Операторы Перрона Фробениуса естественных расширений теоретико-числовых эндоморфизмов Реньи рохлина Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.9

ОПЕРАТОРЫ ПЕРРОНА - ФРОБЕНИУСА ЕСТЕСТВЕННЫХ РАСШИРЕНИЙ ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВЫХ ЭНДОМОРФИЗМОВ РЕНЬИ - РОХЛИНА

В.Г. Шарапов

В статье дается способ построения операторов Перрона — Фробениу-са естественных расширений теоретико-числовых эндоморфизмов Реньи — Рохлина.

В работах А. Реньи [1] и В.А. Рохлина [2] рассматривались следующие отображения: если Г — действительная функция на [0, 1), то у = Т1х = Г(х)(шо^), х Е [0, 1). Налагая определенные условия на функцию Г(х), А. Реньи доказал существование инвариантной меры и эргодичность эндоморфизма Т1 при этих условиях. В.А. Рохлин доказал точность эндоморфизма Т при тех же условиях. При некоторых других условиях доказывается точность эндоморфизма Т1 в работе [3].

Пусть (М, Г, у) — пространство Лебега, то есть пространство с вероятностной мерой, изоморфное отрезку [0, 1] с мерой Лебега.

Эндоморфизмом пространства М называется измеримое преобразование пространства М.

Автоморфизмом пространства М называется взаимно однозначный эндоморфизм.

Преобразование Т пространства М называется несингулярным, если из у(А) = 0 следует у(Т-1А) = 0.

Пусть Т : М ^ М — несингулярное преобразование пространства М. Пусть / Е Ь1(М). Оператором Перрона — Фробениуса называется отображение Р : Ь1 ^ Ь1, определенное равенством

J Pf (х)у(йх) = J /(х)у(йх) VА € Г. (1)

3 а т-1А

ш- Если М = [0, 1], А = [а, х], Т дифференцируемо и монотонно на А, то (1)

§ превращается в

Э х Т-1х

ш' [ Р/(й)= [ /(й)= [ /(й)йй. (2)

© а Т-1[а,х] Т —1а

Дифференцируя (2) по х, получаем

Т-1х

ИР и

Р/(х) = - у /(з)йз = /(Т-1 х) ■ -(Т-1х).

Т—1а

Если М = [0, 1) х [0, 1), А = [а,х] х [Ь,у], то из (1) получаем

X у

! Из ! Р/(з,£)& = !! /(з,£)Из&.

а Ь Т-1([а,х] X [Ь,у])

Дифференцируя сначала по х, затем по у, получаем

Р/(х,У) = дудх Л / (з,г)ИзИг' (3)

Т-1([а,х] X [Ь,у])

Будем считать, что функция Г(х), определяющая теоретико-числовой эндоморфизм Т1, удовлетворяет следующим условиям:

1) Г(0) = 0;

2) Г(х) непрерывна и строго возрастает;

3) если х2 > х1, то Г(х2) — Г(х^ > х2 — х1;

4) Нш Г(х) = К, где К — натуральное число или +то;

Х^1

5) Т сохраняет меру, то есть ^(Т-1А) = ^(А) V А е Г.

Если обозначить ак точку отрезка [0, 1), в которой Г(х) = к, к = 0, 1,..., и обозначить /к(х) = Г(х) при ак-1 ^ х ^ ак, к = 1, 2,..., то /к есть отображение /к : [ак-1,ак) ^ [0, 1), к ^ 1. Обозначим дк(х) — обратное к /к отображение: дк : [0, 1) ^ [ак-1 ,ак), к ^ 1. Для того чтобы отображение Т сохраняло меру,

необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство ^дк(х) = 1 Vx е [0, 1).

к

Производные дк(х) будем обозначать тк(х), это обычное обозначение для условных мер точек разбиения £ = Т-1£, где £ — разбиение на точки, а элементами разбиения £ есть точки, являющиеся прообразами какой-либо одной точки из [0, 1).

