CC BY
148
УДК 51(09) https://doi.org/10.18500/0869-6632-2019-27-5-95-112
Из истории теории динамических систем: Проблема классификации
Р. Р. Мухин
Старооскольский технологический институт им. А.А. Угарова, филиал Национального исследовательского технологического университета «МИСиС» Россия, 309516 Старый Оскол, Белгородской обл., мкр. Макаренко, 42 E-mail: mukhiny@mail.ru Поступила в редакцию 02.07.2019, принята к публикации 12.07.2019, опубликована 31.10.2019
Целью работы является изучение истории представлений о классификации динамических систем, являющихся важнейшим объектом современной математики и имеющих огромное количество приложений. Решение проблемы классификации позволяет сделать первые шаги в понимании устройства системы в целом. Метод. Исследование основано на анализе оригинальных работ с привлечением некоторых воспоминаний участников описываемых событий. Результаты. Постановка проблемы восходит к А. Пуанкаре, разделившего дифференциальные уравнения на интегрируемые и неинтегрируемые. Дж. Биркгоф уже на языке динамических систем выделил неэргодические и эргодические системы, взяв за принцип классификации усложнение характера движения. К концу 1950-х гг. сложилась иерархия консервативных динамических систем: интегрируемые системы, эргодические системы, системы с перемешиванием, К-системы, В-системы. В диссипативном случае выделяли аналоги интегрируемых консервативных систем и системы со сложным, нерегулярным движением. С появлением в 1960-е гг. гиперболической теории была выдвинута гипотеза (С. Смейл) о существовании структурно устойчивых систем в многомерном случае. Но оказалось, что такие системы (системы Морса-Смейла) не образуют плотного множества, в многомерном случае типичны системы с гомоклинической структурой. Далее выяснилось, что реальные системы неоднородны, в них сосуществуют области с регулярным и нерегулярным движением с очень сложной топологией: системы с разделенным фазовым пространством в консервативном случае и квазиаттракторы - в диссипативном. Формы сосуществования упорядоченности и хаоса оказались очень многообразными. Имеются системы со «смешанной» динамикой. В системах с гомоклиническим касанием в общем невозможен даже полный качественный анализ. Интегрируемые системы, системы Морса-Смейла сами представляют сложно устроенные множества, и их классификация является нетривиальной задачей. Проблема классификации может быть решена лишь для отдельных групп динамических систем. Обсуждение. Динамические системы оказались необъятным объектом как по их многообразию, так и по сложности устройства. Исчерпывающая классификация динамических систем представляется неразрешимой задачей. Это характерно и для других областей математики, что обусловлено бесконечным разнообразием внешнего мира.
Ключевые слова: динамическая система, классификация, регулярные и нерегулярные движения, интегрируемые системы, системы Морса-Смейла, гомоклинческие структуры, гомоклинческие касания.
Образец цитирования: Мухин Р.Р. Из истории теории динамических систем: Проблема классификации//Известия вузов. ПНД. 2019. T. 27, № 5. С. 95-112. https://doi.org/10.18500/0869-6632-2019-27-5-95-112
Финансовая поддержка. Работа выполнена в рамках государственного задания Старооскольского технологического института им. А.А. Угарова, филиала Национального исследовательского технологического университета «МИСиС».
© Мухин Р.Р., 2019
95
https://doi.org/10.18500/0869-6632-2019-27-5-95-112
From the history of the theory of dynamical systems: Problem of classification
R. R. Mukhin
A.A. Ugarov Technological Institute, Stary Oskol Branch of National Research Technological University «MISiS» 42, mkr Makarenko 309516 Stary Oskol, Belgorod region, Russia E-mail: mukhiny@mail.ru Received 02.07.2019, accepted for publication 12.07.2019, published 31.10.2019
Aim. The aim of the work is to study the history of ideas about the classification of dynamical systems, which are the most important objects of modern mathematics and having a huge number of applications. Solving the problem of classification allows you to take the first steps in understanding the structure of the system as a whole. Method. The study is based on an analysis of original works involving some of the memories of participants in the described events. Results. The paper considers the development of ideas about the classification of dynamical systems, which allows to take the first steps in understanding their device as a whole. The statement of the problem goes back to A. Poincare, who divided differential equations into integrable and nonintegrable. In the language of dynamical systems, G. Birkhoff singled out non-ergodic and ergodic systems, taking the complexity of the nature of motion as the principle of classification. By the end of the 1950th a hierarchy of conservative dynamical systems has developed: integrable systems, ergodic systems, systems with mixing, K-systems, B-systems. In the dissipative case, analogues of integrable conservative systems and systems with complex, irregular motion were isolated. With the appearance in the 1960th of a hyperbolic theory, a hypothesis (S. Smale) was put forward about the existence of structurally stable systems in the multidimensional case. But it turned out that such systems (Morse-Smale systems) do not form a dense set; in the multidimensional case, systems with a homoclinic structure are typical. Then it turned out that real systems are heterogeneous, they have areas with regular and irregular motion with very complex topology: systems with divided phase space in the conservative case and quasi-attractors in the dissipative one. The forms of coexistence of order and chaos turned out to be very diverse. There are systems with «mixed» dynamics. In systems with homoclinic tangency, in general, even a complete qualitative analysis is impossible. Integrable systems, Morse-Smale systems themselves are complex sets, and their classification is a nontrivial task. The classification problem can be solved only for certain groups of dynamical systems. Discussion. Dynamic systems turned out to be an immense object both in their diversity and in the complexity of the device. An exhaustive classification of dynamic systems seems an insoluble task. This is also characteristic of other areas of mathematics, which is caused by the infinite variety of the external world.
Key words: dynamical system, classification, regular and irregular motions, integrable systems, Morse-Smale systems, homoclinic structures, homoclinic tangencies.
Reference: Mukhin R.R. From the history of the theory of dynamical systems: Problem of classification. Izvestiya VUZ, Applied Nonlinear Dynamics, 2019, vol. 27, no. 5, pp. 95-112. https://doi.org/10.18500/0869-6632-2019-27-5-95-112
Acknowledgements. The research was supported by the state contract for scientific research of the Stary Oscol A.A. Ugarov Technological Institute, the branch of National Research Technological University «MISiS».
Вопросы классификации являются естественной и необходимой частью изучения любой системы, позволяя сделать ее рассмотрение более или менее обозримым. В случае динамических систем решение этих вопросов дает возможность сделать первые шаги в изучении соответствующих физических, химических и других систем. В классификации динамических систем первый и фундаментальной важности шаг был сделан А. Пуанкаре. Здесь нужно вернуться несколько назад. Интегрирование дифференциальных уравнений со времен И. Ньютона является важнейшей проблемой как для самой математики, так и для ее приложений. Еще в XIX в. не существовало теории дифференциальных уравнений, как отдельного раздела математики. Рассматривались, в первую очередь, уравнения динамики. В математике XVIII - первой половины XIX в. под интегрированием понималось интегрирование в явном виде или интегрирование в квадратурах. При этом вопрос о самой интегрируемости не ставился, это считалось само собой разумеющимся. Развернувшаяся в первой половине XIX в. глубокая реформа математического анализа, заложившая новые каноны математической строгости и обоснованности, начала менять
общую идеологию и в отношении интегрируемости. Первая брешь была пробита Ж. Лиувил-лем (1841), доказавшим невозможность интегрирования в общем случае уравнения Риккати в квадратурах [1]. Это повлекло за собой исследования о неинтегрируемости тех или иных классов уравнений. Логика развития требовала выяснения, что понимать под интегрируемостью, и первая строгая постановка этого вопроса относится к тому же времени (Э. Бур, Ж. Лиувилль, 1855) [2,3]. До самого конца XIX в. исходили из интегрируемых систем, а неинтегрируемость воспринималась как своего рода поправки. Используя разложения в ряды, непрерывные дроби или численным интегрированием можно было получить решение с требуемой степенью точности. Однако описанные подходы, несмотря на их во многих практически важных случаях достаточность, оставались внутренне неудовлетворительными. Возможен другой подход, когда неинтегрируемость рассматривается как самостоятельная сущность, без обращения к интегрируемым системам.
