CC BY
47
ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ
УДК 378.51
Секованов Валерий Сергеевич
доктор педагогических наук, профессор
Дорохова Жанна Викторовна Кудряшова Юлия Владимировна Катержина Светлана Федоровна
кандидат педагогических наук, доцент Костромской государственный университет Sekovanovvs@yandex.ru, zanna4444@mail.ru, yul27024657@yandex.ru, svetakaterzhina@mail.ru
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ В ОБУЧЕНИИ ФРАКТАЛЬНЫХ МЕТОДОВ И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ КАК СРЕДСТВО ЭСТЕТИЧЕСКОГО ВОСПИТАНИЯ СТУДЕНТОВ ВУЗА
Исследование выполнено при поддержке гранта Российского научного фонда (проект №16-18-10304)
В данной статье предлагается трехэтапная методика обучения при использовании фрактальных методов и информационных технологий, нацеленная на эстетическое воспитание студентов вуза. На первом этапе показано, как создавать художественные композиции с использованием программирования и других информационных и коммуникационных технологий. На втором этапе подчеркивается красота фрактальной геометрии с помощью доказательства. Здесь выявляется неожиданная связь между аттрактором тентообразной функции и классическим фракталом -множеством Кантора. На третьем этапе приведены примеры создания художественных композиций с помощью графических редакторов, фрактальной графики и других информационных и коммуникационных технологий.
Ключевые слова: креативность, интеллект, эстетическое воспитание, эстетическое развитие, фрактал, множество Кантора, фрактальная графика, множество Жюлиа, Снежинка Коха, текстура.
Известно, что эстетическое воспитание - одно из направлений педагогики, главная цель которого научить человека понимать и ценить прекрасное. Суть эстетического воспитания заключается в организации художественной деятельности обучаемых, приобщение их к художественному творчеству, развитие способностей в определенном виде искусства. Неслучайно, что эстетическому воспитанию оказывается большое внимание со стороны педагогов. При изучении каждой дисциплины важно, чтобы обучаемый получал благодатную почву для эстетического развития.
В большом психологическом словаре отмечается: «Эстетическое развитие имеет место в процессе восприятия предметов, способных вызывать переживания, и во время собственной художественной деятельности субъекта, особенно в условиях специально организованного воспитания и обучения [1, с. 72].
Ряд педагогов считает, что эстетическое воспитание представляет собой процесс формирования творческой личности, способной жить и творить по законам красоты. В содержание понятия «эстетическое воспитание» обычно вкладывают взаимодействие учащегося и педагога, для выработки в подрастающем поколении способности понимать, ценить, создавать прекрасное в жизни и искусстве и активно участвовать в творчестве.
Роль и значение математики в развитии креативности и интеллекта отмечается достаточно часто в психолого-педагогической литературе. Напротив влияние математических знаний на эстетическое формирование личности студента остается
«в тени». Роль информационных и коммуникационных технологий (ИКТ) при эстетическом воспитании студентов также фактически притушевана.
Всегда предполагалось, что по абстрактности своих предметов математическая наука и информатика не могут давать студентам тех непосредственных впечатлений, эстетически воздействующих и формирующих характер образов, картин, эмоций, какими располагает история и литература.
В данной статье мы рассмотрим состоящее из трех этапов многоэтапное математико-информа-ционное задание (ММИЗ) «Эстетическое воспитание студентов средствами фрактальной геометрии и информационных и коммуникационных технологий», выполнение, которого нацелено на формирования творческой личности, способной творить по законам красоты и переживать различные явления действительности, как прекрасные (рис. 1).
