CC BY
11
Список литературы
1. Шевченко Ю. И. Связности, ассоциированные с распределением плоскостей в проективном пространстве. Калининград, 2009.
A. Vyalova
GENERALIZED AFFINE CONNECTION IN THE PROJECTIVE GROUP
In many-dimensional projective space the projective group as affine frame bundle with linear frame factor-bundle under the base — space of hyperplanes of projective space is introduced. In the principal affine frame bundle general affine connection by Lumiste way is given. The connection object is quasitensor, which contains subquasitensor, seting dual affine subconnection in the linear frame factor-bundle. Torsion and curvature tensors of the general affine connection, containing torsion and curvature subtensors of the dual affine subconnection, are constructed.
УДК 514.75
Н. А. Елисеева
(Калининградский государственный технический университет)
ПОЛЯ ПЛОСКОСТЕЙ, ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ В НОРМАЛЬНЫХ СВЯЗНОСТЯХ ЖП)-РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Рассмотрены поля плоскостей, являющиеся параллельными в нормальных связностях, индуцируемых ^(П)-распределением в расслоениях нормалей 1-го рода на оснащенном в смысле Нордена — Картана Л-под-расслоении [1].
Ключевые слова: нормальная связность, распределение, подрасслоение, поле плоскостей, оснащение.
В работе используется следующая система индексов:
К - 1~Р • Р'Ч - 1'г • i'j - r + 1'т • а'Р = т + 1>п ~ 1 •
К — 1,п • • • •
u,v,x - r + 1,п -1 ; û,v - r + 1,п ; Ф-0,1 ; W - 0,11, У - 1,11.
Определение. Л-подрасслоение называется нормализованным в смысле Нордена — Чакмазяна [2], если к нему инвариантным образом присоединены поля нормалей 1-го рода Nn-r(A0) и нормалей 2-го рода Nr-1(ДД определяемые соответственно полями квазитензоров
^vP + < -vnl< , Vv°p + œ°p -v¿œf , (1)
причем в каждом центре A0 нормаль 1-го рода Nn-r(A0) - [Фп-г-1,Хп] проходит через характеристику Фп-Г-1(A0) текущего элемента H (A0) поля гиперплоскостей Н, полученную при смещениях центра A0 вдоль интегральных кривых Л-подрасслоения.
Требование инвариантности нормали Nп-г (A0), где
Хп - Ап +vpAp + VÛA приводит к условиям (1). Если потребовать, чтобы прямая Л1 - [А0,Хп] была инвариантна, то кроме (1), получим условия
Vvû + <-v^K . (2)
Уравнения (2) выполняются, если охват объекта vû осуществить с помощью квазитензора ЛЛп :
л -{япла}, +<-ъ^,
4 -1 АпЛРР, УР + œ'p - ХпК œf
r ,
Л^ -1 лаРлр, ула+< -лал
r .
В дальнейшем считаем, что прямая К1 = [А0,Хп], где
X = Ап + урАр + ¿ПА, (3)
инвариантна. Нормаль второго рода Мг-1 задается г точками Хр = Ар +у0рАо .
Если охваты квазитензоров осуществить по формулам
< = К и К = ¿0р, где
К = — Л^ЛЩ, ЧКр + <
т - г ,
К = 1Л, УКР+а0р =лр0юК,
то к Л-подрасслоению Н(П)-распределения в дифференциальной окрестности 1-го порядка внутренним образом присоединяется нормализация Нордена — Чакмазяна.
Пусть на оснащенном в смысле Нордена — Чакмазяна Н(П)-распределении задано поле и-мерных (и < п - г) плоскостей Ми , каждая из которых проходит через соответствующий центр А0 распределения и лежит в соответствующей нормали первого рода: Ыи(А0) с Ып-г(А0).
Определение [3]. Поле и-мерных плоскостей Ыи(А0), на-
00
зывается параллельным в нормальной связности V , если при инфинитезимальном перемещении точки А0 вдоль любой кривой К, принадлежащей базисному распределению подмногообразия Н(П), смещение и-мерной плоскости Ыи(А0) происходит в (г + и) -мерной плоскости, натянутой на текущий элемент базисного распределения и на плоскость Ыи(А0).
Если Ы1( А0) — гладкое поле одномерных направлений [А0М], принадлежащее полю Ып-г (А0), то точка М имеет разложение
М = А0 + хаАа + х'А + хпХп, где не все х" одновременно равны нулю, а точка Хп определяется соотношением (3). При хп = 0 это поле одномерных направлений [А0, М] принадлежит полю характеристик
Фп-г-1(А0), при хп = х' = 0 — ¿-распределению [4],
при хп = ха = 0 — ¿-распределению [4], а при хи = 0 совпадает с полем инвариантных прямых Х1.
