CC BY
32
УДК 517.98 ББК 22.162
ИЗМЕРИМЫЕ РАЗБИЕНИЯ, ПОРОЖДЕННЫЕ КВАЗИЭНДОМОРФИЗМАМИ ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА
В. Г. Шарапов
В статье введен класс измеримых разбиений £ пространства Лебега М с условными мерами > О, С € но не обязательно = 1 как у В.А. Рохлина,
однако если М/£ = [0, 1], д(х) = то /д(х)(1х = 1.
о
Показано, что для каждого такого разбиения £ существует квазиэндоморфизм Т такой, что Т~1е = где е — разбиение на точки.
Ключевые слова: измеримые разбиения, квазиэндоморфизмы.
В.А. Рохлин в своей знаменитой работе [1] дал определение пространства Лебега и описал измеримые разбиения £ пространства Лебега.
Измеримое разбиение £ может быть представлено как разбиение на прообразы точек, то есть £ = Т~1е, где е — разбиение на точки. При этом элемент Сх = Т~1х имеет конечное или счетное число точек х^ с условной мерой чщ(х) > 0 и некоторое множество точек нулевой условной меры с общей условной мерой 1(х) ^ 0, причем выполняется условие ^ {х) +1(х) = 1- Величины т^х) и 1(х) легко устанавлива-
ются для эндоморфизма, то есть для сохраняющего меру преобразования. Их можно рассматривать как функции на фактор-пространстве М/£, которое, как показано в [1], изоморфно отрезку [0, 1]. Например, для эндоморфизма отрезка [0, 1) Тх = 2^(тос11) каждый элемент разбиения £ = Т~1е состоит из двух точек условной меры то есть
1щ(х) = т2(;г) =
В данной работе рассматриваются измеримые разбиения с такими же функциями чщ(х) ) 0 и 1(х) ^ 0, у которых вместо свойства ^ т^(х) + 1(х) = 1 выполняется
Показывается, что для каждого такого разбиения £ существует квазиэндоморфизм Т, для которого Т~1е =
Квазиэндоморфизмом называется всякое измеримое несингулярное (прообраз каждого множества меры 0 есть множество меры 0) преобразование пространства Лебега М. Рассмотрим три случая:
Введение
условие 2тг(х) + 1(х) ) (1х = 1.
1) разбиение £ дискретное, то есть каждый элемент разбиения состоит из конечного или счетного числа точек положительных условных мер;
2) разбиение £ непрерывное, то есть каждый элемент состоит из точек нулевой условной меры;
3) каждый элемент разбиения содержит как точки положительной условной меры, так и множество точек нулевой условной меры.
1. Дискретные разбиения
Рассмотрим следующий пример квазиэндоморфизма.
Пусть М = (0, 1], /— действительная функция, определенная на (0, 1] и удовлетворяющая условиям:
1) lim f(x) = 0;
ж—н)
2) f(x) — непрерывна и строго возрастает;
3) /(1) = К, где К — натуральное число или +оо. Пусть у = Тх = f(x)(mod 1), х Е (0, 1], Т 1 = 1.
Вследствие свойства 2 почти всюду существует производная f'(x). Отрезок (0, 1]
разбивается на конечное или счетное число отрезков А¿, А» = таких что
1
гго = 0 и f(xi) = 1, г ^ 1. Длина отрезка А» равна / m.i(y)dy. При этом V х G М;
о
__X
Т~1х = {*•}, г = 1, К , где = Xi-i + /m,i(y)dy , тДу) = -pj^, х G А
о
Пространство М изоморфно множеству, состоящему из отрезков Mi = {(х,у) : 0 < х ^ 1, у = 1 + г = 1,Ä', с плотностью чщ(х), соответ-
ствующих отрезкам А¿. Точки 1 + , г = 1,Ä', образуют элемент Сх разбиения £ = Т_1е. Каждая из этих точек имеет условную меру чщ(х). В этом представлении пространства М Т~1 (х, 1 + = Сх, где
fc-l 1 ,т /о 1 \
о о У1-1 о /
1
Условная мера элемента Сх ß(Cx) = J2mi(x) = #0*0) гДе #0*0 > 0, /g(x)dx = 1.
i О
Обратно, если взять любые функции m.i(x) со свойствами чщ(х) > 0, g(;r) = J2mi(x)>
г
1
/ g(x)dx = 1, то формула (1) определяет квазиэндоморфизм Т пространства М такой,
о
что Т~1£ = где разбиение £ состоит из элементов Сх, представляющих собой К точек хi с условными мерами т^х).
