Научная статья на тему 'Устойчивые периодические решения периодических систем дифференциальных уравнений'

Устойчивые периодические решения периодических систем дифференциальных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
118
17
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
НЕТРАНСВЕРСАЛЬНОЕ ГОМОКЛИНИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ / УСТОЙЧИВОСТЬ / ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ ПОКАЗАТЕЛЬ / NONTRANSVERSAL HOMOCLINIC SOLUTION / STABILITY / CHARACTERISTIC EXPONENT

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Васильева Екатерина Викторовна

Рассматривается дифференцируемая бесконечное число раз периодическая двумерная система дифференциальных уравнений. Предполагается наличие гиперболического периодического решения, а также наличие решения, гомоклинического к периодическому. Показано, что при определенном способе касания устойчивого и неустойчивого многообразий произвольная окрестность нетрансверсального гомоклинического решения содержит счетное множество устойчивых периодических решений с отделенными от нуля характеристическими показателями.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Stable periodic solutions of periodic systems of differential equations

An infinitely differentiable periodic two-dimensional system of differential equations is considered. It is assumed that there is a hyperbolic periodic solution, as well as the presence of a homoclinic solution to the periodic solution. It follows from the works of Sh. Newhouse,L. P. Shil’nikov, B. F. Ivanov and others that under certain conditions a neighborhood of the non-transversal homoclinic solution contains a countable set of stable periodic solutions, but at least one of the characteristic exponents in these solutions tends to zero with increasing period. Earlier, in the author’s work a two-dimensional diffeomorphism was considered and it was shown that for a certain type of tangency of the stable and unstable manifolds, a neighborhood homoclinic point contains a countable set of stable periodic points with characteristic exponents bounded away from zero. The aim of the present paper is to distinguish a class of two-dimensional periodic systems of differential equations which Poincare transformation is a diffeomorphism that has an infinite set of stable periodic points in the neighborhood of a nontransversal homoclinic point. It is shown that for a certain method of tangency of a stable and unstable manifolds an arbitrary neighborhood of a nontransversal homoclinic solution contains a countable set of stable periodic solutions. Characteristic exponents of these solutions are separated from zero.

Текст научной работы на тему «Устойчивые периодические решения периодических систем дифференциальных уравнений»

УДК 517.9 Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2018. Т. 5 (63). Вып. 1

МБС 34Б08, 37С29, 34С37

Устойчивые периодические решения периодических систем дифференциальных уравнений*

Е. В. Васильева

Санкт-Петербургский государственный университет,

Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7—9

Для цитирования: Васильева Е. В. Устойчивые периодические решения периодических систем дифференциальных уравнений // Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2018. Т. 5(63). Вып. 1. С. 14-21. https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2018.102

Рассматривается дифференцируемая бесконечное число раз периодическая двумерная система дифференциальных уравнений. Предполагается наличие гиперболического периодического решения, а также наличие решения, гомоклинического к периодическому. Показано, что при определенном способе касания устойчивого и неустойчивого многообразий произвольная окрестность нетрансверсального гомоклинического решения содержит счетное множество устойчивых периодических решений с отделенными от нуля характеристическими показателями.

Ключевые слова: нетрансверсальное гомоклиническое решение, устойчивость, характеристический показатель.

В работе выделяется класс бесконечно гладких двумерных периодических систем дифференциальных уравнений, имеющих в произвольной окрестности нетранс-версального гомоклинического решения бесконечное множество устойчивых периодических решений с отделенными от нуля характеристическими показателями. В работах [1, 2] изучались диффеоморфизмы с неподвижной периодической точкой и нетрансверсальной гомоклинической к ней точкой и были получены условия существования в окрестности гомоклинической точки бесконечного множества устойчивых периодических точек с отделенными от нуля характеристическими показателями. Цель данной работы — указать класс периодических систем, преобразование Пуанкаре которых удовлетворяет условиям теорем работ [1, 2].

Рассмотрим систему вида

| = 2(М), (1)

где г, Z — двумерные векторы, вектор Z(Ь, г) непрерывно дифференцируем бесконечное число раз по всем аргументам. Кроме того, предполагается, что вектор Z(Ь, г) периодичен по Ь с периодом, равным единице: Z(Ь + 1, г) = Z(Ь, г).

