Инвариантная мера для одного класса кусочно-монотонных эндоморфизмов с квазиинвариантной мерой Текст научной статьи по специальности «Математика»

© В.Г. Шарапов, 2009

УДК 519.9

ИНВАРИАНТНАЯ МЕРА ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА КУСОЧНО-МОНОТОННЫХ ЭНДОМОРФИЗМОВ С КВАЗИИНВАРИАНТНОЙ МЕРОЙ

В.Г. Шарапов

В статье рассматривается класс кусочно-монотонных эндоморфизмов с ква-зиинвариантной мерой. Для них легко строится инвариантная мера путем изменения плотности меры. Установлено, что точность (эргодичность) относительно инвариантной меры р может не требовать выполнения для квазиинвариантной

меры р равенства УА е ^ с р(А) > 0.

Пусть (М, р) — пространство Лебега, то есть можно считать, что это отрезок

[0, 1) с мерой Лебега. Эндоморфизм Т пространства М есть измеримое преобразование пространства М, при котором любая точка может иметь прообразом не одну точку, а любое конечное или счетное число, и даже континуум, точек, но меры 0.

В работе рассматриваются эндоморфизмы с квазиинвариантной мерой, то есть такие, что р(Т-1А) = р(А).

Одним из интересных вопросов изучения таких эндоморфизмов является изучение существования инвариантной меры р, абсолютно непрерывной относительно меры Лебега р, то есть такой, что У А € ^ р(Т-1А) = р(А).

Существование инвариантных мер довольно хорошо исследовано (см., например, [1; 2]). Однако построение инвариантных мер, начатое еще Гауссом, встречается довольно редко, но воспринимается с интересом.

Рассмотрим эндоморфизм Т : М ^ М, заданный формулой

Этот эндоморфизм не сохраняет меру. Действительно, если А = [1/4, 3/4), то р(А) = 1/2 = р(Т-1А) = 3/4.

Легко видеть, что р(Т”А) = 1/2 Уп.

Разобьем отрезок [0, 1) на множества Д1 = [0,1/4), Д2 = [1/4,3/4),

Д3 = [3/4,1), а Д*1, г1 = 1, 3, на множества Д*1 *2 так, чтобы ТД*1 ¿2 = Д*1. То

есть получим: Д11 = [0, 1/16), Д12 = [1/16, 3/16), Д13 = [3/16, 1/4), Д21 = [1/4, 3/8), Д22 = [3/8, 1/2), Д23 = [1/2, 5/6), Д24 = [5/8, 3/4), Д31 = [3/4, 13/16), Д32 = [13/16, 15/16), Д33 = [15/16, 1); Д111 = [0, 1/64) и т. д. Строим множества Д*1,*2, п =1, ТО, так чтобы Т Дп ¿2...гп = Д*1*21.

' 4х,

4(х - 1/4) + 1/4, Тх = 4 (х - 3/8) + 1/4,

4 (х - 3/4),

4 (х - 1/2) + 1/4, 4 (х - 5/8) + 1/4,

1/4 ^ х < 3/8, 3/8 ^ х < 1/2, 1/2 ^ х < 5/8, 5/8 ^ х < 3/4, 3/4 ^ х < 1.

Рис. 1. Эндоморфизм T с квазиинвариантной мерой

n—1

Определим меры pn(B) = 1 P(T—kB) VB Є F. Тогда p = lim pn есть инвари-

n k=0 n—x

антная мера [1]. Применим лемму (см. [1, стр. 159]).

Лемма. Пусть T — произвольное кусочно-монотонное преобразование интервала [0, 1). Если существует такая константа K > 0, что p(T—nA) ^ Kp(A),

n = 1, то, для любого борелевского A с [0, 1), то у преобразования T имеется

инвариантная нормированная борелевская мера p, абсолютно непрерывная относительно р и такая, что dp ^ K.

Легко видно, что р(Т—nA) ^ Kp(A) V n и VA Є F при K = 2. Тогда

существует мера p = lim pn. VB с A имеем р(Т—1B) = p(B) + 1/2 p(B) и

n—— ^О

р(Т—nB) = p(B) + 1/2 p(B) + 1/4 p(B) + ... + 1/2” p(B).

