Изучение обрамлений множеств Мандельброта полиномов второй степени как средство развития оригинальности мышления студентов Текст научной статьи по специальности «Математика»

ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ

РО! 10.34216/2073-1426-2019-25-4-193-199 УДК 378:004

Секованов Валерий Сергеевич

доктор педагогических наук, кандидат физико-математических наук, доцент

Костромской государственный университет

Рыбина Лариса Борисовна

кандидат философских наук Костромская государственная сельскохозяйственная академия

Стрункина Ксения Юрьевна

Костромской государственный университет [email protected], [email protected], [email protected]

ИЗУЧЕНИЕ ОБРАМЛЕНИЙ МНОЖЕСТВ МАНДЕЛЬБРОТА ПОЛИНОМОВ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ КАК СРЕДСТВО РАЗВИТИЯ ОРИГИНАЛЬНОСТИ МЫШЛЕНИЯ СТУДЕНТОВ

В статье изложена методика изучения обрамлений множеств Мандельброта полиномов второй степени комплексной переменной, основанная на интеграции аналитических методов, программирования и применения компьютерной графики. Установлена связь обрамлений первого и второго порядков множеств Мандельброта функций Д(х) = х2 + с и Н(х) = х2 + сх с кривыми - кардиоидой, лемнискатой и окружностью. Приведены алгоритмы построения обрамлений множеств Мандельброта рассматриваемых функций в математическом пакете MаthCаd. Поставлена задача описания обрамлений 3-го порядка множеств Мандельброта функцийД(х) = х2 + с и Н(х) = х2 + сх, которые соответствуют существованию притягивающих неподвижных точек периода 3. Показано, что установление ассоциативных связей между классами различных математических объектов (полиномов комплексной переменной, кривых, множеств Мандельброта) способствует развитию оригинальности мышления и творческого потенциала студентов.

Ключевые слова: обрамление множества Мандельброта, множество Жюлиа, неподвижная точка, кардиоида, лемниската, окружность, мышление.

Оригинальность мышления является важнейшим креативным качеством, необходимым в творческой деятельности. Она характеризуется способностью устанавливать неожиданные ассоциативные связи и переходить (в мышлении и поведении) от одних классов к другим, непохожим на рассматриваемые ранее классы.

При обучении математике, на наш взгляд, оригинальность мышления эффективно развивается нахождением неожиданных связей между математическими объектами при решении задач аналитическими методами и иллюстрации результатов с помощью компьютерной графики.

Большие возможности в формировании оригинальности мышления дает изучение нелинейной динамики [4, с. 10-13]. В данной статье представлена методика изучения дискретных динамических систем, а именно построение обрамлений множеств Мандельброта полиномов второй степени комплексной переменной, которая позволяет осуществить интеграцию между аналитическими методами, программированием и компьютерной графикой.

Интерес к множествам Мандельброта в настоящее время растет как с научной, так и методической точек зрения, о чем свидетельствуют современные исследования [3, с. 5-9].

Изучение студентами обрамлений множеств Мандельброта полезно начать с краткого обзора теоретического материала [1; 2].

Будем считать, что задана простейшая динамическая система, если определена функция Дх)

и рассмотрена орбита, по крайней мере, одной точки х, взятой из области ее определения.

Под обрамлением р-го порядка множества Мандельброта М (Д) функции Дх) в динамической системе, порожденной этой функцией, будем понимать те его участки, которые соответствуют существованию притягивающих неподвижных точек периодар, где р - натуральное число.

Далее перед обучающимися ставим цель: выявить обрамления первого и второго порядков множеств Мандельброта для функций Дх) = х2 + с, Н(х) = х2 + сх и разработать алгоритмы их построения в математическом пакете МаШСай

Рассматриваем функцию Дх) = х2 + с.

Формулируем первую задачу - указать все точки с множества Мандельброта (участок 1-го порядка обрамления), каждая из которых определяет притягивающие точки периода 1 в сопутствующем множестве Жюлиа.

Проводим следующие математические рассуждения.

