CC BY
0
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 25. Выпуск 2.
УДК 539.3:534.26 DOI 10.22405/2226-8383-2024-25-2-334-349
Излучение звука цилиндром, обтекаемым стационарным
^ 1 потоком идеальной жидкости
Л. А. Толоконников, С. Л. Толоконников
Толоконников Лев Алексеевич — доктор физико-математических наук, профессор, Тульский государственный университет (г. Тула). e-mail: TolokonnikovLA @mail. ru
Толоконников Сергей Львович — доктор физико-математических наук, профессор, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова (г. Москва). e-mail: tolsl@mail.ru
Аннотация
В статье рассматривается задача об акустическом излучении цилиндра, обтекаемого стационарным потоком идеальной жидкости.
Полагается, что скорость набегающего потока значительно меньшей скорости звука. Поверхность цилиндра совершает гармонические колебания.
Получено приближенное аналитическое решение задачи, построенное с использованием потенциала скорости набегающего на тело потока и потенциала скорости акустического поля неподвижного излучателя.
Рассмотрены частные случаи излучения звука цилиндром.
Представлены результаты численных расчетов диаграмм направленности акустического поля в дальней зоне при разных значениях отношения скорости потока к скорости звука и волнового размера цилиндра.
Ключевые слова: акустическое излучение, цилиндр, идеальная жидкость, потенциальное течение
Библиография: 14 названий. Для цитирования:
Л. А. Толоконников, С. Л. Толоконников. Излучение звука цилиндром, обтекаемым стационарным потоком идеальной жидкости // Чебышевский сборник, 2024, т.25, вып.2, с. 350-358.
1 Работа выполнена в рамках государственного задания Министерства просвещения РФ по теме «Теоретико-числовые методы в приближенном анализе и их приложения в механике и физике» (соглашение № 073-0003324-01 от 09.02.2024).
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 25. No. 2.
UDC 539.3:534.26 DOI 10.22405/2226-8383-2024-25-2-334-349
Sound radiation of a cylinder streamlined by a stationary flow of
an ideal liquid
L.A. Tolokonnikov, S.L. Tolokonnikov
Tolokonnikov Lev Alexeevich — doctor of physical and mathematical sciences, professor, Tula
State University (Tula).
e-mail: TolokonnikovLA @mail. ru
Tolokonnikov Sergey Lvovich — doctor of physical and mathematical sciences, professor, Lomonosov Moscow State University (Moscow). e-mail: tolsl@mail.ru
Abstract
In the article the problem of the acoustic radiation of a cylinder streamlined by a stationary-flow of an ideal liquid is considered
It is assumed that the velocity of the incoming flow is significantly lower than the speed of sound. The surface of the spheroid makes harmonic vibrations.
An approximate analytical solution of the problem was obtained with using the speed potential of the oncoming on the body flow and the speed potential of the stationary radiator acoustic field.
Special cases of sound radiation by a cylinder are considered.
The results of numerical calculations of polar diagrams of the acoustic pressure distribution on the surface of a spheroid at different values of the ratio of the flow velocity to the speed of sound and the wave size of the cylinder are presented.
Keywords: acoustic radiation, cylinder, ideal fluid, potential flow
Bibliography: 14 titles.
For citation:
L.A. Tolokonnikov, S.L. Tolokonnikov, 2024, "Sound radiation of a cylinder streamlined by a stationary flow of an ideal liquid" , Chebyshevskii sbornik, vol.25, no.2, pp. 350-358.
1. Введение
Анализ звуковых полей, возникающих при излучении элементов различных конструкций, имеет важное значение во многих приложениях акустики, а элементы многих таких конструкций имеют цилиндрическую форму.