На первом этапе ММИЗ используя языки программирования, студенты разрабатывают алгоритмы построения фрактальных множеств функций комплексной переменной. В качестве такой
г7 -1
функции рассматривается функция / (г) = г--
7 г
и строится ее множество Жюлиа по следующей схеме: 1) обозначаются через г, , = 0, 2, ... 6 - корни седьмой степени из единицы. Далее разрабатывается алгоритм для построения бассейнов притяжения
ЛЛ) = Э( г0) = Э( г1) = Э( г2) =... = Э( гб) неподвижных точек г,, , = 0, 1, 2, 3, ... 6 (семь цветов). В данном
" -1
случае множество Жюлиа функции /(г) = г -
7 г6
является границей областей притяжения непод-
© Секованов В.С., Дорохова Ж.В.,
Кудряшова Ю.В., Катержина С.Ф., 2017
Использование различных ИКТ для создания фрактальных художественных композиций ' I
Использование программирования для создания художественных композиций
Первый этап
1рОГр!
Постановка задачи. Основные определения
Нахождение связи между тентообразной функцией и множеством Кантора
Нахождение аттракторов нелинейных отображений на вещественной и комплексной плоскостях
Использование графических редакторов при построении художественных композиций
Ламинация множества Жюлиа
Использование фрактальной графики для создания художественных композиций
Рис. 1. Схема-план вполнения многоэтапного математико-информационного задания «Эстетическое воспитание студентов средствами фрактальной геометрии и информационных и коммуникационных технологий»
вижных точек (аттракторов) и имеет фрактальную структуру. Далее, используя графические редакторы и другие ИКТ студенты получают художественную композицию «лепесток» (рис. 2). По аналогичной схеме студентами создается художественная композиция «Клеверный лист» (рис. 3).
При использовании различных ИКТ у студента имеются возможности из «Лепестка» и «Клеверного листа» создать новые художественные композиции. Следует отметить, что при создании художественных композиций студент выступает в роли математика, программиста и компьютерного художника. Такие виды творческой деятельности нацелены на развитие эстетического развития студентов.
Второй этап. Рассмотрим функцию
/ (х) =
3 • х,
х < I 2
3 - 3 • х, х >
На данном этапе подчеркивается красота фрактальной геометрии изнутри при помощи доказательства утверждения, что множество Кантора
(канторова пыль) совпадает с начальными точками, орбиты которых ограничены при итерировании функции /х).
Схема доказательства. Пусть х0е Ж. Если х0 > 1 или х0 < 0, тогда орбита {хп } неограниченна и, следовательно, х0£ Ж, что противоречит выбору точки х0 из множества Ж. Пусть х0е Ж Покажем, что х0е К. Предположим противное, т. е. х0£ К. Тогда существует такое наименьшее натуральное число /0, что Л„ = 1 и число х0 в троичной системе счисления нельзя представить без использования единицы. Тогда /('0)(х0) > 1 и, следовательно, орбита {хп }=0 неограниченна. В таком случае х0£ Ж и мы приходим к противоречию. Таким образом, х0е К и, следовательно, выполняется включение Ж с К. Пусть теперьу0еК. Тогдау0=0, а1, а2, 03, ..., где а. = 0 или а = 2 при каждом / = 1, 2, 3, ... Предположим, что а1 = 0. Тогда /(у) = 3у = 0,а2,а„...е К, /(2) (%) е к, /<3)(%)е К, ..., /(п)(%)е К,.... Если же о = 2, то рассуждая аналогично, получим, что /(у0) е К, / (2)(л) е К, / (3)(у„) е К, ..., / (л)(у0) е К,... Следовательно, К с Ж. Откуда следует, что К = Ж.
Рис. 2. Художественная композиция «Лепесток»
Доказательство данного утверждения устанавливает неожиданную связь между двумя, казалось бы, далекими объектами - аттрактором тентоо-бразной функции, являющейся нелинейным отображением, и классическим фракталом множеством Кантора.
Далее предлагается студентам провести подробное доказательство этого замечательного утверждения самостоятельно и дается литература [5], где они в случае затруднения могут ознакомится с решением поставленной задачи. Здесь у студента появляется возможность познакомиться с красотой математики «изнутри», то есть с помощью доказательства, что очень важно для его эстетического развития и развития интеллекта.
Далее на комплексной плоскости с помощью ИКТ строятся множества Жюлиа для функций / (г) = г2 - 0,12 + 0,74, (рис. 4.), для функции /(г) = г2 - 1 (рис. 5), для функции/(г) = г2 + , (рис. 6).
