ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ УПРУГОГО СТЕРЖНЯ С ПЕРЕМЕННОЙ ЖЕСТКОСТЬЮ СЖАТОГО ПРОДОЛЬНОЙ СИЛОЙ Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 0136-4545

^Курнал теоретической и прикладной механики. №2(59) / 2017.

МЕХАНИКА ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

УДК 539.3

©2017. Г.М. Улитин, С.Н. Царенко

ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ УПРУГОГО СТЕРЖНЯ С ПЕРЕМЕННОЙ ЖЕСТКОСТЬЮ СЖАТОГО ПРОДОЛЬНОЙ СИЛОЙ

Рассматривается задача изгибных колебаний сжатого упругого стержня с квадратичным законом изменения жесткости от продольной координаты. Для этого случая составлено дифференциальное уравнение продольно-поперечного изгиба. Решение уравнения получено в виде степенных рядов, вид которых позволяет рассматривать любые граничные условия. В качестве примера, определен спектр собственных частот поперечных колебаний консольного стержня. Исследовано влияние продольной нагрузки на значения первых собственных частот. Выполнено сравнение результатов расчета по предлагаемой модели с известными решениями в литературе.

Ключевые слова: изгибные колебания, сжатый стержень, стержень переменной жесткости, спектр собственных частот.

1. Введение. Для исследования напряженно-деформированного состояния различного рода технических объектов при динамических воздействиях применяется модель упругого стержня [1]. В частности, с использованием такой модели исследованы динамические процессы в элементах бурового оборудования [2, 3], а в работе [4] упругим стержнем моделируются здания в исследованиях колебаний при сейсмических воздействиях. При рассмотрении стержней с однородной структурой, как правило, используют известные аналитические решения [5-7]. Для исследования стержней сложной конфигурации применяют в основном упрощенные методы: численные [4, 8, 9] и энергетические [10, 11].

Поиск аналитического решения задачи колебаний стержня с переменной структурой при наличии продольной нагрузки позволит провести исследования динамических характеристик целого ряда технических объектов с любым видом граничных условий. Такую математическую модель также можно использовать для верификации моделей построенных в программных комплексах объектного и имитационного моделирования.

2. Постановка задачи и основные соотношения. Рассмотрим упругий стержень, у которого распределенная масса и изгибная жесткость определяются следующими зависимостями

X h 1

m = 7F, EJ = EJ2z2] z = (1 - k) - + k. k = —.

(1)

Здесь 7 - плотность, Е - модуль упругости, Р - площадь поперечного сечения, 1 - момент инерции основания стержня, Н\ и Ь,2 - радиусы инерции верхнего и нижнего сечений, I - длина стержня, N - продольная сила (рис. 1). Стержень с такими параметрами можно использовать для моделирования конструкций буровых вышек, копров, решетчатых башен и пр. Из условий равновесия элемента

Рис. 1. Расчетная схема стержня с переменной жесткостью.

такого стержня следует система уравнений

Е^Ш =

(2)

где у (х,Ь) - уравнение изогнутой оси стержня, Е.. - жесткость стержня в основании, М (х) - изгибающий момент, Qy (х) - проекция перерезывающей силы на поперечную ось, р (х, Ь) - интенсивность поперечной нагрузки.

Из системы уравнений (1) приходим к уравнению относительно прогибов У (х,Ь)

*2Й+4*& +(2+ *)§( =

(3)

р14___7 F/4

Здесь N = К!2/ ^(1 — к)2 Е12 ^ - безразмерная продольная нагрузка.

Определим общее решение однородного уравнения (3) (случай свободных колебаний)

¿2 У

2■"" + 4хуш + (2 + Я) у" = —

Р4

(1 — к)4 Е.

У-

(4)

Разделяя переменные, получаем уравнение для собственных функций

о "" / - \ // |

г2^ + 4х2п + 2 + Ж ^ - = 0, (5)

где А.2 = 4шп12л/7Р/{Е,1-2)/((1 — к)'2), шп - собственные частоты колебаний.

Для уравнения (5) общее решение будем искать в виде функции и (£), где £ = \n\fz- Тогда оно примет вид

£4и"" + 2£3и'" - п2£2и" + п2^и' - £4и = 0, (6)

где г] = л/1 — АЙ.

