Изучение полей плоскостей, параллельных в нормальных связностях (П)-распределени Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.75

Н. А. Елисеева

(Калининградский государственный технический университет)

Изучение полей плоскостей, параллельных в нормальных связностях %(П)-распределения

Данная статья — продолжение работы [1]. Рассмотрены поля плоскостей, являющиеся параллельными в нормальных связностях, индуцируемых ^(П)-рас-

пределением в расслоениях нормалей первого и второго рода на оснащенном Л-подрасслоении.

Ключевые слова: распределение, подрасслоение, поле плоскостей, оснащение, нормальная связность.

В работе используется следующая система индексов:

К = 1, п; I, К = 0, п ; и = 1, п -1; р, д, t = 1, г ; 1, у, к = г +1, т; а,(3,у = т +1,п -1; и, V = г +1, п -1; и, = г +1, п; Ф = 0,1; ¥ = 0Д1.

Пусть ^(П)-распределение оснащено в смысле Нордена — Бор-толотти. Определим, следуя работе [2], нормаль второго рода Nг-1 как пересечение п — г +1 гиперплоскостей

Е = П Е п =Е -Лрчу°Е + ЛШХ°Е

где Е] — элементы тангенциального репера:

Е = Р[ ^ Ар , А , Aа], Еп = Р[ А , Ар , А, Aа], ер =рЕл I[ Ao, A1,..., ААп, А+l,..., А, А, Aа],

ч

— рР^1Л"р [Д0' Др ' Дг+1 •••' Д]-1' Ап ' Дт' Да ] '

]

^ а — рР^1Л"ра [Д0' Др ' Д' Дт+1 '•••' ' Дп' '•••' Дп-1] :

1 йе/

при этом р — —— ' S — det

Лп рч Л р Лп рР

0 лп Лп

0 0 Лп Р

Ф 0,

й 1пs - + (п -1)(ю00 + о"п) — SKо0;

1

Л —-Лр , VI0 -о0 — А>0; ,

i ip' i i к о '

г

1

ЛЛ — - Л Рр, VЛЛ -о) — лЛ;Оо;,

г

л; — {ЛЛ'ЛЛ}, vлЛ-о) — Л>0; •

Для тензоров первого порядка Лпрч, ЛП , Л "ар введены обращенные тензоры Лр , ЛП, Л Пр, компоненты которых соответственно удовлетворяют уравнениям

ЛрчЛ1 — ЛЧрЛПЧ — зр, VЛрч - Лро0 — Лр1аК

п qt

п tq t '

'п ^0

О

пК 0 ' К

лпЛпк —лплп — 51, vлп -Лпо) — Л>0 , л прлр„ — лра л- — за, vл :р -л :ро0> — л про

К пКо0

п Ру п уР у ' п п 0

Следуя [3], поле 5-мерных плоскостей ЫВ з N-1 (В > г -1)

будем называть параллельным в нормальной связности V 1, если выполняются условия

йх" + ху © " - х"ху © 0 — х"©(mod Л), Б© — ©л©0

(1)

где х" — коэффициенты разложения проходящей через нормаль 2-го рода Ыг-1 гиперплоскости ¡и — + х"%и + хп•

Р

ФТ ФТ „

Системы форм { © 0, © U} , определяющие нормальные связок

ности V 1 в расслоении нормалей второго рода, двойственные

фт

по отношению к связностям V относительно инволютивного преобразования J : ®K , приведены в работе [4].

Поле характеристик Фп_rД) базисного Л -подрасслое-

ния ^(П)-распределения параллельно в каждой нормальной

фт

связности V 1. Так как характеристика Фп_r_j(Д) и плоскость Л(Д) двойственны по отношению друг к другу, то поле r -мерных плоскостей базисного Л -подрасслоения параллельно в

ФТ

каждой нормальной связности V 1.

Из соотношений (1) получаем, что аналитическое условие

фт

параллельности в связности V 1 поля инвариантных (n _ 2) -мерных плоскостей ] [2], каждая из которых содержит соответствующую нормаль второго рода Nr_1, эквивалентно ра-

фт

венству © П = 0 (mod Л), равносильному обращению в нуль тензора Anv (к):

def

a: (к)=урлр:+л Л q,

def

где ЛЦ = ЛручЛ* _ ЛЛЛpt — тензор второго порядка.

Так как характеристика En_m_1(Д) М-подрасслоения и плоскость M(Д) двойственны по отношению друг к другу и

поле Е-плоскостей параллельно в нормальной связности

фт

V 1 [1], то поле М-плоскостей параллельно в каждой нормаль-

фт

ной связности V1 тогда и только тогда, когда

ФТ _

© 'а = 0 (mod Л), что равносильно условиям Л' = 0 или

лр = о. (2)

Учитывая, что плоскости Lm-r(A0) и Тn-m+r-1(A0) двойственны по отношению друг к другу, а поле L -плоскостей па-

фт

раллельно в каждой нормальной связности V [1], то поле Т -

фт

плоскостей параллельно в каждой нормальной связности V 1

фт

тогда и только тогда, когда = 0 (mod Я), что равносильно равенствам Л ; = 0 или

Лар = 0. (3)

В результате проведенных рассуждений можно сформулировать следующие теоремы:

Теорема 1. Поле L-плоскостей (М-плоскостей) переносит-

фт фт

ся параллельно в каждой нормальной связности V 1 ( V 1) тогда и только тогда, когда выполняются соотношения (2), которые имеют следующую геометрическую интерпретацию:

1) М-подрасслоение несет двухкомпонентную сопряженную систему (Л, L) ;

2) М-подрасслоение голономно;

3) Н(П)-распределение представляет собой (n - r) -параметрическое семейство тангенциально вырожденных гиперполос Hm.

Теорема 2. Поле Е-плоскостей (Т -плоскостей) переносит-

фт фт

ся параллельно в каждой нормальной связности V 1 ( V 1) тогда и только тогда, когда выполняются равенства (3), которые имеют следующую геометрическую интерпретацию:

1) Т -подрасслоение несет двухкомпонентную сопряженную систему (Л, E);

2) Т -подрасслоение голономно;

3) Н(П)-распределение представляет собой (n _ r) -параметрическое семейство тангенциально вырожденных гиперполос Нгп_т+r_i •

Список литературы

1. Елисеева Н.• А• Поля плоскостей, параллельные в нормальных связностях ^(П)-распределения // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2011. Вып. 42. С. 41—47.

2. Столяров А• В• Двойственная теория оснащенных многообразий: монография. 2-е изд. Чебоксары, 1994.

3. Столяров А• В• Двойственные нормальные связности на регулярной неголономной гиперполосе // Изв. НАНИ ЧР (физ.-мат. науки). 1996. № 6. С. 9—14.

4. Елисеева Н.• А• Нормальные связности, индуцируемые в расслоении нормалей второго рода на Л-подрасслоении ^(П)-распределения // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2008. Вып. 39. С. 63—66.

N. Eliseeva

Investigation of the plane fields parallel in normal connections of ftp-distribution

This article develops some ideas of [1]. Plane fields parallel in normal connections, induced in a bundle of normals of the 1st and 2nd kind on Л-subbundle of ft(n)-distribution are considered.

УДК 514.75

М. В. Кретов

(Балтийский федеральный университет им. И. Канта, г. Калининград)

Комплексы конусов

В трехмерном эквиаффинном пространстве исследуются комплексы Т3 (трехпараметрические семейства) конусов, вершины которых описывают двумерные мно-