В работе [3] А. Дауди отмечает, что с помощью единичного круга можно построить модель множества Жюлиа по следующей схеме: берем круг Б длина окружности которого равна единице.
Точки границы круга характеризуются углами t. Каждый раз, учитывая пары чисел (,, tr), где t и ^ - два агрумента одной точки множества Жюлиа, мы должны деформировать круг Б так, чтобы соответствующие точки на его границе
Рис. 3. Художественная композиция «Клеверный лист»
совпали. А в случае, когда одной точке соответствуют три аргумента, нужно сжать в точку соответствующий треугольник. Модель, построенная в результате последовательного применения этой процедуры (деформированный круг), должна, по-видимому, иметь ту же форму, что и Множество Жюлиа, которое мы хотим описать. Согласно теореме Каратеодери это действительно так, если множество Жюлиа локально связное множество. Как уже отмечалось, на рисунках изображены множества Жюлиа функций комплексной переменной / (г) = г2 - 0,12 + 0,74, (рис. 4, Кролик), /(г) = г2 - 1 (рис. 5, Базилика),/(г) = г2 + , (рис. 6, Дендрит). Они построены с помощью программирования. Построение данных множеств с помощью деформирования круга Б по выше описанной схеме согласуется с рисунками 4-6. Здесь студентам следует дать задание - проверить данную согласованность и увидеть красоту математических методов. Указанный выше процесс также называют ламинацией.
При построениии Базилики и Дендрита круг сжимается по дугам, а при построении кролика круг сжимается по треугольникам.
На третьем этапе создаются художественные композиции с помощью различных ИКТ. Опишем сначала использование графического редактора при создании художественных композиций.
Рис. 4. Кролик
Рис. 5. Базилика
Рис. 6. Дендрит
В основе данной композиции, использовалась снежинка Коха. Ее легко можно построить в любом редакторе построения геометрических фракталов (снежинку Коха можно построить, например, с помощью L-систем и языка программирования Паскаль, С++, Сишарп или др.) (рис. 7). Такой подход важен для развития гибкости мышления студента и повышения его мотивации к программированию. Далее сохраняем наше изображение в формате jpg и открываем в любом растровом графическом редакторе (Photoshop, Gimp). Затем отделяем снежинку Коха от фона с помощью инструмента «волшебная палочка», щелкнув левой кнопкой мыши по области вокруг снежинки и нажав клавишу Delete. Затем вновь с помощью волшебной палоч-
Рис. 7. Снежинка
Рис. 8. Заливка
Рис. 9. Гомотетия и наложение
Рис. 10. Поворот
ки выделяем саму снежинку. Подбираем основной цвет и цвет фона, чтобы выполнить заливку. Добавляем стандартную функцию «стиль слоя» и поиграв вкладками, бегунками получаем результат -цветная и объемная снежинка Коха, с текстурой, с градиентом (рис. 8). Копируем ее 3 раза, уменьшаем копии и располагаем их равномерно вокруг первой снежинки (рис. 9). Отметим, что студенты выполняют данное задание с большим интересом, поскольку здесь не нужно применять знания математики. После проделанного художественного творчества у студентов, по нашим наблюдениям появляется интерес и к математике.
Далее полученное изображение мы объединяем в один слой (во всех программах в пункте меню Слой можно объединить нужные слои в один), дублируем, немного уменьшаем и разворачиваем (рис. 10). Затем повторяем операцию копирования последнего слоя, уменьшения, сдвига и разворота несколько раз. В результате, получится графический объект. Экспериментируя с углом поворота, сдвигом нашей фигуры мы получим разные объекты (рис. 11). Используя функции масштабирование и поворот -shift+T и shift+R в Gimp, ctrl+T в Photoshop - разворачиваем наш элемент, копируем и укладываем в один ряд (рис. 12). Получившийся ряд объединяем в один слой, копируем и укладываем копии по вертикали. Остался последний штрих. Подбираем цвет фона так, чтобы наш узор смотрелся контрастно, и закрашиваем с помощью инструмента заливка. Затем создаем новый слой над слоем с узором. На панели Слои режим наложения - Нормальный меняем на Цвет. Выбираем инструмент кисть и выполняем настройки: отпечаток - круглая с размытым краем, непрозрачность 30%. Далее подбирая цвет, красим кистью поверх нашего изображения в произвольном порядке. В результате у нас получается композиция (рис. 13).
