ИТОГИ ЖИЗНИ. Cлед в математике Текст научной статьи по специальности «Математика»

CONCORDE, 2021, N 3

Григорий Томский

ИТОГИ ЖИЗНИ ^ед в математике

Editions du JIPTO

CONCORDE, 2021, N 3

ISSN 2417-2375 © Editions du JIPTO, 2021 11, rue de la Concorde 10100 Romilly sur Seine (France) Directeur de publication et auteur : Grigori Tomski g. tomski@gmail. com

Томский Г. В. ИТОГИ ЖИЗНИ

След в математике Editions du JIPTO, 2021 - 95 p.

Профессор Григорий Васильевич Томский является президентом Международной академии КОНКОРД и Международной федерации ФИДЖИП, доктором физико-математических наук, проработавшим с 1992 по 2005 годы экспертом высшей категории Сектора образования ЮНЕСКО (Организации Объединённых Наций по вопросам образования, науки и культуры).

т-ч V-» V-»

В данной книге автор рассказывает о математическом периоде своей жизни, плане создания своей научной школы мирового уровня по математическим наукам и своей Системе раннего и безошибочного распознавания математических талантов, основанной на Элементарной геометрии преследования.

Ключевые слова: Аксиоматическая теория динамических игр, Элементарная геометрии преследования, ДИП, ЖИПТО, Математика ЖИПТО, Системе распознавания математических талантов.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Математика позволила мне в подростковом возрасте и в юности хорошо натренировать мозг, получить на старших курсах университета приятную уверенность в своей «способности понимать все, что способен понимать человек». Эта тема подкрепляется в моей книге Математика — ключ к успеху (Editions du JIPTO, 2020) высказываниями и примерами жизни многих талантливых людей. Благодаря математике я совершил интересную и максимально свободную жизненную траекторию.

В этой книге я рассказываю, как мне удалось самостоятельно нащупать этот ключ к успеху, то есть серьезно заинтересоваться математикой в глубине Сибири. Этот рассказ сопровождается размышлениями на педагогические темы, ибо после хорошей научной карьеры я стал в зрелом возрасте экспертом высшей категории Сектора образования ЮНЕСКО.

Теперь я достиг возраста подведения итогов жизни. В этой первой книге, посвященной этой теме, рассказываю о математическом периоде своей жизни, о том, как стал первым доктором наук по математике среди представителей якутского народа в период самых строгих требований к уровню докторских диссертаций. Объясняю, почему моя диссертация относится к категории фундаментальных математических исследований, не теряющих со временем своей актуальности и значимости. Информирую, что у меня был план создания своей научной школы мирового уровня по математическим наукам. Обьясняю, на чем были основаны такие амбиции.

Главным для создания научной школы мирового уровня по математике я считал создание своей Системы раннего и безошибочного распознавания математических талантов. Эта система была успешно разработана в течении многих лет, она основана на популяризуемой мною Элементарной геометрии преследования.

Книга написана для моих потомков и участников созданных мною организаций Международная академия КОНКОРД и Международная федерация ЖИПТО (ФИДЖИП).

МОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ И САМООБРАЗОВАНИЕ

Никто в детстве не агитировал и не мог агитировать меня стать математиком. Впервые я увидел профессиональных математиков только после поступления в университет.

Вертикальное рождение

Я родился в декабре в селе Оросу Верхневилюйского района Якутии. Бабушка Мария до этого работала в больнице санитаркой и помогала акушерке принимать тяжелые роды. Поэтому решили не везти мою мать на санях в районный центр во время лютых холодов. Когда начались схватки, отец вышел во двор и занес со стога дезинфицированное морозами сено и постелил на пол. По якутскому обычаю мать рожала, стоя на коленях, и я упал на сено, то есть родился, как это делали степные дальние предки во времена Чингис-Хана и Аттилы.

Подробнее о своих родителях и предках, трудном сиротском детстве отца во время войны рассказываю в своих автобиографических заметках (CONCORDE, 2017, N 1, p. 3-112).

Родители в 1947 году с медалями «За доблестный труд во время Великой отечественной войны»

Вскоре родители покинули родные берега Вилюя, ибо отец получил специальность рулевого-моториста в Жатайском речном техникуме и был направлен на работу на Крайний Север.

В якутских школах

Мне пришлось учиться в семи школах Якутии. В данном разделе я ограничиваюсь рассказом о своем опыте советского школьного математического образования.

Надо сказать, что я не говорил по-русски до поступлении в школу и начал уверенно говорить и читать по-русски примерно в 9 лет. Родители были активными читателями библиотеки, выписывали Огонек и некоторые другие иллюстрированные журналы, Технику молодежи, Советскую фотографию, женские журналы и газеты, включая якутские и детские. Они активно обсуждали прочитанное, например, проект создания искусственных спутников Земли. Поэтому мы не удивились запуску первого спутника в 1957 году, но испытали большую гордость за свою страну. Незабываемым событием и для нас стал исторический космический полет Юрия Гагарина 12 апреля 1961 года. День выдался солнечным. С крыши школы накануне сбросили снег и нам, мальчикам, дали задание разбросать этот снег подальше от стен. И в это время пришел учитель и сообщил о первом полете человека в космос.

В сенях и в отдельном строении нашего дома в Жиганске была мастерская отца с необходимым для ремонта катера оборудованием. Это позволило мне непрерывно мастерить разные игрушки и модели судов. Во втором классе отец подарил крупноформатную книгу Как сделать модель корабля с вложенными большими чертежами судов и кораблей: от яхты и катера до линейного корабля. Книга содержала описания истории российского и советского флота, описания морской терминологии, сведения по навигации и многое другое. Кроме того, у отца была История автомобиля и другие интересные для меня книги.

Отец часто брал меня в плавание. Это были прекрасные моменты моей детской жизни:

О

Неудивительно, что у меня зародилась мечта стать капитаном

Учителя и средства массовой информации в те годы много говорили о пользе математики, была популярной песня об арифметике на слава Вадима Шефнера:

Чтоб водить корабли, Чтоб в небо взлететь, Надо многое знать, Надо многое уметь. И при этом, и при этом, Вы заметьте-ка, Очень важная наука А-риф-ме-ти-ка!

Почему корабли Не садятся на мель, А по курсу идут Сквозь туман и метель? Потому что, потому что,

Вы заметьте-ка, Капитанам помогает А-риф-ме-ти-ка!

Чтоб врачом, моряком Или летчиком стать, Надо прежде всего Арифметику знать. И на свете нет профессии,

Вы заметьте-ка, Где бы нам не пригодилась А-риф-ме-ти-ка!

Эта песня воспринималась как гимн математике. Поскольку я хотел стать капитаном, то такой настрой побуждал изучать математику прежде всего из-за прагматических побуждений. Но в шестом классе, когда мы начали изучать геометрию в Жиганской школе, учителем математики была русская женщина, жена геолога, которая формально относилась к своим обязанностям. Дело осложнялось тем, что у нас были учебники на якутском языке, а она преподавала на русском. Это был первый год проводившегося тогда перевода обучения математики в якутских школах с родного на русский язык обучения. Мы мало что понимали из ее невнятных уроков, но она относилась к этому с полным безразличием. Мне повезло, что в 1961 году родители решили уехать в Центральную Якутию. В седьмом классе я учился в Синской школе (ныне Хангаласского улуса).

Пробуждение интереса к математике

В Синске произошло важное для всей моей дальнейшей судьбы событие. Отец подарил книгу Кордемского Математическая смекалка. Эта была прекрасная гимнастика ума и я впервые почувствовал интерес к математике.

Большой удачей было то, что наш учитель математики Софронов Трофим Трофимович оказался прекрасным педагогом. Много лет спустя я узнал с удивлением, что он был студентом-геологом, находящимся в академическом отпуске за нарушение дисциплины (кажется, выпивку в общежитии). Оказалось, что в это время его старший брат учился в аспирантуре по математике Ленинградского университета, а младший брат был студентом-математиком. Но ничего этого мы тогда не знали. У него самого тоже были несомненные математические и врожденные педагогические способности, природа наделила его открытым лицом, большими умными глазами и бархатным голосом.

В восьмом классе (1962-1963) я учился в школе N 2 города Якутска. После получения свидетельства о восьмилетнем образовании хотел поступить в Якутское речное училище, чтобы реализовать свою мечту капитанской карьеры, но был отсеян медицинской комиссией из-за начавшейся у меня близорукости. Крайне разочарованный, я решил стать учителем математики или физики и поселиться на берегу Лены с тем, чтобы потом иметь свою моторную лодку.

В девятом классе я учился в образцовой в те времена Дюпсинской школе Усть-Алданского улуса. В эти годы я буквально наслаждался изучением геометрии, ибо мы учились по замечательному учебнику А.П. Киселева, хорошо охарактеризованному в статье Костенко И. П. Почему надо вернуться к Киселеву? //Матем. обр., 2006, выпуск 3(38), 12-17. Приведу несколько отрывков этой статьи, которые полностью отражают мое отношение к своему школьному учебнику:

« Сегодня усваивают математику около 20% учащихся (геометрию — 1%) [3, с. 14], [4, с. 63]. В 40-х годах (сразу после войны!) полноценно усваивали все разделы математики 80% школьников, учившихся "по Киселеву" [3, с. 14]. Это ли не аргумент за его возвращение детям? ...

Хороший учебник не "пишется" в один-два года по заказу министерства или для конкурса. Он не будет "написан" даже в десять лет. Он вырабатывается талантливым педагогом-практиком вместе с учащимися в течение всей педагогической жизни (а не профессором математики или академиком за письменным столом)...

Педагогический талант редок, — гораздо реже собственно математического (хороших математиков тьма, авторов хороших учебников — единицы). Главное свойство педагогического таланта — способность сочувствия с учеником, которая позволяет правильно понять ход его мысли и причины затруднений. Только при этом субъективном условии могут быть найдены верные методические решения. И они должны быть еще проверены, скорректированы и доведены до результата долгим практическим опытом, — внимательными, педантичными наблюдениями за многочисленными ошибками учащихся, вдумчивым их анализом.

Именно так в течение более сорока лет (первое издание в 1884 г.) создавал свои замечательные, уникальные учебники учитель Воронежского реального училища А. П. Киселев. Его высшей целью было понимание предмета учащимися. И он знал, как эта цель достигается. Поэтому так легко было учиться по его книгам.

Свои педагогические принципы А. П. Киселев выразил очень кратко: "Автор... прежде всего ставил себе целью достигнуть трех качеств хорошего учебника: точности (!) в формулировке и установлении понятий, простоты (!) в рассуждениях и сжатости (!) в изложении" [5, с. 3].

Глубокая педагогическая значительность этих слов как-то теряется за их простотой. Но эти простые слова стоят тысяч современных диссертаций. Давайте вдумаемся.

Современные авторы, следуя наказу А. Н. Колмогорова, стремятся "к более строгому (зачем? — И.К.) с логической стороны построению школьного курса математики" [6, с. 98]. Киселев заботился не о "строгости", а о точности (!) формулировок, которая обеспечивает их правильное понимание, адекватное науке. Точность — это соответствие смыслу. Пресловутая формальная "строгость" ведет к отдалению от смысла и, в конце концов, полностью уничтожает его.

Киселев даже не употребляет слова "логика" и говорит не о "логичных доказательствах", вроде бы неотъемлемо свойственных математике, а о "простых рассуждениях". В них, в этих "рассуждениях", разумеется, присутствует логика, но она занимает подчиненное положение и служит педагогической цели — понятности и убедительности (!) рассуждений для учащегося (а не для академика).

Наконец, сжатость. Обратите внимание, — не краткость, а сжатость! Как тонко чувствовал Андрей Петрович тайный смысл слов! Краткость предполагает сокращение, выбрасывание чего-то, может быть, и существенного. Сжатость — сжимание без потерь. Отсекается только лишнее, — отвлекающее, засоряющее, мешающее сосредоточению на смыслах. Цель краткости — уменьшение объема. Цель сжатости — чистота сути! Этот комплимент в адрес Киселева прозвучал на конференции "Математика и общество" (Дубна) в 2000 г.: "Какая чистота!"...

А. М. Абрамов (один из реформаторов-70, — он, по его признанию [8, с. 13], участвовал в написании "Геометрии" Колмогорова) честно признает, что только после многолетнего изучения и анализа учебников Киселева стал немного понимать скрытые педагогические "тайны" этих книг и "глубочайшую педагогическую культуру" их автора, учебники которого — "национальное достояние" (!) России [8, с. 12-13].»

И не только России, — в школах Израиля все это время без комплексов пользуются учебниками Киселева. Этот факт подтверждает директор Пушкинского Дома академик Н. Скатов: "Сейчас все чаще специалисты утверждают, что, оказывается, учебник Щербы по русскому языку все-таки перекрывает все новейшие учебники, и, кажется, пока мы (?) бесшабашно (?) предавались математическим экспериментам, умные израильтяне обучали алгебре по нашему хрестоматийному Киселеву." [9, с. 75].

У нас же все время придумываются препятствия. Главный аргумент: "Киселев устарел". Но что это значит?

В науке термин "устарел" применяется к теориям, ошибочность или неполнота которых установлена их дальнейшим развитием. Что же "устарело" у Киселева? Теорема Пифагора или что-то еще из содержания его учебников? Может быть, в эпоху быстродействующих калькуляторов устарели правила действий с числами, которых не знают многие современные выпускники школ (не умеют складывать дроби)?

Наш лучший современный математик, академик В. И. Арнольд почему-то не считает Киселева "устаревшим". Очевидно, в его учебниках нет ничего неверного, ненаучного в современном смысле. Но есть та высочайшая педагогическая и методическая культура и добросовестность, которые утрачены нашей педагогикой и до которой нам никогда больше не дотянуться. Никогда!

Термин "устарел" — всего лишь лукавый прием, характерный для модернизаторов всех времен. Прием, воздействующий на подсознание. Ничто подлинно ценное не устаревает, — оно вечно. И его не удастся "сбросить с парохода современности", как не удалось сбросить "устаревшего" Пушкина РАППовским модернизаторам русской культуры в 20-х годах. Никогда не устареет, не будет забыт и Киселев...

Главным препятствием являются не аргументы, а кланы, контролирующие Федеральный комплект учебников и выгодно размножающие свою учебную продукцию.

Литература

1. Математика (приложение к газете "Первое сентября"). 1999, №11.

2. Понтрягин Л. С. О математике и качестве ее преподавания // Коммунист. 1980,

№14.

3. Учительская газета. 2001, №44.

4. Математика в школе. 2002, №2.

5. Орловский университет. 2002, №7.

6. На путях обновления школьного курса математики. М.; Просвещение, 1978.

7. Покорный Ю. В. Унижение математикой. Воронеж, 2006.

8. Учительская газета. 1994, №6.