Таким образом, мы можем представить Т1х = /к(х) для ак-1 ^ х < ак, к ^ 1. Методами, рассмотренными в [4], можно показать, что естественным расширением такого эндоморфизма является автоморфизм пространства М = [0, 1) х [0, 1)

Т (х,У)

(/1(х), т1(х)у), 0 ^ х < а^_, 0 ^ у < 1;

(/2(х), т2(х)у + т1(х)), а1 ^ х < а2, 0 ^ у < 1;

(/к(х),тк(х)у + т1(х) + ... + тк-1(х)), ак-1 < х < ак, 0 < у< 1; Обратным преобразованием преобразования Т будет

'gl(x), тИх0 ^ х< 1 0 ^ у<т1(х);

д2(х), т1х) (у — тЛх))) , 0 < х < 1, т1(х) < у <т1(х) + т2(х);

Т (х,у) =

^, тф) (у — т1(х) — ... — тк-1(х

х) + ... + тк-1(х) ^ у < т1(х) +

0 < х < 1,

+ тк-1 (х) + тк (х);

Если 0 < х< 1, 0 < у < т1(х), то Т 1([0,х] х [0, у]) = [0,д1(х)] х 0, т^у

Тогда Р/(х, у)

9—х) т—х)?

д2

дхду J Из J / (з, Ь)ИЬ / I g1(xJ, т1(х 0 0 4

/ Из I /(з,$& = / (д1(х)

Если 0 ^ х < 1, т1(х) ^ у < т1(х) + т2(х), то Т 1([0,х] х [0, у]) =

= ([0,д1(х)] х [0, 1]) и и ([а1,а1 + д2(х)] х

0 у-т1(х) ’ та(х)

Тогда р/(х,у) = дХд-1 / Из $ /(з,£)ИЬ + / Из / /(з,£)&

0 0 а1 0

/(а1+д-2(х), у-ттхх).

Если 0 ^ х < 1, т1(х) + ... + тк-1(х) ^ у < т1(х) + ... + тк-1(х) + + тк (х), то Т-1([0, х] х [0, у]) = ([0, д1 (х)] х [0, 1]) и ([а1 ,а1 + д2(х) х [0, 1]) и ... и и([а1 + ... + ak-2, а1 + ... + ак-2 + дк-1(х)] х [0, 1])и и ([а1 + ... + ak-1, а1 + ... + ак-1 + д2(х)] х

91(х) 1

у-т (х) а1+92 (х) т— (х)

Тогда Р/(х, у)

а1+...+ак-1-1-к+9

+ ^ Из

а1—...—ак-1

д2

дхду

9—х) 1

0 у-т1(х)-...-тк-1(х)

, тк (х)

а1 +...+ак-2+9к-1(х) 1

/ Из § /(з, Ь)ИЬ + ... + / Из § /(з, Ь)ИЬ +

00

у —т1(х)-...-тк —1 (х) тк (х)

/

0

а1 - ... - ак— 2

\

/ (з,№

/

= 1(а1 + ... + ак-1 + дк(х), ^^Г-• к > 1.

Таким образом, оператор Перрона — Фробениуса для естественного расширения Т(х,у) эндоморфизма Т1 х = Г(х)(шо^), где Г(х) удовлетворяет условиям 1)-5), для / е Ь1 (М)выражается формулой

Р/(х, у)

/ (я (х). ттыу) ■ 0 ^ х < 1 0 ^ у < т1(х);

/(ач + д2(х), у^) , 0 ^ х< 1, т1 (х) < у<Ш1(х) + Ш2(х);

/ (а1 + ... + ак-1 + дк(х), у~т(Х)-(ХГк—1 {х)) , 0 < х< 1,

т1(х) + ... + тк-1(х) < у < т1(х) + ... + тк-1(х) + тк (х);

80

В.Г. Шарапов. Операторы Перрона — Фробениуса

Summary

PERRON - FROBENIUS OPERATORS FOR NATURAL EXTENSIONS OF RENYI - ROHLIN NUMBER-THEORETICAL ENDOMORPHISMS

V.G. Sharapov

In the paper a way how to construct Perron — Frobenius operators for natural extensions of Renyi — Rohlin number-theoretical endomorphisms, is described.

Список литературы

1. Renyi A. Representations for real numbers and their ergodic properties // Acta math. Acad. sci. hungar. 1957. № 8. P. 474-493.

2. Рохлин В.А. Точные эндоморфизмы пространства Лебега // Изв. АН СССР. Сер. математическая. Т. 25. 1961. № 4. С. 499-530.

3. Шарапов В.Г. Об одном классе теоретико-числовых эндоморфизмов А. Реньи — В.А. Рохлина // Случайные процессы и статистические выводы. Вып. IV. Ташкент: Изд-во «Фан» АН УзССР. 1974. С. 194-206.

4. Шарапов В.Г. Естественные расширения кусочно-монотонных эндоморфизмов // Вестн. ВолГУ. Сер. 1, Математика. Физика. Вып. 10. 2006. С. 52-56.