Естественные расширения кусочно-монотонных эндоморфизмов Текст научной статьи по специальности «Математика»

В.Г. Шарапов, 2006

УДК 519.9

ЕСТЕСТВЕННЫЕ РАСШИРЕНИЯ КУСОЧНО-МОНОТОННЫХ ЭНДОМОРФИЗМОВ

В.Г. Шарапов

В статье дается способ построения естественных расширений эндоморфизмов, заданных кусочно-монотонными функциями, в частности, К-автоморфизмов.

Пусть (М, Р, ц) — пространство Лебега [1], то есть пространство с вероятностной мерой, изоморфное отрезку [0, 1] с мерой Лебега. Таким пространством является, например, пространство М = [0, 1) х [0, 1) с мерой Лебега. В дальнейшем М обозначает именно это пространство.

Автоморфизмом пространства М называется взаимно однозначное сохраняющее меру преобразование этого пространства, обратное к которому также измеримо.

Эндоморфизмом называется измеримое не взаимно однозначное преобразование пространства М.

Автоморфизм Т пространства М называется /Г-автоморфизмом (автоморфизмом Колмогорова), если существует ст-подалгебра ^ С ^ такая, что выполняются

, СО

условия: 1) С Ро, 2) П Т~пЕЬ = Д (Д — тривиальная ст-подалгебра, содер-

п=0

жащая только множества меры 0 и 1), 3) ст ( и Т"#о) = F, то есть ст-подалгебра,

\п=0 /

порожденная образами множеств из совпадает с F.

Хорошо известно «преобразование пекаря» пространства М, определяемое формулой

гг(т у\ _ / 2У) > 0 < ж < 2, о ^ 2/ < 1,

(2х - 1, 1 у+і), 1^<1, 0^

^ у< 1-

Оно является /^-автоморфизмом.

В дальнейшем мы будем рассматривать различные обобщения этого преобразования, в результате получая не только /^-автоморфизмы.

* Пусть к > 1 — натуральное число. Положим

{(кх, \у) , 0 ^ х < ^ 0 ^ у < 1,

(кх-1, ІУ+1), 1^х<1 0 < у < 1, (1)

(кх - (к - 1), \у +

При этом множество [—, х [0, 1) отображается на множество © [0, 1) х I), і = 1, к. ст-подалгебра Р0 = {В = Ах[ 0, 1), А Є ^0, і)}, ^[0, і) -

лебеговская ст-алгебра отрезка [0, 1). Т 1В = Вг = А\ х [0, 1), А\ Є F[0) і). Ai = \A U (I + \ A) U ... U (*=! + ±Л). Поэтому 2?х Є F0, то есть T-1F0 С F0.

Рассмотрим разбиение ( пространства M, элементами которого являются х х [0, 1), х Є [0, 1). Это измеримое разбиение, соответствующее ст-подалгебре F0. Измеримость разбиения £ следует из того, что это есть разбиение на прообразы точек для измеримой функции f(x,y) = х. Так как разбиение ( инвариантно относительно Т, то есть T~lq ^ (здесь неравенство означает, что элементы разбиения T~xq состоят из объединений целых элементов разбиения (). Поэтому существует фактор-эндоморфизм Тя на фактор-пространстве M/q. M/q есть пространство, точками которого являются элементы разбиения (, то есть множества х х [0, 1).

Отображение Ня : М —► M/q, при котором множество х х [0, 1) С М отображается

в точку Яс(хх [0, 1)) Є M/q, называется естественным гомоморфизмом пространств М в M/q. При этом точку Ня(х х [0, 1)) можно отождествить с точкой х Є [0, 1), a M/q — с отрезком [0, 1). Из (1) следует, что при указанном отождествлении Тях = кх (modi). Известно, что это точный эндоморфизм [2], что равносильно

00 оо

П Т nF\о л = R, и поэтому П T_nF0 = R.