9. Математика в школе. 2003, №2. [10] Математика в школе. 2000, №1. [11] Образование, которое мы можем потерять. М. 2002, с. 39-44. »

(http://www.portal-slovo.ru/impressionism/36366.php)

А. П.Киселев

Выдающийся российский и советский п еда го г-ма тем а т и к и методист. Автор классических школьных учебников по математике и физике

ГЕОМЕТРИ"

Планиметрия Стереометрия

Классика преподавания школьной математики В НОВОМ,ОСОВРЕМЕНЕННОМ ОФОРМЛЕНИИ ивад

Выбор профессии

В десятом и одиннадцатом классах я снова учился в школе N 2 города Якутска. Одиннадцатый класс появился в связи с введением в средних школах производственного обучения. После нас такое обучение было ликвидировано, поэтому в 1966 году было в два раза больше выпускников, чем в обычные годы, что должно было усилить конкурсы для поступления в университеты. Предстояло к этому подготовиться. Поэтому с еще большим усердием стал заниматься точными науками, увлекся научно-фантастической литературой, интересовался историей. Биографии знаменитых ученых, атмосфера самой эпохи начала космической эпопеи и зарождения кибернетики, успешное участие в олимпиадах побудили меня задуматься о научной карьере.

Математические и физические олимпиады давали возможность оценивать свои способности по этим наукам. Каждый год я проходил через этап городской олимпиады по одной из этих наук, один раз был чемпионом Якутска по физике. Но никогда не побеждал в республиканских олимпиадах. Это побуждало еще более упорно готовиться к следующей олимпиаде. Читал с большим интересом книги о жизни Архимеда, Галуа, Эйнштейна, биографии других великих ученых и изобретателей, популярные книги по математике, кибернетике, квантовой и ядерной физике, теории относительности, молекулярной биологии. Используя метод Архимеда вывел формулы для некоторых площадей и объемов.

Я делал также набеги в область высшей математики, исписанные интегралами и другими формулами страницы мне напоминали произведения искусства. Возможно, что эта метафора возникла в сознании из-за моего увлечения живописью под влиянием матери и ее талантливого брата — члена Союза художников СССР.

Таким образом, уже в школе сложилось отношение к математике как к искусству, как к особому символическому языку, состоящему из ясных и строгих понятий и определений, и эффективному средству развития аналитического мышления. Стихийно выработал свою систему самообразования. Для экономии времени остался вне комсомола, что было странно в те времена.

Настало время окончательного выбора будущей профессии. Социальные науки в советскую эпоху не представляли интереса - я не был способен к лицемерию. Выбирал между физикой и математикой. Я рассуждал: « Успех в физических науках в значительной степени зависит от оборудования. В Якутске маловероятно найти первоклассное оборудование, доступ к хорошим приборам для начинающего исследователя с собственными идеями должен быть крайне затруднен. Успех в области математики зависит только от самого себя -достаточно иметь карандаш, бумагу и хорошую голову.»

Лучший ученик нашего класса Спартак, с уважительным прозвищем Трехголовый, сказал: « В университете будет много учащихся с такими же способностями как мы, маловероятно отличиться и стать учеными. Якутский университет готовит в основном учителей, я не буду рисковать и лучше пойду в

инженеры. » От стал потом инженером-энергетиком и работал на строительстве и эксплуатации Вилюйской ГЭС. Но мы посещали с ним Вечернюю математическую школу, организованную Якутским университетом, где читались один раз в неделю вводные лекции по разным направлениям математики, например, по теории множеств и линейному программированию. В конце мы получили приглашения для поступления в университет.

Я успешно сдал все выпускные экзамены и получил характеристику для поступления в университет. Оказалось, что ввиду большого количества выпускников в 1966 году, было решено допустить к вступительным экзаменам только тех, кто имел характеристику от горкома комсомола. В горкоме удивились, что я не член комсомола, но не стали сильно к этому придираться, увидев мои документы об успешном участии в олимпиадах и приглашение от университета.

Мы жили в большом арендованном деревянном доме, потом отец купил по дешевке старый трехкомнатный засыпной домик с наклонными стенами. Предполагалось, что вскоре отец поедет работать заведующим складом в один из центральных районов Якутии. Летом он часто ночевал на барже в речном порту, ибо участвовал в приемке прибывающих в период короткой навигации грузов. У него был обычай по утрам нырять с баржи и поплавать. В один из июльских дней он вынырнул, но потом сразу исчез под водой в холодной ленской воде. Ему было только 39 лет.

При жизни отца мать почти никогда не работала, ибо должна была растить трех детей в суровых условиях Якутии при отсутствии всяких бытовых удобств.

Мать пилит дрова

Я имел сертификат каменщика, полученный в школе в рамках производственного обучения, и был готов пойти работать по этой специальности, чтобы кормить семью. Но мать решила поступить на работу сторожем вневедомственной охраны, чтобы я продолжил учебу.

Мои родители были лучшими учениками своих школ, но у них не было возможности получить более продвинутое образование. Например, в начальной малокомплектной школе, где училась в детстве моя мать, был только один учитель. Дети приходили пешком из разбросанных в периметре многих километров хуторов, причем часть пути мою будущую мать несли на плечах подростки, которые были ее одноклассниками, рассчитывая на ее помощь в выполнении домашних заданий. Отец, заведуя складами, смог так вести учет, что у него всегда по документам получалось положительное сальдо. Это было большой загадкой для ревизионных комиссий, ибо в Синске и Дюпсе его предшественники были осуждены за растрату и понесли уголовное наказание. Родители и мой дядя-художник испытывали большое уважение к точным и инженерным наукам.

Учеба в университете

В 1966 году я стал студентом математического отделения физико-математического факультета ЯГУ (Якутского государственного университета), несмотря на опасения, высказанные моим одноклассником Спартаком, о том, что в университете будет много способных студентов и маловероятно стать учеными. Быстро обнаружил, что эти опасения были напрасны. Я был сильнее своих однокурсников. Где же прославленные победители сибирских и республиканских олимпиад?

Дело в том, что математическая олимпиада является конкурсом решения задач повышенной трудности, которые при условии удачного определения метода решаются в принципе в течении не более одного часа. Настоящие математические проблемы требуют для своего решения многих месяцев, иногда многих лет непрерывных рассуждений. Таким образом, научную работу в области математики можно сравнить с марафоном, а олимпиаду с бегом на сто метров. Поэтому победы в олимпиадах не являются свидетельством пригодности к профессиональной научной работе в области математики.

Укоренившаяся в физико-математических школах привычка опережать университетскую программу и учить высшую математику не оставляет времени попыткам самостоятельного творчества. Гораздо продуктивными были мои самостоятельные геометрические исследования с помощью архаичного метода Архимеда. Развитая мною и моими учениками теория ЖИПТО дает неисчерпаемое количество нерешенных математических задач преследования, формулируемых на языке элементарной математики. Если бы в свое время предлагались такие задачи, то я бы с удовольствием думал над ними и таким образом начал бы настоящую научную работу еще в школе. Об этой уникальной возможности будет написано позже.

Вернемся к далекому 1966 году. Тогда в Якутском университете было только два ученых-математика, кандидата наук. Чтобы стать настоящим ученым я считал необходимым получить в таких условиях образование, не уступающее выпускникам Московского и Ленинградского университетов. Недоверие к преподавателям побудило к дополнительным самостоятельным занятиям.

В библиотеке нашел и проштудировал несколько томов фундаментального трактата группы французских авторов Никола Бурбаки под общим названием Начала математики, ставящего целью изложить всю современную математику на аксиоматической основе, базируясь на одной из систем аксиом теории множеств и дополняя их другими аксиомами, необходимыми для развития тех или иных конкретных теорий (различных разделов алгебры, топологии, теории функций, векторных пространств, теории интегрирования и др.). После такой гимнастики мозга обычная университетская программа мне казалась детской игрой.

Одним из членов-основателей группы Бурбаки был крупный математик Жан Дьедонне, чьи книги по современной математике я с удовольствием читал параллельно с добротными советскими учебниками, написанными в традиционном стиле на основе понятия числа и с использованием геометрической интуиции.

«и

курс

^^ГГАЛ^

Ж- ДьёдеиКЕ

С< ЕНЕННО! О

дпллмш

Мнение о полезности математики укреплялось курсами теоретической механики и физики, теории устойчивости, самостоятельным изучением методов оптимального управления, математической теории игр и других новых разделов прикладной математики.

Р. А Й Э Е К •

Дифференциальные

игры

М.: Мир, 1967. - 480 с.

Перевод первой в мире книги по дифференциальным играм, которую я купил в Якутске в год издания и начал изучать с большим интересом.

Например, в начале 1950-х годов бурно развивалась реактивная авиация и ракетная техника. Стало ясно, что каждая секунда промедления в воздушном бою или перехвате летящей ракеты могла стоить дорого. Поэтому американские математики начали в глубокой тайне разработку теории оптимального преследования. В начале 1960-х годов им стало ясно, что такие же исследования проведены и советскими учеными. Поэтому работы по теории дифференциальных игр стали публиковаться в открытой печати, идеи этой теории начали применяться в математической экономике и экологии при изучении методов принятия оптимальных и компромиссных решений.

Учился по индивидуальному плану под контролем Е. Т. Софронова. Сам нашел тему дипломной работы по теории дифференциальных игр, для завершения которой был направлен в Ленинградский университет благодаря инициативе Егора Трофимовича, бывшего тогда деканом факультета.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ТВОРЧЕСТВО

Наиболее активным периодом моего математического творчества являются 1971-1992 годы.

Первые теоремы

В Ленинградском университете работал математик Леон Аганесович Петросян, сформулировавший незадолго до этого две теоремы о связи окружностей Аполлония и овалов Декарта со стратегией параллельного сближения в процессах простого преследования на плоскости. Эти красивые теоремы были доказаны им при помощи специалистов по геометрии, предложивших очень сложные математические методы. Несколько лет спустя я упростил эти доказательства до элементарных, то есть использующих только методы школьной математики.

Г ГI

Петросян ом Л.А. были сделаны первый доклад и первые публикации по дифференциальным играм в СССР. Также им была подготовлена первая в СССР кандидатская диссертация по дифференциальным играм:

«Об одном классе дифференциальных игр преследования»

22Л2.2016 Музей «Эраргз» 7

Тогда, в 1971 году, я доказал несколько теорем о построении зон встречи и убегания в так называемых играх с «линией жизни», опираясь на эти теоремы Петросяна. Вот почему я был отправлен на преддипломную практику в Ленингадский университет. Ленинград встретил меня праздничным салютом (23 февраля 1971 года). Я подумал, что это хорошее предзнаменование.

Леон Аганесович послушал меня с интересом и поручил своему аспиранту Олегу Малафееву проверить совместно со мной полученные результаты.

В Ленинграде я получил дополнительные результаты, проделанная работа была высоко оценена и я получил приглашение для поступления в аспирантуру.

с оценкой с>гпл ** г^о__

сувешше экааыенн по «У *ФгЛ-. . . .

а/_____.............

........................

и сдчл гоеудар-. ......... *

1ч

Л^пан фиаико-мат^зэ- ^ / тического фякульт^ч: ^

Секретарь факультете:

Приложение *

от**

8НПЧ С К Д

л-е сест У

о сгтлъ явчетной кчнякк

с^-У/^ог¿¿с

эу время Гф»,сцвачил р Акутсюм госудврстчгя-ыои университет-» с 16Л6 Г. по 1г. едя.*.

__ зачеты я акапмрчн по ч:**-

ДУыщн дисциплинам: ло Сяе^иаи&хасгги.

«г.40Г'а научного коммунизма........

йстор»я КПСС............. ~....., .. с>п?лигмо

Политическая »кономия.............о/плигю

Дизл^-у.т.п цстор. материализм......сг^лиж^

'Иностранный язык.-.. ¿ут^*

Помология........................

1ежвгогвк« и история........... ^со/шша

3л^-иеитарвая математика* ..........

математик. . Чвч ерша тельная геометрии и черчен, о/плитно

Анадотнчесшм 1*еоне трив . .......... ^дагздр

|ПКШВ^(С>|1 1ШН............. ОД^УДИ)

Васавя ьпгеОра....................

ЦяН кцн гльпая г воиетрчя........

I ; ; . алыДОе уравнения. ... . ■. ■ о^гмтг^с Грбвч?ИЯй иат^-у а-ичеекой фивики.. . Т"0>*я фунздоЗ комплексного

вевзири р-^.^иза...................

1г;.Vя '*у ^ действительного

переиейчйга.......................

1уняц»0няяьньй аналжа и «нтеграль-

■М Правя пи....................

- ■!.' (ездеол механика. йй. ». ■

-я ке............................

Ооноввопе геомарм...............^ез^явЯА

• кмыннх вычислений... • I .Чкугс* ' У шои-я. 1Э7/ Г. Тстранно I?____

ЕР

зе.

ЕЭ.

30.

31.

32.

33.

я/).

33.

36.

37.

38.

(.-еивгнческия практику*............

Вариационные исчисления.............

Теория вероятностей................. еу^.-ц^г^д

Сдврем.9нчисл.ма®ини и гфограмшр... ячугиело Элелентн логики и теория множеств * Теория чисел.... ..._.. ............. - ^^¿згже^со

Гракдансяая оборона.........

-^1внчеслое Рюенитание. .............. ^а-г^те-ео

Дисциплины по специзлкяацнн:

луг-,. .. огъяхгке Л7..^Ифф^Лр- ■ ■-ЯШ/гтехс. в/. . . - /о^У/^.-то

лах/ялмо

д/. .дуфЛ.

е . ■ . ■ ■ ^. ......... ..... .» - ^. >

я/. . ясъчс^&ые.. ■ Курсг^яая ....................

ФакулыащпККв дисциппнны:

а/ . .¿аелгеяс Я/. ........................ . уддрг^ео

; т^ояародственную практику о оценкой .

_^ г;)еок>'о [фантику с оценкой

ааии тал диплом на теуу -Жехр.-ъсги/е воя -

Приведу страницы книги Геометрия простого преследования, на которых опубликованы мои первые теоремы:

§ 4. ПОСТРОЕНИЕ ЗОН ВСТРЕЧИ И УБЕГАНИЯ В ИГРЕ С «ЛИНИЕЙ ЖИЗНИ»

Зоной убегания в позиции называется множество У/е которое состоит из всех начальных позиции А опгРока Е такпх' что если преследование начинается из позиции г?, 2?, то игрок Е может всегда достичь «линии жизни», независимо от действии преследователя. Зона убегания ^(г?) совпадает с сечением выигрывающего множества \УЕ игрока Е плоскостью = Теорема 5.

Доказательств о. Пусть

и 5(а,(рМ, а)-1)п).

а=СБ

Тогда существует точка Ь е С5 = такая, что принадле-

жит замкнутому кругу 5 (б, (р (*$, ь) - I) и>) с раднусом(р ¿») — ¿) ю и с центром в точке 6, т. е.