Задача об излучении звука круговым цилиндром бесконечной длины в идеальной жидкости хорошо известна (см., например, [1 - 3]). Определены акустические характеристики таких излучателей при произвольном распределении колебательной скорости на их поверхности, а также в частных случаях. В [4, 5] рассматривалось акустическое излучение цилиндра в вязкой жидкости. Оценено влияние вязкости среды на излучение звука. В ряде работ исследовалось излучение звука цилиндром конечной длины, находящихся в идеальной жидкости [6 - 11]. Во всех этих работах полагалось, что цилиндрические излучатели являются неподвижными и помещены в среду, находящуюся в состоянии покоя.
В настоящей работе рассматривается задача об акустическом излучении цилиндра, обтекаемого стационарным потоком идеальной жидкости, скорость которого значительно меньшей скорости звука.
2. Постановка задачи
Рассмотрим круговой цилиндр бесконечной длины и радиуса а , на который перпендикулярно его оси вращения набегает стационарный поток идеальной сжимаемой жидкости. Жидкость характеризуется плотностью р и скоростью звука с. Полагаем, что скорость потока много меньше скорости звука (и << с). Поэтому будем считать, что в результате обтекания цилиндра потоком вихреобразование не происходит и поток является потенциальным.
Пусть осью вращения цилиндра является ось г прямоугольной декартовой системы координат х, у, г, а поток набегает вдоль оси х.
Свяжем с координатами х, у, г цилиндрические координаты
Цилиндр излучает гармонические звуковые волны с произвольным распределением нормальной составляющей колебательной скорости на его поверхности
Уп = IЫ ехр(-ш£),
где ш — круговая частота; Ь — время.
Определим акустическое поле цилиндрического излучателя.
3. Аналитическое решение задачи
Получим приближенное аналитическое решение задачи методом Блохинцева [12]. Обозначим через Ф и Ф потенциалы скорости акустического поля (V = уФ) и невозмущенного звуком потока (и = уФ) соответственно. Положим Ф = ф ехр(-шЬ).
Согласно [12] распространение гармонических звуковых волн в потенциальном потоке идеальной жидкости описывается уравнением
к
Аф + к2ф + 2г-(уФ -уф)=0, (1)
где к = ш/с — волновое число. Уравнение (1) получено при пренебрежением членами порядка
2/2 и2/с2.
Искомый потенциал скорости акустического поля ф, являющийся решением уравнения (1), должен удовлетворять граничному условию на поверхности тела =
дф дг
= / М (2)
и условию излучения на бесконечности [2].
Так как скорость потока и << с, то будем полагать, что жидкость является несжимаемой [12].
Ф
АФ = 0 (3)
и должен удовлетворять граничному условию, которое заключается в равенстве нулю нормальной скорости частиц жидкости на поверхности абсолютно жесткого тела
д Ф
дг
0, (4)
а в бесконечно удаленной точке (в координатной системе х,у,х) уФ = (0, 0,и^), где ис скорость потока на бесконечности.
г=а
г=а
Выражение для потенциала Ф имеет вид [13]
Ф = и^r + cos p. (5)
Приближенное аналитическое решение уравнения (1) будем искать в виде
ф = фо exp(-ike-1 Ф), (6)
где фо — потенциал скорости акустического поля цилиндрического излучателя в отсутствии потока.
Потенциал фо, являющийся решением уравнения Гельмгольца
Афо + к2фо = 0, (7)
удовлетворяющий граничному условию при произвольном распределении колебательной скорости на поверхности цилиндра
дфо
дг
и условию излучения на бесконечности, будем искать в виде
= 9(<Р) (8)
фо = ^ АпНп(кг)ет>*, (9)
п=—оо
где Нп — цилиндрическая функция Ганкеля первого рода порядка п.
Подставив (9) в (8), умножим обе части полученного равенства на е-гт{р и проинтегрируем по р в пределах от 0 до В результате находим
2тГ 0
Здесь штрих означает дифференцирование по аргументу.
Подставляя выражение (6) в уравнение (1) и принимая во внимание (3) и (7), убеждаемся, что (6) удовлетворяет (1) при пренебрежении членами порядка и2/с2.