Решение уравнения (6) будем искать в виде ряда

Е cmCa+m (7)

m=0

Подставляя ряд (7) в уравнение (6) получим

те

LJ2 °mía+m =

cm'

m=0

те те

= Е Cm (a + m) (a + m - 2) ((a + m - 1)2 - r?) C+m - E Cm(a+m+4,

m=0 m=0

где L = £4 Jri + 2£3 Jp — ??2£2 Jp + т?2£з| — £4 ~~ дифференциальный оператор. Выражение справа будет равно первому члену ряда, а именно величине

coa (a - 2) ((a - 1)2 - n2) С"•

Коэффициенты cm подберем таким образом, чтобы в обоих рядах справа коэффициенты при соответствующих степенях С были равны. В результате такого выбора получим систему уравнений

ci (a + 1) (a - 1) (a2 - r¡2) = 0, C2 (a + 2) a ((a + 1)2 - n2) = 0, сз (a + 3) (a + 1) ((a + 2)2 - r?2) = 0, C4 (a + 4) (a + 2) ((a + 3)2 - n2) - co = 0, (8)

Cm (a + m)(a + m - 2) (ja + m - 1)2 - r¡2^ - cm-4 = 0. С учетом решения системы (8), получим

те

cmCa+m = coa (a - 2) ((a - 1)2 - г?) Сa.

m=0

Отсюда видно, что ряд (7) может стать решением уравнения (6) только при значениях а = 0; 2; 1 ± п. Таким образом, из системы (8) следует, что для всех а выполняется свойство ст = 0 для т = 4?, а с4т выражается через с0

со

с4 т

2т т , \

П (2; + а) и (4? + а — 1)2 — п2

7=1 7=1 4 У

Тогда система уравнений будет удовлетворена, если а = 0 ; 2 ; 1 ± п, и из (8) видно, что решением является функция

и а (£) = СоГ

/ \

¿-4т

1 + Е

2т т

п (2; + а) и (4; + а — 1)2 — П2

7=1 7=1

(9)

Таким образом, подставляя в зависимость (9) ранее определенные значения а, получим четыре функции, которые являются линейно независимыми решениями уравнения (6). Решение (9) можно переписать в виде

(£/2)4т Г (§ + 1) Г + ^ Г + ^

и° е „5о 22тГ (2™ + I + 1) Г (т + V + I) Г (т + ^ + !)' (10)

где Г(г) - гамма функция.

Тогда общее решение уравнения (5) для собственных функций можно представить в виде

гп (г) = СгНо {Хпу/г) + С2и+ (

+С3и1+71 {Хпу/г) + САи2 {Хпу/г),

где

2»»Г (2т + § + 1) Г (т + ^ + |) Г (т + ^ + |)'

Функции (11) позволяют рассматривать любой вид граничных условий. 3. Модальный анализ консольного стержня. Рассмотрим задачу колебаний консольного стержня (рис. 1), для этого решим граничную задачу (4) с условиями:

у (!,Ь) = 0; у' (!,Ь) = 0; М (0,Ь) =0 ; (12)

Q (0,Ь) + Щ' (0,Ь)=0. (13)

Исходя из удовлетворения условий (12) введем следующие обозначения

Аг = и2 (Л„) (Л„) и'{+11 (хпЩ -и2 (Л„) и'1+11 (Хп) (Хпл/к) -

-и— (Лп) и2 (л л/Л) ч-

(л„) (л„) (+ +и1+11 (Л„) ^ (Л„) -

— и1+п (л ) и[_7] (Л„) Щ (Хпу/к) ,

Вп = и0 (А„) (Л„) -

-г/о (л„) (л„) и^ (Ку/к) --и— (Лп) и0 (Л

л/Л) ч-

+и1 -п (Лп) и1+п (Лп) /г

(А„) Щ (Хп) {\nVkj -

-и1+п (Л

/г

) (Хп) Щ' (\пл/к) ,

Сп = Щ (Хп) Щ (Хп) (Хп^к) --и0 (Хп) Щ+11 (Хп) Щ (ХпЩ -и (Л

) и0 (Л

у/к) +

+и2 (Хп) и'1+11 (Хп) иц ¡Хпл/к) +

+и1+п (Хп) Щ (Хп) Щ [ХпЛ) -

-и1+п (Л

) щ (Хп) иц ,

Вп = и0 (Хп) Щ (Хп) и'^ (ХпЩ -

-и0 (Хп) (Хп) Щ (хп<л) -

и2 (Хп) Щ (Хп) и^ (Хп^к) +

+и2 (Хп) (Хп) и>> \XnVk) +

+и1-Г1 (Хп) Щ (Хп) Щ (хп^к) -

и 1—1] (Хп) Щ (Хп) иц (\пу/к) ■

Здесь и далее штрихом обозначены производные по г. С учетом принятых обозначений выражение собственных функций (11) для консольного стержня получим в виде