Неравенство (2.4.1) означает, что точка 6 принадлежит множеству £>(г5, ограниченному овалом Декарта /> —геометрическим местом точек 2, удовлетворяющих условию -) = = (рИ, г)-1)ю, т.е. По теореме 1

{г\;г\)€=\УЕ или Следовательно, справедливо вклю-

чеиие

и 5(а(рМ, а) - 0") <= ИЪ(=!)•

аесб ^ _

Теперь докажем обратное включение. Пусть -^'Ьи -тогда /)(з;, г2) []{П.-\8)Ф 0. Возьмем любую точку е П С5.Так как Ъе=0(г1 «¡), то

р ь) < (р («?. ь) — 0 »

или ({»(г?, Ь)-1)и>), т.е.

:!!<= II 5 (Ь,(р Ь) -1)и>).

Следовательно,

<|«С8

Теорема доказали.

Для щшблжяМЯНОГО построенпл множества IV (м аппроксимировал. С S конечным множеством ,.ХПг тогда

wwMÍ» и ej-i)^ ■

Оцепим погрешность ни проке н.мацин (2.4.2),

Множество называется й-сетыо множества

Лле .if, если для любой точки nei найдется тли '"С

такая, что р(я, а') ^ S. кл aV, Put. г". Pue. 21.

Пусть р(я, fl ' ) =й й, тогда для лгойоп точки h круга S(„ ( а) — имеем 'iuhüh в момент времена ¿ = 0 двнженле из точки А. достигает

р(0',Ь)<р(л',а) + р(н,(>)<6 + (р(г? A «ожестеа М до /-пс1[,еч" n "rPu,¡0M Р< "ачнвавиадк даижеппе

^ \ I, ч Ч^'^Ьл. (3 й. ri pu этом игрок Е достигает (пересекает) множество Ж —

4- (р û')"-f р{а , о) — Í) да ¡g; б (1 -j- lu) -f- (p a') — Лц 'рапиду множества Jt, т. е. точка принадлежит зоне уйетаная т.» »¡¿¿(«s + т " ИГре ? ""H,Ieíi СЖ). Следога-

5 (а, (р И, а) - 1) w) с: 5 (а', (р Щ а') ~ i) W + (1 + (J ( WE(ф0 с WE {4, Ж)

Обозначим через C/'UP; е) замкнутую к-окрестность идожк™* ЩЫШжвЫ' ж) 1.1 = Г U Л'(а, (р {»?, «) - l)w)} IJ Ж. ва S. Из (2.4.3) вытекает оценка: J

Теорема доказана.

Из теоремы G следует, что для приближен пего построения множества Ws(z°) достаточно аппроксимировать границу Ж множества Ж конечным множестиом ЖП1 построить множество

К's о;,

^■п) и взять его объединение с мйожйствок Ж. При этом еслп о«е/(1 + ш). Таким образом, для построения аоны украинцу множества W Е (zf, Ж„), состоящую из дуг окружностей, ния в позиции 2Î с точностью до числа Е достаточно ¿иожно сгладить в одну сладкую кривую (рис. 21).

проксимпровать множество = ¿S его e/(i + w)-сетью Л,. Рассмотрим семейство окружностей

На рис. 20 построены зоны убегания ^{zï) для мпондап . , . . 0 . , ,

-*• состоящего из дуги кривой и точки, не лежащей ва w ¡'- (о, Uo а) — у w)\a^x (2.4.4)

кривой {1 = 0, ¡(1 = 0,5), причем границы множеств, аппрокси* .........., . ,

РУМЩИХ зоны убегания, в некоторых участках сглажена. ТиЙ Дырами на «линии -и. и радиусами (p fê а) - l) w. множеств Л, отмечены котиками Огибающей (или расширенной огибающей) семейства (2.4,4) 6у-

Cner,vmman Vl„„! . Р ,,„„ называть кривую, которая к каждой своей точке касается

убегания Р значительно упрощает шкда» ^ 6ц ОДЕОЙ nrfffîfy (а, ^^^

Теппеия fi -¡p s. Заметим, что :ito определение отличается немного от обычного

I еорема а Пусть Ж - «ли ния жизни», тогда определения, требующего, чтобы огибающая ни на каком участке

we W) = | U S (a, (p (ïîl а) — г) Si>)J и л. ие со опадала ни с одной из кривых семейства.

и -s Ш (p^w) - Щ с w¿Mm S í// и

lis.áín )

Теорема 7. £e.Kt граница F (¡Ï) щны убегания {¡°) явля-Доказательстио. Так как Ж-=Ж и JtcW£(iî)' 10 ™ она соепа0"ет с часть'° огибающей се-

[ и S (а, {р Щ, а ) — l) U .'X ^ Доказательств о. Пусть ¿> — произвол ьиая точки кривой

J f Ы ■ Легко доказать, что существует точка â ~ a(b) е Ж удое-

i J^ s {а, Ш, а) ~ 4 И',|î). летворяющаи условию

„ ffj P feia) = (p (i!i i) - ¡) ш.

ДРУгои стороны, если Îil , £SWE№), то игрок

44

Рис. 21

Так как S (5, (р(& 3 - О с Jтс.кривая рщ

пересекается с открыты» крутом S [a (p а) - l) №) Я la. (oiit. a] — Wmf h Следовательно

ЕеД.ц

TWhotdhm для случая поточечной нопмкп (1 — 0) несколько ¿ «Р^Щ W 2 Г " "-'> ' рв ы еров В этом случае система (2.4.6) имеет вид постыо круга 5 (я, (р») " U «0) ■ Следовательно, рщ y¡т) _ (1 _ + [у_ ,(т)р _

" - - + (2-4.7)

р(6, о) = min р(с, п).

(2.4

Из (245) вытекает, что в точке Ь касательная к F(z'¡) 0 дикулярна к отрезку Ja (вектору Ь-а). Действительно, Щ

+ iЩ - + djJr í* « - - P- <2-4-8>

■ ■—.■[..... ■ ...

уравнение кривой FW имеет вид:

Уравнение (2.4.7) описывает окружность с центром в точке а(т) = = Ыт), s(t)l п с радиусом pK,í(t))wí а уравнение (2ЛЯ:— фпмую, перпендикулярную к касательной L.,,, к кривой Ж в (f (г®) _ замкнутая или неограничен над кривая). Г1уСТъ ;гочке л (т), проходящую через точку, лежащую на и удалеа-= {а,, а3), тогда |у[п от а(т) яа расстояние игр (г", а (тЦ. Следовательно, каж-

[о(е а)]! = (Х(т) -а,)! + (У(т) - аг)г —/(т)' тон точке а(т) = ^ соответствуют две точки или одна двойная

г очка огибающей, являющиеся точками пересечения прямой в точке минимума Шт), Fit)) = Ь выполняете! условие i.4.8) с окружностью 42.4.7), лежащие симметрично относительно )/2 = (Х(т) — Oi)X'(t) + (У(т) — а.)У'(т) = 0 касательной £««,, а огибающая в делом состоит из двух ветвей (4J.

, Пример I. Пусть Ж — прямая, 2? = (0,М,

Следовательно, вектор Ь-а перпендикулярен к направлению ¡

сательной iX'U), У'Гт)) в точке Ъ. ЛГ^Ы-т, у(т) = 0, -«<т<+~.

Мы доказали, что кривая F (z°) и точке Ь касается окргсистена (2.4.7), (2,4.8) имеет вид

пости С (a, f>{b, а)) - С (в, (р (г°, a) — i) ¡и). Теорема доказм

Теорема 7 ие указывает, какой именно частью расширит

огибающей является граница зоны убегания. Это можно вьц

пить при помощи теоремы 6. Заметим, что роль теоремы 7 cot:

. rt\ Iг 1.1 к:чал параметр т .т х : 1 ¡-' Jj. получаем уравнеипе

ит в выяснении характера кривой /' (ли, зта теорема ooocl ai

вывает сглаживание границы аппроксимирующего ниотесв . _ L _ . . i ^ г. (

Пусть «линия жизни» яилнется гладкой и задаиа воР^^гнСающая (2.4.9) является гиперболой при НОя вырождается чески ' чару прямых прц ¡i — O. [lo теореме 7 огибающая (2.4.9) соапа-

¿ff: i = г(т), y — JiW, í«[ti, *J. iae i с границей зоны убегания 1Ге(г{, Л*)

Тогда огибающая семейства (2 4 4) определяется свои» Направленная вверх ветвь крнвой (2.4,0) но теореме 6 совпа-уравпепий li№T с границе! зоны убегаякя И Е(г,. CS) в игре с «леплен

пиши» а полуплоскости S ( —ее <!<->-», у 5>0). f t*. У. т) = [г — х М1а + Iу —У Ml" " Пример 2. Кривая Ж является отрезком Ж = Л В. Расширен

-^{Kk-sMl' + lrf-gwr-г}' = 1ая°"6аюЩ1'"сенеЁ™OKpy;,I,,OCTl>"

„ , ■.,t: l:, "lLtк:и замкнутой кривой (рас, 22), состоящей вл дут \ я н Для кусочио-глад]{ой привой Ж система уравнении l"nVu,кривой (2,4.9), пополненной дугами пт я к! окпужяостеа

если ее дополнить в особых точках а, кривой Ж ДУгви 1 '

ностей С(а„ (р(г;,я,) - г}ц,).

(i-T^ + y'-ai'tT' + i1), — (i — т) = №3Т,

Так к*« а.нт убагяния КГ, ДО совпадает с сечение« вилгры-,д»щего множеств пг|»ка Е плоскостью г, тг» ее грд-

1)111.1 нвлш'тси «чениен барьера общей грйппиы мпо-

кеств н И> (но 4 -СИ',) плоскостью -

1п тйО|юие 1 дли гладкой крнацй Ж барьер является чэстыо ип-и-ришст*1 п IV. определяемой системой ура&исяяй (сл. ¿¡¡Лб)>

/•'1.x,, !/„ -г„ у1г т) Их, --е(Т)Г+ - -

РМи уи Х„ у1л х) -= 0.

Рт 23.

Упдмпиш-нш- Ц. Пуг-п V

" - 1 Чвцое уравнение поверхиоств ¡8 ножяо иайпя, например, ксКЛ»

определить границу ионы $

ружппст!.. Пойти ншшуи л—""---------1---------— ; ,. _ ,. 1.

Н определить .........Л .........'И ^ЧОЩ" твиепия параметр г = т<*„ т,. у:>.

Ри«- 22

п.пт Ж) V, слупае, * "" ** »»> ~

точки г^ расположена и цЕ(Эбоаоачдк через поверх«вдгь ОКРУЖНОСТИ Ж. (Тг-ъР + ^-уО1-*?.

Для построения :ши убегиппн можно использовать следущ утверждение. 1 9? обозначим многообразие

Ттртмв 8. Пусть задано некоторое семейство множь теП*,,*»].

{.#,),.„ гогОи

Пусть Р= 3? П Я.

и = и ФМ-Ай-

^ 1ЁГ I *е!

Доказательство, По теореме 5 имеем

и 5Мр¡М-

аеи^ КЗ!

№

и и , 5 (а, (р « а) -1)*) = £

Теорема доказана. яонййо" **'

Рассмотрим.....пример, уону убегания для ^ = = р ^ ^ = ^ =

— Л1Л1... Л„, Имеем

он X'

Лйзекс показал Ц], что барьер и игре с .линией шизош нро-кодит 'героя многообразие Р н удовлетворяет уравпеян*

где п—(га,, «а, Л,) — иектор порийли. Уравнение (2.4.10) было |Ю1ыеио [2] гол (.ко »¡и случая, иогда Ж являйся прямой.

Покажем, что поверхность,50 yдoв.^cтliйpяet ураппенню (2.4.10). Действительно, имеем

1.-1М

и вал (г';, Ж,,)- Гравицп - г II огибающей семейства

[С(а,(ра) -

_(т)_

-1 <Т)

- - ^ + ^ - - ■

^ С )

Тшшм образом, привал Г (г',', Ж,,)- гря ' ^ ^ Фь»= ^ + ^' ^ "" V ['-- ' + ['«~ * ««Г "

Ж„) состоит ил части огибающей семейства

Т = т(т,, у„ Г,, У1)

(Г (а, (р (г^, а) - I) ' . Тогда

дополненной дугами окружностей - ^ + * ' « + ■»

- 1, а.....Если /-Он ^ «ЛГИ, то кипван ^ V и

дуг гипербол и окружностей (рис. 23). * п. а. п.™™,.,, г я тл-,,.«

п. Л- Пигосше, Г. В. Томский

Кроме того, поверхность проходит череп

Ф(я„ 1/1, х{%), у(х)) = - х(т)\2 -ЬТг/7"

или [ж1-х(т)]2 + [?/1-1/(т)]2 = /2.

Упражнение 4. Пусть Л является прямой и = 0, ^ ^ ^ казать, что при поточечной поимке зона встречи И'рЫ совна

Таким образом, мы нашли решение уравнения (2/ ,т с областью, ограниченной эллипсом

лт.тапптп,мптг гттатттспхт кпивпм я пто ........ . ■> ..2

произвольной гладкой кривой X, а игра с «линией яш на для произвольной кривой Ж (для произвольного ми30** Рб1Ч'

Найдем зоны встречи. Напомним, что зоной встречи6^3 4 ции называется множество \Ур(г%), состоящее из всех*1 ^ ных позиций я? игрока Р таких, что если преследование НаЧа" ется из позиций г?, то игрок Р может всегда поймать Е до достижения им «линии жизни». Зона встречи И7^®) дает с сечением выигрывающего множества \УР игрокам _______

гкпгтью = го. п\уть его до момепта встречи с Е

° 2 а 2 Решить проблему 1 для случая /-встречи.

Обозначим через о (а, Ю открытый круг с центром в точг'5- Доказать или опровергнуты следующее утверждение. Пусть а и радиусом Л

Начик ПРОБЛЕМЫ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ

ИГроЧ Решить игру с «линией жизни» в. случае поточечной ветре-игрока РЩ множество 5 не является выпуклым и Р не может но-

Теорема 9. Если г2 <= « П ¿(а,

то

I +

Р«.«)

ш<1.

гре с «линией жизни» 0(г\, г?) с= 5 и пусть существует единенная точка М (г?, из £>(2?, ближайшая к границе 5. •видно, что в процессе игры точка Д/(г„ г2) перемещается вме-с перемещением игроков Р и Е. Тогда стратегия погоппого ¡следования точки М(гМ)% оптимальна в игре с «линией ши» для игрока Р. Доказательство сперва провести для слу-Доказательство. Если множество Л состоит из одни / о и Я, являющейся полуплоскостью, точки М = {а), то по теореме 4 множество \Vpizl) состоит У,. Рассмотрим множество точек встречи С (г?, 2?) при усли-о г, что Р использует стратегию погонного преследования. Соо><-всех точек % таких, ^ лн граница итого множества из точек встречи, ешмкщаь р (г" а) >'(р (2$, а) — 0 или р (2°, ^ \ ооетшвш > и р.имениям игрока Ж (нрямолашейимм лви-

т. е.

