Изометрическое погружение n-мерных метрик в евклидовы и сферические пространства Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗОМЕТРИЧЕСКОЕ ПОГРУЖЕНИЕ п-МЕРНЫХ МЕТРИК В ЕВКЛИДОВЫ И СФЕРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

Д.Г. Азов

Челябинский государственный технический университет

Построено изометрическое погружение метрик вращения в евклидово пространство Е4"'* и сферическое пространство 54'1""4, п>2. При п-2 получается погружение с особыми линиями.

1. Известна теорема Д.Гильберта [1] о том, что полная плоскость Лобачевского не может быть изометрически и регулярно погружена в трехмерное евклидово пространство Е3. Д. Блануша [2] доказал возможность вложения плоскости Лобачевского в £6. Кроме того, он доказал в [2] теорему о вложении п-мерного пространства Лобачевского в евклидово пространство £4п~5. В работе [3] Д.Блануша построил изометрическое вложение п-мерного пространства Лобачевского в сферическое пространство $6я~4. Несколько видоизменив методику Д. Блануши и заменив при построении вложение погружением, Э. Р. Розендорн доказал 14] погружаемость метрики в евклидово пространство Ь .

В настоящей работе мы рассматриваем два класса римановых метрик

л

(и

/=2

л

(2)

1=2

и вопрос об их погружаемости в Е* и Л^>я. Функции Г и g будем считать принадлежащими классу С™ , та 1. В частном случае, при

= ^ , и>0, получаем метрику пространства Лобачевского. В работе [51

было доказано, что метрики (1) и (2) допускают изометрическое погружение в евклидово пространство Е*п~3 и сферическое пространство Б4"'3. Далее доказаны следующие теоремы.

Теорема 1. Метрики (1) и (2) допускают изометрическое погружение в евклидово пространство Е*"~*при п>2.

Теорема 2. Метрики (1) и (2) допускают изометрическое погружение в сферическое пространство при п>2.

Теорема 3. При п~2 метрики (1) и (2) допускают изометрическое погружение в Е* и Б* в виде поверхностей с особыми линиями.

Замечание. Погружение плоскости Лобачевского в Е* с особыми линиями было получено И. X. Сабитовым в [6].

При доказательстве будут даны конкретные параметрические уравнения поверхностей. Класс гладкости С* всех этих погружений совпадает с классом гладкости заданных функций / и у. Все рассуждения будут проведены только для метрики (1). Для метрики (2) они аналогичны.

2. Прежде чем перейти к доказательству сформулированных выше теорем, введем, следуя Д. Блануше [2] , вспомогательные функции.

Следующая лемма, касающаяся свойств функций <р{ и <р2, доказана в работе [2].

Лемма. 1) функции <рх и <р2 — периодические с периодом 2:

Пусть

<р.{и + 2) = <р.(и), 1-1,2;

2) <р]{и) + = 1;

3) р<в)(2Л+1) = О, - 0 ,

3* Зак. 3732

13

где п — натуральное число, а к — целое;

4) |у>>)| < 18, |f2(u) j < 18;

5) <pt,<p2eС". Введем следующие обозначения :

а - тах(|*>; <р\ |) ,

А,(ы) - 2(а+1){ Г max (|/| , |/'|)1 + l} Vn - 1, 2Л-1 <u<2k+l , L м-isniat+i 'J

h2(u) = 2(a+l){[ max (J/| , |/'|)J + 1} Vn - 1, 2k-2 <u<2k .

Здесь квадратные скобки обозначают целую часть стоящего в них выражения. 3. Доказательство теоремы 1. Введем следующие обозначения :

Kuypiu -/„(") = -7s-—г1- , i - 0,1...,п-2,

" —J

Я*Ф2(" ~ n 1 fv(u) = -;- , i = 0,1...,n-2,

*»(• - rh) *<«> -1 *;(» - rbW - rhr) •

w - • - ||[/,; (»)]' ♦ pa («)]") •

i Jmu)'

Тогда погружение метрики (1) в евклидово пространство Е*"~* может быть дано следующими параметрическими уравнениями :

*U " /WC"l>in{Al ("l " [m./("i) + "2+/] j '

xv = /|,(И|)«я{А, (и, - J^zn) [и,/«,) + и2+|]| , (3)

Х3, = /2f<"l)Si"{A2 ("l - -~l)[m2i(Ul) - U2+(] I .

x4t = /^("^cosjA^u, - - "2+i]} , i = 0,1,...n-2,

где

Используя лемму пункта 2, можно убедиться, что линейный элемент поверхности (3) совпадает с метрикой (1). По той же лемме класс гладкости поверхности (3) совпадает с классом гладкости функции /, если Ф(и) отлична от нуля. Используя определение ступенчатых функций ки и к21, получаем

\!'п ! < Тт1 1,2 ' '" откуда следует, что Ф(ы) > 0 .