Поворотным пунктом в понимании принципиального различия между интегрируемыми и неинтегрируемыми системами стали труды Пуанкаре, в которых также был заложен фундамент современной теории динамических систем, начиная с его диссертации 1879 г. [4], затем в серии из четырех мемуаров по качественной теории дифференциальных уравнений (1881-1886) [5], в конкурсном мемуаре о проблеме трех тел (1890) [6], в «Новых методах небесной механики» в трех частях (1892-1899) [7]. Сюда же относится и его последняя работа об отображении кольца [8]. Четко осознавая принципиальную ограниченность возможностей интегрирования дифференциальных уравнений, Пуанкаре предлагает изучать функции, определяемые «дифференциальными уравнениями, сами по себе, не пытаясь сводить их к более простым функциям... Именно с качественной части должно начинаться исследование всякой функции, и поэтому проблема, которая в первую очередь встает перед нами - это построение кривых, определяемых дифференциальными уравнениями» [5, с. 12]. Такое качественное исследование выявляет топологию всего множества решений, когда основное внимание уделяется множеству решений как единому целому, а не индивидуальному решению, выражаемому конкретными функциями.
Нам, живущим в XXI веке, трудно в полной мере оценить сделанное Пуанкаре. Качественные методы уже давно стали неотъемлемой частью математической культуры, может показаться, что «так всегда было». О значении открытия Пуанкаре прекрасно сказано П.С. Александровым в речи на торжественном заседании Международного конгресса математиков, посвященном столетию со дня рождения Пуанкаре (Гаага, 1954): «Пуанкаре открыл для математики и целый мир новых проблем - проблем "качественного", то есть именно топологического характера, целый мир, по своему существу недоступный не только методам, но и самому, если так можно выразиться, мировоззрению "классической" математики, в центре которой находились формула и вычисление (то есть техника оперирования с формулами). Таким образом, величайший представитель классической математики Пуанкаре, как никто другой "взорвал изнутри" ее традиции и открыл доступ в нее не только новым методам исследования, но, что может быть еще важнее, и новым способам видеть вещи и интересоваться ими... Качественная теория дифференциальных уравнений является, может быть, лучшей иллюстрацией того, как совершенно по-новому умел видеть Пуанкаре самые классические объекты математики и какой небывалой проблематике он умел их подчинять» [9].
Синтез идей и методов Пуанкаре и их дальнейшее развитие был проведен в появившемся в 1927 г. обобщающем труде Биркгофа «Динамические системы» [10], значение которого трудно переоценить - он является источником многих новых идей. После выделения в XIX в. теории дифференциальных уравнений как отдельной области математики, Биркгоф пошел еще дальше, у него основным объектом исследования становится динамическая система, являющаяся фундаментальным понятием современной математики.
Представление о динамической системе претерпело длительную эволюцию. Первоначально под ней понимали механическую систему с конечным числом степеней свободы. В даль-
нейшем динамическая система стала пониматься в более широком смысле. Сначала - как произвольная физическая система, описываемая автономной системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Затем появилась потребность изучать свойства самой системы, безотносительно к ее происхождению. Для динамической системы однозначно определяется понятие состояния, которое задается посредством n переменных x\,x2,..., xn, принимающих произвольные действительные значения, и закона эволюции начального состояния с течением времени [10, с. 13]
1 = Xi(x 1,Х2,... ,Xn), (i = 1,2,... ,n).
Значения x1, x2,..., xn удобно рассматривать как координаты в n-мерном фазовом пространстве.
Затем понятие динамической системы вышло на ещё более высокий уровень обобщения и абстракции. В основе этого опять лежат идеи Пуанкаре, являющегося одним из создателей группового подхода [11]. Обобщение понятия динамической системы диктовалось необходимостью отвлечься от определения динамических систем в форме дифференциальных уравнений. Тогда оказывается возможным выйти за рамки n-мерных евклидовых пространств и задавать динамические системы в пространствах более общего типа. На языке качественной теории дифференциальных уравнений движение системы можно представить как однопараметрическое семейство преобразований фазового пространства (здесь опять идеи Пуанкаре, предложившего рассматривать дифференциальные уравнения как отображения). Параметр вводится как зависимость от времени. Для автономной системы эти преобразования образуют группу. Такое определение абстрактной динамической системы было дано А.А. Марковым (младшим) [12] вскоре после появления классического труда Биркгофа [10].
Современное определение динамической системы мало отличается от определения Маркова [12]. Вот одно из самых широко используемых определений [13, с. 11].
Классическая динамическая система (M, ц, ф4) - это набор, состоящий из гладкого многообразия М, меры ц на М с непрерывной положительной плотностью и однопараметрической группы фг диффеоморфизмов многообразия М, сохраняющих меру
ц (A) = ц(ф4А)
при всех t и всех измеримых А. Параметр t - действительное или целое число: t е R или t е Z.
Биркгоф поставил задачу исследований динамических систем в самой общей форме. В седьмой главе его труда [10], играющей центральную роль, выдвинута программа изучения динамических систем, как консервативных, так и неконсервативных. Будем называть её программой Пуанкаре-Биркгофа: «Конечной целью теории движения динамической системы должно служить качественное определение всех возможных типов движения и взаимоотношений (курсив мой. - Р.М.) между этими движениями» [10, с. 194]. Поставленная задача столь грандиозна, что она вряд ли может быть решена в полной общности (хотя понимание этого пришло позже), но Биркгоф наметил пути для дальнейшего развития. И вот здесь вопросы классификации выступают на первый план.
Принципы классификации, вообще говоря, не являются однозначными. Биркгоф сделал первые шаги в классификации, положив в основу обобщение известных типов движения динамических систем. При этом он ввел ряд важных понятий, ставших неотъемлемой частью теории динамических систем (центральные движения как обобщение периодических движений, рекуррентные движения и т.д.). Но намного большее значение имеет следующий шаг Биркгофа, определивший проблему классификации на несколько десятилетий вперед. Он разделил динамические системы по характеру сложности их движения. У Биркгофа эти идеи получили четко
очерченную форму уже на языке динамических систем. Биркгоф разделил динамические системы на транзитивные и нетранзитивные или, по более распространенной терминологии, на эрго-дические и неэргодические. Тут надо вернуться несколько назад. Понятие эргодичности пришло из физики - из проблемы обоснования статистической механики, вызвавшей острую полемику. В основе разгоревшейся полемики лежала идея, не утратившая привлекательности до настоящего времени: выразить статистические закономерности, исходя из уравнений классической механики. Однако последовательное проведение этой линии приводило к глубоким парадоксам. Для их разрешения Л. Больцман в 1871 г. сформулировал эргодическую гипотезу [14,15], которая заключалась в том, что в изолированной системе фазовая траектория пройдет через каждую точку гиперповерхности постоянной энергии. Другими словами, в эргодической системе временные средние значения физических величин равны их фазовым статистическим средним. Важнейшим принципом эргодической теории является пренебрежение множествами меры нуль, выражаемое терминами «почти все» и «с точностью до меры нуль». На математическом языке это означает то, что «как правило» происходит в природе.
Биркгоф в своей эргодической теореме показал [16], что равенство временных и фазовых средних функции / (Р)
имеет место тогда и только тогда, когда фазовое пространство метрически транзитивно. Динамическая система с мерой ц(Й) называется метрически транзитивной, если для каждого измеримого и инвариантного множества А либо само А, либо □ — А имеет меру нуль [17]. Это означает, что фазовое пространство □ нельзя разбить на две инвариантные области, меры которых отличны от нуля или единицы.