п=0 ' п=О

Итак, первые два свойства if-автоморфизма выполняются. Теперь заметим, что F0 U TF0 содержит множества вида А х |) , г = 1, к и А х [О, 1), А Є Fp, і); FoUrFoUT2Fo содержит кроме указанных множеств множества А х г = 1, к2, А Є F[o,i) и т. д. Таким образом, мы можем аппроксимировать каждый прямоугольник, а следовательно, каждое множество из F множествами из F0UTF0U.. ,UTnF0. Поэтому выполняется третье условие, и Г есть if-автоморфизм.

Известно [2], что для всякого эндоморфизма Ті пространства Лебега существует единственный автоморфизм Г, называемый естественным расширением эндоморфизма Ть такой, что для него существует инвариантное разбиение £ (Т~Ч ^ q) и такой, что Ті изоморфен Тя (теорема Рохлина).

Таким образом, if-автоморфизм Т, построенный в предыдущем примере, есть естественное расширение эндоморфизма Тхх = кх{mod 1).

Аналогично можно рассмотреть отображения:

1 Т(т v) = I ^Х’ 2^ ’

\ 2(1 - х), \у + \ С х < 1, 0 ^ у < 1.

Это тоже if-автоморфизм с F0 = {В = А х [0, 1)}, T_1F0 = {Ві = А\ х [О, 1)},

П ^ гр / 1,

9/ ’ і J і . Тя-« треугольное» отображе-

ние — точный эндоморфизм.

2. Пусть Т\, г2, г3 — действительные числа, большие единицы, такие, что у- +

Г2 ГЗ

f^iz, 0 ^ у < 1,

< + 0<у<1,

k (гз(;г-(i + i)), iy+i + i), i + 1, 0^у< 1.

Fq — {В = А у. [0,1)}, В\ = Т В = х [О, 1),

Ал — —А U ( —|—A I U

г 1 \гг г2

{ГхХ, 0 ^ х <

Г2 (х - ±) , £ < X < £ +

г>(1_ (£ + *))> £ + £<*<!■ Легко показать, что Тс — точный эндоморфизм, а значит Т Здесь Го = {А х [0, 1)}, Т~ХКЬ = {Ах х [0, 1)},

if-автоморфизм.

Ai = —A U f — +

гх \г 1 г2 у

3. Чуть более сложный пример:

U (- + - + -А

\г X Г 2 г3

Т(х,у) =

(5х, |у) , 0 ^ ас < О ^ у < 1,

1

lix

з^) > Ю.5 х < зо; 0 ^ у < 1,

... ‘ — Й) * |У+б)» §<*<1’ 0 ^ у < Д.,

(3 (х - |) + |, |у + |), § < х < 1, 0 ^ у < 1.

Т0 = ^од) х [О, 1), то есть Т0 — {В : А х [О, 1)}. Т~1В = Аг х [О, 1), где

= Г~М, С — разбиение на х х [О, 1), х £ [О, 1). Тя — точный эндоморфизм,

Т — К-автоморфизм.

4. Пусть Мх = [О, 1) с мерой Лебега

Тхх = /(х) (modi),

(2)

где /(х) — возрастающая функция, / G С2 [О, 1), /(0) = 0, /'(х) ^ 1 + £о Vx £ Mi,

для некоторого Eq > 0, lim/(x) = п Е N или оо. Пусть сk G Mi — точки, для

которых f(ck) = к, к — 1, п (или к = 1, оо). В силу равенства (2) /(х) распадается

на функции Д(х) = /(х) — (А: — 1), с*. — 1 < х < Cfe со значениями в [0, 1),

к = 1, п (к = 1, оо). Кроме того, будем считать, что Т\ сохраняет меру. Для

этого нужно, чтобы если для некоторого у G [0, 1) выполняется /fc(xfe) = у Vfc, то

должно выполняться равенство f~(Xk) = 1- 7i — точный эндоморфизм [2]. Теперь

fc

на М = [0, 1) х [0, 1) естественным расширением автоморфизма 7\ будет К-автоморфизм

Т(х,у) =

(/i(я)» /т^у) , 0 ^ х < ci, 0 ^ у < 1,

(Z2^)’ J$~X) Tife)) ’ С1 ^ ж < с2> О < у < 1,

(2)

(/fc(^)> + Д(х) + • • - + /<_j(s)) ’ Cfc-1 < ск, 0<у<1

Рассмотрим автоморфизмы, которые не являются А'-автоморфизмами, но строятся аналогично им. Возьмем автоморфизм Т\ пространства М\ = [0, 1):

{2х + 0 ^ х <

(3)

2(я-!).