Данный вид компьютерного художественного творчества позитивно влияет на эстетическое развитие студента. Во время выполнения задания он становится в роли художника, переживает во время деятельности за результат своих действий, творит по законам красоты и гармонии. При выполнении данного ММИЗ у студента повышается мотивация как к информатике, так и художественному творчеству.
Используя различные ИКТ можно создавать новые художественные композиции. Например, «Кольцо» (рис. 14). При создании новых художественных композиций студенты получают позитивный импульс для эстетического развития. По нашим наблюдениям, данную работу студенты выполняют с интересом.
Далее при выполнении ММИЗ студенты используют пакет программного обеспечения - фрактальная графика. Поскольку фрактальная графика нова для студента, полезно дать ей краткое описание.
Рис. 11. Эксперимент
Рис. 12. Укладывание в ряд
Рис. 13. Результат
Рис. 14. Импровизация
На сегодняшний день это одно из самых быстро развивающихся и перспективных направлений компьютерной графики. Математической основой фрактальной графики является фрактальная геометрия. Благодаря фрактальной графике, найден способ эффективной реализации сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные. Фрактальная графика, как и векторная и трёхмерная, является графикой вычисляемой. Но ее основное отличие в том, что изображение вы-
страивается по уравнению или целой системе уравнений. В связи с этим в компьютере хранятся не огромные массивы обычной графической информации, а только математические формулы, сильно упрощая графическую обработку. Фрактальная графика позволяет создать поверхности сложной структуры. С помощью фракталов можно создавать целые классы изображений, для хранения которых требуется относительно мало памяти. К редакторам фрактальной графики относятся такие, как ArtDabbler, UltraFractal, FractalExplorer и др.
Рассмотрим принципы построения композиции на основе фрактальной графики на примере ПО Ultra Fractal. Пакет отличается дружественным интерфейсом, многие элементы которого напоминают интерфейс Photoshop. Визуализированные изображения могут быть экспортированы в один из растровых графических форматов (jpg, bmp, png и psd), а готовые фрактальные анимации - в AVI-формат.
Принцип создания фрактальных изображений достаточно традиционен - нужно воспользоваться одной из прилагаемых в поставке формул, а затем подредактировать параметры формулы желаемым образом.
Особое значение для композиции является настройка цвета. В данной программе она реализована на уровне графических пакетов, например, градиенты можно создавать и настраивать самостоятельно, корректируя множество параметров. Применение слоев позволяет генерировать многослойные фракталы и за счет наложения фрактальных изображений друг на друга добиваться уникальных эффектов.
Опишем использование студентами программы UltraFractal для создания в рамках ММИЗ композиции «Синяя роза» (рис. 15) в пять этапов. 1 этап -выбор формулы. В диалоговом окне представлена библиотека существующих вариантов. Для своей работы выбираем Julia.
2 этап - настройка параметров формулы. Вкладка Formula служит для формирования фрактала. Изменяя настройки, мы можем изменить внешний вид фрактала и качество изображения фрактала. 3 этап - параметры Location (положение). 4 этап - украшение фрактала. Для этого переходим к вкладке Inside или Outside. Inside и будет окрашивать наш фрактал внутри, Outside будет преображать наш фрактал снаружи. 5 этап - параметры визуализации и текстурирования. Следует обратить внимание на два параметра, это Solid Color и Repeat Gradient. Solid Color - этот параметр влияет на работу с градиентом. 6 этап - готовый результ. Когда результат готов (рис.15), его необходимо сохранить как изображение. Это позволит продолжить работу с изображением в других ИКТ.