Пуанкаре в задаче качественного исследования дифференциальных уравнений рассматривал не отдельные уравнения, а целые классы уравнений, разделяя их на интегрируемые и неинтегрируемые. Очень примечательно, что говорит по этому поводу Биркгоф: «Для некоторых задач можно ввести вспомогательные аналитические соотношения, с помощью которых мы можем удовлетворительно исследовать решения соответствующих уравнений. В этом случае система может быть названа "интегрируемой". Если, однако, мы попытаемся сформулировать точное определение интегрируемости, то оказываются возможными различные определения, каждому из которых присущ известный теоретический интерес. Рассмотрим вкратце понятие интегрируемости, не забывая при этом указания Пуанкаре, что система дифференциальных уравнений может быть только более или менее интегрируемой» [10, с. 254-255]. Именно понятие транзитивности позволяет отчетливо выделить сам принцип классификации - по мере усложнения движения: «Для проблем классической динамики транзитивность означает, что любая малая частица при своем движении описывает все многообразие М состояний движения, исключая лишь нигде неплотное множество движений, а интегрируемость означает, что для какой-то частицы это не будет справедливо... Между самым общим транзитивным случаем и весьма специальным случаем интегрируемой до конца системы лежит бесконечное разнообразие промежуточных возможных случаев, зависящих от частных свойств дифференциальных уравнений» [10, с. 209-212]. В полной мере смысл этих глубоких утверждений был осознан лишь десятилетия спустя.
Понятие транзитивности дало возможность разделить динамические системы на системы с регулярным движением и нерегулярным. Эргодичность представляет слабейшую степень нерегулярности. Более сложное поведение демонстрируют системы с перемешиванием. Понятие перемешивания также пришло из физики. Оно было введено Дж. Гиббсом (1902) при анализе
т
Рис. 1. Расплывание капли в фазовом пространстве при перемешивании [19]
Fig. 1. Dissolving of the droplet in the phase space with mixing [19]
основ статистической механики [18]. Гиббс ввел это понятие на примере смешивания красителя с жидкостью. При перемешивании «капля фазовой жидкости» сложным образом растекается по фазовому пространству (рис. 1).
Математическую формулировку понятия перемешивания дал Э. Хопф (1937) в своей книге «Ergodentheorie» [17] - первом систематическом изложении исследований по эргодической теории. Рассмотрим две области фазового пространства А и В, имеющие меры ц(А) и ц(В). При движении фазового потока через время t область А преобразуется в область At. По определению, фазовый поток обладает перемешиванием, если
lim ц(А4 П B) = ц(А)ц(В).
t—у^о
С формальной стороны, при перемешивании происходит расцепление временных корреляций. Представление о различии между эргодичностью и перемешиванием дает рис. 2.
При эргодическом движении траектория последовательно заполняет фазовое пространство. Характер движения при перемешивании совершенно иной. Сначала за некоторое время T система покрывает сеткой траекторий все фазовое пространство. Затем через время 2T это явление примерно повторяется, причем размеры ячеек сетки оказываются приблизительно в два раза меньше, и т.д. Можно показать, что динамическая система с перемешиванием эргодична, тогда как обратное неверно [13].
Здесь надо указать, что следует учитывать неоднозначность используемой терминологии. Транзитивность или эргодичность нередко понимают не в приведенном выше смысле, а для обозначения сложного, нерегулярного движения вообще, не вдаваясь в детали того, что степень нерегулярности сама может быть отнесена к разным классам.
После относительного затишья, в 1950-е гг. начинается новый взлет теории динамических систем. На Амстердамском конгрессе математиков (1954) А.Н. Колмогоров в своем докладе сформулировал проблему программного характера о теории динамических систем [20]. Из нее рассмотрим ту часть, которая касается вопросов классификации. Колмогоров выделяет неконсервативные системы, для которых характерны асимптотически устойчивые движения (такие, как точки покоя и предельные циклы), и консервативные системы. Для последних не существует асимптотически устойчивых движений, и эти системы рассматривают с метрической точки
Рис. 2. Различие между эргодическим (а) и перемешивающим (b) движениями [19] Fig. 2. The difference between ergodic (a) and mixing (b) movements [19]
зрения, позволяющей изучать свойства основной массы движений. Он ставит задачу анализа качественного характера движения в системах, имеющих важное значение для приложений. Здесь Колмогоров значительно сужает задачу, поставленную в программе Пуанкаре-Биркгофа об изучении поведения динамических систем во всей общности. Для решения поставленной проблемы он предлагает исходить из эргодической теории, которая «подготовила для этой цели целый набор понятий, обладающих очень большой физической убедительностью по своему замыслу» [20, с. 317].
Колмогоров сам сделал следующий важнейший шаг в реализации предложенного им подхода. Эргодическая теория в абстрактной форме изучает преобразования с инвариантной мерой. Применение эргодической теории к обоснованию статистической механики свелось к задаче установления метрической транзитивности. Однако преобразования с инвариантной мерой оказались столь сложны, что установить метрическую транзитивность удалось лишь в самых простых случаях. Эргодическая теория стала развиваться как область математики, и она сосредоточилась на решении своих собственных задач. Центральной проблемой эргодической теории является классификация преобразований, что выводит на первый план вопрос, какие преобразования следует считать «одинаковыми»? «Одинаковость» структуры двух систем приводит к понятию изоморфизма. В эргодической теории проблему изоморфизма можно сформулировать следующим образом: при каких условиях можно считать, что два преобразования с инвариантной мерой относятся к одному метрическому типу? В эргодической теории центральное место занимает класс преобразований, называемых автоморфизмами Бернулли (В-системы) [21]. Причина их выделенности состоит в том, что автоморфизмы Бернулли являются в известном смысле простейшими преобразованиями, аналогично тому, как в теории вероятностей выделяется класс независимых процессов. Автоморфизмы Бернулли представляют обобщение схемы испытаний Бернулли - последовательности схемы независимых испытаний с одним и тем же исходом и одним и тем же распределением вероятностей. Обозначим через А совокупность всевозможных исходов. Точками фазового пространства являются бесконечные последовательности Ь = {Ьк}, где к пробегает множество целых чисел и каждое Ьд € А. Преобразование Т состоит в сдвиге всех членов каждой последовательности на одно место
Т {Ьк } = {Ьк+1}.
Проблема изоморфизма для таких систем, как системы Бернулли, привела Колмогорова к созданию раздела эргодической теории, известной сейчас как энтропийная теория динамических систем [22,23]. Я.Г. Синай вспоминал, что впервые об энтропии динамической системы Колмогоров рассказал на одной из лекций своего спецкурса. Главной идеей в то время являлось то, что динамические системы в теории вероятностей с метрической точки зрения должны быть совершенно отличны от динамических систем, порождаемых дифференциальными уравнениями [24]. Колмогоров предложил понятие энтропии, призванной помочь различать динамические системы «вероятностного» и «детерминированного» происхождения. В работе [22] Колмогоров ввел важное и плодотворное понятие «квазирегулярных» систем, названных позже К-системами (в честь Колмогорова).
Автоморфизм Т называется К-автоморфизмом, если существует такая о-подалгебра измери-
оо оо
мых множеств 0(о) С 0, что 1) Т0(о) э 0, 2) V Тп0(о) э 0, 3) Л Тп0(о) = К, где Я -
п=—о п=—о
тривиальная о-подалгебра, составленная из множеств меры 0 и 1.
Понятие К-системы было введено Колмогоровым для характеристики ослабления статистических связей в случайном процессе на отдаленных друг от друга промежутках времени.
С этой точки зрения К-системы соответствуют случайным процессам с самыми слабыми свойствами регулярности [25].