2. Непрерывные разбиения
Пусть М есть криволинейная трапеция {(х,у) : 0 < # < 1, 0 < у < 1(х)}> гДе 1
1(х) > 0 и J l(x)dx = 1. £ — разбиение на элементы Сх = {(х,у) : х фиксировано,
о
О < у < 1(х)}.
Так же как в [1] показывается, что пространство Лебега М изоморфно квадрату [О, 1) х [0, 1), можно доказать, что М изоморфно криволинейной трапеции площади 1.
Пусть Л — последовательность положительных чисел а^, г = 1, А', К — натуральное число или +оо, такая, что ^а'г = 1г
Определим квазиэндоморфизм Тд, задавая для каждой точки (х, у) Е М ее прообраз Т^\х,у).
г ___
Положим Рг = ^ ^ Л, г = 1, К, /50 = 0, и у^(х) = г1 = 1, К.
3=1 _
Пусть = {(х,у) : у^-1(х) < у < 0 < х < 1}, ч = 1, А'. Поло-
жим Щ = {(х,у) : (х,у) € ¿¿1,/5,1-1 < а; < /3Л} = {(ж, у) : /3Л_1 < а; < ¡Зп,
Уп-Лх) < У < Уч(х)}- _
Прообразами множеств Ь^, ¿1 = 1, К, берем ¿¡-множества =
= {(х,у) : < х < /3^, 0 < у < /(ж)}.
Обозначим /3^2 := /3^ + • /3^, 0 < ^ < А', 1 < г2 < А', = /Зг1...г11 + 1 /Згх + СК^+1 • &2..лп+1, У^..лп(х) ' 1(х).
Предположим, что
Ч1.'.'.'^ = : Ал-!)!^-!)..-!^-!) < * < /3(л-1)...(,^1-1),^ У(г1-1)...(ч,_1-1)(ч,-1)(^) < У <
< У(г1-1)...(ч,_1-1)ч,(>)}-
Положим = {(х,у) : (х,у) е 1)...(гк-1)(гк+1-1)И < У <
< г/(г1-1)...(гк-1)гк+1И}, ТО вСТЬ
= {(^г/): %-1)...(^+1-1) < ж <
Далее положим ¿41;;;£+11 = {(^У) : (*,?/) е ¿^.'."^' < X <
< то есть Ч1.'.'.'^! = {: ^1-^+1-1 < х < Рп...1к+пУч..лк-1(х) < и //.•....... •
Прообразы введенных множеств определяем формулами:
ТА1ьп = {(х,у) ■ А1-1 < х < /3^, 0 < у < /(ж)},
ТЛ ^ = {(ж, у) : /?г1—1 + «¿1 ' /3,-1 < а; < /3^_1 + а^ • /3,-, 0 < у < /(ж)} = = : /3(п-1)(,1-1) < ж < /3(г1_1),1, 0 < у < /(ж)}.
ТА1Ьпг2 = {(Я. г/) : /%1-1)(,1-1)(г2-1) < Ж < /5(г1-1)(л-1)г3, 0 < у < 1(х)}. Аналогично получаем
ТА1ЩЦ = {(Х>у) /3(г1-1)(л-1)(г2-1)(,2-1) < X < /3(г1-1)(,1-1)(г2-1),2 1 0 < У < /(*)}.