Используя фрактальную графику, в рамках ММИЗ студенты создают и другие композиции: Рождение звезды (рис. 16), Восточный та-
Рис. 15. Синяя роза Рис. 16. Рождение звезды
нец (рис. 17). Использование вышеуказанной программы при выполнении ММИЗ способствует эстетическому развитию студентов, наглядно демонстрируя область применения полученных теоретических знаний по композиции и колористике.
В заключение отметим, что эстетическое воспитание студентов - это сложный педагогический процесс, где идет четкое взаимодействие студента и педагога. Выполняя творческую деятельность, студент получает значительный импульс для эстетического развития, повышает свою мотивацию как к математическим методам, так и к информационным и коммуникационным технологиям.
Библиографический список
1. Большой психологический словарь / сост. и общ. ред. Б.Г. Мещеряков, В.П. Зинченкою -СПб.: ЕВРОЗНАК, 2003. - 632 с.
2. Катержина С.Ф., Собашко Ю.А., Чебуньки-на Т.А. Использование современных мобильных устройств при обучении математике в вузе с целью активизации самостоятельной работы студентов // Вестник Костромского государственного университета. Серия: Педагогика. Психология. Социоки-нетика. - 2016. - № 4. - С. 235-243.
3. Пайтген Х.-О., Рихтер П.Х. Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем. -М.: Мир, 1993. - 176 с.
4. Секованов В.С., Миронкин Д.П. Изучение преобразования пекаря как средство формирования креативности студентов и школьников с использованием дистанционного обучения // Вестник Костромского государственного университета им. Н.А. Некрасова. - 2013. - № 1. - С. 190-195.
5. Секованов В. С. Элементы теории фрактальных множеств. - М.: Книжный дом «ЛИБРО-КОМ», 2013. - 248 с.
6. Секованов В.С. Выполнение многоэтапного математико-информационного задания «Дискретные динамические системы» как средство формирования креативности студентов / В.С. Секованов, А.С. Бабенко, Е.М. Селезнева, А.О. Смирнова // Вестник Костромского государственного университета им. Н.А. Некрасова. Серия: Педагогика. Психология. Социальная работа. Ювенология. Со-циокинетика. - 2016. - № 2. - С. 213-217.
Рис. 17. Восточный танец
7. Секованов В.С., Ивков В.А. Многоэтапные математико-информационные задание Странные аттракторы // Вестник Костромского государственного университета им. Н.А. Некрасова. - 2013. -№ 5. - С. 155-157.
8. Секованов В. С. О множествах Жюлиа некоторых рациональных функций // Вестник Костромского государственного университета им. Н.А. Некрасова. - 2012. - № 2. - С. 23-28.
9. Секованов В. С. Что такое фрактальная геометрия? - М.: ЛЕНАНД, 2016. - 272 с.
10. Секованов В.С. Обучение фрактальной геометрии как средство формирования креативности студентов физико-математических специальностей университетов: автореф. дис. ... д-ра пед. наук. -М.: МПГУ, 2007. - 39 с.
11. Секованов В.С., Фатеев А.С., Белоусова Н.В. Развитие гибкости мышления студентов при разработке алгоритмов построения дерева Фейгенбаума в различных средах // Вестник Костромского государственного университета им. Н.А. Некрасова. Серия: Педагогика. Психология. Социальная работа. Ювенология. Социокинетика. - 2016. - № 1. -С. 143-147.
12. Секованов В.С. Концепция обучения фрактальной геометрии в КГУ им. Н.А. Некрасова // Вестник Костромского государственного университета им. Н.А. Некрасова. - 2013. - № 5. -С. 153-154.
13. Синергетика. Труды семинара Т. 6. Естественнонаучные, социальные и гуманитарные аспекты. - М.: МГУ, 2003. - 200 с.
14. Шаронин Ю.В. Психолого-педагогические основы формирования качеств творческой личности в условиях непрерывного образования: дис. . д-ра пед. наук. - М., 1998. - 537 с.
References
1. Bol'shoj psihologicheskij slovar' / sost. i obshch. red. B.G. Meshcheryakov, V.P. Zinchenkoyu - SPb.: EVROZNAK, 2003. - 632 s.