В статье [3] приведено условие параллельности поля Ы1(А0) одномерных направлений [А0,М] в нормальной
00
связности V :
00 00
с1х" + х° в "- хих°в 0 = хив(тойК) , О0 = 0Л00 . (4)
00 00 о
Выражения форм {в ой,0 °й}, определяющих связность
00
V , имеют вид:
00
0 0 = «0 + V: V К - К) + и а" - К (К"К + V: К,
00
в п =< + урУг + к>0 - у°0[УЬ*К + КО -
-УКУРОР +Ксо:)]УХО + У°я( +У0К
00
0и „и "0 „и пи / „п Ф ^п 1 Я" Г I Ф ^х
\ш0 ■
-У0рс0р - (Кх%х +У0РУР +У0)К],
00
в п = ХхкО +урс -К(УР*; +КК)+У0(О"-К<), 00
в 0 = о -КО
',- к" а" + VI ар +
+ (К"К - VIVр + к.
00
п = ап - а0 - Ки а0 + Vp а0 + К ар + Кп ао +
00 00 ,
Зависимость между системой слоевых форм (0 й,0 Уй} и
фр фр ,
системами форм ( 0 й,0 Уй} [1], определяющими нормаль-
ф'
ные связности V в расслоении нормалей первого рода на Л-подрасслоении Н (П)-распределения, задается формулами:
ф'р 00 ф
0 у° = 0 у°+г Чй^КК-ко,
фр 00 р фр 00 фр 00
0 0п =0 0п+г -УКК-уКЧ) , 0 й =0 й, 0 й =0 й,
фр 00 ф фр 00 р
0 v = 0 v+г -луп), 0 П =0 n+г"(<-«)
vu' 0 n 0 / ' n n nq\ 0 n 0 -
По аналогии с (4) будем считать поле U-мерных плоско-
фу
стей Nv с Nn-r параллельным в нормальной связности V 1, если выполняются условия:
фу фу
dxu + xv 0 U - xuxv 0 0 = xu0 (mod Л) , D0 = 0a000 . (5)
фр
Соотношения (4) и (5) в силу равенств 0 1 = 0(mod Л)
тождественно выполняются при xn = 0, поэтому поле характеристик Фп-Г-1(A0) подмногообразия #(П) параллельно в
фр
каждой нормальной связности V .
Из формул (4, 5) следует, что поле инвариантных прямых
u фр
[A0, Xn] (xu = 0 ) параллельно в нормальной связности V тогда и только тогда, когда имеют место равенства
фр
0 n = 0 (mod Л) .
Из (5) при xn = xl = 0 имеем
фу
в la = 0 (mod X), (6)
то есть поле ^-плоскостей параллельно в нормальной связно-
фр
сти V , если выполняются соотношения (6). Равенства (6) равносильны
«а = 0 (mod X) « Лр = 0 . (7)
Условия (7) выполняются, например, тогда, когда ¥ -распределение несет двухкомпонентную сопряженную систему (Л, E) или когда Р -распределение голономно.
Аналогично поле плоскостей L параллельно в каждой
фр
нормальной связности V тогда и только тогда, когда
фр
0" = 0 (mod Л), (8)
что равносильно
л аР=о. (9)
Равенства (9) выполняются, например, тогда, когда М-подрасслоение несет двухкомпонентную сопряженную систему (Л,L) . В частности, если М-подрасслоение голономно, то (9) выполняется (М-подрасслоение несет сопряженную систему (Л,L)) и, следовательно, в любой нор-
фр
мальной связности V поле L -плоскостей переносится параллельно.
Соотношениям (9) и (7) можно дать следующую геометрическую интерпретацию:
1) условие (7) является необходимым и достаточным условием того, что #(П)-распределение представляет собой (n — r) -параметрическое семейство тангенциально вырожденных гиперполос Hrn—m+r—1;
2) равенство (9) является необходимым и достаточным условием того, что #"(П)-распределение представляет собой
(n — r ) -параметрическое семейство тангенциально вырожденных гиперполос Hmr ;
3) равенства (8, 9) являются необходимым и достаточным условием того, что Н (П)-распределение представляет собой (n — r ) -параметрическое семейство тангенциально вырожденных гиперполос H r со скомпонованным полем характеристик Фп-г-1(А0) = [P(A0),L(A0)].
Список литературы
1. Елисеева Н. А. Нормальные связности, индуцируемые в расслоении нормалей первого рода на Л-подрасслоении Н(^-распределения // Диф. геом. многообр. фигур. Вып. 37. Калининград, 2006. С. 44—51.
2. Попов Ю. И. Основы теории трехсоставных распределений проективного пространства: монография. СПб., 1992.
3. Столяров А. В. Двойственные нормальные связности на регулярной неголономной гиперполосе // Изв. НАНИ ЧР (физ.-мат. науки). Чебоксары, 1996. № 6. С. 9—14.
4. Елисеева Н. А. Оснащения в смысле Э. Картана L-, М- под-расслоений полосного распределения // Диф. геом. многообр. фигур. Вып. 36. Калининград, 2005. С. 36—42.
N. Eliseeva
PLANE FIELDS PARALLEL IN NORMAL CONNECTIONS OF H^-DISTRIBUTION
Plane fields parallel in normal connections, induced in a bundle of normals of the 1-st kind on Л-subbundle of HP)-distribution are considered.