Пусть х - неподвижная притягивающая точ-

Д (1)'(х ) :

ка функции Дх) = х2 + с. Тогда

= |2х| < 1

и х2 + с = х. Замечаем, что граница притягивающих неподвижных точек задается равенством

|2х| = 1. Поскольку х =1 е'в, 1 1 2 с =1 1 е ™

2 4

где 0<в<2л, то

© Секованов В.С., Рыбина Л.Б., Стрункина К.Ю., 2019

Педагогика. Психология. Социокинетика ^ №4

193

Далее студентам предлагаем выполнить следующие задания:

1) показать, что уравнение с = — е'в ——еъв задает кардиоиду; 2 4

2) построить кардиоиду на листе бумаги и на компьютере в разных средах;

3) выяснить, каким свойством обладают точки, лежащие внутри данной кардиоиды (к решению задачи 3, на наш взгляд, полезно дать указание -кардиоида содержит те точки параметра с, для которых заполняющее множество Жюлиа функции Дг) = г2 + с имеет неподвижную притягивающую точку).

В результате выполнения данных заданий студенты устанавливают неожиданную связь между обрамлением первого порядка множества Ман-дельброта и замечательной кривой - кардиоидой.

Далее предлагаем компьютерный эксперимент - рассмотреть значения параметра с = 0, с = -0,125, с = -0,5, принадлежащего кардиоиде, построить сопутствующие множества Жюлиа и найти в построенных множествах Жюлиа притягивающие неподвижные точки.

Формулируем вторую задачу - указать все точки с множества Мандельброта (участок 2-го порядка обрамления), каждая из которых определяет притягивающие точки периода 2 в сопутствующем множестве Жюлиа.

Проводим следующие математические рассуждения.

Пусть г - притягивающая точка периода 2 при некотором значении с е М (М - множество Мандельброта). Тогда Д(г1 ) = г2, Д(г2 ) = ги то есть Д^2)(г1 )= Д(Д(г1)). Таким образом, точка г1 является неподвижной для отображения Д ^(т) и

Д(2 (т)

Д(2 )(т2)

то есть г1 2 =

2

Д(2 '(г). Получим (()) = 4 г(г2 + с). Тогда (((2 )(т3)) = 4 г3 (( + с)= 4г3 г4. Аналогично получаем, что (()) = 4 г4 (( + с)= 4 г4 г3. По теореме Виета, применимой к квадратному трехчлену г2 + г +1 + с, корнями которого являются числа г3 и г4, заключаем, что г3г4 = 1 + с. Поскольку для производной в притягивающей периодической

точке периода 2

Д(2) (тз)

Д(2)(Т4 )

= 4

Тз г А < 1,

то получаем, что с +

< 1. Равенство производных

вытекает из правила нахождения производной сложной функции:

Д (2)'(Т1 ) = (( (((г)))' = Д V (( )Д) =

= Д (г2 )•/ (((Т2 )) = Д(2)' (г2). Заметим, что неподвижные точки г и г2 функции Дг) = г2 + с есть корни уравнения г2 + с = г, 1 +л/1 - 4с

. Отметим, что данные

точки окажутся неподвижными и для функции Д(2)(г)=(г2 + с) + с. В таком случае полином четвертой степени (г2 + с) + с — г будет делиться на квадратный трехчлен г2 + с — г без остатка. Получим:

(г2 + с )2 + с — г = (г2 + с — г )2 + г +1 + с). Пусть г3 и г4 - корни уравнения г2 + г +1 + с = 0.

Так как данные корни имеют период 2, то

2 2 г3 + с = г4, г4 + с = г3. Найдем производную

1 <1. Следовательно, зна-1 4

чения с, для которых существуют периодические притягивающие точки периода 2 в сопутствующем заполняющем множестве Жюлиа, лежат внутри

круга |с +1 <1. Таким образом, значения с, для 4

которых существует аттрактор периода 2 в сопутствующем множестве Жюлиа, лежат внутри круга

радиуса 1 с центром в точке (-1; 0), примыкающе-4

го к кардиоиде слева.

В результате студенты устанавливают еще одну неожиданную связь между обрамлением второго порядка множества Мандельброта с геометрическим объектом - кругом.

Далее выполняем компьютерный эксперимент - построение обрамлений множества Ман-дельброта функции Д(г) = г2 + с в математическом пакете МаШСай

Используем следующий алгоритм:

1) Строим обрамление первого порядка множества Мандельброта функции Д(г) = г2 + с - большую кардиоиду:

а) записываем параметрические уравнения кардиоиды

с1(()= С05(() — с°5(2?) с2(()= ^) — 51п(2/)

2 4 2 4

и выводим на экран панель построения;

б) вписываем в средний маркер по оси абсцисс название аргумента с 1(0, по оси ординат - название функции с2(/).