Обозначим через г(Ь, го) решение с начальными данными Ь = 0, г = го. Предположим, что решение г(Ь, 0) является гиперболическим периодическим решением с периодом, равным единице. Пусть А, ц — мультипликаторы этого решения. Предположим справедливость неравенств

0 < А < 1 < ^ А^ < 1. (2)

* Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (грант №16-01-00452).

(¡5 Санкт-Петербургский государственный университет, 2018

Ws(0) = <! zo e R2 : lim ||z(t, zo) - z(t,

Wu(0) ^ z0 e R2 : lim ||z(t,zo) - z(t,0)|| =0

I t^—w

Ясно, что эти множества лежат в устойчивом и неустойчивом многообразиях соответственно и, в силу условий (2), в них содержатся отличные от нуля точки. В свою очередь устойчивое и неустойчивое многообразия определим как

Ws(t) = {(t,z) : z = z(t,zo),zo e Ws(0)} ,

Wu(t) = {(t, z) : z = z(t, zo), zo e Wu(0)} .

Пусть w e Ws(0)p| W"(0), w = 0, тогда решение z(t, w) системы (1) называется решением, гомоклиническим к решению z(t, 0). Ясно, что справедливо соотношение

lim ||z(t,w) - z(t, 0)|| = lim ||z(t,w) - z(t, 0)|| = 0.

t^+w t^—w

Гомоклиническое решение называется трансверсальным, если устойчивое и неустойчивое многообразия пересекаются трансверсально в точках этого решения, в противном случае решение называется нетрансверсальным гомоклиническим.

Из работы С. Смейла [3] известно, что в окрестности трансверсального гомокли-нического решения существует бесконечно много периодических решений, и все эти решения неустойчивы. В работах [4-6] изучалась окрестность нетрансверсального го-моклинического решения и было показано, что при определенном способе касания устойчивого и неустойчивого многообразий в произвольной окрестности нетрансвер-сального гомоклинического решения может лежать бесконечное множество устойчивых периодических решений, но хотя бы один из характеристических показателей таких решений стремится к нулю с ростом периода. В данной статье рассматривается иной способ касания устойчивого и неустойчивого многообразий, чем в [4-6], и показывается, что в этом случае произвольная окрестность нетрансверсального гомо-клинического решения содержит бесконечное множество устойчивых периодических решений с отделенными от нуля характеристическими показателями. В книге [7] приведен пример двумерной периодической системы, которая имеет в окрестности гомо-клинического контура бесконечное множество устойчивых периодических решений с отделенными от нуля характеристическими показателями.

Определим преобразование Пуанкаре системы (1) как

T(zo) = z(1, zo).

Известно, что преобразование Пуанкаре — диффеоморфизм того же класса гладкости, что и система (1).

Наряду с системой (1) рассмотрим двумерную систему дифференциальных уравнений вида

где t e [0,1], x, y — произвольные, а X, Y — непрерывно дифференцируемые бесконечное число раз скалярные функции трех переменных. Через x(t,xo,yo), y(t, xo,yo) обозначим решение системы (3) с начальными данными t = 0, x = xo, y = yo.

0

хо N ( х(1,хо,уоП (4)

Уо / V у(1,*о,уо) ) '

Предположим, что частные производные Щ- ограничены при любых

х, у и Ь € [0,1], тогда / является диффеоморфизмом плоскости в себя класса С Как следует из [7], существует двумерная периодическая система вида (1) с бесконечно дифференцируемой правой частью, преобразование Пуанкаре которой совпадает с f. Дальнейшие рассуждения покажут, что существует класс систем вида (3), у которых соответствующий диффеоморфизм / удовлетворяет условиям теорем из [1, 2]. Таким образом, выделяется класс систем вида (1), у которых в произвольной окрестности нетрансверсального гомоклинического решения лежит бесконечное множество устойчивых периодических решений с отделенными от нуля характеристическими показателями.

Как следует из вышеизложенного, структура окрестности нетрансверсального гомоклинического решения зависит, прежде всего, от характера касания устойчивого и неустойчивого многообразий. Определим способ касания этих многообразий. Пусть

Щ) = - зт ■щ, ак = {2-пк)-1.

Ясно, что функция Л. (г) определена при любых Ь = 0.