гп (г) = Апи0 (Хп \/г) - Дг^Ч-,, (Хпл/г) + ^

+Спи1+11 (ХплД) - Впи2 (Хпл/г) ■

— I

— I

Определив производные от собственных функций (14), из условия (13) получаем уравнение для нахождения собственных значений

[z2z"n (A„yi)) + - (1 - г?) Z'n (\„Vk) = 0.

z=k

(15)

Оценим влияние продольной нагрузки N на значения первых собственных чисел уравнения (15) (собственных частот)

шп —

АП

iej

î2V YF'

Аналогичным образом определяются частоты стержней постоянной жесткости [1]. Рассмотрим стержень с величиной относительного поперечного размера k — 0.1. Величину продольной нагрузки N будем варьировать в пределах 0 < NI < Nkp, где Nkp - критическая сила, которая для консольного стержня с k — 0.1 составит Nkp — 1.06 [12]. Следует отметить, что собственные функции определяются для всех значений N в указанных пределах, кроме N — 0.25, так как в этом случае полученные решения уравнения (6) будут линейно зависимыми (п — 0, U1-n (£) — U1+n (£)). Данный случай следует рассмотреть отдельно.

На графиках рис. 2 представлены численные исследования зависимостей Ai и A2 от величины безразмерной продольной силы N из уравнения (15). Штрих-пунктирные линии соответствуют значениям Ai и A2 для стержня без продольной нагрузки. Такая модель рассмотрена в работе [13]. Продольная сила ока-

Рис. 2. Зависимости первых двух собственных чисел частотного уравнения от параметра продольной нагрузки

зывает значительное влияние на величину первой собственной частоты, а при достижении критического значения первая частота стремиться к нулю. Аналогичный результат получен и для стержней постоянного сечения [14]. Если принять к ~ 0 и N1 ~ 0, то получим А1 = 1.6; Х2 = 3.16; А3 = 4.73. Это практически совпадает с результатами для остроконечного стержня, рассмотренного в работе [15] (А1 = 1.6; А2 = 3.16; А3 = 4.71).

n

4. Определение собственных частот буровой вышки. В качестве практического примера определим первые собственные частоты буровой башенной вышки ВБ-53-320, основные конструктивные параметры которой возьмем из статьи [11]. Вышка представляет пространственную ферменную стержневую конструкцию в виде квадратной усеченной пирамиды и имеет следующие характеристики: высота вышки 53.3 м, ширина нижнего основания 10 м, верхнего 2 м (k = 0-2), масса вышки М=40 т (m=750 кг/м), площадь поперечного сечения стоек F=351.4 см2 (EJ2 = 1, 757 • 1011 Нм2), грузоподъемность вышки 320 т (N = 0-081). С учетом принятых параметров получим первые три собственные частоты

ш1 = 14-98 рад/c, ш2 = 72-45 рад/c, = 185-1 рад/c-При отсутствии продольной нагрузки (N = 0) собственные частоты будут [11]

ш1 = 15-27 рад/c, ш2 = 72-94 рад/c, = 185-6 рад/c-

5. Выводы.Таким образом, динамические характеристики объектов, найденные с использованием предложенной математической модели колебаний сжатого стержня с квадратичным законом изменения жесткости от продольной координаты, хорошо согласуются с известными результатами, полученными с использованием аналитических и энергетических методов. Тем не менее, стоит отметить, что ряд (11) имеет плохую сходимость для больших аргументов что, в свою очередь, ограничивает практическое применение рассмотренной модели и требует дальнейших исследований.

1. Chopra A.K. Dynamics of structures: theory and applications to earthquake engineering /

A.K. Chopra. - Fourth edition. - Prentice Hall, 2014. - 992 p.