Получаем обрамление первого порядка множества Мандельброта функцииД(г) = г2 + с - кардиоиду (рис. 1).

2) Строим обрамление второго порядка множества Мандельброта функции Дг) = г2 + с, ограни-

1 ,1 1 ченное окружностью с +11 = :

4

а) записываем уравнения верхней и нижней частей окружностей:

01(х) = 16 — ( +1)2, о2(х) = ^11- — (х +1)2

и выводим на экран панель построения;

б) вписываем в средний маркер по оси абсцисс название аргумента х, по оси ординат - названия

сЗД

- а

=1(0

Рис. 1. Обрамление 1-го порядка функции /(г) = г2+ с

сЗД оВД сОД

- Р

Рис. 2. Обрамления 1-го и 2-го порядка функции /(г) = г2 + с

функций о1(х), о2(х).

Получаем обрамление второго порядка множества Мандельброта функции/х) = х2 + с - круг, который примыкает к кардиоиде слева (рис. 2).

Аналогично рассматриваем функцию Н(х) = х2 + сх.

Формулируем первую задачу - показать, что отображение /А (х) = хп + Ах, где п е И, X е Я, имеет неподвижную притягивающую точку тогда и только тогда, когда X принадлежит либо единичному кругу с центром в начале координат, либо кругу с центром ( п Л 1

Проводим следующие математические рассуждения.

Неподвижными точками функции

/А (х)= хп + Ах являются точки х1 = 0, х. = п-^1 - А, где г = 2, 3, ..., п. Очевидно, что

(((х,)) = ||, а ((х,))

= |п - (п - 1)А|.

в точке

п -1

, 0

с радиусом, равным

п -1

Далее студентам предлагаем выполнить следующее задание: доказать, что комплексные числа X будут удовлетворять неравенству |п - (п - 1)А| < 1 тогда и только тогда, когда точки X комплексной плоскости будут принадлежать множеству

п Б

--1--, где Б - открытый круг единичного

п — 1 п — 1

радиуса с центом в начале координат.

На основании доказанного утверждения делаем вывод, что, решением неравенства |п — (п — 1)| < 1 будут только те точки, которые принадлежат кругу п

с центром в точке |--, 0 | и радиусом, равным

п — 1

п — 1

При п = 2 мы получим, что комплексные числа X будут удовлетворять неравенству |2 —1|< 1 тогда и только тогда, когда точки X комплексной плоскости будут принадлежать множеству 2+Б, где Б - открытый круг единичного радиуса с центом в начале координат. Таким образом, обрамление первого порядка для исследуемой выше функции будет состоять из двух кругов - круга Б и круга 2+Б.

Переходим к выявлению обрамлений второго порядка функции И(г) = г2 + сг.

Следует отметить, что семейство линий, заданное уравнением г2 + аг + Ъ = /I,

0 <и<

т!

2

где

- корни уравнения

г2 + аг + Ъ = 0, задает на комплексной плоскости лемнискату, состоящую из двух линий (двух овалов) [1, с. 11].

Формулируем вторую задачу - доказать, что множество значений параметра с, для которых существуют неподвижные притягивающие точки для второй итерации функции И(г) = г2 + сг лежат внутри лемнискаты |с2 — 2с — 4| = 1, состоящей из двух линий, используя при этом образец доказательства соответствующего утверждения для функции Аг) = г2 + с.

Далее выполняем компьютерный эксперимент - построение обрамлений множества Ман-

дельброта функции И(г) = г2 + сг в математическом пакете MathCad.

Используем следующий алгоритм:

1) Строим обрамление первого порядка множества Мандельброта функции И(г) = г2 + сг:

а) записываем уравнения полуокружностей для первого и второго кругов:

й1(х) = ^ 1 — (х — 2)2, й2(х)=—д/1 — (х — 2)2;

с1(х) =41 — х2, с2(х) = —V1 — х2 и выводим на экран панель построения;

б) вписываем в средний маркер по оси абсцисс название аргумента х, по оси ординат - названия функций й1(х), й2(х), с1(х), с2(х).

Получаем обрамление первого порядка множества Мандельброта функции И(г) = г2 + сг - два круга (рис. 3).

2) Строим в пакете MathCad обрамление второго порядка множества Мандельброта функции И(г) = г2 + сг, используя программу (рис. 4).

Получаем обрамления первого и второго порядков множества Мандельброта функции И(г) = г2 + сг (рис. 5).