Пусть уо > 0, ^ > 1, а 7 такова, что 72п = Определим функцию д(г):

д(Ь) = 7+ (^(Ь))-1 ], Ь = 0,

5(0) =0. (5)

Теорема 1. Пусть д(г) задана условиями (5), тогда она является бесконечно гладкой на всей действительной оси функцией такой, что

(тд(0)

,УК ' = 0, то = 1,2,...,

дК ) = М-к(уо + ). (6)

Для любого положительного а существует такое ко, что при к > ко и Ь € (ак — + ) справедливы неравенства

(д(г)

< м-(а+1)к. (7)

Доказательство. Ясно, что для любого натурального числа т справедливо равенство

Иш Ы-т>-141 =0. ^ о 1 1

Из этих соотношений следует, что у функции д существуют в точке 0 производные любого порядка, и все они равны 0. Очевидно, равенства (6) выполняются для любого к.

Следующие равенства очевидны при Ь > 0:

(Ш) 1 ( 1N 2 2 (1

- —^ 1 — соэ — = —т ЙШ^ —

(И г2 \ г) г2 \2Ь,

16 Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2018. Т. 5(63). Вып. 1

Ml = _7-мо [in7(yo + (Mi))-1) + тп Ш

Фиксируем положительное число а. Пусть t G (а к — afc + ). Определим

u = t — <7k. Ясно, что |u| < . Получим

2nk A 2nk

/lit) = -;--Sill

1 + 2nku V1 + 2nku У откуда, учитывая периодичность синуса, имеем

dh(t)

dt

2(2nk)2 . 2 / nk

sin

- тгА + тгИ = 8("fc)2 sin2 Г 2("fc)2M ^ {1+2пки)2"ш \l + 2nku J (1 + 2тг ku)2 \1 + 2тгки)'

Ясно, что для достаточно больших к справедливы неравенства

а х 1 / а \

1--< - < 1 + - .

2 ) ~ 1 + 2ттки ~ V 2 У

Из последних равенств и неравенств следует, что при г € (<т& — , + ) имеют место следующие соотношения:

| h (t ) | 1 < 1

dh(t)

dg(t)

dt

^ (1 + 2.Ы)4 " ^ + 2J '

< 32 (l + (In7 (1 + y°) + 1) (^)6 M-(1+1-5a>fc.

Из этих неравенств следует справедливость условий (7). Теорема доказана.

Как будет видно из дальнейших рассуждений, свойства функции д определяют способ касания устойчивого и неустойчивого многообразий в гомоклинической точке диффеоморфизма f.

Пусть А, А1, М, ж0, у0, £ — такие положительные постоянные, что

< у0 < ж0 < А < А1,

2£ < шт[А — ж0, у0 — м-1А1,0.4у0], (8)

М > шах[2^2Аьж0 — у0 — А11пЛ].

Обозначим

в(г) = (ж0 — у0 — М )г + М + у0.

Определим множества

А = {(£, ж, у) : г € [0,1], |Л-4ж| < А, |^-4у| < А} ,

А = {(г,ж,у): г € [0,1], |Л-гж| < А1, |м-4у| < А^ , а2 = {(г, ж, у): г € [0,1], |л4-1 (ж — мг)| < £, |м4-1(у — мг) — у0| < £}, А2 = {(г,ж,у): г € [0,1], |л4-1(ж — мг^ < 2£, ^4-1(у — мг) — у^ < 2£},

Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2018. Т. 5(63). Вып. 1 17

(t,x,y) : t G [0,1], jos (f Trt) - (y - (yc | (x - (y° + M)) sin (|trt) + (y- (y° + M)) eos (§7rf) | < £

Í3 = < Iy° + (x- (y° + M)) eos (f 7rt) - {y - (y° + M)) sin (f 7rf) | < e,

(t,x,y) : t G [0,1],

F3 = <( |y° + (x - (y° + M)) eos (§7rf) - (y - (y° + M)) sin (§7rí) | < 2e, I (ж - (y° + M)) sin (§7Tí) + (y - (y° + M)) eos (f irt) \ < 2e

(t,x,y) : t G [0,1], F4 = { |x - s(t)| < £,

|y - g(-x + s(t))t + Mt - M| < £

(t,x,y) : t G [0,1], F4 = { |x - s(t)| < 2£,

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

|y - g(-x + s(t))t + Mt - M| < 2£

где Л, у удовлетворяют неравенствам (2), а функция g задана условиями (5). Ясно, что Fi С Fi, i = 1, 2, 3, 4, и, в силу условий (8), F, г = 1, 2, 3,4, попарно не пересекаются. Пусть система (3) удовлетворяет следующим свойствам:

X(t, x, y) = (ln Л)х, Y(t, x, y) = (ln «)y (9)

при любых (t, x, y) G Fi,

X(t,x,y) = -(lnЛ)х + M ((lnЛ)t +1), Y(t,x,y) = -(ln«)y + M ((ln«)t + 1) (10)

при любых (t, x, y) G F2,

3 3

X(t,x,y) = -n(y-y°-M), Y(t,x,y) = --n(x-y°-M) (11)

при любых (t, x, y) G F3,

X(t,x,y)= (x0 - y0 - M), Y(t,x,y)= g (-x + s(t)) - M (12)

при любых (t, x, y) G F4,

X(t, x, y) = 0, Y(t, x, y) = 0 (13)

4

при любых (t, x, y) G U -F, t G [0,1].

i=i

Ясно, что диффеоморфизм f, определенный в (4), является диффеоморфизмом плоскости в себя класса Cс неподвижной гиперболической точкой в начале координат. Пусть имеются множества

V = {(x,y) : |x| < A, |y| < A} ,

Ui = {(x,y) : |x| < £, |y - y0| < £} , U2 = {(x,y) : |x| < Л£, |y - «y01 < , U3 = {(x,y) : |x - M| < £,|y - y0 - M| < £} , U4 = {(x, y) : |x - M - y0| < £, |y - M| < £} ,

и*5 = {(ж, у) : |ж — ж01 < £, |у — д (ж0 — ж) | < £} .

Ясно, что и1 С V, и, С V, г = 2, 3,4, и5 С V и множества и,, г = 1, 2, 3,4, 5, попарно не пересекаются. Кроме того, из условий (9)-(13) следует равенство / (и,) = и,+1, г = 1, 2, 3,4.

Пусть Ь = /41 и , тогда будем иметь

Ь ( ж \ = / ж0 — (у — у0) \

V у ) V ж + д(у— у0) )

Последнее соотношение следует из условий (9)-(13). Очевидно, что диффеоморфизм / имеет гиперболическую неподвижную точку и нетрансверсальную гомоклиниче-скую точку (ж0, 0), причем способ касания устойчивого и неустойчивого многообразий в этой точке определяется свойствами функции д.

В работах [4-6] предполагалось, что функция д удовлетворяет условиям

д 0 = = ... = , У\ ' = 0, , ^ ' + 0, то> 2.

Из этих работ следует, что если способ касания устойчивого и неустойчивого многообразий в гомоклинической точке определяется указанными условиями, то в произвольной окрестности нетрансверсального гомоклинического решения может лежать бесконечное множество устойчивых периодических решений, но хотя бы один из характеристических показателей таких решений стремится к нулю с ростом периода.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 2. Пусть система (3) удовлетворяет условиям (2), (9)-(13), тогда у диффеоморфизма /, определенного 'равенством (4), в произвольной окрестности нетрансверсальной гомоклинической точки (ж0, 0) лежит счетное множество устойчивых периодических точек, характеристические показатели которых отделены от нуля.

Доказательство. Функция д, определенная соотношениями (5), по теореме 1 удовлетворяет условиям (6), (7).

Пусть выполняется неравенство

1п Л

0 < а <---1,

1п ^

тогда для любого положительного Б существует такое натуральное число к0, что при к > к0 справедливы соотношения

|дК) + Лк (ж0 + ак) — М-к (у0 — ак) | < БМ-(а+1)к.

Учитывая последние неравенства, легко видеть, что диффеоморфизм / удовлетворяет условиям теоремы из [2], поэтому произвольная окрестность точки (ж0, 0) содержит счетное множество устойчивых периодических точек, характеристические показатели которых отделены от нуля. Теорема доказана.

Следствие. Пусть выполнены условия теоремы 2, предположим, что диффеоморфизм / является преобразованием Пуанкаре двумерной бесконечно гладкой периодической системы дифференциальных уравнений (1). Тогда система (1) имеет

в произвольной окрестности нетрансверсальной гомоклинической траектории бесконечное множество устойчивых периодических 'решений с отделенными от нуля характеристическими показателями.