До сих пор речь шла о консервативных системах. Что касается диссипативных систем, положение более сложное. Здесь не удается дать понятие интегрируемости в той же мере, как для консервативных систем. Для диссипативных систем более адекватным является понятие качественного интегрирования [26, с. 33-34] - определение наиболее характерных черт системы при помощи геометрического построения интегральных кривых, что позволяет получить качественную картину поведения системы. Качественное интегрирование существенно облегчает нахождение ответов на вопросы количественного характера. Однако провести такое качественное интегрирование удается лишь в самых простых случаях. Примером является теория Пуанкаре-Бендиксона [27], рассматривающая предельное поведение (при t ^ траекторий автономных систем двух дифференциальных уравнений первого порядка
dt- = X-(x1,x2), (i = 1, 2).
Для таких систем создана относительно завершенная теория о вариантах их поведения.
Для диссипативных систем можно дать вариант классификации, выделяя системы с усложняющимся поведением. К самым простым случаям относятся аналоги интегрируемых консервативных систем - системы с одним простым аттрактором - положением равновесия, предельным циклом, двумерным тором. Следующим классом систем являются системы со сложным, нерегулярным движением.
Как мы видим, каждый этап развития теории динамических систем приводит к определенной классификации. Новая классификационная схема связана с появлением гиперболической теории в 1960-е гг. Именно тогда теория динамических систем выделилась в самостоятельный раздел математики. Создание гиперболической теории во многом связано с именем С. Смейла. Исследования Смейла по теории динамических систем привели к другому его главному вкладу в математику - доказательству гипотезы Пуанкаре для n > 4 [28]. Смейл был топологом, что для его работ по теории динамических систем [29-31] имело определяющее значение. Эти работы ознаменовали прорыв, новый подход, когда вместо прежних стандартных методов он предложил геометрическое рассмотрение. Смейл провел глубокое обобщение понятия неподвижной гиперболической точки, позволившее прийти к совершенно новому взгляду на теорию динамических систем.
Главную роль здесь играет понятие грубости или структурной устойчивости. Это фундаментальное понятие было введено А.А. Андроновым и Л.С. Понтрягиным в 1937 г. [32] и позднее развито М. Пейксото [33]. Где-то в 1958 г. Смейл познакомился с Пейксото, который поделился с ним своими размышлениями по поводу структурной устойчивости [34]. В структурно устойчивых системах топологическая структура фазовых траекторий не меняется при малых изменениях дифференциальных уравнений. В 1933 г. А.А. Андронов выдвинул программу исследований динамических систем [35]: как при изменении параметров меняется топологическая структура разбиения фазовой плоскости на интегральные кривые и каковы бифуркационные значения параметров? В школе Андронова на основе понятия структурной устойчивости эта программа исчерпывающим образом была реализована для двумерных систем, для которых структурная устойчивость представляет типичное свойство, и поведение таких систем является регулярным.
Опыт изучения двумерных систем наталкивал на мысль, что развитые для их описания представления могут быть справедливы и в многомерном случае. Смейл выдвинул гипотезу о том, что существуют структурно устойчивые системы в пространстве многомерных динамических систем (n > 3) [29]. Фактически, гипотеза Смейла была попыткой распространить програм-
му Андронова на многомерный случай. Такие системы были введены самим Смейлом (1960) [29] и стали известны как системы Морса-Смейла. В этих системах имеется конечное число особых точек и периодических орбит, почти все траектории (в смысле меры) стремятся к периодическим орбитам. Таким образом, устройство многомерных динамических систем, в главном, выглядело подобным устройству двумерных систем. Топологическая энтропия систем Морса-Смейла равна нулю, они относятся к системам с «простым поведением». Однако действительность оказалась значительно более сложной и многообразной. Вскоре сам же Смейл обнаружил, что в многомерном случае (размерность фазового пространства п > 3) системы Морса-Смейла не являются типичными, они не составляют плотного множества - это явилось фактом фундаментальной важности [30]. Указанные работы явились поворотным пунктом, положившим начало новому этапу развития теории динамических систем. В многомерном случае являются типичными более сложно устроенные системы. Первый такой пример с бесконечным множеством периодических траекторий дал сам Смейл на основе своей «подковы» [31]. Для многомерных систем ключевым понятием являются гомоклинические структуры, которые для них столь же типичны, как для двумерных систем состояния равновесия и периодические движения. В таких системах структурная устойчивость выступает в новом, совершенно неожиданном качестве. Гомоклинические структуры локально неустойчивы в каждой точке инвариантного множества. Но сама структура в целом в качественном отношении устойчива к малым внешним возмущениям.
В сложно устроенных многомерных динамических системах определяющую роль играет понятие гиперболичности, которое восходит к Пуанкаре, открывшему гомоклинические структуры. Понятие гиперболичности является одним из способов выражения на математическом языке свойства локальной неустойчивости траекторий. Гиперболическое множество представляет собой компактное подмножество фазового многообразия, целиком состоящее из траекторий, в окрестности каждой из которых поведение всех соседних траекторий напоминает поведение траекторий около седла [36,37]
йх йу
—— = -х,— = у.
аЬ аЬ
При гиперболичности происходит сближение траекторий в одном направлении и разбегание в другом с экспоненциальной скоростью. На компактном многообразии расходящимся траекториям «некуда деваться», и они сложным и нерегулярным образом должны распределяться по фазовому пространству. Еще в исследованиях геодезических потоков на поверхностях отрицательной кривизны Ж. Адамара [38], Э. Хопфа [17] и Дж. Хедлунда [39] было отмечено, что свойства потока определяются неустойчивостью траекторий. Условия гиперболичности позволили описать эти неустойчивости с помощью точных выражений. Целый ряд физических систем (рассеивающие биллиарды, система Лоренца и др.) проявляли черты, аналогичные свойствам гиперболичности. Наиболее сильный вариант гиперболичности проявляется в системах Аносова (названные так по предложению Смейла, сам Аносов употреблял термин У-системы) [40,41]. Они являются обобщением классической динамической системы - геодезических потоков на многообразия отрицательной кривизны, и Аносов их определил аксиоматически. Зададим динамическую систему на компактном многообразии Шт гладкого векторного поля / (ш)
а-
аш =/ (ш).
Поток называется потоком Аносова, если выполняются У-условия (по терминологии автора): 1) фазовая скорость / (ш) = 0, то есть у потока нет положений равновесия, 2) в каждой точке х гиперболического множества касательное пространство ТХШ к Ж разлагается в прямую сумму ЕХ, ЕХ и Ет, где Е^ порождается касательными векторами к потоку, а для устойчивого
ESS и неустойчивого E'U подпространств векторы ^ G Е|, n G EU удовлетворяют неравенствам |DS£< a|^|e-ci, |DS£n| > b|n|ect, t > 0, DSX - дифференциал отображения S£• Таким образом, отображения устойчивого и неустойчивого подпространств соответствуют сжатию и растяжению с равномерными по всему пространству коэффициентами. Для гиперболических систем системы Аносова представляют самый простой вариант. Наиболее известным примером системы Аносова являются геодезические потоки на компактных поверхностях постоянной отрицательной кривизны (например, тор). Их фазовое пространство образовано касательными векторами единичной длины, каждый из которых движется с единичной скоростью вдоль определяемой им геодезической линии. Такой моделью можно описать гамильтонову систему с гамильтонианом специального вида. Таким образом, гиперболическая теория на другой основе позволила выделить системы с регулярным и сложным поведением.
Однако наметившуюся классификацию многомерных динамических систем (системы Морса-Смейла, системы с гомоклинической структурой) следует рассматривать лишь в качестве грубого приближения. При большем разрешении картина значительно усложняется. Само пространство систем Морса-Смейла имеет сложное строение, и их классификация представляет нетривиальную и неоднозначную задачу [42]. Даже самый простой случай - интегрируемые гамильтоновы системы - представляют сложно устроенные множества. Показательны слова В.В. Козлова: «Каждое новое поколение по-своему интерпретирует существо проблемы интегрирования гамильтоновых систем» [43, С. 7].