На заключительном этапе студентам предлагаем построить множества Мандельброта для функ-цийДг) = г2 + с и И(г) = г2 + сг (рис. 6, 7) и сравнить их с рассмотренными обрамлениями первого и второго порядков данных функций.

Далее формулируем задачу: описать множества значений параметра с, для которых существуют неподвижные притягивающие точки для третьих итераций рассмотренных нами функций Д(г) = г2 + с и И(г) = г2 + сг.

Таким образом, применение предложенной методики изучения обрамлений множеств Ман-дельброта полиномов второй степени комплексной переменной дает возможность студентам выявить неожиданные связи обрамлений с замечательными кривыми, что, по нашему мнению, способствует

Рис. 3. Обрамление 1-го порядка функции /?(г) = г2 + сг

и 2 и-1

и и

и

2

.wb' ^

:= а-Ь <0.001 ORIGIN := 1 п := 3000

ЛЛЛЛЛЛЛЛЛЛЛЛг

Хп := 3.5 Vi -= -1 VQ := 1

iwfa rfrtM

a := 1

3"

i 1

x2 ~~ X1

fur X E XH ,XH + - .. X?

n

У2-У1

for уеУ|>У|+- У2

L1 ^y(x-xF1)2 + (y-yF1) У(х-ХР2)2 + (У-УР2)

n2= Эх 10°

last [X) = 1032

i := 100

ЛЛ

Xj = -1393 Yj = 0 143 L1-L2 = 1

Рис.

L2

if (L2 L1) s a Xj x Yi^y i i + 1

4. Программа построения обрамления 2-го порядка функции h(z) = z1 + cz

|z"2-2z-4|=l

X.x.x.x.x

Рис. 5. Обрамления 1-го и 2-го порядков функции h(z) = z1 + cz

Рис. 6. Множество Мандельброта функции

fz) = z2 + с

Рис. 7. Множество Мандельброта функции

h(z) = z2 + cz

развитию оригинальности мышления и креативности студентов, обучающихся на инженерных направлениях подготовки и направлениях подготовки, связанных с прикладной математикой и информатикой.

Библиографический список

1. Волковысский Л.И., Лунц Г.Л., Арамано-вич И.Г. Сборник задач по теории функций комплексного переменного. - М.: Физматгиз, 1960. -367 с.

2. Маркушевич А.И. Введение в теорию аналитических функций. - М.: Просвещение, 1977. - 320 с.

3. Минлор Дж. Голоморфная динамика. -Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. - 320 с.

4. Секованов В.С. Выполнение многоэтапного математико-информационного задания «Дискретные динамические системы», как средство формирования креативности студентов // Вестник Костромского государственного университета. Серия: Педагогика. Психология. Социокинетика. -2016. - Т. 22. - № 2. - С. 213-217.

5. Секованов В. С. Концепция обучения фрактальной геометрии в КГУ им. Н.А. Некрасова // Вестник Костромского государственного университета им. Н.А. Некрасова. - 2013. - Т. 19. - № 5. -С. 153-154.

6. Секованов В. С. О множествах Жюлиа рациональных функций // Вестник Костромского государственного университета им. Н.А. Некрасова.

2012. - Т. 18. - № 2. - С. 23-28.

7. Секованов В. С. О некоторых дискретных нелинейных динамических системах // Фундаментальная и прикладная математика - М.: Изд-во «ИНТУИТ», 2016. - Т. 21. - № 3. - С. 185-199.

8. Секованов В. С. Элементы теории фрактальных множеств. - Кострома: КГУ им. Н. А. Некрасова 2012. - 208 с.

9. Секованов В.С., Ивков В.А. Многоэтапное математико-информационное задание «Странные аттракторы» // Вестник Костромского государственного университета им. Н.А. Некрасова. -

2013. - Т. 19. - № 5. - С. 155-157.

10. Секованов В. С., Митенева С. Ф., Рыбина Л. Б. Выполнение многоэтапного математико-информа-ционного задания «Топологическая и фрактальные размерности множеств» как средство развития креативности и формирования компетенций студентов // Вестник Костромского государственного университета. Серия: Педагогика. Психология. Социокинетика. - 2017. - № 2. - С. 140-144.

11. Секованов В. С., Рыбина Л.Б., Березкина А.Е. О множествах Жюлиа функций, имеющих параболическую неподвижную точку // Актуальные проблемы преподавания информационных и естественно-научных дисциплин. - Кострома: КГУ 2018. - С. 144-150.