,, ииям)?

В общем случае для любого а е= Л имеем

Р»«)

следовательно

о/ Р(*га)]

\УР(г°2)сI П ^(а.г-Н-^Г-;

С Другой стороны, если гх

П 5

V \ 5

справедливо неравенство р (А а)<1+ »

(р а) - /) IV. Таким образом, Я («1. г>> П "

ИМ«!)-

( , , ¿(¿¡Цтодм*:

I а, / -г ^ /

в,««- '

Теорема доказана,

60

Л А Петросян ГЕОМЕТРИЯ Г. В Томский ПРОСТОГО

ПРЕСЛЕДОВАНИЯ

Геометрия простого преследования, 1983

ИЗДАТЕЛЬСТЮ ни НАУКА " -ИБИ^СКОЕ

отделение

Начало научной работы в области математики

После ЯГУ поступил в аспирантуру факультета ПМ-ПУ (прикладной математики — процессов управления) ЛГУ (Ленинградского государственного университета). Вспоминаю, с каким удовольствием рассматривал в первый день свое аспирантское удостоверение по редкой тогда специальности «Математическая кибернетика». Л. А. Петросян сказал: «чтобы Вам не было скучно работать, выберите сами тему своего исследования».

Факультет ПМ-ПУ Санкт-Петербургского университета

Со мной учились лучшие выпускники Ленинградского университета. Многие из них были ранее, по итогам олимпиад, отобраны для обучения в Физико-математической школе при ЛГУ, некоторые были победителями всесоюзных и призерами международных олимпиад. Жизнь еще раз убедительно показала мне, что традиционная система отбора к научной работе через олимпиады и престижные школы не является гарантией успеха.

Среди аспирантов было много детей ученых. Натасканные своими родителями, они часто защищали диссертации раньше других. До этого больших ученых я знал только по работам, об их жизни имел книжное представление.

В Ленинграде были профессорские семьи, в которых все дети старше 25 лет являлись кандидатами наук. Ничего удивительного - защита кандидатской диссертации не такое уж трудное дело. Достаточно иметь интерес к теме своего исследования, упорство и усидчивость, определенную культуру мышления.

Упорства нам хватало - аспиранты обычно работают много и с интересом. Свою диссертацию я представил в срок и успешно защитил. Я мог ее защитить раньше срока, но решил до конца воспользоваться уникальной возможностью работать спокойно в лучших российских библиотеках. На третьем курсе аспирантуры начал предварительные исследования для своей будущей докторской диссертации.

С сентября 1975 года я начал работать в Якутском университете.

С самого начала пришлось отстаивать право на спокойную научную работу. Дело в том, что преподаватели были перегружены общественной работой. Многих это устраивало, создавало ощущение кипучей деятельности. Настоящая научная работа в области математики не может быть успешной без постоянной концентрации внимания на исследуемых проблемах. Не все к этому способны, в этом случае общественная работа давала ощущение перегруженности и объясняла отсутствие значимых научных результатов.

Я спокойно и вежливо отказался от участия в художественной самодеятельности, кураторские заботы возложил на старосту студенческой группы, бывшего моим сверстником.

Университетская газета опубликовала обо мне восторженную статью аксакала факультета Василия Васильевича Алексеева Яркий талант, который создал в университете мой имидж перспективного ученого и облегчил уклонение от всевозможных общественных мероприятий, организуемых для галочки в отчетах партийной организации университета.

Эта статья В. В. Алексеева из газеты Якутский университет (1976), рссказывающая о начале моего математического творчества, была перепечатана в юбилейном университетском издании 2006 года:

Яркий талант

Четыре года тому назад в Ленинград приехал из Якутска студент 5 курса ФМФ ЯГУ Гриша Томский консультироваться ло дипломной работе с одним из видных специалистов по теории дифференциальных игр с Леоном А га не со вн чем Петросяном. Получилось так, что первая встреча произошла в квартире ученого, где студент появился неожиданно поздним вечером. В его руках была записка от профессора Н.М.Матвеева, который, побеседовав со студентом, предложил ему сейчас же ехать к Л.А.Петросяну прямо на квартиру. С первых минут встречи произошел, примерно, следующий диалог:

- Что Вы читали по теории дифференциальных игр?

■ - Монографию Р. Айзекса и Ваши статьи в «Вестнике ЛГУ».

- Заинтересовала ли Вас какая-либо задача?

- Заинтересовала та, которую решили Вы, но, как мне кажется, се решение может быть обобщено для более общего случая.

- Не может быть! А, впрочем, интересно!.. - удивленно произнес ученый и пригласил студента в университет для подробной беседы.

Так началась преддипломная практика. Прошли консультации, обсуждение работы, доклады на семинаре. Крупные ученые Бескорыстно помогали студенту ш Якутска. В ту весну Гриша вернулся из Ленинграда с рецензией Л.А.Петросяна на дипломную работу, в которой. в частности, было сказано: «Дипломантом найден геометрический метод построения барьеров для широкого класса игр с «линией жизни». Тем самым приводится решение проблемы, предложенной Р. Айзексом в его монографии «Дифференциальные игры»,.. Данная дипломная работа содержит новый математический результат в теории дифференциальных игр преследования и, безусловно, заслуживает оценки «отлично». Работа может быть рекомендована для публикации». На засе-

В.В.АЛЕКСЕЕВ,

старший преподаватель ФМФ (из газеты «Якутский госуниверситет», 1976 г.)

дании Государственной экзаменационной комиссии Г.В.Томский блестяще защитил свою работу, и ему был выдан диплом с отличием об окончании математического отделения фи з и ко-математического факультета Якутского государственного университета.

Ему в декабре исполнилось 28 лет. Со дня поступления в школу все эти годы посвящены учебе. Прошло незаметно время с тех пор, когда мальчика впервые привели в школу и начали обучать грамоте и счету до той поры, как он стал ученым в области математики, возникшей сравнительно недавно - математической кибернетики. Но эти годы были годами напряженного труда, нарастающего из года в год, годами раскрытия способностей и таланта, возмужания и творчества. Школа-ун и версия-аспирантура - не каждый проходит эти этапы сразу без перерыва. Каждая ступень указанных этапов сложна и ответственна. После школы необходимо выбрать специальность, после университета, поступая в аспирантуру, нужно правильно выбрать более узкую специальность, тему исследования, проблему, которая может стать смыслом всей жизни. Эти ступени Гриша проходил, казалось, легко, Но каких трудов это стоило - известно не веем. Он учился в разных школах, одиннадцатый класс в 1966 году окончил в школе №2 г. Якутска. Интерес его к математике проявляется еще в школе, занимается в математическом кружке, побеждает на олимпиадах, посещает лекции по математике, специально организованные в унивсрси-

145

JA 3. Мы гордимся ими

тете для школьников. Поэтому в шкале знали, что оп станет студентом физико-математического факультета. А в университете (1966-1971 гг.) его способности проявились с первых курсов и были замечены рано. В годы учебы показал он себя старательным и пытливым, аккуратным и трудолюбивым. Был отличником, самостоятельным, много и систематически работал над собой. Он слушал специальный курс по качественной теории дифференциальных уравнений, организованный доцентом Е.Т.Софроновым. Активно участвовал в работе его семинаров. С 4 курса стал заниматься под его руководством по индивидуальному плану. Самостоятельно изучал математические статьи и труды. Вышедшая в 1967 году монография Р. Айзекса «Дифференциальные игры», попав в руки Гриши, привлекла его своими новыми идеями, интересными задачами и проблемами. Одна из задач, поставленная в монографии, стала темой его дипломной работы, к выбору которой, как утверждает руководитель Е.Т.Софронов, «дипломант пришел вполне самостоятельно». Но помощь и советы Егора Трофимовича были решающими. Оп первый высоко оценил дипломную работу и увидел в ней будущую диссертацию. Потому-то и отправил Гришу в Ленинград для преддипломной практики.

После окончания Якутского государственного университета Г.В.Томский, ассистент кафедры математического анализа и дифференциальных уравнений, командируется для стажировки в дважды орденоносный Ленинградский государственный университет им. А.А.Жданова, За год стажировки он полностью сдает кандидатский минимум и в 1972 г. поступает в аспирантуру факультета прикладной математики - процессов управления ЛГУ. Профессор Л.А.Петросян, теперь научный руководитель аспиранта Г.В.Томского, внимательно направляет творческие поиски и повседневно помогает в его работе. Годы аспирантуры стали годами утверждения в науке, усиленных самостоятельных занятий по теории дифференциальных игр. Аспирант активно участвует в научном семинаре по теории игр и исследованию операций, является его ученым секретарем, выполняет ряд научных работ. Полученные результаты определили тему диссертации - «Параметрические дифференциальные игры». Теория игр занимается изучением математических моделей различных конфликтных ситуаций - от игры в шахматы до соци-

альных процессов. В диссертации рассматриваются полудинамические игры, параметрические дифференциальные игры и обобщаются имеющиеся результаты, полученные в теории дифференциальных игр, на более общие, например, динамические игры. Впервые им доказаны теоремы существования для полудинамических игр, рассмотрены вопросы аппроксимации параметрических дифференциальных игр, выведено уравнение Айзекса для них, обобщена теорема об альтернативе Н.Н.Красовскою. Аспирантом опубликовано 5 статей в научных изданиях.

22 января 1976 года на заседании Ученого совета факультета прикладной математики - процессов управления ЛГУ состоялась защита диссертации. Григорию Васильевичу Томскому единогласно присваивается ученая степень кандидата физико-математических наук. Ведущее научное учреждение - Институт математики и механики Уральского научного центра АН СССР (г. Свердловск), а также официальные оппоненты профессор Н.Н.Воробьев и доцент В.С.Ильичев дали очень высокую оценку работе. На заседании Ученого совета профессор Н.М.Матвеев особо подчеркнул хорошую подготовку поступающих в аспирантуру по математике из ЯГУ. «Молодцы! - сказал он. - Мы просто счастливы, что помогали, помогаем и будем помогать воспитывать научные кадры для Якутского университета». В своем отзыве, теперь на диссертацию, научный руководитель профессор Л.А.Петросян пишет: «Диссертант развивает теорию дифференциальных игр в направлении получения теорем существования ситуаций равновесия для новых классов игр... Диссертационная работа изобилует новыми результатами. Работа свидетельствует о высокой квалификации автора в исследуемых вопросах».

Годы долгой и напряженной учебы позади. Они вывели талантливого юношу, родившегося в простой якутской семье с. Оросу Верхнсвплюйского района, на тернистую дорогу науки. Закалили его характер и волю. Оп много читает, любит литературу и искусство. Интересный собеседник. Заядлый рыбак и охотник. С женой Раисой Гаврильевной растит сына Арсена.

Сердечно поздравляем самого молодого кандидата наук - математика Г.В.Томского с блестящей защитой диссертации, желаем успеха в его Педагогической и научной деятельности.

В 1977 году я собрал свои научные результаты, полученные за три года работы после завершения кандидатской диссертации, в отчет и представил ректору ЯГУ и, ставшему деканом факультета ПМ-ПУ (прикладной математики-процессов управления) ЛГУ, профессору Л. А. Петросяну. Ректором нашего университета в то время был выдающийся якутский ученый, доктор физико-математический наук по космофизике, профессор А. И. Кузьмин.

Вскоре Ариан Ильич организовал собрание кандидатов наук, работающих над докторскими диссертациями. Положение изменялось к лучшему - стало много кандидатов наук, но докторов наук было еще мало. Ректор требовал ускорения работы над докторскими диссертациями и я послужил примером продуктивного молодого ученого. Я удивился количеству пожилых, убеленных сединами представителей общественных наук, объясняющих свои трудности в одних и тех же терминах: «тема серьезная, партийная, скоро съезд КПСС, надо будет все переосмыслить в свете новых решений». Где же здесь была наука?

Л.А. Петросян был избран деканом факультета ПМ-ПУ в 1975 году. Мы не знали тогда, что он будет регулярно переизбираться и станет бессменным деканом этого факультета до настоящего времени (2021), установив по всей вероятности мировой рекорд длительности руководства факультетом престижного университета.

В 1977 году Леон Аганесович приехал в Якутск на пару недель в качестве приглашенного лектора и предложил мне написать совместную книгу Динамические игры и их приложения для публикации в Издательстве Ленинградского университета. Поэтому во второй половине 1977 года я вернулся в Ленинград на полгода для работы над этой своей первой математической книгой (для Л.А. Петросяна она была второй).

Стажировка во Франции

В начале 1978 года ЯГУ впервые получил предложение представить кандидатуры для участия во Всесоюзном конкурсе молодых ученых для отбора стажеров, направляемых в зарубежные страны по перспективным направлениям науки. Я и физик Т. Н. Соловьев были отобраны Ученым советом университета.

Вопрос о месте стажировки определился тем, что моим основным иностранным языком был французский.

Декан факультета И. Г. Егоров резонно заметил:

- Вы не являетесь членом Партии и не имеете никаких шансов быть отобранным для поездку в капиталистическую страну. К тому же, многие яркие молодые ученые будут представлены ведущими вузами страны, которые будут лоббировать их перед жюри. Зачем рисковать? Я Вам советую поехать в Варшаву. Там есть сильный математический научный центр имени Банаха.

Я ответил без секунды колебания:

- После аспирантуры в Ленинграде, крупнейшем научном и культурном центре, стажировка в Варшаве меня не интересует. Я предпочитаю рискнуть. Или Париж, или ничего!

Конкурс зоны Сибири и Средней Азии состоялся в Екатеринбурге (Свердловске). Я приехал на пару дней раньше. Встретился со знакомым профессором Ю. С. Осиповым, ставшим впоследствии Президентом Российской Академии Наук:

- Юрий Сергеевич, есть возможность стажировки во Франции. Я бы мог установить научное сотрудничество со специалистами в нашей области профессорами Экланд, Бернард, Мулин и другими.

- Да, это было бы очень интересно!

- В жюри конкурса математические науки представляет профессор Шеврин. Вы не могли бы порекомендовать меня?

- Разумеется, Шеврин - мой ближайший друг.

Юрий Сергеевич набрал номер по памяти:

- Привет Лева, это Юра. Я разговариваю со способным якутским математиком Григорием Томским ...

Юрий Сергеевич Осипов

был Президентом Российской академии наук в 1991-2013 годах

Зональный конкурс состоял из собеседования на иностранном языке и обоснования проекта стажировки перед внушительной отборочной комиссией. Все шло очень хорошо до опасного этапа утверждения личности :

- Григорий Васильевич, почему Вы не в рядах партии?

- Я только недавно окончил аспирантуру и еще не проявил себя в общественной работе. Но я в списке кандидатов для вступления в Партию.

Это соответствовало истине - все способные ученые состояли в такой номенклатуре, но вступали в Партию только самые активные. Желающих было много, ибо в общественных науках в те времена беспартийным не было места.