Если внимательнее присмотреться к гамильтоновым системам, положение в них осложняется вследствие того, что реальные системы являются неоднородными, это системы с разделенным фазовым пространством, когда имеет место сосуществование областей с регулярным и нерегулярным движением. Рассмотрим случай сильной неинтегрируемости, когда система становится локально неустойчивой почти всюду, за исключением областей малой, но конечной меры [44]. Это незначительное, на первый взгляд, различие приводит к очень важным последствиям. Эргодическая теория дает статистическое описание динамических систем, когда сложное поведение, хаотичность присутствует, так сказать, в «чистом виде». Реальные системы являются неоднородными, в них всегда имеются области устойчивого движения малой меры. Простая картина движения, когда отдельно существуют области регулярности и области хаоса с более или менее четко выраженной границей, является сильно идеализированным представлением. Часть
фазового пространства с хаотической динамикой получила название стохастического моря. В реальных системах присутствует бесконечное число эллиптических точек, окруженных островками инвариантных кривых (рис. 3).
Наличие этих островков влияет на близлежащие траектории, что приводит к изменению структуры фазового пространства. Особую проблему составляет граничная область вблизи островков. Дело в том, что вокруг выбранного островка существует цепочка вторичных островков, которые, в свою очередь, окружены цепочками следующего уровня и т.д. Таким образом, имеется сложная самоподобная иерархическая структура разделения фазового пространства. Если вспомнить, что островок в стохасти-
Рис. 3. Стохастическое «море» и островки устойчивости в разделенном фазовом пространстве [45]
Fig. 3. Stochastic sea and stable islands in divided phase space [45]
ческом море соответствует области начальных условий, при которых движение является регулярным, то становится ясной условность понятия интегрируемости в системах с разделенным фазовым пространством. Эта условность представляет отражение того факта, что регулярная и хаотическая компонента переплетены, обладают очень сложной топологией, которая трансформируется при изменении параметров системы.
Таким образом, реальные гамильтоновы системы далеки от простой идеализированной картины. Для них типичное фазовое пространство напоминает, по словам Заславского, топологический зоопарк, состоящий из областей хаотической динамики вместе с такими образованиями как стохастическое море, стохастические слои, стохастические паутины, острова с периодическими и квазипериодическими траекториями и меньшими областями хаоса [46]. Несмотря на все приложенные усилия, область границы островов до сих пор не изучена.
Положение отнюдь не проще и в диссипативных системах. В моделях перехода к турбулентности рассматриваются различные цепочки бифуркаций. Они начинались из состояний равновесия, затем - периодические движения, после этого различными путями возникало нерегулярное движение. Однако цепочки бифуркаций приводили не к гиперболическому аттрактору в строгом смысле этого слова. В большинстве случаев возникали объекты, обладающие свойствами «истинного» странного аттрактора, и в то же время в них присутствовали устойчивые периодические орбиты. На основании этого В.С. Афраймович и Л.П. Шильников ввели понятие квазиаттракторов (1983) - притягивающих предельных множеств, содержащих как нетривиальные гиперболические множества, так и устойчивые периодические движения [47]. У подмножества периодических движений очень узкая область притяжения, и под действием случайных возмущений система будет совершать переходы между различными состояниями, среди которых имеются как гиперболические, так и периодические компоненты. С появлением понятия квазиаттрактора в теорию диссипативных динамических систем вошел новый, более высокий уровень сложности. Нерегулярность стала неоднородной, она перемежается регулярными движениями.
Богатство многомерных динамических систем этим не исчерпывается. Существуют системы со «смешанной динамикой» это новый тип нерегулярности. В двумерном случае в так называемых областях Ньюхауса плотны диффеоморфизмы со счетным множеством устойчивых, вполне неустойчивых и седловых периодических траекторий. Устойчивые элементы (например, устойчивые периодические траектории) сосуществуют с вполне неустойчивыми, и они неотделимы друг от друга. При этом замыкание траекторий разных типов имеет непустое пересечение. Таким образом, аттрактор (притягивающее инвариантное множество) пересекается с репеллером (отталкивающим инвариантным множеством) (С.В. Гонченко, Д.Б. Тураев, Л.П. Шильников, 1997) [48,49]. Формы сосуществования порядка и хаоса оказываются весьма многообразными.
Ситуация является еще более сложной. Здесь опять обратимся к работам математиков Нижегородской школы. С помощью отображений, приводящих к «подкове» Смейла, не удается в общем случае решить задачу описания структуры множества всех траекторий, целиком лежащих в малой окрестности гомоклинической орбиты при трансверсальном пересечении устойчивого и неустойчивого многообразия по гомоклинической кривой (задача Пуанкаре-Биркгофа). Эта задача была решена Л.П. Шильниковым (1967) [50,51]. При исследовании возможности перехода от систем Морса-Смейла к системам с гомоклинической структурой выяснилось, что изменения не локализуются около положения равновесия или периодических траекторий, а затрагивают фазовое пространство в целом. Рассмотрение таких глобальных бифуркаций, приводящих к перестройке фазового портрета на всей фазовой плоскости, восходит еще к Андронову. Однако начало систематической разработки принципиально новой области теории бифуркаций относится к 1970-м годам, и было положено работами Ш. Ньюхауса [52,53] и Л.П. Шильникова и его учеников [54]. В отличие от бифуркационных явлений, происходящих при деформации некоторо-
го диффеоморфизма с конечным числом периодических траекторий и приводящих к появлениям трансверсальных гомоклинических траекторий (рис. 4), теперь рассматривались бифуркации при гомоклинических касаниях (рис. 5).
Системы с гомоклиническими касаниями, хотя структурно неустойчивы, но всюду плотны в областях Ньюхаса, которые занимают целые зоны в пространстве гладких динамических систем. В работах Шильникова и его учеников [56, 51] был получен обескураживающий результат: в системах с гомоклиническими касаниями невозможно полное описание динамики (в частности, полное описание бифуркаций периодических движений). Другими словами, иллюзию возможности полного качественного анализа динамических систем в общем случае следует отбросить -факт фундаментальной важности. Заметим, что гомоклинические касания представляют весьма распространенное явление и могут существовать практически во всех известных семействах систем со сложным поведением: в возмущенных интегрируемых системах, в системах лоренцев-ского типа, в отображениях Эно, в системах с удвоением периода и т.д.
Попытки классификации динамических систем претерпели длительное и непростое развитие. Самыми простыми системами, демонстрирующих простое поведение, являются системы с регулярными движениями. Математической формой регулярности выступает интегрируемость. Напомним, что строго говорить об интегрируемости можно лишь для гамильтоновых систем. Для них простота поведения получила в определенной степени законченное формализованное воплощение. Для остальных случаев простота поведения в значительной степени опирается на аналогии и интуитивное понимание. Антиподом для интегрируемости в ранней истории теории динамических систем выступало понятие эргодичности или транзитивности. В этом случае существует всюду плотное множество движений на многообразии состояний движения. С такой классификацией движений, на одном полюсе которой - регулярность, на другом - эргодичность, хаотичность, и имела дело физика до конца XIX в.
Между интегрируемыми системами и полностью транзитивными (эргодическими) системами находится бесчисленное разнообразие промежуточных случаев, что отмечалось еще Пуанкаре и Биркгофом. Имеется иерархия динамических систем, которая простирается от полностью интегрируемых систем или их аналогов с выраженным простым поведением до транзитивных систем с хаотическим поведением, которое допускает лишь статистическое описание.
