Инвариантные меры квазиэндоморфизмов, задаваемых нигде не дифференцируемыми отображениями Текст научной статьи по специальности «Математика»

© Шарапов В.Г., 2011

УДК 519.9 ББК 22.162

ИНВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ КВАЗИЭНДОМОРФИЗМОВ, ЗАДАВАЕМЫХ НИГДЕ НЕ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫМИ

ОТОБРАЖЕНИЯМИ

В. Г. Шарапов

В статье изучается построение инвариантной меры для одного класса квазиэндоморфизмов, задаваемых непрерывными нигде не дифференцируемыми отображениями. При этом рассматриваются случаи точных, эргодических неточных и неэргодических квазиэндоморфизмов.

Ключевые слова: инвариантные меры, непрерывные нигде не дифференцируемые функции, точные и эргодические квазиэндоморфизмы, точные преобразования, эргодичность, квазиэндоморфизмы.

Пусть (М,Г,р.) — пространство Лебега, то есть пространство, изоморфное отрезку [0, 1) с мерой Лебега. Пусть Т — измеримое сюръективное отображение: Т : М М, несингулярное, то есть У А € -Р1, р(А) = 0, выполняется р,(Т~1А) = 0, и не сохраняет меру, то есть не выполняется равенство р,(Т~1А) = /л(А) У А € Р. Если это отображение не взаимнооднозначное, то Т называется квазиэндоморфизмом.

Точным квазиэндоморфизмом пространства (М,Г,р.) называется квазиэндоморфизм

ОО

Т, для которого Р| Т~пР = К, где Н — тривиальная и-алгебра, состоящая из множеств

п=О

меры 0 и 1. Эквивалентное определение: квазиэндоморфизм Т точный, если для каждого измеримого множества А положительной меры Ит р,(ТпА) = 1.

га—оо

Эргодическим квазиэндоморфизмом пространства (М,Г,р.) называется квазиэндоморфизм Т, для которого равенство Т~1А = А возможно только при /л(А) = 0 или р(А) = 1. Если равенство Т~1А = А возможно при 0 < /л(А) < 1, то квазиэндоморфизм Т неэргодический. Второе определение эргодического квазиэндоморфизма Т: Т

/°° . \

эргодический тогда и только тогда, когда /л ( и ТгА ) = 1 для любого А положительной

\г=0 /

меры.

Пусть М — криволинейная трапеция:

1

Л/={(*,»): 0<*<1. О <#</(*)},где /«*)*= 1. (1)

О

Разделим М на т2, т > 1, криволинейных трапеций прямыми х = г = 1,т— 1, и кривыми у = ) = 1 ,т— 1. При этом считаем отрезки деле-

ния присоединенными к тем трапециям, от которых они расположены слева или снизу.

Эти т2 множеств назовем трапециями первого порядка и обозначим М}, г = 1, т2. Эти трапеции занумеруем так, чтобы каждая трапеция М} имела общую сторону или общую вершину с трапециями М/_1 и М}+1.

Аналогично разбиваем каждоеМ/ на т2, т > 1, криволинейных трапеций М2, г = 1, т2, получаем т4 трапеций второго порядка М2, г = 1, т4. Нумерацию множеств М2 проводим так, чтобы выполнялись условия: 1) Нумерация трапеций второго порядка должна быть согласована с нумерацией трапеций первого порядка, то есть сначала перенумеровываются трапеции, входящие в М\, затем последовательно в М], М^, . . .,

2) Каждая трапеция М2, і = 1, т4 имеет с трапециями М2_х и М2+1 общую сторону или общую вершину.

Далее аналогично по индукции строятся криволинейные трапеции /?,-го порядка с выполнением условий 1) и 2) для п = 3, оо.

Определим квазиэндоморфизм Т множества М следующим образом. Положим прообразом множества М} г-й столбец трапеций второго порядка. Прообразом М^ является г-й столбец множеств к + 1-го порядка. В пределе получаем

где (х,у) — трапеции А>го порядка, содержащие точку (х,у).

Так как прообразами М^ (х,у) являются столбцы прообразов (к + 1)-го порядка, то в результате прообразом точки (х, у) является вертикальный отрезок трапеции. Этим самым определяется квазиэндоморфизм Т отрезка [0, 1), который не сохраняет меру и является непрерывным нигде не дифференцируемым отображением.