В результате получаем общую формулу
ТЛ1^11.'.1Г = {(Х' У) Ап-Ш!-!)...^-!-!)^-!) < X < /5(»1-1)(л-1)...(»„-1-Ш„, 0 < у < /(ж)}. Для всякой точки (+,у) € М существует единственная последовательность мно-
__оо
жеств п = 1,оо, такая, что (х,у) = П Пересечение соответствующей
п=1
_ оо
последовательности Т^Щ]''^, п= 1,оо, П Тд 1Ц11'''3^ есть некоторый элемент С раЗ-
га = 1
биения Поэтому полагаем Т^1(х,у) = П ' 1-: '.'.'.':■'. •
га
Множества Т^ЬЦ'''^ и имеют равные меры только в случае 1(х) = 1.
В противном случае Т есть квазиэндоморфизм.
3. Смешанные разбиения
Пусть теперь разбиение £ такое, что каждый элемент Сх Е £ состоит из К точек положительной условной меры г = 1, К и точек нулевой условной меры с
общей условной мерой 1(х), где функция плотности д(х) = ^2тЛх) + Кх) удовлетворяет
г
1
условию / д(х)с1х = 1. о
Пространство М можно считать состоящим из криволинейной трапеции Ь = {(+, у) : 0 < х < 1, 0 < у < 1(х)} и отрезков М^ = {(+, у) : 0 < х < 1, у = 1 + 4}, г = 1, А', К — натуральное число или +оо, с плотностью условной меры т^х). Элементы Сх Е £ есть множества Сх = {(х,у) Е М : х фиксировано}.
Удобнее определить квазиэндоморфизм Т, для которого Т~1е = задавая для каждой точки (х,у) Е М ее прообраз Т~1(х, у). Для (х, € Мк положим Т~1 (х, = Сх, где
х =
1 Л Л /О Л
1(х)с1х + ^ / ///..•;./-к/./- + / ////,•;./-к/./- ^ / ш.+гк/.г = О о г=1 о о \г=1 о
1
Обозначим А^ = /1(х)с1х и положим Т~1Ь = [0,Дь]. Аналогично, как выше в
о
случае ¿/(Ь) = 1, с умножением координат по оси # на А^ получаем
¿¿ь.'.'Й = : ' /%-1)...(ч,-1), < ж < Дь • /%1-1)...(ч,-1-1)чо
Прообразом этого множества полагаем
V {(.'•.,/):(.,-.,/)•: М.
Al • /?(»!—1)(Ji—1)...c*fe—1)(Jfe—1) < x < • /5(il_i)(j1_i)...(ifc_i)jJ.
Как в случае p(L) = 1, получаем, что (х, у) = П Ц1'"^' и Т~1(х, у) = П T~lL^"f!.
к=1 fc=l Легко видеть, что можно построить квазиэндоморфизмы в том случае, когда измеримое разбиение £ имеет более общий вид, когда, например, 1(х) или какие-то (или все) m.i(x) = 0 для некоторых подмножеств х.
Замечание. В [2] показано, как можно в случае p(L) = 1 сделать Т(х) непрерывной нигде не дифференцируемой функцией.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Рохлин, В. А. Об основных понятиях теории меры / В. А. Рохлин // Мат. сб. — 1949. - № 1. - С. 107-1550.
2. Шарапов, В. Г. Эргодические свойства непрерывных не дифференцируемых отображений / В. Г. Шарапов // Вестн. ВолГУ. Сер. 1, Математика. Физика. — Вып. 1. — 1986. - С. 50-54.
MEASURABLE PARTITIONS GENERATED BY QUASIENDOMORPHISMES
V.G. Sharapov
In the paper a class of measurable partitions £ of Lebesque space M with conditional
measures > О, С e not necessarily = 1 as by V.A. Rokhlin, but if
l
M/£ = [0, 1], g(x) = pz(Cx), f g(x)dx = 1, is considered.
о
It is shown that for which such partition it exists quasiendomorphism T, for which T~le = e — pointwise partition.
Key words: measurable partitions, quasiendomorphisms.