2. Гуляев В.И. Самовозбуждение колебаний долота бурильной колонны / В.И. Гуляев, П.З. Луговой, Е.И. Борщ // Прикладная механика. - 2013. - Т. 49, № 3. - С. 114-124.

3. Улитин Г.М. Продольные колебания упругого стержня, моделирующего буровую установку / Г.М. Улитин // Прикладная механика. - 2000. - Т. 36, № 10. - С. 125-128.

4. Барбашев Н.П. Оценка влияния продольной сжимающей силы на изгибные колебания здания при сейсмических воздействиях / Н.П. Барбашев // Интернет-вестник ВолгГАСУ. Сер.: Политематическая. - 2012. - Вып. 3(23). - С. 1-5.

5. Чадаев Ю.А. Определение спектра поперечных колебаний стержней, нагруженных продольной нагрузкой / Ю.А. Чадаев // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. - 2014. - Вып. 1. - Ч.1. - С. 225-231.

6. Акуленка Л.Д. Спектр поперечных колебаний участка движущегося стержня при воздействии продольной нагрузки / Л.Д. Акуленко, Д.В. Георгиевский, С.В. Нестеров // Известия РАН. МТТ. - 2015. - № 2. - С. 139-144.

7. Динамическое поведение балок моделей Бернулли-Эйлера, Рэлея и Тимошенко, лежащих на упругом основании (сравнительный анализ) / В.И. Ерофеев, В.В. Кажаев, Е.Е. Ли-сенкова [и др.] // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. - 2011. - № 5(3). - С. 274-278.

8. Алокова М.Х. Вынужденные изгибные колебания вертикальной стойки переменного сечения / М.Х. Алокова, Д.М. Иванова // Известия Кабардино-Балкарского государственного университета. - 2015. - Т. V, № 3. - С. 74-78.

9. Гордон В.А. Собственные частоты и формы изгибных колебаний балки с трещиной /

B.А. Гордон, Э.А. Кравцова // Вестник МГСУ. - 2014. - № 3. - С. 50-58.

10. Каган-Розенцвейг Л.М. Вычисление частот собственных колебаний сжатых стержней переменного сечения. Упрощенное уравнение изгиба (I) / Л.М. Каган-Розенцвейг // Вестник гражданских инженеров. - 2015. - № 6(53). - С. 84-87.

11. Улитин Г.М. Поперечные колебания металлических башенных конструкций с учетом переменной жесткости и продольных нагрузок / Г.М. Улитин, С.Н. Царенко // В1брацИ в техшщ та технолопях. - 2012. - № 2(66). - С. 90-94.

12. Улитин Г.М. Устойчивость упругого весомого стержня переменной изгибной жесткости, моделирующего конструкции башенного типа / Г.М. Улитин, С.Н. Царенко // Строительная механика и расчет сооружений. - 2015. - № 2(263). - С. 36-40.

13. Улитин Г.М. Изгибные колебания стержня с переменной жесткостью и распределенной массой / Г.М. Улитин, С.Н. Царенко // ПММ. - 2015. -Т. 79, № 6. - С. 817-823.

14. Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем / А.С. Вольмир - М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит. 1967. - 983 с.

15. Динник А.Н. Избранные труды / А.Н. Динник - Киев: Изд-во АН УССР, 1955. - Т. 2. -220 с.

G.M. Ulitin, S.N. Tzarenko

Flexural vibrations of an elastic rod of variable stiffness of compressed longitudinal force.

The problem of flexural vibrations of the compressed elastic rod with a quadratic change in stiffness of the longitudinal coordinate is considered. The differential equation is composed of the longitudinal-transverse bending for this case. The solution of the equation was obtained in the form of power series, which allows us to consider any border conditions. For example, the spectrum of eigenfrequencies of transverse vibrations of a cantilever rod is defined. The influence of the longitudinal force on the values of the first eigenfrequencies was investigated. Comparison of calculation results for the proposed model with known solutions in the literature is carried out.

Keywords: flexural vibrations, rod of variable stiffness, spectrum of eigenfrequencies.

ГОУ ВПО "Донецкий национальный технический университет", Получено 13.04.17

Донецк

tzarenko@gmail.com