Если отобразить трапеции М^ на отрезке [0, 1) так, что все эти отрезки имеют вид [а, 6), расположены так, что первый М^, затем М|’ и т. д., причем длина отрезка равна //■; ,\I: ). то получаем изоморфизм М на [0, 1), и квазиэндоморфизм Т пространства М переходит в квазиэндоморфизм отрезка [0, 1), который является непрерывным нигде не дифференцируемым отображением.

Если теперь взять отображение (х,у) —> то получим, что криволинейная

трапеция становится квадратом, причем все трапеции всех порядков тоже становятся квадратами, мера сохраняется. В результате преобразования получаем эндоморфизм, который является точным (см. [1]).

Если допустить кусочно-непрерывные квазиэндоморфизмы, то можно построить эргодический неточный квазиэндоморфизм и неэргодический квазиэндоморфизм. Для этого надо перенумеровать криволинейные трапеции подходящим образом. Например, прообразом г-го столбца, і = 1 ,т— 1, криволинейных трапеций будут столбцы, состоящие из криволинейных трапеций второго порядка М2, занумерованных подходящим образом, и входящие в г+1-й столбец трапеций М^, а прообразом ?в-го столбца трапеций МІ является первый столбец трапеций М^. Тогда получается эргодический неточный

Если, например, первый столбец трапеций М^, являющийся прообразом каждой трапеции М1 из этого столбца, есть столбец трапеций второго порядка, также входящий в тот же столбец трапеций М£. В результате получаем, что образами первого столбца

квазиэндоморфизм, так как УМ2 I ТпМ2

1.

92

В.Г. Шарапов. Инвариантные меры квазиэндоморфизмов

криволинейных трапеций является сам этот столбец. Отсюда следует, что это неэрго-дический квазиэндоморфизм, а значит, и соответствующий эндоморфизм, полученный приведением к инвариантной мере, является неэргодическим.

Рассмотрим теперь случай, когда к криволинейной трапеции М( 1) применяется квазиэндоморфизм, который определяется следующим образом: криволинейные трапеции первого порядка строятся так, что вертикальные стороны определяются формулами X = а,г, где 0 = О'о < а'1 < . . . < С1'т-1 < О'т = 1, и КрИВЫМИ у = [Зг1(х), ГДв

О = /Зо < ... < /Зт = 1.

Криволинейные трапеции второго порядка строятся так: если трапеция первого порядка расположена между прямыми х = схг-\ и х = а%, а также между кривыми у = ^-\1(х) и у = (3^(х), то четыре криволинейных трапеции второго порядка получаются делением прямой X = а'г_1 + |(а'г — Щ-х) И КрИВОЙ у = (/5^-1 + ~ Р]-\)) 1(х).

Криволинейные трапеции третьего и высших порядков строятся подобным образом, то есть делением пополам по вертикали и горизонтали. Если сохранять ту же нумерацию трапеций всех порядков, то получаем квазиэндоморфизмы, которые в зависимости

от нумераций трапеций могут быть точными, эргодическими не точными и неэргодиче-скими.

Остается заметить, что инвариантная мера задается преобразованием: если (х, у) € € . где а'г_1 < х < О'ь < у(х) < ^1(х), то к инвариантной мере приводит

преобразование: х — Н—)г~ау Чту.

ГГ ГП т{Обг — Обг— 1) ’ & 1{х)

Действительно, при этом преобразовании все криволинейные трапеции всех порядков превращаются в правильные квадраты и мера сохраняется.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Шарапов, В. Г. Эргодические свойства непрерывных нигде не дифференцируемых отображений / В. Г. Шарапов // Вестн. ВолГУ. Сер. 1, Мат. Физ. — Вып. 1. — 1996. —

С. 50-54.

INVARIANT MEASURES OF QUASIENDOMORPHISMS GIVEN BY NOWHERE DIFFERENTIABLE MAPS

V.G. Sharapov

In the paper a method of constructing of invariant measures for one class of quasiendo-morphisms, which are continuous nowhere differentiable functions, is given. Cases of exact, ergodic nonexact and nonergodic quasiendomorphisms are considered.

Key words: invariant measures, continuous nowhere differentiable functions, exact and ergodic quasiendomorphisms, exact transformations, ergodicity, quasiendomorphisms.