С развитием теории динамических систем и, в особенности, с исследованиями нелинейных явлений эти промежуточные случаи стали привлекать повышенное внимание. Другое место заняло понятие эргодичности, ее стали рассматривать как слабейшую степень нерегулярности.
Рис. 4. Трансверсальная гомоклиническая траектория [55] Fig. 4. Homoclinic intersection [55]
Рис. 5. Гомоклиническое касание [55] Fig. 5. Homoclinic tangency [55]
Более сильными свойствами нерегулярности обладает движение с перемешиванием. Далее в этом ряду по усилению степени нерегулярности идут движения с перемешиванием n-го порядка, К-системы, системы Бернулли. Таким образом, гамильтоновы системы можно классифицировать по мере усложнения характера движения.
Для диссипативного случая такой простой картины нарисовать не удается, но также можно в определенной степени выделить системы с усложняющимся движением. К самым простым случаям с регулярным движением отнесем системы с одним простым аттрактором - положением равновесия, предельным циклом, двумерным тором. Далее идут системы Морса-Смейла, для которых сложность заключена в бифуркационных значениях параметров - границах между областями с различным простым поведением. Следующий шаг по усложнению движения уже трудно сделать однозначно, тут могут быть А-системы Смейла, системы типа Лоренца и др.
В реальных системах регулярная и хаотическая компоненты сосуществуют, образуя сложную топологическую структуру. Сложность на этом не заканчивается. Надежды на саму возможность более или менее полной классификации оказались слишком оптимистичными. Исследования последних десятилетий показали, что задача классификации с разной степенью полноты может быть решена лишь для отдельных групп динамических систем.
Классификация динамических систем представляет своеобразный ракурс, под которым можно рассматривать всю теорию динамических систем. При этом неразрешимость задачи исчерпывающей классификации не следует воспринимать как обескураживающий фактор. Неразрешимость подобных задач обнаруживается и в других разделах математики, например, в топологии и в теории групп. А.А. Марков (младший) показал, что невозможно построить алгоритм для установления гомеоморфности двух данных четырехмерных многообразий [57,58]. Вряд ли можно говорить о возможности классификации даже разрешимых групп [59]. Научные исследования не только расширяют горизонты, они еще приводят к пониманию пределов возможного. Возвращаясь к динамическим системам, можно сделать следующий вывод: если справедливо, что каждой динамической системе так или иначе найдется соответствие в какой-то физической, механической, биологической, экономической, социальной модели, то невозможность полной классификации динамических систем является отражением факта бесконечного разнообразия природы.
Библиографический список
1. Liouville /.Remarques nouvelles sur l'équation de Riccati // J. Math. Pures et Appl. 1841. Vol. 6. P. 1-13, 36.
2. Bour /.Sur l'integration des equations differentielles de la Mecanique Analytic // J. Math. Pures et Appl. 1855. Vol. 20. P. 185-200.
3. Liouville J. Note a l'occasion du memoire précident de M. Edmond Bour // J. Math. Pures et Appl. 1855. Vol. 20. P. 201-202.
4. Poincare Н. Sur les proprietes des fonctions definies aux differences partielles. Ph. D. Thesis, Universite de Paris. Paris: Gautier-Villars, 1879. 93 p.
5. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями / Пер. с франц. Е. Леонтович, А. Майер под ред. А.А. Андронова. М.: ГИТТЛ, 1947. 392 с.
6. Poincare H.Sur le probleme des trois corps et les equations de la Dynamique // Acta Math. 1890. Vol. 13. P. 1-270.
7. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. Избр. труды. В 3 т. М.: Наука, 1971. Т. 1. 772 с.; 1972. Т. 2. 998 с.
8. Poincare H. Sur u^ theorème de geometrie // Rendicont. Circolo mat. Palermo. 1912. Vol. 33.
9. Александров П.С. Пуанкаре и топология // УМН. 1972. Т. 27. В. 1. С. 147-158.
10. Дж. Биркгоф. Динамические системы / Пер. с англ. Ижевск: РХД, 1999. 408 с.
11. Визгин В.П. Развитие взаимосвязи принципов инвариантности с законами сохранения в классической физике. М.: Наука, 1972. 242 с.
12. Markov A.A. Sur une propriété générale des ensemble minimaux de Birkhoff // Comp. Ren. Acad. Sci. 1931. Vol. 193. P. 823-825.
13. Арнольд В.И., Авец А. Эргодические проблемы классической механики. Ижевск: РХД, 1999. 284 c.
14. Bolzmann L. Uber der Warmegleichgewicht zwischen meharatomigen Gasmolekulen // Sitzber. Akad. Wiss. Wien. 1871. B. 63. S. 397-418.
15. Lo Bello A. On the Origin and History of Ergodic Theory // Bolletino di Storia delle Scienze Mathematiche. 1983. A. iii. No. 1. P. 37-75.
16. Birkhoff'G.D. Proof of recurrence theorem for strongly transitive systems and proof of the ergodic theorem // Proc. Nat. Acad. Sci. Amer. 1931. Vol. 17. P. 650-660.
17. HopfE. Эргодическая теория // УМН. 1949. Т. 4. В. 1. С. 113-182.
18. Gibbs J.W. Elementary Principles of Statistical Mechanics. N.Y.: Charles Shribner's Sons, L.; Edward Arnold, 1902.
19. Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем. М.: Наука, 1984. 272 с.
20. Колмогоров А.Н. Общая теория динамических систем и классическая механика // Proc. Intern. Congr. Math. 1954. Amsterdam. Vol. 1. P. 315-333. / То же в кн.: А.Н. Колмогоров. Математика и механика. М.: Наука, 1985. С. 316-332.
21. Орнстейн Д. Эргодическая теория, случайность и динамические системы. М.: Мир, 1978. 168 с.
22. Колмогоров А.Н. Новый метрический инвариант транзитивных динамических систем и автоморфизмов пространств Лебега//ДАН СССР. 1958. Т. 119, № 5. С. 861-864.
23. Колмогоров А.Н. Об энтропии на единицу времени как метрическом инварианте автоморфизмов // ДАН СССР. 1959. Т. 124, № 4. С. 754-755.
24. Синай Я.Г. Письменное сообщение от 26.03.2007.
25. Синай Я.Г. Эргодическая теория // А.Н.Колмогоров. Теория информации и теория алгоритмов. М.: Наука, 1987. С. 275-279.
26. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физматлит, 1959. 916 с.
27. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.; Л.: ГИТТЛ, 1949. 550 с.
28. Peixoto M. Some recollections of the early work of Steve Smale // The Collected Papers of Stephen Smale. Vol. 1. Singapore: World Sci. 2000. P. 14-16.
29. Smale S. On gradient dynamical systems // Ann. Math. 1961. Vol. 74. P. 199-206.
30. Smale S. A structurally stable differential homomorphysm with an infinite number of periodic points // Тр. Межд. симпоз. по нелин. колебаниям. Киев 1961. Киев: АН УССР, 1963. С. 365-366.
31. Смейл С. Грубые системы не плотны. Математика. 1967. Т. 11, № 4. С. 107-112.
32. Андронов А.А., Понтрягин Л.С. Грубые системы // ДАН СССР. 1937. Т. 14, № 5. С. 247-252.
33. Peixoto M. Structural stability on two-dimensional manifolds // Topology. 1962. Vol. 1, no. 2. P. 101-120.
34. Smale S. On how I got started in dynamical systems 1959-1962 // The Chaos Avant-garde. Memoiries of the Early Days of Chaos Theory / Eds R. Abraham, Y. Ueda. Singapore: World Sci. 2000. P. 1-6.
35. Андронов А.А. Математические проблемы теории автоколебаний // I Всесоюзн. конф. по колебаниям. Т. I. М.: Гостехтеориздат, 1933. С. 32-71.