Я предпочитаю всегда избегать прямой лжи в своих высказываниях, в крайнем случае, могу что-нибудь недоговорить, как в данном случае, когда я не стал уточнять, что у меня не было горячего желания стать коммунистом. Впрочем, книжное и школьное коммунистическое воспитание без знания секретов бюрократической системы порождало сильное уважение к творческому труду, приобщало к гуманистическим и моральным ценностям. Я не хотел стать коммунистом только по той простой причине, что коммунист не мог отказаться от общественной работы, какой бы скучной и ненужной она ни была.

Пройдя другие этапы отбора, летом 1978 года, я был направлен на месячную стажировку в Зеленоград под Москвой с примерно 40 финалистами, отобранными для поездки во Францию. Время до обеда было посвящено языковой подготовке, мы должны были разговаривать только по-французски, пели французские песни, разыгрывали всевозможные сцены. После обеда ответственные чиновники Министерства высшего образования и Центрального Комитета Партии, бывшие стажеры, представители КГБ, каждый на свой манер, нам объясняли, как вести себя за железным занавесом.

С осени начался сезон обмена стажерами между Францией и СССР, в тот год приехало 20 французских стажеров и только 20 ученых из 40 финалистов, бывших в Зеленограде, поехали во Францию. Моя очередь наступила в ноябре 1978 года. Я рискнул и выиграл большой конкурс! Эти 20 стажеров были специалистами по самым различным областям, даже музыканты и кинематографисты, люди очень интересные.

Я стажировался в Парижском университете Дофин, в одном из ведущих европейских центров по подготовке менеджеров.

Любопытно, что этот университет находится в здании бывшей штаб-квартиры НАТО. Я имел свой кабинет, в котором пятнадцатью годами раньше несомненно работали офицеры, участвовавшие в планировании военных операций против моей страны.

Советская математическая школа была сильнее французской. Французские преподаватели и студенты часто пользовались переведенными издательством «Мир» советскими учебниками по математике. Переведенные этим издательством математические монографии становились настольными книгами французских коллег, но я при этом видел в их работах очень мало ссылок на эти монографии. Для них не существовало проблем с академической мобильностью: часто они за полгода выполняли свою небольшую годичную учебную нагрузку и полгода проводили в американских, японских и других университетах.

Мой приезд для них был полезен, ибо языковой барьер им мешал быть в курсе последних достижений русскоязычных математиков, поэтому я выступал на семинарах нескольких университетов. Написал несколько научных статей и работ, некоторые из которых были опубликованы в последующие годы с дополнениями. Эти математические работы использовались потом французскими и американскими исследователями и специалистами по искусственному интеллекту и моделированию морской войны, что отражено, например, в работах:

- Pierre Bernhard, Jean-Marie Nicolas, and Vincent Lapotre. About the resolution of discret pursuit games and its applications to naval warfare // 4th ISDG International Symposium on Dynamic Games and Applications, Helsinky, 1990.

- Rodin E.Y. Artificial Intelligence Methods in Pursuit Evasion Differential Games // DTIC Document (Defense Technical Information Center), 30 JUL 1990.

- Pierre Bernhard, Jean-Marie Nicolas, and Odile Pourtallier. Poursuit games with costly information : Two formulations // 4th ISDG International Symposium on Dynamic Games and Applications, Grimentz, Switzerland,1992.

- Neveu D., Pignon J.P., Raimondo A ., Nicolas J.M., Pourtallier O. Pursuit Games with Costly Information: Application to the ASW Helicopter Versus Submarine Game // New Trends in Dynamic Games and Applications (Annals of the International Society of Dynamic Games,Volume 3 1995), p. 247-257.

Ученый-математик может быть в фазе чистого творчества только 3 или 4 часа в день. В остальное время он оформляет свои публикации, беседует с коллегами и читает научную литературу. В Париже я творил, много беседовал, но читал не так много.

Исходил пешком весь Париж, изучил все основные

музеи, посетил более тридцати городов Франции

Я был молод и любознателен. Эта стажировка была непрерывным праздником. Таким образом, я получил больше от этой стажировки не в научном, а в общеобразовательном и культурном плане.

Стажируясь в Центре математики принятия решений, освоил программу математической подготовки менеджеров и экономистов. Ведь Парижский университет Дофин был создан в 1970 году по подобию Гарвардской школы бизнеса. В отличии от других французских университетов прием в Университет Дофин, имеющий особый статус, производится на конкурсной основе.

Познакомился и подружился с молодыми профессорами Ивар Экланд, Пьер Бернард и другими учеными. Когда я вернулся во Францию для работы в ЮНЕСКО, Экланд был президентом (ректором) Университета Дофин, а Бернард стал директором Национального института по информатике и автоматике в самом крупном в Европе технопарке София-Антиполис на Лазурном берегу Франции.

С Пьер Бернард в руководимом им Институте по информатике и автоматике в 1994 году

Защита докторской диссертации

Защита диссертации происходила в эпоху крайнего ужесточения требований со стороны ВАК (Высшей аттестационной комиссии), которая в 1975-1991 годах была при Совете Министров СССР. Статус ВАК никогда не был так высок — до этого она находилась в ведении Министерства высшего образования СССР.

Доктором наук мог быть только основатель нового научного направления:

« Диссертация на соискание ученой степени доктора наук должна быть самостоятельной работой, в которой на основании выполненных автором исследований сформулированы и обоснованы научные положения, совокупность которых можно квалифицировать как новое перспективное направление в соответствующей отрасли науки, или осуществлено теоретическое обобщение и решение крупной научной проблемы, имеющей важное народнохозяйственное, политическое и социально-культурное значение.» (Постановление Совмина СССР от 29.12.1975 N1067)

Я начал развивать с 1974 года направление Аксиоматическую теорию игр с полной информацией в общих динамических и управляемых системах, что заняло много лет кропотливой работы. О содержании этого направления буду говорить в следующем параграфе, расскажу сначала как сложно происходила апробация диссертации, ибо с самого начала было ясно, что моя диссертация должна была быть в два раза сложнее, чем диссертация соискателя из Москвы или Ленинграда. Хотя математика является наукой, где можно объективно оценивать достигнутые результаты, но даже в этой области человеческие отношения играют большую роль.

Профессор Петросян говорил со знанием дела:

- Вы защитите докторскую диссертацию только после того, как все наши коллеги на всей территории страны начнут говорить: « Почему же он до сих пор не защищает свою диссертацию? » и никак не раньше.

Я объездил с научными докладами все основные научные центры. Участвовал во многих международных конференциях, в том числе, во Всемирном конгрессе математиков в Варшаве в 1984 году с почти тремя тысячами участников со всей планеты, везде встречал уважительный прием. Только в Екатеринбурге мне делали замечания типа: «Было бы хорошо здесь углубить, там переработать, поменять местами главы». И это продолжалось в течении многих лет. Руководитель Екатеринбургской (Свердловской) математической школы, академик Николай Николаевич Красовский был возведен своими многочисленными учениками практически в ранг божества. Они не могли дать согласие на мою защиту без его благословения, а он был недоступен за стеной своих многочисленных учеников-профессоров. Через несколько лет я наконец был допущен к нему. Так как он лично не читал моей работы, то реакция была доброжелательной, но неопределенной. К этому времени я был автором 5 монографий и большого количества статей в самых престижных изданиях.

Весной 1986 года екатеринбургские математики А. И. Субботин, А. В. Кряжимский и А. Г. Ченцов сказали:

- Ваша работа в результате последовательных улучшений настолько усложнилась, что мы перестали ее понимать. Вы широко используете математическую логику и трансфинитную индукцию. Просим представить нам отзыв лучшего специалиста в этой области Юрия Леонидовича Ершова.

Надо сказать, что это были очень сильные математики, лауреаты престижных всесоюзных государственных премий, впоследствии Андрей Измайлович Субботин и Аркадий Викторович Кряжимский стали российскими академиками, а Александр Георгиевич Ченцов является член-корреспондентом.

Пришлось обратиться к Ректору Новосибирского университета Юрию Леонидовичу Ершову. Хотя он был из другой области математики, быстро согласился заслушать меня на своем семинаре. В ноябре 1986 года я купил билет на новосибирский рейс, рассчитывая прилететь за три дня до семинара.

Из-за морозных туманов в Якутске самолет задержался на три дня и я попросил Ершова перенести семинар на декабрь. В декабре история повторилась. Было ниже пятидесяти пяти градусов мороза и самолет снова задержался. Ершов сказал, что начинаются каникулы, но в виде исключения организует специально для меня заседание своего семинара в январе. Я был тронут решением этого крупнейшего математика современности.

В январе морозы продолжались, но после двух суток задержки наш самолет взлетел. Через положенное время самолет приземлился и стюардесса объявила:

- По метеоусловиям Новосибирска самолет произвел посадку в аэропорту города Барнаула.

Вечером автобус вывез пассажиров в Новосибирск, дорога проходила мимо Академгородка и я пришел в гостиницу « Золотая долина » в 23 часа. Позвонил потерявшему меня ученому секретарю семинара.

На следующий день состоялся долгожданный семинар с участием крупнейших авторитетов по математической логике - магов и жрецов оснований математической науки. Для меня это был праздник чистого разума. Многие знают комплексные числа, которые позволяют произвести непонятные обычному разуму действия типа извлечения квадратного корня из -1. В то же время грамотное манипулирование комплексными числами позволяет получить многие используемые в инженерной практике формулы и результаты. Я поступил аналогичным способом, использовав непостижимые разуму трансфинитные процедуры для доказательства результатов достаточно прикладного характера.

Юрий Леонидович высоко оценил мои результаты. После недельной тщательной проверки основных доказательств его научными сотрудниками я получил официальный отзыв. Все преграды к защите были преодолены благодаря настойчивости и уверенности в себе. Но защита в Ленинградском университете состоялась только в декабре 1987 года, а ВАК вынес свое решение в июне 1988 года.

Защита диссертации

Теперь я рад, что пришлось преодолевать такое сильное сопротивление. В результате я воздвиг высокую и прекрасную гору в идеальном мире математики, но видимую только небольшому количеству посвященных.

Мой след в математике

Попробую объяснить, почему моя докторская диссертация относится к категории фундаментальных математических исследований, не теряющих своей актуальности и значимости.

Ввиду обширности и многоплановости исследований по быстро развивавшейся теории дифференциальных игр большое значение имело создание и развитие аксиоматических теорий, позволяющих выделить и развить наиболее общие фундаментальные идеи. Критерием общности результатов таких теорий служит использование при их формулировке и доказательстве только теоретико-множественных, топологических и алгебраических понятий и методов.

Мою диссертацию можно найти и скачать из сайтов https://hal.archives-ouvertes.fr https://www. academia. edu/ (ключевое слово: grigori tomski)

Серьезное значение уделялось оформлению совокупности полученных результатов как цельной и единой аксиоматической теории, которая могла бы служить основой для дальнейших работ в этом направлении. Поэтому в начале работы изложены аксиомы теории множеств:

ТОМСКИЙ Григорий Васильевич

ДШАЦИЧЮИЕ HIFi С ПСШНОЙ ШШЕШЦШ И их пжшя®

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Якутск - 1986

Заметим, что удобнее говорить ке множество множеств, а семейство множеств. Сформулируем систему аксиом Цериело-Зренкеля.

1. Аксиома ойъе-'дности. Если иногестЕа Д и [3 составлены из ОДНИ* и те* же элементов, го они совпадают:

Ух (жеДз ссеВ)^ ( А = В ,).

2. Аксиома пустого множества. Существует мнояеетво 0 , не содержащее элементов:

В Р УхЦгеР].

3. Аксиома парн. Для лвбнх множеств (X и 8 существует множество, единственными элементами которого являются й.

н в ,

4. Аксиома оу!дш. Для каждого семейства множеств Л. существует множество 5 , состоящее из тех и только тех алекен-

тов, которые принадлежат неяотсгсоиу множеству V , пхппмдпа-

тОлпоыу jb I

г Z 3 X (J.*eX)A {X*J}).

5. Аксиома о год oi r«. Для годного Mxionto©*pa Д ъущоъхйуъх

сеыекство мнйкеств , удовлетворяющее условию

VX UX«!?> = V-*Ui*eX)* l^eAJ;;.

с. мята. оесконечности. существует такое земеяотьо множеств tA . которою' призддкеяи* ф и, если X £ ,то в

плйдояол СГЛОМЭНФ у . eoercmi^Hft на Eöoji r.'jенептл:Г' щю-

гшсгш. X и самого множества X :

зя U^-^.ja Ve^/;

V^Uxt у;= (i-xfcX)v (X = XJ)I

7 , Аксиома выделения для высказывательной функции VJ .

JSfxn ЯЙЙОГО ииФжое®вй лущ окинув митгргчтю 3 • i'ftWrtA, ито

\/ -с ( С * е в ) S (( ж <= А) л Wta.})),

РДО V МО ^ЛД^рЖИФ ЛОпЛ ПДЧг"! nopPWAKWirtn -

у ^ , Аксиома ЗШВНЫ ДЛЯ bhli: ь.ааьшсггнл ьп^ Я 1р.удлцци ^ .

^ уд за vy. и^вм

где г нв содоряыгс üjjoöüäth? [3 к 3 *

В работе используются сведения иэ топология, функционального анализа, теории дифференциальных уравнений и других разделов математики. Для формализации всех этих областей математики внутри теории множеств требуется еще одна аксиома.

9. Аксиома вкбсра. Для каздого семейства Л непустых непересекающихся множеств существует множество 3 > и"6»" щее один и только один общий влемент с гегадам иэ множеств ^ , принадлежащих ■

Введем новое первичное понятие 1' К : выражение оС Т К ^ /К , К читается ^ является типом реляционной системы , Сфэрнузшруеы также соответствутдцую аксиому*

Ю. Аксиома реляционных типов. Для каллой реляционной системы < Д £ >, где £ с: А ' А • существует точно один такой объект , что аС ТР <АЯ>- ПР0ИЗ" вольных систем

<ГА , к > и < в , $ > ЫТ& <А,к> )л (/ТКЧВ.ЗЖ =>(и = М = (<А,1?>^< В, $>.)).

К этим аксиомам добавляются аксиомы, описывающие понятие общей динамической системы.

Упор ЯД О ЧС Ii М&л ЦлХСрАЙ

2 - (Г+и/П,^,^, »} ti-з) 3. Еия t, 4 « Г * хМХ, и Ф

4 ' Л < ГК

V «

""""""" ГЧР"»"°"'>Д pe^rrtttw* pnowfi, оошотудув- ^^ т ^ ^ ц £ U_ U"JI U,U J{{l,,L1: ХгИ,У). летворяет следувирги услоииш: 4' л 1 *' ' 1 ' '

I. uit u, ¿ш ; ц , v, е ■ V ■ 4. ь^ (¿t . ^ ^ ; ч , еШ и < ^ < < Т- «^тг^« «чп.» lHs «'ЗХ п щ и w v; tfrf-Wfej пр.. -fe < -t, < t * +, с T,

Л Г S Л Г * С1 3

е ^i» 4W ТО для любого 'JL е= А и«®011

I Vi(tj, tzit<tr

CC fliiii BOOK С i < 'T,

t x , V- e ^ .