Так как Vk при n > k р(Т—nB) > (2 — 1/2fc) p(A), то p(B) = 2p(B) = = p(T—1B). В частности, p(A) = 1.

Если B с CA, CA — дополнение множества A, то p(T—1B) = 1/2 p(B),

n— 1

р(Т—nB) = 1/2” р(В). Таким образом, p(B) = lim 1 P(B) = lim 1 2p(B) = 0.

n—x n ^=0 2 n—x n

Следовательно, инвариантная мера получается сосредоточенной на отрезке [1/4, 3/4), но с удвоенной плотностью; на отрезках [0, 1/4) и [3/4, 1) она имеет плотность 0. Мы получили, что этот эндоморфизм с инвариантной мерой изоморфен эндоморфизму Tx = 4x( mod 1). Известно, что это точный эндоморфизм, то есть lim p(TnA) = 1

n—x

VA Є F с p(A) > 0. Мы установили, что lim p(TnA) = 1/2, где p(A) = 1/2. Это пока-

n—x

зывает, что точность эндоморфизма T с инвариантной мерой не может быть установлена с помощью равенства lim p(TnA) = 1 VA Є F с p(A) > 0.

n—x

Очевидно, что если взять любой кусочно-монотонный эндоморфизм, сосредоточенный на отрезке [1/4, 3/4) и сохраняющий на нем меру, на отрезке [0, 1/4) заданный функцией /1 (x) с /1(0) = 0, /1(1/4) = 1, /' (x) ^ а > 2 Vx Є [0, 1/4); /2(x) с f2(3/4) = ° f2(1) = 1 f2(x) ^ в > 2 Vx Є [3/4, 1).

Например, если взять эндоморфизм T такой, что

Tx =

4(1/4 - х),

2(х - 1/4) + 1/2,

2(х - 3/8) + 1/2,

2(х - 1/2) + 1/4,

2(х - 5/8) + 1/4,

4(х - 3/4),

Рассуждая как в основном построении, получаем, что при том же самом преобразовании Т с инвариантной мерой имеет вид

0 < x < 1/4, 1/4 < x < 3/8, 3/8 < x < 1/2, 1/2 < x < 5/8, 5/8 < x < 3/4, 3/4 < x < 1.

Tx

2x + 1/2,

2 (x — 1/4) + 1/2, 2 (x — 1/2),

2 (x — 3/4),

0 < x < 1/4, 1/4 < x < 1/2, 1/2 < x < 3/4, 3/4 < x < 1.

Если A = [1/4, 3/4), то p(TnA) = 1/2, отсюда следует, что для эргодических от, П—1

носительно инвариантной меры эндоморфизмов равенство lim р

не выполняться.

U T k A k=0

1 может

Список литературы

1. Корнфельд, И. П. Эргодическая теория / И. П. Корнфельд, Я. Г. Синай, С. В. Фомин. — М. : Наука, 1980. — 382 с.

2. Шарапов, В. Г. Об инвариантных мерах. Математический анализ, алгебра и геометрия / В. Г. Шарапов // Сб. трудов ТашГУ. — Ташкент, 1990. — С. 73-78.

n—x

Summary

INVARIANT MEASURE FOR ONE CLASS OF PIECEWISE MONOTONE ENDOMORPHISMS WITH QUASIINVARIANT MEASURE

V.G. Sharapov

In the paper a class of piecewise monotone endomorphisms with quasiinvariant measure is considered. For this class invariant measures are constructed by changing of density of the measure. It is shown, that exactness (ergodicity) with respect to invariant measure

p do not need the execution of the equality lim p(TnA) = 1 (lim pi U Tk A) = 1),

n^-x n^-x y k=0 /

VA e F with p(A) > 0, where p is quasiinvariant measure.

54

В.Г. Шарапов. Инвариантная мера для одного класса кусочно-монотонных эндоморфизмов