Литература

1. Васильева Е. В. Устойчивые периодические точки двумерных диффеоморфизмов класса C1 // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2007. Вып. 2. С. 20-26.

2. Васильева Е. В. Диффеоморфизмы многомерного пространства с бесконечным множеством устойчивых периодических точек // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2012. Вып. 3. С. 3-13.

3. Смейл С. Диффеоморфизмы со многими периодическими точками // Математика. Сб. переводов. 1967. Т. 11, № 4. С. 88-106.

4. Иванов Б. Ф. Устойчивость траекторий, не покидающих окрестность гомоклинической кривой // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15, №8. С. 1411-1419.

5. Newhou.se Sh. Diffeomorphisms with infinitely many sinks // Topology. 1973. Vol. 12. P. 9-18.

6. Гонченко С. В., Шильников Л. П. О динамических системах с негрубыми гомоклиническими кривыми // Докл. АН СССР. 1986. Т. 286, №5. С. 1049-1053.

7. Плисс В. А. Интегральные множества периодических систем дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1977. 304 с.

Статья поступила в редакцию 17 августа 2017 г.; рекомендована в печать 21 сентября 2017 г.

Контактная информация:

Васильева Екатерина Викторовна — доц.; ekvas1962@mail.ru

Stable periodic solutions of periodic systems of differential equations

E. V. Vasil'eva

St. Petersburg State University, Universitetskaya nab., 7—9, St. Petersburg, 199034, Russian Federation

For citation: Vasil'eva E. V. Stable periodic solutions of periodic systems of differential equations. Vestnik SPbSU. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2018, vol. 5 (63), issue 1, pp. 1421. https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2018.102

An infinitely differentiable periodic two-dimensional system of differential equations is considered. It is assumed that there is a hyperbolic periodic solution, as well as the presence of a homoclinic solution to the periodic solution. It follows from the works of Sh. Newhouse, L. P. Shil'nikov, B. F. Ivanov and others that under certain conditions a neighborhood of the non-transversal homoclinic solution contains a countable set of stable periodic solutions, but at least one of the characteristic exponents in these solutions tends to zero with increasing period. Earlier, in the author's work a two-dimensional diffeomorphism was considered and it was shown that for a certain type of tangency of the stable and unstable manifolds, a neighborhood homoclinic point contains a countable set of stable periodic points with characteristic exponents bounded away from zero. The aim of the present paper is to distinguish a class of two-dimensional periodic systems of differential equations which Poincare transformation is a diffeomorphism that has an infinite set of stable periodic points in the neighborhood of a nontransversal homoclinic point. It is shown that for a certain method of tangency of a stable and unstable manifolds an arbitrary neighborhood of a nontransversal homoclinic solution contains a countable set of stable periodic solutions. Characteristic exponents of these solutions are separated from zero. Keywords : nontransversal homoclinic solution, stability, characteristic exponent.

References

1. Vasil'eva E.V., "Stable Periodic Points of Two-dimensional C 1-Diffeomorphisms", Vestnik St. Petersburg University, Mathematics 40(2), 107-113 (2007).

2. Vasil'eva E.V., "Diffeomorphisms of Multidimensional Space with Infinite Set of Stable Periodic Points", Vestnik St. Petersburg University, Mathematics 45(3), 115-124 (2012).

3. Smale S., Diffeomorfisms with Many Periodic Points. In: Differential and Combinatorial Topology (Prinseton University Press, 1965, pp. 63-80).

4. Ivanov B. F., "Stability of the Trajectories That Do Not Leave the Neighborhood of a Homoclinic Curve", Differ. Uravn. 15(8), 1411-1419 (1979) [in Russian].

5. Newhouse Sh., "Diffeomorphisms with Infinitely Many Sinks", Topology 12, 9-18 (1973).

6. Gonchenko S.V., Shil'nikov L. P., "Dynamical Systems with Structurally Unstable Homoclinic Curve", Dokl. Akad. Nauk SSSR 286(5), 1049-1053 (1986) [in Russian].

7. Pliss V. A., Integral Sets of Periodic Systems of Differential Equations (Nauka Publ., Moscow, 1977, 304 p.) [in Russian].

A u t h o r's i n f o r m a t i o n:

Vasil'eva Ekaterina V. — ekvas1962@mail.ru

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.