Понятие 1оСцей) дкнзничецкии иияи циишось = рсоуш, тати идеализации свойств речогай окстеи да^-еренцкалънгй уравнений

Из этих аксиом в течении 1974-1986 годов были выведены следующие основные результаты:

- Доказаны общие теоремы об информированности игроков и получены новые критерии существования значения игр без дискриминации. В терминах последовательности функций Ляпунова сформулированы необходимые и достаточные условия существования решения в классе кусочно-программных стратегий.

- Изучены методы программных итераций и другие методы решения игр с позиционным выигрышем в произвольных динамических и эволюционных системах. Полученные результаты позволяют применить метод программных итераций для всех игр, имеющих решение в классе кусочно-программных стратегий.

- Предложены трансфинитные программные итерации. С их помощью доказано, что функция значения динамической игры в классе кусочно-программных стратегий всегда удовлетворяет известному из теории дифференциальных игр уравнениям Ченцова-Чистякова.

- Изучена связь между методом программных итераций и динамическими играми с дискриминацией в класс эпсилон-стратегий. В терминах функций Ляпунова сформулированы достаточные условия существования решения таких игр.

- Исследованы игровые задачи в классе Е-стратегий, предложены попятные конструкции для построения зон захвата и убегания в динамических играх качества, изучены игры качества в банаховом пространстве.

Диссертация содержит четыре главы: Программные итерации, Игры в общих управляемых системах, Примеры игр в динамических и управляемых системах, Динамические игры качества. Приведу в качестве примера отрывок из описания во введении центрального результата первой главы:

v; и,-г) = ф*

= Ù-ijf i^-p f-i.t ^ LI ,1Г})1

и. с 1ГсЭд

V0

^р wf. К,. {"X (_',t, Т, lL,V/)i 1/6% %

млн ai r Jl +11 ^

v; = Фгсv/i, = Фг Lwpt

fjc.îfi nL - предельной порядковое чиоло, то

/ w

VJ it. -mi- У^Р V, it.-r} Wj U.K),

fi •■ d

WJu.crJ= J.

J < 4

Д&жазгяа Ебима о существовании такого Hopmiituijuiu щш Л •

что vj; = V; и à WA мп и, > а •

йюлущив пяхягряф постен теорб тико-игровой щгвргре-ТЩИН и'ГщЭушвииИ V ~ , Е-стратвпгеЙ i -го игрока (i= i, i }

в лпвиимео,кий снетеаи мдошдопш пара отображении Й. = - Е , f ) , где Е у. 4J определены на t%6 tT ) * X,

; с f и , х) -= Г%,Т] 'X,

Hrpûit, приьгсшпх^й ¡^стратегии CL — {.Ь , ^ , • «¿цельной пезиют ;t+ ( Xf ) вы5ираег управдекке V; ("fc 'X, ,î и кно-иесгао Р ( "tf 5С. J и щщеркнвается управления УЧ^-» Т, }

ДО р^Р.ТИЭуКЧ^еЙСЯ £ _ £ / . MHffiffip/РПР

Е , ) , В лтЗий тмчпг времени , тако*, что

(.t, Ct (.tj I ) 6 Щ Ct^ p iC, ) t iM «ода* явреютчитьйя на новое узгразленке It, ^ СС J ) и aajjMb нонсе шю-ЕЮОТЭО ^ 'X,^ ■'.Х ( ^; J и г.В роэудпьтпте ДРФИРП

реализуется некоторая шараотшнцал шщизч^лйтйлйпость awvtt-гсе коррекций управление "t" < ,,,< X п I зависящая от повеления тюгквника и способа действий егшого игрока, ойла-

J.ftfo-

ЭНМИМ через еС1^ L i, t Х4 ) (OWtteUTBU Е-ограгогиЛ [.-го игоока I J s j Ц I, ДЛЯ îtoTopus инаквемо этих мо-иит-on преипнн коиешо пси тбьх лоГД-стииЯч спооойзд деЕвтвНЙ игронао. Ток кил учааитамг явйегл ррятнптп нннсиикта могут СОВейШТЬ ТОЯЬГО ¡ганвщшк чиило a^pjjBiwiil оюсгэ упрши!сгп[,'Т( ТО иноиество 4D , X, ) оолержит вег практически рааяи-sypw.Ti й^итегии 1-го игрока I L = i . £ ) • Обознащв» чцяв Ф Vt, , я- Î "вИ"*ввве гтяоятерий Т. ( ■ .) . пороздаемых в-стратегиня а . онйоапиии яьше опооойом

[. ОС It J = X, ),

jjüüj ктирига игрока, евп^шж ивраого кгро-сн называется цчш-циоиел - 'п „ . 3 55 3-5 расвмагриваючся иггювые эа-

"п ' i

дачи с тетшшальаш ваигвшем

гдя Л + - функционал на множестве |

Т] -X,

ти=тмиы= ú^yte[i,1T]ÍLT,:cШ)еМ1 V {Т

Оказывается, что гаяантирозагшкй результат второго игрока в в дахаооа реализуемых стратегий

s*f inf kt ^tiewj

совпадает с величиной V f-fc Ct I ■ а величипа-Д/ (-f -Т )

Д "■ * 1 * Л * р

свляотол гараитирогаитзд результатом первого ягрокл в вдзосе реализуемых ВЬетратагин.

В 55 4, 5 изучена связь невду яражфтнтми программна™ итэращтмы и динамическими игрзык в классе f-стотегай. Пусть 5Q ® {_ t сс^ ) шмтачтЕО ооая риалноуокш: (породивших только конечное вдело иомвИто» керрещии упрашэн-ля ) дне

<Г7\<-'>

позиции (.1. X, 1 ¿-стратегия t-го игрока dj .

игрт TiRpv«HTí ¿-стратегий а.-го игрока ' I = ! «¡o.t,1 а.;я S I - Тртепторил екотиш Jj , пгроядан-ная парой стратегий С Д. , É' J к ийХвдявря на позиции t"t >л, )• Донизано i что

где

г;

К.

Зга результат позволили впервые сфзрыулкроеать доста™чнкв уйлови« существования рвявния вивгониояпиомпг дгамкичваки* игр úcj дпекрюиииацпи в rjiatce реааигуежх £-стране пш,

3 55 6t ? рассматриваются игрэвдв задачи дна произвольного по эишюнного сеивйствг функивоналов в системе , Определен ЕГ отр&гсгян (X ~ Г: . Р } , стянжишргоел чт Е-отуа-тешй туи, что игрок, применяющий такую стратеги», м(пет nei.f-ингь отоояои траектории сисгеми ^ , реализовавшиеся до текущего врвчени, няпянп, npjrtmiMñ \/^ [ t, ^ ') является вjv.,» ал.^ч строго игрока я йласео реализутпи ЕТ-сгпчгйги!), а величина •- Уд 11,, / - га-ряитиропаннмм результатом шрвОГС игрока и класс« реа/иэуекнх ЕТ-сгратм-пЯ.

Лопольэуя эти утэерздекия, в 5 7 показано, что при-граикные итерации V^ l"t, X ) . W t &, n ™

окодпяоя и актс.рптт^тфпггппД дкнтмическоД игры в

классе кусочно-програнншл оа.ратегий Г"1 , ® J i оодм только а та игра кнеет реи гний. Если вер игры 11 l"t , 'XI киевт pwiewHe, i i равносильны слелухше утвернлепшг:

1) Vu.aj-wru,-^; ^ V(,T т J= k.j

2) v = <P+LV) - ^-(.V),

3) V = Ф, IV) = tv).

Важность этого результата заключается в том, что развитие вычислительной техники должно повысить рано или поздно интерес к методам программных итераций (и к попятным конструкциям, описанным в главе 4), являющимися самыми общими методами решения антагонистических дифференциальных и других динамических игр, в том числе в играх с другими классами выигрышей. Это повлечет за собой необходимость нового витка исследований, в которых будут использоваться мои результаты или же будут служить путеводной нитью, что показывает неправильность утверждения о быстром устаревании научных результатов из-за информационного взрыва. Это утверждение не относится к исследованиям в области математики.

Приведу мое заявление о своих исследованиях, сделанное во время одного из выступлений на семинаре А. И. Субботина и обращенное к Андрею Измайловичу:

- Юрий Сергеевич Осипов обобщил ваши с Николаем Николаевичем Красовским теоремы об альтернативе и другие результаты, доказанные для динамических систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, на случай систем, описываемых дифференциальными уравнениями с запаздывающим аргументом и быстро защитил докторскую диссертацию. Несомненно процесс защит аналогичных докторских диссертаций продолжался бы для систем, описываемых уравнениями с распределенными параметрами и другими. Я же предпочел путь развития аксиоматической теории

динамических игр в самом общем случае, причем из моих результатов вытекают новые теоремы даже для систем, которые описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Действительно, с помощью разработанной теории были исследованы новые классы дифференциальных игр в системах с сосредоточенными и распределенными параметрами, а также дифференциальные игры с неполной информацией.

Результаты работы использовались во многих докторских и кандидатских диссертациях (В. В. Захарова, Н. А. Зенкевича, В. А, Уланова из Санкт-Петербурга; Н. Н. Данилова из Кемерово; Р. И. Егорова, С. П. Кайгородова, Т. И. Кузьминой, С. М. Местникова, Г. П. Пермякова из Якутска и других), а также французскими исследователями для моделирования морской войны (Пьер Бернард, Жан-Мари Никола и другими).

Перейду к описанию своих математических результатов, не включенных в докторскую диссертацию.

В 1983 году я опубликовал с Л. А. Петросяном книгу Геометрия простого преследования, ибо мы поняли, что совокупность геометрических предложений математической теории преследования представляет собой интересное продолжение классической геометрии.

В 1979-1991 годах я доказал несколько теорем об оптимальном преследовании, используя методы элементарной геометрии, и значительно упростил доказательства теорем Л. А. Петросяна и его учеников по геометрии игр преследования-уклонения с «линией жизни», первоначальные доказательства которых были очень сложными.

После защиты докторской диссертации я стал посвящать больше времени геометрии простого преследования и опубликовал с Л. А. Петросяном еще две книги. Мои ученики А. И. Голиков, С. П. Кайгородов, С. В. Местников, В. Г. Софронов также начали в это время исследовать геометрические решения задач преследования.

Перечислим некоторые теоремы по геометрии простого преследования, доказанные мною и учениками в 1971-2004 годах:

- Теоремы Томского о зонах встречи и убегания (1971).

- Теорема Томского о рекурсивной стратегии погонного преследования (доказана в 1978 году).

- Теорема Томского о Е-стратегии погонного преследования (1988).

- Теорема Кайгородова (1988).

- Теорема Софронова об улитке Паскаля в задаче преследования двух убегающих с фиксированным порядком преследования и «линией жизни».

ПЛАН СОЗДАНИЯ НАУЧНОЙ ШКОЛЫ

Т~Ч ______" _

В результате описанных в предшествующей главе усилий у меня сложилось убеждение в возможности создания в Якутском университете своей научной школы по математике и математическому образованию мирового уровня.

Попытка консолидации математических сил Якутии

Я был первым доктором наук по математике в Якутии, но к 1988 году стало много кандидатов наук по математическим наукам, защитивших свои диссертации в большинстве в Ленинградском, Новосибирском и Томском университетах. В 1987 году я открыл аспирантуру в Якутском университете.

В 1988 году организовал кафедру математической кибернетики, в мае 1989 года стал директором только что созданного Якутского математического научно-учебного центра (ЯМНУЦ), объединяющего Отдел прикладной математики Якутского научного центра СО РАН, заведующим которого я был избран, и кафедры прикладной математики и математической кибернетики математического факультета ЯГУ.

С первыми аспирантами-математиками ЯГУ Р.И.Егоровым и С.П.Кайгородовым

Однако я не мог возлагать в научном плане большие надежды на своих подчиненных, ибо в марте 1988 года неожиданно обнаружилось, что за 1982-87 годы я опубликовал 60% от общего объема престижных публикаций математического факультета, в котором работало в то время 46 преподавателей.Таким образом, я работал за 28 преподавателей:

ХАРАКТЕРИСТИКА научной деятельности заведующего кафедрой ш^геыаткческого анализа гкутского государственного университета, -оцента Тоиского Григория леилъешча

Томский Г,В. гтервку в ЯАССР 8 декабре 19С/ года защитил докторскую диссертацию по имемаяше* Сн является автором 5 мо* ногра'иЯ и 46 с?втей по теории управляе м систем, ва 19££-бТ года опубликовал более 60 * от общего объема преелошх публика-кий ¿»тематического факультета ЯГУ» в которой работает 46 тптат-шх преподавателей, откршг аспирантуру по ¡датеыатической кибернетике. Б настоящее время Тоыекий Г.Б. является научил руководителем V г ГУ, сешдааров по методам иате'штичеекого моделирования чконемнчееких и экологических процессов, научюш руководителей я консультантов 4 диссертационных работ по иате>-тткчесхой кибернетике»

Научная, педагогическая н организаторская деятельность Томского Г.З» в бяичгайние гэдн будет направлена на ^ормирогаште в г» Якутске научной шкоян по математической кибернетике. Пез достаточно сильной группа учвяэмшбвряммов иевоеьямгна реализация в ЯАССР Постановления ;Ж КПСС и Совета инистро» ССР от 13»XI,86 года *0б усилении научно-исследовательски* работ по нтнаям и ее приложениям и улучшению условия труда и быте ученых, работашнх в этой области**, принятой в целях ускорения использования методов «атлетического моделирования в науке и народном хозяйстве. Без участия такой грунта учен!« яевозаошш к улчестъетш реализация в ЯАССР общегосударственной программ создания й егаквного использования 1: делительной техники к авто- авизированных систем» одобренной ЦК КПСС г январе *9В5 года и предус-5атриващей шшишым использование ¿В для решения прикладных задач с целью всемерной юетввеи^тсаци» народного хозяйства.

Проректор по научной работе >:Пу, доктор технических наук, профессор

Декан чатеиатическогэ \ | £ акультета, кандидат г*»,-мат. наук, доцент "'

14 Мф1К Е&88 Г.

В.С. Иванов

К,Е* Егоров

Для объяснения этого факта обратимся к мнению Жан Дьедонне, который думал, что математические таланты встречаются очень редко и их делил на три категории:

I. «В «развитых» странах преподавание математики обеспечивается многочисленным персоналом, получившем в своем большинстве ученую степень, защитив диссертацию, но эти люди в своем большинстве неспособны к настоящим исследованиям из-за недостатка творческого воображения.