36. Аносов Д.В. и др. Динамические системы с гиперболическим поведением // Итоги науки и техники. Совр. пробл. математики. Фундам. направления. Динамические системы - 9. / ВИНИТИ, 1985. Т. 66. 248 с.
37. Аносов Д.В., Синай Я.Г. Некоторые гладкие эргодические системы // УМН. 1967. Т. 22. В. 5. С. 107-172.
38. Hadamard J.Les surfaces a courbures opposees et leurs lignes geodesiques // J. Math. Pures et Appl. 1898. Vol. 4. Рр. 27-73.
39. Hedlund G.A. The dynamic of geodesic flows // Bull. AMS. 1939. Vol. 45. Рр. 241-260.
40. Аносов Д.В. Грубость геодезических потоков на компактных римановых многообразиях отрицательной кривизны // ДАН СССР. 1962. Т. 145, № 4. С. 707-709.
41. Аносов Д.В. Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны // Тр. МИАН. М.: Наука, 1967. С. 3-209.
42. Гринес В.З., Жужома Е.В., Починка О.В. Системы Морса-Смейла и топологическая структура несущих многообразий // Совр. математика. Фунд. направления. 2016. Т. 61. С. 5-40.
43. Козлов В.В. Интегрируемость и неинтегрируемость в гамильтоновой механике // УМН. 1983. Т. 38. В. 1. С. 3-67.
44. Заславский Г.М., Чириков Б.В. Стохастическая неустойчивость нелинейных колебаний // УФН. 1971. Т. 105. В. 1. С. 3-39.
45. Заславский Г.М. Физика хаоса в гамильтоновых системах. Москва; Ижевск: Инст. компьют. исслед., 2004. 288 с.
46. Zaslavsky G.M. Chaotic Dynamics and the Origin of Statistical Laws // Physics Today. 1999. Vol. 52. Рр. 39-45.
47. Afraimovich V.A., Shilnikov L.P. On strange attractors and quasiattractors // Nonlinear dynamics and turbulence. Boston-London-Melbourn: Pitman, 1983. Рр. 1-34.
48. Гонченко С.В., Тураев Д.В., Шильников Л.П. Об областях Ньюхауса двумерных диффеоморфизмов, близких к диффеоморфизму с негрубым гетероклиническим контуром // Труды МИАН. 1997. Т. 216. C. 76-125.
49. Гонченко А.С., Гонченко С.В., Казаков О.А., Козлов А.Д. Математическая теория динамического хаоса // Известия вузов. ПНД. 2017. Т. 25, № 2. С. 4-36.
50. Шильников Л.П. Об одной задаче Пуанкаре-Биркгофа // Матем. сб. 1967. Т. 174, № 3. С. 378-397.
51. Шильников Л.П. Гомоклинические траектории: от Пуанкаре до наших дней // Математические события ХХ века. М.: Фазис, 2003. С. 465-489.
52. Newhouse S. Non-density of axiom A(a) on S2 // Proc. AMS symp. pure math. 1970. Vol. 14. Рр. 191-202.
53. Newhouse S. Diffeomorphisms with infinetly many sinks // Topology. 1974. Vol. 13. N 1. Рр. 9-18.
54. Гаврилов Н.К., Шильников Л.П. О трехмерных динамических системах, близких к системам с негрубой гомоклинической кривой I, II // Матем. сб. 1972. Т. 88, № 4. С. 475-492; 1973. Т. 90, № 1. С. 139-156.
55. Gonchenko S.K, Shilnikov L.P., Turaev D.V. Dynamical phenomena in systems with structurally unstable Poincare homoclinic orbits // Chaos. 1996. Vol. 6, no. 1. Pp. 15-31.
56. Гонченко С.В., Тураев Д.Б., Шильников Л.П. Гомоклинические касания произвольного порядка в областях Ньюхауса // Совр. математика и ее прилож. 1999. Т. 67. С. 69-128.
57. Марков А.А. Неразрешимость проблемы гомеоморфии // ДАН СССР. 1958. Т. 121, № 2. С. 218-220.
58. Марков А.А. О неразрешимости некоторых проблем топологии // ДАН СССР. 1958. Т. 123, № 6. С. 978-980.
59. Вавилов Н.А. Простые алгебры Ли, простые алгебраические группы и простые конечные группы // Математика ХХ века. Взгляд из Петербурга. М.: МЦНМО, 2010. С. 8-46.
References
1. Liouville J. Remarques nouvelles sur l'équation de Riccati. J. Math. Pures et Appl., 1841, vol. 6, рр. 1-13, 36.
2. Bour J. Sur l'integration des equations differentielles de la Mecanique Analytic. J. Math. Pures et Appl., 1855, vol. 20, рр. 185-200.
3. Liouville J. Note a l'occasion du memoire précident de M. Edmond Bour. J. Math. Pures et Appl., 1855, vol. 20, рр. 201-202.
4. Poincare Н. Sur les Proprietes des Fonctions Definies aux Differences Partielles. Ph. D. Thesis, Universite de Paris. Paris: Gautier-Villars, 1879. 93 p.
5. Poincare Н. Memoire sur les courbes definies par une equations differentielle. J. Math. Pures et Appl. Ser. 3, 1881, vol. 7, pр. 375-422; 1882, vol. 8, pр. 251-296; Ser. 4, 1885, vol. 1, pр. 167-244; 1886, vol. 2, pр. 151-217.
6. Poincare Н. Sur le probleme des trois corps et les equations de la Dynamique. Acta Math., 1890, vol. 13, pр. 1-270.
7. Poincare H. New Methods of Celestial Mechanics. N.Y.: Dover publication, 1957. Vol. I, II. 413 p.; Vol. III. 401 p.
8. Poincare Н. Sur ura Theoreme de Geometrie. Rendicont. Circolo M at. Palermo, 1912, vol. 33.
9. Aleksandrov P.S. Poincare and topology. Russian Math. Surveys, 1972, vol. 27, issue 1, pp. 157-168.
10. Birkhoff G.D. Dynamical Systems. Providence, Rhod Island: AMS, 1927. IX + 295 p.
11. Vizgin V.P. The Development of the Relationship of the Principles of Invariance with Conservation Laws in Classical Physics. Moscow: Nauka, 1972. 242 p. (in Russian).
12. Markov A.A. Sur une propriete generale des ensemble minimaux de Birkhoff. Comp. Ren. Acad. Sci., 1931, vol. 193, pp. 823-825.
13. Arnold V.I., Avez A. Ergodic problems of classical mechanics. N.Y.: W.A. Benjamin, 1968. 286 p.
14. Bolzmann L. Über der Warmegleichgewicht zwischen meharatomigen Gasmolekulen. Sitzber. Akad. Wiss. Wien., 1871, b. 63, s. 397-418.
15. Lo Bello A. On the Origin and History of Ergodic Theory. Bolletino di Storia delle Scienze Mathematiche, 1983, A. iii. No. 1, pр. 37-75.
16. Birkhoff G.D. Proof of recurrence theorem for strongly transitive systems and proof of the ergodic theorem. Proc. Nat. Acad. Sci. Amer., 1931, vol. 17, pр. 650-660.
17. Hopf E. Ergodentheorie. Berlin: Springer-Verl. 1937. IV + 835 S.
18. Gibbs J.W. Elementary Principles of Statistical Mechanics. N.Y.: Charles Shribner's Sons, L.; Edward Arnold, 1902.
19. Zaslavsky G.M. Stochasticity of Dynamical Systems. Moscow: Nauka, 1984. 272 p. (in Russian).
20. Kolmogorov A.N. The general theory of dynamical systems and classical mechanics. Proc. Intern. Congr. Math., 1954, Amsterdam, vol. 1, pр. 315-333.