12. Секованов В.С., Смирнова А.О. Развитие гибкости мышления студентов при изучении структуры неподвижных точек полиномов комплексной переменной // Вестник Костромского государственного университета. Серия: Педагогика. Психология. Социокинетика. - 2016. - № 3. -С. 189-192.

13. Секованов В.С., Фатеев А.С., Белоусова Н.В. Развитие гибкости мышления студентов при разработке алгоритмов построения дерева Фейгенба-ума в различных средах // Вестник Костромского государственного университета. Серия: Педагогика. Психология. Социокинетика. - 2016. - № 1. -С. 143-147.

References

1. Volkovysskij L.I., Lunc G.L., Aramanovich I.G. Sbornik zadach po teorii funkcij kompleksnogo peremennogo. - M.: Fizmatgiz, 1960. - 367 s.

2. Markushevich A.I. Vvedenie v teoriyu analiticheskih funkcij. - M.: Prosveshchenie, 1977. -320 s.

3. Minlor Dzh. Golomorfnaya dinamika. - Izhevsk: NIC «Regulyarnaya i haoticheskaya dinamika», 2000. - 320 s.

4. Sekovanov VS. Vypolnenie mnogoetapnogo matematiko-informacionnogo zadaniya «Diskretnye dinamicheskie sistemy», kak sredstvo formirovaniya kreativnosti studentov // Vestnik Kostromskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya: Pedagogika. Psihologiya. Sociokinetika. - 2016. - T. 22. - № 2. -S. 213-217.

5. Sekovanov V.S. Koncepciya obucheniya fraktal'noj geometrii v KGU im. N.A. Nekrasova // Vestnik Kostromskogo gosudarstvennogo universiteta im. N.A. Nekrasova. - 2013. - T. 19. - № 5. - S. 153154.

6. Sekovanov VS. O mnozhestvah Zhyulia racional'nyh funkcij // Vestnik Kostromskogo gosudarstvennogo universiteta im. N.A. Nekrasova. 2012. - T. 18. - № 2. - S. 23-28.

7. Sekovanov V.S. O nekotoryh diskretnyh nelinejnyhdinamicheskih sistemah//Fundamental'naya i prikladnaya matematika - M.: Izd-vo «INTUIT», 2016. - T. 21. - № 3. - S. 185-199.

8. Sekovanov V.S. Elementy teorii fraktal'nyh mnozhestv. - Kostroma: KGU im. N. A. Nekrasova 2012. - 208 s.

9. Sekovanov V.S., Ivkov V.A. Mnogoetapnoe matematiko-informacionnoe zadanie «Strannye attraktory» // Vestnik Kostromskogo gosudarstvennogo universiteta im. N.A. Nekrasova. - 2013. - T. 19. -№ 5. - S. 155-157.

10. Sekovanov V.S., Miteneva S.F., Rybina L.B. Vypolnenie mnogoetapnogo matematiko-informacionnogo zadaniya «Topologicheskaya i fraktal'nye razmernosti mnozhestv» kak sredstvo razvitiya kreativnosti i formirovaniya kompetencij

studentov // Vestnik Kostromskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya: Pedagogika. Psihologiya. Sociokinetika. - 2017. - № 2. - S. 140-144.

11. Sekovanov V.S., Rybina L.B., Berezkina A.E.

0 mnozhestvah Zhyulia funkcij, imeyushchih parabolicheskuyu nepodvizhnuyu tochku // Aktual'nye problemy prepodavaniya informacionnyh

1 estestvenno-nauchnyh disciplin. - Kostroma: KGU, 2018. - S. 144-150.

12. Sekovanov V.S., Smirnova A.O. Razvitie gibkosti myshleniya studentov pri izuchenii struktury

nepodvizhnyh tochek polinomov kompleksnoj peremennoj // Vestnik Kostromskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya: Pedagogika. Psihologiya. Sociokinetika. - 2016. - № 3. - S. 189-192.

13. Sekovanov V.S., Fateev A.S., Belousova N.V Razvitie gibkosti myshleniya studentov pri razrabotke algoritmov postroeniya dereva Fejgenbauma v razlichnyh sredah // Vestnik Kostromskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya: Pedagogika. Psihologiya. Sociokinetika. - 2016. - № 1. - S. 143147.