Теперь подставим (6) в граничное условие (2). С учетом условий (4) и (8) находим, что (6) удовлетворяет условию (2) тогда, когда
д(р) = } . (11)
С учетом (11) и (5) выражение (10) принимает вид
Ап = (ка) / ^^ + 2кас~1и1Х сов р)] йр. (12)
п0
Согласно [12] акустическое давление в каждой точке пространства определяется по формуле
р = р [гшфо - (уФ ■ У^о)] ехр(—гйс-1Ф). (13)
д 1 д д
Учитывая, что в системе координат г,р, г у = ——|———| ——, имеем
ог г ар ох
_^ / q2 \ %П i Q2 \
(уФ ■ Чфо)=u_Y^ Aneinv U - -2)kHL(кг) cos p - r + — j Hn(kr)sinp
n=-_ L \ / \ /
На поверхности цилиндра акустическое давление определяется по формуле
_
plr=a = i— exp(-2ikQC-1u_ cos p) ^ AnHn(kr)emif (kQ + 2nc-1u_ sin p) . (14)
n=-_
Рассмотрим дальнюю зону акустического поля (кг >> 1). Воспользовавшись асимптотической формулой для функции Ганкеля первого рода при больших значениях аргумента [14]
Hn(kr) ~ а/е^г-жп/2-ж/4:) V ■Kkr
из (13) получаем
р гкг
F (p),
у/кг
где
^ A-/4Q (1 - U
Q V Ъ \ С
F(p) = —\ -e-™/4ka f 1 - ^ V (-г)"-^^""^. (15)
Q V ъ V с )
4. Частные случаи
1. Пульсирующий цилиндр. Если распределение колебательной скорости не зависит от угла р, то есть /(р) = V, то из (12) находим
2ж
V
An =
V 1 - / exp^Y—np + 2knn 1
2jrkH'n (kQ)
n = » , TT, /;—7 У exp[f(-np + 2k qc 1u_ cos p)] dp. (16)
o
Согласно (14) и (16) на поверхности цилиндра акустическое давление при излучении полосы определяется по формуле
plr=a = i fСV exp(-2fkQC 1u_ cosp) ^ H^) emip (kQ + 2nc 1 u_ sinp) x 2ъkq H!n (kQ) 4 y
2ж
x J exp[i(-np + 2 kqc-1u_ cos p)] dip. o
В дальней зоне акустического поля при излучении полосы на основании (15) и (16) имеем
F(p) = -^Lе-ш/4 (1 - —) V ет*>I exp[i(-np + 2kqc-1u_ cos p)] dp. (17) Ъу/2ъ V С J n=-_ Hn(kQ) J
2. Линейный источник на цилиндре. Предположим, что на поверхности абсолютно жесткого цилиндра находится линейный источник, расположенный вдоль образующей цилиндра
p = p0. При этом колебательная скорость f(p) = Q(po)£(p - p0), где Q(p0) — объемная
п=—оо
Тогда, учитывая, что [2]
2ж
1 ( / Л 1 А ( / п _ /Г)г>\г1/Л — )
h(<po)/2, если р0 = 0 или р0 = 2тг,
',, ч г, \i ( h(<po), если р0 внутри [0,2ж],
Цр) 5(р -ро)йр = ^ r
из (12) получаем
Ап \ \ ехр[г(-пр0 + 2kac-iu^ cosp)],
2тгк aH!n (k a)
когда po находится внутри [0, 2^]. Если < принимает значение 0 или 2^, то в правую часть формулы следует добавить множитель 1/2.
3. Излучение полосы на цилиндре. Пусть на поверхности цилиндра S находится полоса Si, расположенная между образующими цилиндра р = pi и р = <2И пульсирующая с нормальной колебательной скоростью постоянной амплитуды V, а остальная часть цилиндра S2 является
V на Si,
( р) =
f J^' 1 0 на S2.