21. Ornstein D. Ergodic Theory, Randomness and Dynamical Systems. N.Y.: Yale Univ. Press, 1974. 141 p.
22. Kolmogorov A.N. A new metric invariant of transitive dynamical systems and automorphisms of Lebesgue spaces. Rep. Acad. Sci. of USSR, 1958, vol. 119, no. 5, pp. 861-864 (in Russian).
23. Kolmogorov A.N. On entropy in unit time as a metric invariant of automorphisms. Rep. of Acad. Sci. USSR, 1959, vol. 124, no. 4, pp. 754-755 (in Russian).
24. Sinai Ja.G. Private communication from 26.03.2007.
25. Sinai Ja.G. Ergodic theory. In: Kolmogorov A.N. Selected works. T. III. Information Theory and the Theory of Algorithms. Dordrecht: Springer Sci., 1993, pp. 247-250.
26. Andronov A.A., Vitt A.A., Khaikin S.E. Theory of Oscillators. Oxford: Pergamon, Addison-Wesley, 1966. 816 p.
27. Nemytskii V.V., Stepanov V.V. Qualitative Theory of Differential Equations. Princeton, NJ: Princeton Univ. Press, 1960. 523 p.
28. Peixoto M. Some recollections of the early work of Steve Smale. The collect. papers of Stephen Smale, vol. 1, Singapore: World Sci. 2000, pp. 14-16.
29. Smale S. On gradient dynamical systems. Ann. Math., 1961, vol. 74, pp. 199-206.
30. Smale S. A structurally stable differential homomorphysm with an infinite number of periodic points // Proc. Int. Congress on non-linear oscillations. Kiev, 1961. Kiev: Ukranian Acad. Sci., 1963, pp. 365-366.
31. Smale S. Structurally stable systems are not dense. Am. J. Math., 1966, vol. 73, pp. 747-817.
32. Andronov A.A., Pontryagin L.S. Coarse systems. Rep. of Acad. Sci. USSR, 1937, vol. 14, no. 5, pp. 247-252 (in Russian).
33. Peixoto M. Structural stability on two-dimensional manifolds. Topology, 1962, vol. 1, no. 2, pp. 101-120.
34. Smale S. On how I got started in dynamical systems 1959-1962. In: The Chaos Avant-garde. Memoiries of the Early Days of Chaos Theory. Eds R. Abraham, Y. Ueda. Singapore: World Sci. 2000, pp. 1-6.
35. Andronov A.A. Mathematical problems in self-oscillation theory. Collected Works. Moscow: AN USSR, 1956, pp. 32-71 (in Russian).
36. Anosov D.V. et al. Dynamic systems with hyperbolic behavior. Results of Science and Technology. Ser. Modern problems of math. Fundamental directions. Dynamical systems - 9. Moscow: VINITI, 1985. Vol. 66. 248 p. (in Russian).
37. Anosov D.V., Sinai Ya.G. Certain smooth dynamical system. Russian Math. Surveys, vol. 22, no. 5, pp. 107-172 (in Russian).
38. Hadamard J. Les surfaces a courbures opposees et leurs lignes geodesiques. J. Math. Pures et Appl., 1898, vol. 4, pp. 27-73.
39. Hedlund G.A. The dynamic of geodesic flows. Bull. AMS, 1939, vol. 45, pp. 241-260.
40. Anosov D.V. Coarseness of geodesic flows on compact Riemannian manifolds of negative curvature. Rep. of Acad. Sci. USSR, 1962, vol. 145, no. 4, pp. 707-709.
41. Anosov D.V. Geodesic flows on compact Riemannian manifolds of negative curvature. Proceedings of MIAN. Moscow: Nauka, 1967, pp. 3-209 (in Russian).
42. Grines et al. Classification of Morse-Smale systems and topological structure of the underlying manifolds. Russian Math. Surveys, 2019, vol. 74, issue 1, pp. 37-110.
43. Kozlov V.V. Integrability and non-integrability in Hamiltonian mechanics. Russian Math. Surveys, 1983, vol. 38, issue 1, pp. 3-67 (in Russian).
44. Zaslavsky G.M., Chirikov V.V. Stochastic instability of non-linear oscillations. Sov. Phys. Usp., 1972, vol. 14, pp. 549-568.
45. Zaslavsky G.M. Physics of Chaos in Hamiltonian Systems. L.: Imper. College Press, 1998, 269 p.
46. Zaslavsky G.M. Chaotic dynamics and the origin of statistical laws. Physics Today, 1999, vol. 52, pp. 39-45.
47. Afraimovich V.A., Shilnikov L.P. On Strange Attractors and Quasiattractors. Nonlinear Dynamics and Turbulence. Boston-London-Melbourn: Pitman, 1983, pp. 1-34.
48. Gonchenko S.V. et al. On Newhouse domains of two-dimensional diffeomorphisms that are close to diffeomorphism with a structurally unstable heteroclinic contour. Proceedings of MIAN. Moscow: Nauka, 1997, vol. 216, pp. 76-125 (in Russian).
49. Gonchenko S.V. et al. Mathematical theory of dynamical chaos and its applications: Review. Izvestya VUZ. Applied Nonlinear Dynamics, 2017, vol. 25, issue 2, pp. 4-36 (in Russian).
50. Shilnikov L.P. On a Poincare-Birkhoff problem. Mathematics of the USSR-Sbornik, 1967, vol. 174, no. 3, pp. 378-397.
51. Shilnikov L.P. Homoclinic Trajectories from Poincare to the Present. Mathematical Events of the Twentieth Century. Berlin: Springer-Verlag, 2006, pp. 347-370.
52. Newhouse S. Non-density of axiom A(a) on S2. Proc. AMS symp. pure math., 1970, vol. 14, pp. 191-202.
53. Newhouse S. Diffeomorphisms with infinetly many sinks. Topology, 1974, vol. 13, no. 1, pp. 9-18.
54. Gavrilov N.K., Shilnikov L.P. On three-dimensional dynamical systems close to systems with structurally unstable homoclinic curve. Mathematics of the USSR-Sbornik, 1972, vol. 17, no. 4, pp. 467-485; vol 19, no. 1, pp. 139-156.
55. Gonchenko S.V., Shilnikov L.P., Turaev D.V. Dynamical phenomena in systems with structurally unstable Poincare homoclinic orbits. Chaos, 1996, vol. 6, no. 1, pp. 15-31.
56. Gonchenko S.V., Shilnikov L.P., Turaev D.V. Homoclinic tangencies of an arbitrary order in Newhouse domains. J. Math. Sci., 2001, vol. 105, issue 1, pp. 1738-1778.
57. Markov A.A. The insolvability of the problem of homeomorphy. Rep. of Acad. Sci. USSR, 1958, vol. 121, no. 2, pp.218-220 (in Russian).
58. Markov A.A. Unsolvability of certain problems of topology. Rep. of Acad. Sci. USSR, 1958, vol. 123, no. 6, pp. 978-980 (in Russian).
59. Vavilov N.A. Simple Lie Algebras, Simple Algebraic Groups, and Simple Finite Groups. In: Mathematics of the XX Century. View from Petersburg, Moscow: MTSNMO, 2010, pp. 8-46 (in Russian).
Мухин Равиль Рафкатович - родился в Челябинской области (1947), окончил Московский инженерно-физический институт (1976). Защитил кандидатскую диссертацию по химической физике (1991, Институт органического синтеза и углехимии АН Казахстана) и докторскую диссертацию по истории динамического хаоса (2011, ИИЕТ РАН). Автор монографии «Очерки по истории динамического хаоса» (2007, 2012). Область научных интересов: история физико-математических наук. В настоящее время профессор Староос-кольского технологического института (НИТУ МИСиС).
Россия, 309516 Белгородская обл., Старый Оскол, мкр-н Макаренко, 42 Старооскольский технологический институт им. А.А. Угарова, филиал Национального исследовательского технологического университета «Московский институт стали и сплавов» E-mail: mukhiny@mail.ru