Действительно, в большинстве случаев их работы тривиальны и ограничиваются изложением нескольких следствий из хорошо известных принципов ... Однако они несомненно играют важную роль в обучении будущей научной элиты страны, это они могут на младших курсах университета обнаружить очень способных студентов, которые станут математиками следующего поколения; они бывают в курсе научных новостей и могут обогащать ими свои занятия ... » (J. Dieudonné, Pour l'honneur de l'esprit humain : les mathématiques aujourd'hui, Hachette, 1987, p. 23-24).)

Такие математики, составляющие подавляющее большинство преподавателей высших учебных заведений, редко публикуются в престижных журналах и издательствах.

II. «На более высоком уровне находятся математики, способные к оригинальным исследованиям ... В «развитых» странах на 10 миллионов жителей рождается примерно по одному такому математику в год . Только они могут серьезно руководить диссертационными исследованиями и начинающими молодыми математиками.» (J. Dieudonné, Pour l'honneur de l'esprit humain : les mathématiques aujourd'hui, Hachette, 1987, p. 24).)

Могу отнести себя к этой категории математиков, хотя бы потому, что руководил диссертациями учеников, имеющих теперь собственных аспирантов.

III. «Есть наконец большие новаторы, чьи идеи оказывают влияние на всю науку своего времени и даже век спустя . Можно насчитать полдюжины таких гениев в XVIII веке, около тридцати в XIX веке, теперь таких появляется по одному или два в год по всему миру.» (J.Dieudonné, Pour l'honneur de l'esprit humain : les mathématiques aujourd'hui, Hachette, 1987, p. 24).)

Во Франции такими гениальными математиками были Паскаль, Ферма, Даламбер, Декарт, Лаплас, Лагранж, Коши, Фурье. Галуа, Лебег, Пуанкаре, Пуассон и другие. В России были Лобачевский, Ляпунов, Остроградский, Лузин, Марков, Чебышев, Стеклов, Колмогоров, Понтрягин и другие.

Великий математик и физик-теоретик Анри Пуанкаре также считал, что «математиками рождаются, а не становятся» (H. Poincaré, La valeur de la science, 1905).

В 1986 году открылась аспирантура по математике под моим руководством и я начал разрабатывать свою Систему раннего и безошибочного выявления учащихся, способных к профессиональной работе в области математики.

Хотел найти ярких учеников, чтобы вместе с ними создать научную школу по математике мирового класса, а это было вполне реально, что видно из моей публикационной активности в те годы [1-67]. Однако после моего отъезда в 1992 году во Францию для работы в ЮНЕСКО мои бывшие аспиранты и другие ученики замедлили темп своих исследований из-за наступившего кризиса и по другим причинам.

Оригинальный метод популяризации математики

Классическая элементарная геометрия на плоскости (планиметрия) в течении 2500 лет занималась исследованием геометрических фигур. Ее расширение путем введения новых объектов исследования (траекторий и стратегий) является историческим событием в школьной геометрии, позволяющим приобщить к научной работе в области математики способных учителей и их одаренных учеников, а также всех любителей математики.

Поэтому я начал читать с 1986 года спецкурсы по Элементарные задачи преследования и убегания на математическом факультете Якутского университета. Студенты отметили возможность использования предложенного им материала в школьных кружках, но часть из них высказали мнение, что чисто математические результаты могут оказаться не совсем интересными для ребят. Я же до этого полагал, что новизны результатов достаточно для того, чтобы заинтересовать способных к математике школьников. Это мнение заставило меня задуматься. Для иллюстрации теории преследования пришлось придумать своеобразные модели процессов преследования - динамические интеллектуальные игры преследования, сокращенно - ДИП (или ДИИП).

Сначала я не придавал особого значения этим играм. Неожиданный интерес к ним проявили: профессора Л. А. Петросян и Н. М. Матвеев (автор учебников по дифференциальным уравнениям), доцент В. А. Уланов, профессор Е. И. Лященко (заведующий кафедрой методики преподавания математики Ленинградского педагогического института имени А. И. Герцена), а также преподаватели физико-математической школы при Новосибирском университете.

Стало ясно, что ДИП - не просто забава и средство для "развития умственных способностей", а хорошее средство для освоения уже в школе идей математического, физического и компьютерного моделирования, дающее возможность рано приобщиться к самым различным формам творческой деятельности.

Поэтому с 1987 года приступил к тестирование различных вариантов ДИП и к 1988 году выделил несколько наиболее интересных версий, среди них игру, которой присвоил звучное название СОНОР (что означает по-якутски «преследование»). Постепенно выделился круг любителей этой игры, которые играли в нее с таким же увлечением, как любители шахмат или шашек играют в свои игры. Мы увидели, что СОНОР по настоящему увлекает многих взрослых и доступна практически всем детям, начиная с 5-6 лет. Поэтому было решено сделать ее новым национальным интеллектуальным видом спорта Якутии.

Правила СОНОР настолько естественны, что их можно объяснить взрослым за одну минуту. Достаточно сопроводить быстрый показ правил игры следующими четырьмя фразами:

«Убегающие стремятся достигнуть противоположной стороны до поимки.»

«Преследователь ловит убегающего при прикосновении фишек.»

«Для перемещения фишки достаточно поставить впритык к ней резервную фишку.»

«Каждая фишка убегающего дает по одному баллу на каждой из линий.»

Часто думают, что интеллектуальная игра тем богаче в стратегическом плане, чем сложнее ее правила. Однако СОНОР обладает неожиданным стратегическим богатством. Это вытекает из того простого факта, что фигуры в СОНОР могут перемещаться в любом направлении. В шашках, например, они могут идти вперед только по двум направлениям. К тому же, народная мудрость давно отметила трудность одновременного преследования двух целей («за двумя зайцами не гонись»), а в СОНОР надо преследовать пять убегающих!

В 1988 году я сформулировал педагогическую Систему ДИП со следующисм основными компонентами:

1. Раннее приобщение к интеллектуальному спорту с помощью игры

2. Использование игры СОНОР в качестве эффективного стимулятора различных видов творчества в течении всей жизни,

СОНОР.

3. Организация соревнований по игре СОНОР и других мероприятий с ее использованием для повышения искусства общения и организаторских навыков участников.

4. Использование ДИП для математического образования от детского сада до университета и для повышения своей математической культуры.

Проблемы теории ДИП и искусственный интеллект

В 1991 году мой ученик Алексей Голиков стал первым чемпионом Якутии по игре СОНОР, проанализировал все записи партий этого первого республиканского чемпионата и сформулировал две теоремы о стандартном дебюте СОНОР, предложил эвристическое доказательство первой теоремы о гарантийном результате «преследователя» в стандартном дебюте игры (эта теорема доказана Г.В.Томским в 2004 году) и доказал теорему о гарантийном результате «убегающих». Однако проблема описания оптимальных стратегий в этой игре, вероятно, еще долго останется нерешенной проблемой. После определения оптимальных стратегий останется очень трудная проблема выбора среди этих стратегий оптимальных по дополнительным критериям, введенным для того, чтобы избежать в игре ничьей.

Таким образом, в обозримом будущем искусственный интеллект не может в игре СОНОР гарантировать себе победу над человеком, как это он

сделал в случае шашек и шахмат. Основной причиной является существование бесконечного числа партий в игре СОНОР (число партий в шахматах конечно, хотя и велико), а также то, что результат игры сильно зависит от малейшей ошибки в выборе направлений движения, которых бесконечное множество в каждый из моментов производства хода.

Пробемы исследования пошаговых настольных ДИП с предложенным мною способом производства ходов формулируются на языке элементарной математики. Однако, чтобы избежать обвинений в занятиях «пустой» математикой, предстояло выделить обширный класс ДИП и добиться их широкого распространения, чтобы изучение их теории стало рассматриваться как «содержательная» математика.

Следует подчеркнуть, что я не включал деятельность по созданию различных видов ДИП и развитию Системы ДИП в планы университетской научной работы. Для популяризации СОНОР и Системы ДИП в 1990 году было официально зарегистрировано Якутское республиканское добровольное общество «Игры компьютерного века». Создавая эту организацию, я заявил:

« Если ДИП повторят успех шахмат, в которые играют миллионы людей, то неизбежно возникнет новое явление в истории человечества — народная математика. Ведь любой любитель серьезной интеллектуальной игры начинает интересоваться ее теорией, а в теории многих ДИП с успехом используются методы элементарной математики.

Система образования, заинтересованная в повышении интереса учащихся к занятиям математикой, будет способствовать популяризации именно таких видов ДИП. Это неизбежно приведет часть диптистов к исследованию нерешенных проблем элементарной теории преследования.

Если нерешенными математическими проблемами будет заниматься достаточно большое количество людей, то для такого явления наиболее подходящим является термин народная математика. Возникновение такого явления в нашей республике дало бы мощную «корневую систему» уже существующей в Якутском университете научной школе по математической теории игр.

Создание научной школы мирового класса по теории игр имело бы серьезное значение для имиджа нашей республики. Специалисты с хорошим теоретико-игровым образованием способны внести свежую струю даже в философию и социальные науки, не говоря уже о математической экономике и экологии. Известно, что Нобелевские премии в области экономики в последние полвека присуждаются только исследователям, блестяще применившим математические методы к исследованию практических задач. »

Интересно, что в это время в СССР было не менее 50 специалистов по теории дифференциальных игр, многие из которых занимались в той или иной мере прикладными задачами, имеющими отношение к оборонной или экономической тематике, и были очень далеки от педагогических размышлений. Например, на сайте РАН читаем следующую характеристику приложений математических работ Ю. С. Осипова и его сотрудников:

« Научные достижения Ю.С. Осипова реализуются в прикладной тематике, направленной на создание образцов новой техники. Он руководил крупными прикладными исследованиями в интересах обороноспособности страны, широкого круга опытно-конструкторских работ, связанных с созданием летательных аппаратов. Им выполнен цикл исследований по плавности и устойчивости движения транспортных средств специального назначения. Проведенные под руководством и при его участии фундаментальные и прикладные исследования на базе ЭВМ позволили создать математические модели функционирования изделий. Разработаны и реализованы алгоритмы управления в рамках конкретных аппаратурных ограничений, даны оценки качества и эффективности процессов управления, проведено моделирование. Результаты исследований позволили выбрать и улучшить ряд важнейших технических характеристик комплексов новой техники, в том числе комплексов С 300В и «Гранат». » (http://www.ras.ru/presidents/00249d66-7ec1-4d03-b43f-9ееЬ4Ье 15£^. aspx?hidetoc=0)

Перейду далее к изложению своего восприятия понятий математическая одаренность и математическая культура, которыми я руководствовался при разработке своей Системы раннего и безошибочного выявления математических талантов.

Математическая одаренность и уровни математической культуры

Для характеристики одаренности в области математики мы будем применять критерии Элен Виннер из Гарвардского университета, которые соответствуют нашим наблюдениям и опыту:

1. Одаренные в области математики дети осваивают математику легче и быстрее других.

2. Они самостоятельны: им нужна только минимальная помощь взрослых, чтобы преуспеть в области школьной математики. В значительной мере они сами являются своими учителями и, как правило, читают много научно-популярной, занимательной и другой литературы по математике. Часто эти дети делают попытки самостоятельного исследования и даже интересуются формулировками нерешенных проблем. Открытия, которые они делают в своей области, их возбуждают и стимулируют, поэтому после каждого освоенного этапа они сами переходят к следующему этапу.

3. Эти дети имеют непреодолимый интерес к математике, огромную способность к концентрации и яростное желание достичь совершенства.

(Winner E. Surdoué. Mythes et réalité. - Paris: Aubier, 1997)

Многие дети, например, из отдаленных деревень, могут не подозревать о своей математической одаренности, как это было в моем случае, когда в 13 лет я получил от отца в подарок книгу замечательного и умелого популяризатора математики Бориса Анастасьевича Кордемского Математическая смекалка (М.: Физматгиз, 1958).

Превращение математической одаренности в математический талант, признаваемый обществом или частью общества, обычно начинается с успешного участия в математических олимпиадах и конкурсах.

Однако многие высказываются против переоценки роли олимпиад в выявлении будущих профессиональных математиков. Тревогу о будущем олимпиадного движения бьют и его сторонники:

« Именно сейчас, как никогда ранее, в среде преподавателей математики и математиков-исследователей популярны мнения о неэффективности и даже

и т-ч

вредности этой системы. В пользу этой точки зрения существует довольно солидная аргументация, с которой авторы имели возможность очень хорошо ознакомиться в ходе общения со своими коллегами по работе на математическом факультете Омского Государственного Университета. Среди этих аргументов наиболее основательными нам представляются следующие.

1. Олимпиады не способствуют выявлению математически одарённых школьников, так как в настоящий момент для хорошего выступления даже на олимпиаде городского уровня требуется очень солидная специальная подготовка. Школьник, такой подготовкой не обладающий, не имеет шансов на успех в состязании с конкурентами, "надрессированными" на решении олимпиадных задач.

2. Участие в олимпиадах способствует выработке искажённого представления о математике, которая воспринимается "олимпиадными бойцами" как совокупность головоломок, а не как наука с системой понятий, требующая планомерной и не всегда увлекательной работы по её изучению.

В качестве аргумента, как правило, приводятся случаи, когда школьники, имеющие высокие достижения на олимпиадах Всероссийского и международного уровней, крайне неуспешно обучаются на математических факультетах университетов. Скажем честно, подобрать такие примеры несложно...

Эти аргументы весьма убедительны, но, на наш взгляд, они не дают оснований для полного пересмотра роли математических олимпиад или, тем более, для постановки вопроса об их ликвидации в административном порядке. » (Кукин Г.П., Штерн А.С. Математические олимпиады школьников: продолжение традиции: www.ict.nsc.ru/ws/Lyap2001/2261/).

Мы тоже думаем, что произошло вырождение математического

олимпиадного движения, задуманного для поиска будущих математиков, в вид интеллектуального спорта со своими профессиональными тренерами. Одновременно происходит неконтролируемый процесс размножения количества сомнительных олимпиад по всем предметам.

Самое главное состоит в том, что математическая олимпиада является конкурсом решения задач повышенной трудности, которые при условии удачного определения метода решаются в принципе в течении не более одного часа. Настоящие математические проблемы требуют для своего решения многих месяцев, иногда многих лет непрерывных рассуждений. Таким образом, научную работу в области математики можно сравнить с марафоном, а олимпиаду с бегом на сто метров.

Поэтому победы в олимпиадах не являются свидетельством пригодности к профессиональной научной работе в области математики.

Победы в олимпиадах явлются только признанием таланта решать нестандартные задачи элементарной математики и не более того. Излишняя концентрация внимания на алгоритмах решения таких задачах не оставляет времени на глубокое осознание содержания фундаментальных математических понятий, включая понятие числа, аксиом геометрии, площади и объема, непрерывности, предела, функций и преобразований, сути метода математической индукции и др.

Дадим теперь короткое и четкое определение понятия математической культуры, которое почти всегда позволяет отличить человека с высокой математической культурой от тех, кто не имеет права претендовать на такую оценку.

