), примененного
"(V) "
к вектору як; я к" - стохастический вектор
распределения вероятностей состояний
укрупненной ЦМ, определяемой СМ Р, через конечное число k шагов.
Для ЦМ (1) вектор як определим по
формуле [21]
я = я Р". (14)
Для укрупненной ЦМ, заданной СМ Р и вектором
я{у) , ве формуле
(V) "(V)
я0 , вектор я к определим аналогично по
я) =я0У) • Рк. (15)
Следствие 3 (из теоремы 4). Пусть:
1) матрица Р исходной регулярной ЦМ (1) при заданном разбиении (2) укрупняема;
2) заданы Р - матрица укрупненной ЦМ,
полученная по матрице Р и вектор я0У) - вектор
начального распределения вероятностей состояний укрупненной ЦМ;
3) по матрице Р вычисляется степень Рк.
Тогда
яя^=или • рк. (16)
Следствие 3 обосновывает альтернативную формулу (16) вычисления вектора я(у) по
(V)
отношению к вычислению вектора як на основе разбиения (2), примененного к вектору (14). Заключение
В работе представлены асимптотические характеристики укрупненных ЦМ, такие как предельные матрицы и векторы данных цепей, полученные на основе укрупняемых ЦМ. Определены связи между характеристиками укрупняемых и укрупненных ЦМ. Разработан метод вычисления асимптотической характеристики ФЦМ, из класса укрупненных цепей Маркова, уменьшающий вычислительную сложность по сравнению с известным методом. Показано, что предельное распределение функции регулярной укрупняемой ЦМ совпадает с предельным распределением укрупненной ЦМ. Корректность изложенных теорем и утверждений обосновывается
пр
доказательствами с иллюстрацией примерами. Оценена сложность получения предельных характеристик функций укрупняемых ЦМ и соответствующих предельных характеристик укрупненных ЦМ. Показаны соотношения между величинами n и t, при которых предлагаемые схемы вычисления предельных характеристик имеют меньшую вычислительную сложность.
Литература
1. Романовский В. Дискретные цепи Маркова. М.:Гостехиздат, 1949.436 с.
2. Кемени Д., Снелл Д. Конечные цепи Маркова. М.: Наука, 1970. 271 с.
3. Королюк В.С., Турбин А.Ф. Полумарковские процессы и их приложения. Киев: Наукова Думка, 1976. 184 с.
4. Boich G., Greiner S. Queueing Networks and Markov Chains Modeling and Performance Evaluation with Computer Science Application. Wiley. 2006. 896 p.
5. Derisavi, S., Hermanns, H., Sanders, W. H.: Optimal StateSpace Lumping in Markov Chains. Information Processing Letters 87 (6), 2003. pp.309-315.
6. Hillston J. Compositional Markovian modelling using a process algebra // Computations with Markov Chains, 1995, pp. 177-196.
7. Gambin A., Pokarowski P. Aggregation algorithms for markov chains with large state space. http://bioputer.mimuw.edu.pl/papers/aggr.pdf
8. Katehakis M., Smit L. A Successive Lumping Procedure for a Class of Markov Chains // Probability in the Engineering and Informational Sciences 26 (4), 2012. pp 483-508.
9. Geiger B., Temmel C. Lumpings of Markov chains, entropy rate preservation, and higher-order lumpability // Advances in Applied Probability, 51(4), 2014. pp. 1114-1132.
10. Емалетдинова Л.Ю., Катасёв А.С., Кирпичников А.П. Нейронечеткая модель аппроксимации сложных объектов с дискретным выходом // Вестник технологического университета, №1, 2014. С.295-300.
11. Якимов И.М., Старцева Ю.Г., Кирпичников А.П., Мокшин В.В. Моделирование сложных систем в среде имитационного моделирования ОРББ Ш с расширенным редактором // Вестник технологического университета, №4, 2014. С.298-304.
12. Захаров В.М., Эминов Б.Ф. Алгоритмы укрупнения цепей Маркова // Вестник Казанского государственного технического университета им. А.Н. Туполева, №2, 2013. С.125-133.
13. Эминов Б.Ф., Захаров В.М. Представление автоматных марковских моделей на основе укрупнения цепей Маркова. // Проблемы теоретической кибернетики. Материалы XVII международной конференции. Под ред. Журавлева Ю.И. Казань: Отечество, 2014. С.304-306.
14. Пономаренко Л.А., Меликов А.З., Нагиев Ф.Н. Анализ системы обслуживания с различными уровнями пространственных и временных приоритетов // Информационно-управляющие комплексы и системы, № 2(18), 2006. С. 80-89.
15. Рожков М.И. Суммирование марковских последовательностей на конечной абелевой группе//Дискретная математика, №3, т.22, 2010. С.44-62.
16. Максимов Ю.И. Некоторые результаты для задачи укрупнения состояний цепей Маркова // Труды по дискретной математике, №8. М.: Физматлит, 2004. С. 148-154.
17. Деундяк В.М., Жданова М.А. Полиномиальное представление скрытой полумарковской модели фергнесовского типа // Вестник ВГУ: системный анализ и информационные технологии, 2013, №2. С. 71-78.
18. Погорелов Б.А., Пудовкина М.А. Об обобщениях марковского подхода при изучении алгоритмов блочного шифрования // Прикладная дискретная математика. Приложение. Сентябрь 2014. № 7, 2014. С. 51-52.
19. Дьяконов В.П. МаШетайса 5/6/7. Полное руководство. М.: ДМК Пресс, 2009. 624 с.
20. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1970. 400 с.
21. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, 1980. 576 с.
© Б. Ф. Эминов, канд. физ.-мат. наук, доц. каф. компьютерных систем, КНИТУ-КАИ им.А.Н.Туполева, bulfami@mail.ru; В. М. Захаров, д-р техн. наук, проф. той же кафедры, gilvv@mail.ru.
© B. Eminov, candidate of Science (PhD) in physics and mathematics, associate professor, department of Computer systems, Kazan National Research Technical University named after A.N.Tupolev, bulfami@mail.ru; V. Zacharov - Doctor of Science in technology, professor, department of Computer systems, Kazan National Research Technical University named after A.N.Tupolev, gilvv@mail.ru.