Поскольку при {V/ нули функций ц>ги и (р\! <р 1} не совпадают, то

Ф(к) > О при и >2. Следовательно, функции т(и), т^и) определены при всех

значениях и, если и >2, и класс гладкости поверхности (3) совпадает с классом гладкости функции / Непосредственной проверкой убеждаемся, что ранг отображения (3) равен п. Теорема 1 доказана. 4. Доказательство теоремы 2. Введем следующие обозначения:

п-2

р(и) -1 - £ р» + /21.(ы)1

/-0 I- ]

СМ - и [/йММО + /»'(•)««)]

ад , ^ ЖШ ,

4 ' Ки) Ф(и]Р(и)

Тогда погружение метрики (1) в сферическое пространство 54п~4 может быть дано следующими параметрическими уравнениями:

х0 * >ЩиЗ ,

*и ш /.,К)51п|Л1 («, - [«./(«.) + и1+,]).

*М - /.,("1)С08{Л.(Ы. " [?!/(«!) + "2+,]}> <4>

*з/ = 4(«.)з1п|А2(и, - [га(и,) - и,+|]|,

*4» = - [*»(И|) - М2+<] )• ¡-О'1....."-2.

После громоздких вычислений можно убедиться, что линейный элемент поверхности (4) совпадает с метрикой (1). Из определения ступенчатых

3*

15

функций А„ и hv получаем |f'Jt | < f -l/y,l < 2Vw1 ' ; =

im 0,1.....п-2, откуда следует, что Р{и)>0. В пункте 3 было показано, что

Ф(и) > 0 для любого и, если п>2. Наконец,

пи) р(и) - q\u) «1 - 2 (/?, + л, + [л;]2 + [/,']>

+1 (/,; fv-fufv)2> о.

I./-0

Следовательно, при л>2 функции gu(u) и определены для всех

значений и и класс их гладкости совпадает с классом гладкости функции f(u). Непосредственной проверкой убеждаемся, что ранг отображения (4) равен п. Теорема 2 доказана.

5. Теорема 3 является следствием теорем 1 и 2 при п-2. В этом случае при и=к, к = 0,±1,±2,..., Ф(и) = 0 и возникают особые линии, на которых гладкость — С0. В работе [б] получено погружение плоскости Лобачевского в евклидово пространство Е* с особыми линиями, на которых гладкость поверхности — С1, и доказано, что если погружение реализуется в виде поверхности вращения, то возникновение особых линий неизбежно. По-видимому, уточнив результаты данной работы, можно получить погружение плоскости Лобачевского S4 с особыми линиями класса С1 .

6. Для метрики (2) доказательства всех теорем аналогичны, нужно только сделать изменения, указанные в работе [5].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гильберт Д. Основания геометрии. М.; Л., 1948.

2. Blanusa D. Ober die Einbettung hyperrbolischer Räume in eukhdiithe Räume // Monatsh. Math. 19S3. V.S9, № 3. P. 217-229.

3. Blanusa D. Isometric imbedding of the hyperbolic n-space in a spherical (6n-4) -space // Glasnik. Ser.2. 1964. V.19, Ns 1-2. P. 53-61.

4. Розендорн Э. P. Реализация метрики ds* = du2 + /'(и)^ в пятимерном евклидовом пространстве // Изв. АН Арм. ССР. Сер. физ.-мат. наук. 1960. Т. 13, № 4. С. 85-87.

5. Азов Д. Г. Погружение методом Д. Блануши некоторых классов полных п-мерных римановых метрик в евклидовы пространства // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 1985. № 5. С. 72-74.

6. Сабитов И. X. Об изометрических погружениях плоскости Лобачевского в / / Сибирский мат. журн. 1989. Т. 30, № 5. С. 179-186.

Получено 09.07.92