Тогда из (12) получаем
V i
2ц kН' (ka) J еХр[ l(-n< + 2k ac Ucx cos p)] dp. (18)
f2
V
An =
fi
Согласно (14) и (18) на поверхности цилиндра акустическое давление при излучении полосы определяется по формуле
cV Н (ka)
р\г=а = г— exp(-2fkac-iucos р) ^ Н! (ka) ^^ + 2nc-iusin р) х
iy> —_лл ! V /
f2
х J ехр[г(—пр + 2 kac-iu(X cos р)] dip.
fi
В дальней зоне акустического поля при излучении полосы на основании (15) и (18) имеем
те . п_ i f2
F(р) = -^Lе-ш/4 (1 - UV emf ))П 1 [ exp[f(-пр + 2kac-iucos р)] йр. (19)
W2тг V c У Hn(ka) 7
п= fi
4. Осциллирующий цилиндр. Предположим, что абсолютно жесткий цилиндр колеблется около положения равновесия вдоль оси х. Тогда нормальная колебательная скорость на поверхности цилиндра определяется выражением /(р) = V совр, где V — скорость цилиндра при р = 0.
В этом случае из (12) находим
2ж
V i
- ехр[г(-пр + 2 kac ucos р)] cos рйр.
2nk H'n(k a)
п о
Л __У I 1 1
Лп -
5. Численные исследования
По формулам (17) и (19) были проведены расчеты диаграмм направленности акустического поля в дальней зоне \Р(ср)\ для пульсирующего цилиндра и при излучении полосы на цилиндре. Поверхность ¿>1 была задана параметрами = 0, ср2 = 2тг для пульсирующего цилиндра и = 0, ср2 = 7г/6 при излучении полосы.
При расчетах значения волнового размера цилиндра ка полагались равными 1 и 5, а Поо/с = 0, 0.1, 0.2.
На рис. 1 представлены диаграммы направленности \Г((р)\/рсУ для пульсирующего цилиндра, а на рис. 2 — для пульсирующей полосы, рассчитанные при ка = 1 и ка = 5.
(р = ТГ
Зтг
б)
(р = о
^ = 2
/ // 11
<р - тг 1 1 . 1 \ * 4 \\\ - \\ I 1 * 1 2 1.
Н- <р = 0
Зтг
ср :
Рис. 1: Диаграммы направленности акустического поля пульсирующего цилиндра, а) ка = 1, б) ка = 5
а)
(р = тг
б)
^ = 2
ср = 0
(р = тг
Зтг
Ф = "
Зтг
ср = 0
Рис. 2: Диаграммы направленности акустического поля при излучении полосы на поверхности цилиндра , а) ка = 1, б) /са = 5
Сплошные линии соответствуют случаю и^/с = 0, штриховые — и^/с = 0.1, пунктирные — Поо/с — 0.2. Стрелкой показано направление набегающего на цилиндр потока.
6. Заключение
В настоящей работе получено приближенное аналитическое решение задачи об акустическом излучении цилиндра, обтекаемого стационарным потоком идеальной жидкости, скорость которого значительно меньше скорости звука. Полученное аналитическое решение позволяет исследовать акустическое поля излучающего цилиндра при различных законах излучения. Проведенные численные расчеты выявили характерные черты влияния скорости набегающего потока жидкости и волнового размера цилиндра на акустические характеристики цилиндрического излучателя в случаях пульсирующего цилиндра и излучения полосы на поверхности цилиндра.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ржевкин С. И. Курс лекций по теории звука. М.: Изд-во МГУ, 1960. 336 с.
2. Шендеров Е. Л. Волновые задачи гидроакустики. Л.: Судостроение, 1972. 352 с.
3. Скучик Е. Основы акустики. Том 2. М.: Мир, 1976. 544 с.
4. Цой П. И. Излучение цилиндра в вязкой среде // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1966. № 5. С. 82 - 92.
5. Кожин В. И. Излучение и рассеяние звука в вязкой среде // Акуст. журн. 1970. Т. 16. № 2. С. 269 - 274.
6. Copley L.G. Integral equation method for radiation from vibrating bodies //J. Acoust. Soc. Amer. 1967. Vol. 41. No. 4. Part 1. P. 807 - 816.