Пусть М = [0, 1) х [0, 1). Положим

(2х + \, \у), 0 ^ х < \, 0 ^ у < §,

гр(х у) _ < (2 (Х — 4) 2> 2.У + 2) > 4 ^ Х < 2> 2<у<1,

Цх'у>- 2 (х-\ , Ь), кх<|, 0^<§,

, (2 (х - 4) > *у + I) > 4 ^ х < 1> 5 ^ У < х-

Если обозначить Р0 = {В = А х [0, 1)}, то аналогично предыдущему будут соблюдаться свойства: Т~1Р0 С ^ и о ( и ТпРо] = Р. Однако свойство

\п=0 /

П Г_7lFo = Д не выполняется. Это пересечение содержит множества [0, 5) х [0, 1)

п=0

и [|, 1) х [0, 1) и совпадающие тос10 с ними. Поэтому это не будет /Г-автоморфизмом. Однако это будет тоже естественное расширение эргодического неточного автоморфизма Т\, заданного выражением (3), и поэтому Т эргодический автоморфизм. Здесь В1 = Т~ХВ — Ах х [0, 1), где А\ = Т^1А.

Возьмем теперь автоморфизм Т2 пространства Мг\

2х, 0 ^ х <

2 2 | ^ х < §,

к 2 (х - §) + §, § ^ х < 1

и по нему построим естественное расширение

{(2х, \у), 0 ^ х < }, 0 ^ у < 1,

2(х-±},к+|), Нх<|, 0<у<1,

(2 Ь), Ых<1

(2 [х - I) + \у + 5) , | ^ х < 1, 0 ^ у < 1.

Это неэргодический автоморфизм, так как имеет инвариантные множества [О, |) х [0, 1) и [|, 1) х [0, 1) меры \. И поэтому Т тоже неэргодический.

Рассмотрим теперь произвольный эндоморфизм Т-1 отрезка [0, 1), заданный куеочно-монотонными функциями Д(х), Ск-1 ^ X < Ск, к = 1, п, О = Со < сх < ... < сп = 1; Д(х) € С2 [ск-1,ск), |/*(х)| ^ 1 + е0 для некоторого £0 > 0- Пусть области значений Д будут отрезки [0^,6^) С [0, 1). Множество Л = {й1,..., ап, Ь\,..., Ьп} упорядочим по возрастанию. В результате получим разбиение отрезка [0, 1) на отрезки Д* = [<^_1,е^), г = 1, га, где ^ 6 Л, с1о — 0, с1т = 1. Предположим, что область значений функции Д(х) будет £>/. = [^р_1,йр+г) =

= Ар и ... и Др+г и.....и Др+;+г- А также, что Др+г входит в области значений

функций Дл Д2, ..., Д„ Д, Да+1,..........Д,+г, кх<к2< ... < к8+Г.

Тогда положим Т (х, у)

]лк\ + кщ

+... +

х е БкП Т^Ар+1, 0 ^ у < 1.

Применяя эту формулу ДЛЯ всех непустых пересечений Ик и Г1_1Дг, получаем естественное расширение кусочно-монотонного эндоморфизма Тг. Если Тх будет точным эндоморфизмом, то Т — /С-автоморфизмом. Если Т\ эргодический (неэрго-дический), то Т будет таким же.

NATURAL EXTENSIONS OF PIECEWISE MONOTONIC ENDOMORPHISMS

In the paper a way how to construct natural extensions of endomorphisms given by piecewise monotonic functions in particular, if-automorphisms, is described.

1. Рохлин В.А. Об основных понятиях теории меры // Матем. сб. 1949. № 1. С. 107-150.

2. Рохлин В.А. Точные эндоморфизмы пространства Лебега // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1961. Т. 25. № 4. С. 499-530.

Summary

V.G. Sharapov

Список литературы