2. Katerzhina S.F., Sobashko YU.A., CHebun'kina T.A. Ispol'zovanie sovremennyh mobil'nyh ustrojstv pri obuchenii matematike v vuze s cel'yu aktivizacii samostoyatel'noj raboty studentov // Vestnik Kostromskogo gosudarstvennogo universiteta.
92
Вестник КГУ 2017
8епуа: Pedagogika. РБШо^1уа. 8осюктейка. -2016. - № 4. - 8. 235-243.
3. Ра^еи Н.-О., Rihter Р.Н. КгаБо1а йайа^. ОЪга7у kompleksnyh dinamicheskih sistem. - М.: Mir, 1993. - 176 8.
4. 8ekovanov У.8., Mironkin Б.Р. Izuchenie preobrazovaniya pekarya kak sredstvo formirovaniya kreativnosti studentov i shkol'nikov 8 ispol'zovaniem distancionnogo obucheniya // Vestnik Kostromskogo gosudarstvennogo universiteta im. КЛ. Nekrasova. -2013. - № 1. - 8. 190-195.
5. Sekovanov У8. EHlementy teorii fraktal'nyh mnozhestv. - М.: Knizhnyj dom «LIBROKOM», 2013. - 248 8.
6. Sekovanov У8. VУpolnenie mnogoehtapnogo matematiko-informacionnogo zadaniya «Diskretnye dinamicheskie sistemy» kak sredstvo formirovaniya kreativnosti studentov / У8. 8ekovanov, Л.8. Babenko, Е.М. Selezneva, Л.О. 8mirnova // Vestnik Kostromskogo gosudarstvennogo universiteta im. N.Л. Nekrasova. 8eriya: Pedagogika. Psihologiya. 8ocial'naya rabota. YUvenologiya. 8ociokinetika. -2016. - № 2. - 8. 213-217.
7. Sekovanov У8., Ivkov УЛ. Mnogoehtapnye matematiko-informacionnye zadanie 8trannye аНтаМ^ // Vestnik Kostromskogo gosudarstvennogo universiteta im. N.Л. Nekrasova. - 2013. - № 5. -8. 155-157.
8. Sekovanov У.8. О mnozhestvah ZHyulia
nekotoryh racional'nyh Ши^у // Vestnik Kostromskogo gosudarstveппogo uпiversiteta im. N.Л. Nekrasova. - 2012. - № 2. - 8. 23-28.
9. Sekovanov V.S. СНЮ takoe fraktal'naya geometriya? - M.: LENЛND, 2016. - 272 8.
10. Sekovanov У8. Obucheпie йаМа!^ geometrii kak sredstvo formirovaniya kreativnosti studentov fiziko-matematicheskih special'nostej uпiversitetov: avtoref. dis. ... d-ra ped. пauk. - M.: MPGU, 2007. -39 8.
11. Sekovanov У8., Fateev Л.8., Belousova N.V. Razvitie gibkosti mysЫeпiya studentov pri razrabotke algoritmov postroeпiya dereva Fejgenbauma v razlichпyh sredah // Vestпik Kostromskogo gosudarstveппogo uпiversiteta im. N.Л. Nekrasova. 8eriya: Pedagogika. Psihologiya. 8ocial'naya rabota. YUvenologiya. 8ociokinetika. - 2016. - № 1. -8. 143-147.
12. Sekovanov V.S. Koncepciya obucheniya fraktal'noj geometrii v KGU т. N.Л. Nekrasova // Vestпik Kostromskogo gosudarstveппogo uпiversiteta im. N.Л. Nekrasova. - 2013. - № 5. - 8. 153-154.
13. Sinergetika. Trudy semiпara Т. 6. Estestvennonauchnye, social'nye i gumaпitarnye aspekty. - M.: MGU, 2003. - 200 8.
14. 8Наготп YU.V Psihologo-pedagogicheskie osnovy formirovaniya kachestv tvorcheskoj lichnosti v usloviyah nepreryvnogo obrazovaniya: dis. . d-ra ped. nauk. - M., 1998. - 537 8.