7. Schenck H. A. Improved integral formulation for acoustic radiation problems //J. Acoust. Soc. Amer. 1968. Vol. 44. No. 1, P. 41 - 58.
8. Fenlon F. H. Calculation of the acoustic radiation field of the surface of a finite cylinder by the method of final residuals // Proc. IEEE. 1969. Vol. 57. No. 3. P. 291 - 306.
9. Вовк И.В., Гринченко В.Т., Коцюба B.C. Об одном методе оценки акустических свойств цилиндрического излучателя конечной высоты // Акуст. журн. 1975. Т. 21. № 5. С. 701 -705.
10. Sandman В.Е. Fluid-loading influence cooflicionls for a finites cylindrical shell //J. Acoust, Soc. Amer. 1976. Vol. 60. No. 6. P. 1256 - 1264.
11. Козырев В. А., Шендеров E. Л. О сопротивлении излучения цилиндра конечной высоты// Акуст. журн. 1980. Т. 26. № 3. С. 422 - 432.
12. Блохинцев Д. И. Акустика неоднородной движущейся среды. М.: Наука, 1981. 208 с.
13. Кочин Н.Е., Кибель И. А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Ч. 1. М.: Физматгиз, 1963. 584 с.
14. Абрамовиц \!.. Стиган И. Справочник по специальным функциям. М.: Наука, 1979. 832 с.
REFERENCES
1. Rzhevkin, S. N. 1960, "A course of lectures on the theory of sound", Publishing House of Moscow State IJniver., Moscow, 336 p., fin Russian].
2. Shenderov, E.L. 1972, "Wave problems of underwater acoustics", Sudostroenie, Leningrad, 352 p., fin Russian].
3. Skudrzvk, E. 1971, "The foundations of acoustics", Springer-Verlag, New York, 816 p.
4. Tzoi, P.I. 1966, "Radiation of a cylinder in a viscous medium", Izv. AN USSR. Mechanics of liquid and gas, no. 5, pp. 82 - 92, fin Russian].
5. Kozhin, V.N. 1970, "Radiation arid scattering of sound by a cylinder in a viscous medium", Akust. Zhurn., vol. 16, no. 2, pp. 269 - 274, fin Russian].
6. Copley, L.G. 1967, "Integral equation method for radiation from vibrating bodies", J. Acoust. Soc. Amer., vol. 41, no. 4, part. 1, pp. 807 - 816.
7. Schenck, H. A. 1968, "Improved integral formulation for acoustic radiation problems", J. Acoust. Soc. Amer., vol. 44, no. 1, pp. 41 - 58.
8. Fenlon, F. H. 1969, "Calculation of the acoustic radiation field of the surface of a finite cylinder by the method of final residuals", Proc. IEEE, vol. 57, no. 3, pp. 291 - 306.
9. Vovk, I. V., Grinchenko, V. T., Kotsuba, V. S. 1975, "On one method of evaluation of acoustic properties of cylindrical radiator of a finite height", Akust. Zhurn., vol. 21, no. 5, pp. 701 - 705, fin Russian].
10. Sandman, В. E. 1976, "Fluid-loading influence coefficients for a finite cylindrical shell", J. Acoust. Soc. Amer., vol. 60, no. 6, pp. 1256-1264.
11. Kozirev, V. A., Shenderov, E.L. 1980, "On radiation resistance of cylinder of finite height", Akust. Zhurn., vol. 26, no. 3, pp. 422 - 432, fin Russian].
12. Blohintsev, D. I. 1981, "Acoustics of an inhomogeneous moving medium", Nauka , Moscow, 208 p., fin Russian].
13. Kochin, N. E., Kibel, I. A., Roze, N. V. 1963, "Theoretical hydromechanics", Fizmatgiz, Moscow, 584 p., fin Russian].
14. Abramowitz, M., Stegun, I. A. 1965, "Handbook of Mathematical Functions", Dover Publications, Inc, New York, 1046 p.
Получено: 04.04.2024 Принято в печать: 28.06.2024