Мы оцениваем математическую культуру личности следующим образом:

Начальный уровень: приобщение к элементарным математическим объектам и понятиям.

Средний уровень: Освоение одного из разделов математики, начиная от элементарной геометрии, кончая современными математическими теориями.

Высший уровень: Способность к созданию нового математического знания.

Таким образом, можно говорить о существовании математической культуры у индивидуума только с момента начала понимания сущности элементарных математических объектов. Если ребенку дается легко переход от конкретных объектов к идеальным, то можно начинать надеяться на существование у него математических способностей.

В свою очередь средний уровень можно подразделить на:

- обычный средний уровень: умение решать стандартные математические задачи;

- повышенный средний уровень: способность легко воспроизвести доказательства изученных теорем и умение найти оригинальные решения для других решенных проблем.

Далее можно уточнить уровень по объему математического знания и говорить о математической культуре повышенного среднего уровня начальной школы или математической культуре обычного среднего уровня физического факультета университета.

Например, учитель математики может иметь повышенный средний университетский уровень, а его ученик, победитель математической олимпиады, иметь повышенный средний уровень девятого класса средней школы. Обладание математической культурой высокого уровня является редкостью, ибо для этого надо быть способным создавать новое математическое знание.

Заметим, что наши критерии позволяют считать Евклида, Архимеда и других великих математиков древности носителями высокой математической культуры, тогда как нетворческие, но способные к учебе личности, выучившие университетскую программу высшей математики, обладают математической культурой только среднего уровня.

Популяризация математической теории ДИП среди одаренных по математике учащихся может позволить им приступить к самостоятельным исследованиям нерешенных проблем геометрии преследлвания и в случае решения одной из этих проблем достичь (иногда в 14-15 лет) математической культуры высшего уровня.

РОЖДЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОМЕТРИИ ПРЕСЛЕДОВАНИЯ

Элементарная геометрия преследования представляет собой новое перспективное расширение классической геометрии с бесконечным количеством тем для исследований, интересное для целей популяризации математики и для математического образования.

Значение геометрического образования

Процесс современного научного познания осуществляется через построение моделей, а настоящее теоретическое знание базируется на аксиоматическом подходе. Поэтому математическое образование должно дать представление об аксиоматическом методе построения научных теорий и приобщать к методу математического моделирования.

В этом отношении элементарная геометрия Евклида представляет особый интерес. Изучение аксиоматического построения хотя бы курса школьной планиметрии (геометрии на плоскости) служит базой для понимания логики построения любой развитой научной теории. В то же время элементарная геометрия является примером математической модели пространственных свойств и отношений окружающей действительности.

Для Евклида базовыми геометрическими объектами на плоскости являются отрезки и окружности, потом он вводит и изучает фигуры, ограниченные ломаными линиями: треугольники, четырехугольники и многоугольники, а также касающиеся и пересекающиеся круги.

Три основных постулата Евклида описывают использование идеальной линейки и идеального циркуля:

1. Из каждой точки можно провести отрезок прямой до любой другой заданной точки, чтобы эти две точки были концами проведенного отрезка.

2. Каждый отрезок прямой может быть неограниченно продолжен непрерывным образом.

3. Вокруг любой заданной точки можно описать окружность любого заданного радиуса с центром в этой точке.

Необходимость в использовании какого-то количества аксиом (постулатов) вполне очевидна: любое доказательство представляет собой цепочку утверждений, и если для каждого из них требовать своих доказательств, то цепочка станет бесконечной. Чтобы избежать этого, нужно где-то эту цепочку разорвать — то есть какие-то утверждения принять без доказательств, как исходные.

Изучение геометрии облегчается тем, что в ней строгая логика соединяется с наглядным представлением, поэтому происходит быстрое привыкание к оперированию с идеальными геометрическими объектами, что является признаком достижения математической культуры начального уровня.

Поэтому освоение школьного курса планиметрии можно считать достижением математической культуры среднего уровня при условии овладения понятием аксиоматического метода ее построения и получения удовлетворительных навыков доказательства теорем и решения геометрических задач.

Строгость и стройность изложения Элементов Евклида вызывают более 2000 лет восхищение мыслителей. Например, Спиноза пытался имитировать Элементы Евклида и в своей Этике, которая начинается с изложения определений и аксиом, после чего следуют утверждения с доказательствами.

В 1884 году Фреге констатировал: «Математика некоторое время уклонившаяся от евклидовой строгости, возвращается к ней и совершает большие усилия, чтобы превзойти ее». Эти большие усилия заключались в прояснении понятий и утверждений, принимавшихся Евклидом как очевидные, связанные, например, с понятием непрерывности, а значительная часть доказательств, сделанных в течении XVП-XIX веков, периода «уклонения от евклидовой строгости» сегодня совершенно неприемлема. Однако создание удовлетворительной аксиоматики евклидовой геометрии оказалось далеко не легким делом. Наиболее удачную формальную систему аксиом элементарной геометрии предложил Гильберт в своем сочинении Основания геометрии (1899) и в дальнейшем внес некоторые уточнения.

Но мы воспринимаем Элементы как великий памятник человеческой культуры, уровень строгости которого вполне достаточен для первоначального ознакомления с основами аксиоматического метода.

Мировая практика показала невозможность написания школьного учебника геометрии с математической строгостью, способной удовлетворить современных профессиональных математиков ввиду принципиальной сложности всех мыслимых формальных систем аксиом элементарной геометрии.

Поиск доказательства в геометрии заключается в искусстве вывода, неочевидного утверждения из безупречной логической цепочки очевидных утверждений, причем удивляет обилие неочевидных свойств даже треугольника -самого простого из многоугольников: от утверждения о сумме его углов, до классических теорем Фалеса и Пифагора, а также многих других замечательных утверждений, например, о пересечении биссектрис или медиан в одной точки. Наиболее интересным в геометрии является умение доказывать эти замечательные и неочевидные утверждения путем сведения их при помощи логических рассуждений к очевидным утверждениям, не обязательно являющимся исходными аксиомами.

Юрий Петрович Петров пишет в своих Лекциях по истории прикладной математики (СПбГУ, 2001) о значении геометрии Евклида для тренировки ума:

« Трактат Евклида предназначен для тренировки ума в логических построениях и для воспитания чувства прекрасного (от созерцания идеальных геометрических форм). А раз так, то действительно, зачем же Евклиду было стремиться к простоте и доступности изложения? Чем труднее изложение, - тем лучше протекает тренировка разума в логике, лишь бы изложение было безупречно логично и эстетически совершенно. И недаром завершает трактат Евклида книга о правильных многогранниках - тетраэдре, октаэдре, кубе, икосаэдре и додекаэдре - самых эстетически прекрасных объектах геометрии.

В английских частных школах 18-19 века, воспитывавших джентльменов, учили школьников по дословным переводам Евклида не для того, чтобы они потом хорошо вычисляли площади и объемы - этим джентльмены не занимались - а для того, чтобы школьники на примере геометрии учились логике рассуждения, для того, чтобы они потом могли красноречиво и логично выступать в суде, в администрации, в парламенте - ради этого и учили будущие английские джентльмены трудные Начала Евклида. » (с. 28)

Заметим, что отрицательное отношение к традиционной программе школьной геометрии выражается утверждением, что она «не вышла за рамки третьего века до нашей эры». Поэтому интересно, что в доказательствах двух моих теорем об оптимальности рекурсивной стратегии погонного преследования (1978) и Е-погонной стратегии (1988) используются только методы элементарной геометрии. Эти две теоремы являются неочевидными, причем теорема об оптимальности Е-погонной стратегии многим кажется невероятной. Поэтому возникает естественная необходимость проверить всю цепочку логических рассуждений, содержащихся в доказательствах этих теорем. На этом пути легче понять необходимость доказательства даже очевидных утверждений, понять суть аксиоматического метода.

ЖИПТО - семейство ДИП на любой вкус

Чтобы дать реальный шанс достичь математической культуры высшего

уровня многим одаренным школьникам я решил сформулировать большое количество нерешенных задач, связанных с ДИП (динамическими интеллектуальными играми преследования), ибо они формулируются на языке элементарной математики, причем предстояло добиться широкого распространения выбранных ДИП, чтобы изучение их теории стало рассматриваться как содержательная математика.

Наиболее популярной ДИП является игра СОНОР, популяризуемая с 1988 года и имеющая сотни тысяч любителей, главным образом, в Якутии, Франции и Казахстане. В течении 1988-2001 годов я протестировал тысячи версий других ДИП, разыгрываемых на игровом поле для игры СОНОР.

Основные версии были придуманы и протестированы в Париже, куда я переехал в 1992 году для работы экспертом высшей категории Сектора образования ЮНЕСКО. На французский язык ДИП переводится как JIP (Jeux Intellectuels de Poursuite), поэтому мое авторское семейство игр ДИП, разыгрываемых с помощью дополненного игрового набора для «Сонор», получило международное название ЖИПТО (JIPTO : Jeux Intellectuels de Poursuite de Tomski / Интеллектуально-творческая игра Томского).

Для базового варианта ЖИПТО я решил оставить якутское название СОНОР. Модифицируя правила СОНОР, получаются версии ЖИПТО с очень большим стратегическим богатством.

В СОНОР всем убегающим дают по одному баллу при достижении каждой из трех линий на игровом поле. В других вариантах ЖИПТО они часто имеют различные "веса":

- убегающему с весом 1 дается по одному баллу при достижении каждой из линий на игровом поле;

- убегающему с весом 2 дается по два балла при достижении каждой из линий на игровом поле; и т. д.

- убегающему с весом N дается по N баллов при достижении каждой из линий на игровом поле.

В таких вариантах ЖИПТО ситуация в игре может мгновенно измениться кардинальным образом. Например, при приближении преследователя к убегающему с весом 5 можно при совершении следующего хода поменять местами убегающих с весами 5 и 1 (такое действие называется рокировкой, как в шахматах). Заметим, что в ЖИПТО после первой партии, игроки меняются фишками и играют вторую партию. Победитель определяется сравнением выигрыша убегающих в двух партиях.

Интересны игры, в которых фишки имеют символические значения, например: «счастье», «любовь», «здоровье», «работа», «деньги». В этих вариантах ЖИПТО нет проигравших. Если «счастье» достигает первой линии до поимки, то в такой интерпретации говорят: «вы будете счастливы», при достижении второй линии - «вас ждет большое счастье», а при достижении третьей линии - «ваше счастье будет абсолютным».

Аналогично интерпретируются результаты по другим символическим критериям. Если, например,

- первый игрок получает результат: «абсолютное счастье, много любви, нормальное здоровье, мало работы, мало денег»,

- а второй: «много счастья, мало любви, слабое здоровье, много работы, очень много денег», то ясно, что эти результаты несравнимы, но дают игрокам повод вместе посмеяться.

Можно интерпретировать результат игры с фишками, имеющими символические значения, как ожидаемые. В этом случае партия ЖИПТО принимает характер «сеанса гадания». Это сделано для увеличения развлекательного характера ЖИПТО. Мы называем такие версии «Жиптоманси» в случае их использования для шуточного гадания. Особенно забавны и популярны полуазартные версии Жиптоманси с бросанием костяшки. Можно гадать наедине, например, передвигая преследователя по направлению к ближайшим убегающим (в случае выпадения грани с номером 6). Можно совершать несколько (обычно три) рокировок, например, пожертвовать «работу» для спасения «любви» или наоборот.

Официальные правила ЖИПТО содержат описание 2480 версий на любой вкус [68-71].

Широкую известность ЖИПТО и Система ДИП получили благодаря быстрому официальному признанию со стороны ЮНЕСКО. Это произошло следующим образом.

В 1993 году в Якутск на конференцию ЮНЕСКО по образованию приехал заместитель Генерального директора ЮНЕСКО по образованию Колин Пауэр. Во время этой командировки он познакомился с Системой ДИП и познакомился с опытом ее внедрения в нескольких школах Якутии. После этого мне было предложено популяризировать Систему ДИП в международном масштабе в рамках моих официальных обязанностей в ЮНЕСКО.

Первым шагом явилась организация Международной федерации по Системе ДИП (ФИДЖИП), официально зарегистрированной 15 декабря 1993 года.

Как культурная и спортивная ассоциация, ФИДЖИП развивает и пропагандирует Искусство ЖИПТО и организует Фестивали ЖИПТО с международными турнирами, выставками, играми-спектаклями и другими зрелищными мероприятиями. Как международная сеть научных работников, ФИДЖИП в настоящее время работает в тесной связи с руководимой мною Международной академией КОНКОРД [72-78].

В век Интернета нет больше необходимости строго придерживаться традиционной пирамидальной организации: Международная федерация -Национальные федерации - Региональные ассоциации - Местные ассоциации и клубы. Поэтому ФИДЖИП поддерживает прямые связи с региональными и другими ассоциациями ЖИПТО, ассоциированными школами, центрами и клубами.

Колин Пауэр (второй слева) со своим помощником Ганс Риссом, Томский Г.В. (справа) и Вице-премьер Якутии Корякин К.К. (1993)

ФИДЖИП является международной научной, культурной, образовательной и спортивной федерацией. Ее деятельность способствует реализации программ развития образования и других программ ЮНЕСКО. Якутия является огромной лабораторией для ФИДЖИП в разработке и внедрении новых творческих идей.

UNESCO ET PHILOSOPHIE

Catalyseur des idées, centre d'attraction des gens de bonne volonté

Решение о создании ФИДЖИП было опубликовано в Journal Officiel de la République Française, n°50 от 15 декабря 1993 года, информация об этом распространялась по каналам ЮНЕСКО на английском, русском, французском, испанском и арабском языках:

Fédération internationale du système JIP (FIDJIP)

The "Système JIP" is a set of different techniques for encouraging the creativity of infants from 4-6 years, children, and adolescents by way of a variety of educational games (jeux intellectuels de poursuite: JIP). The seven main components of the system include o making the pieces and boards using

local traditional techniques o developing creativity by designing and building pieces and boards, both mechanical and electronic o involvement in the organisation of competitions to perfect the skills of organisation and public speaking o analysis of game positions and strategies by elementary mathematical methods

For further information, write to Prof Grigori Tomski

UNESCO ED/PE, 7 place de Fontenoy, 75352 Paris, France

FIDJIP calls mathematics teachers

The Fédération Internationale du Système JIP (FIDJIP), formed through the initiative of UNESCO and its Project 2000 + Secretariat for the development of scientific and technological literacy for all, invites secondary school mathematics teachers to join in its work. FIDJIP plans seminars and conferences on its system for such teachers.

For further information, please contact Professor Grigori TOMSKI (see above)

Fédération internationale du svstème JIP (FIDJIP)

Le "Système JIP" est un ensemble de techniques visant à encourager la créativité des enfants d'âge préscolaire de 4 à 6 ans, des enfants d'âge scolaire et des adolescents à l'aide de toute une série de jeux éducatifs (jeux intellectuels de poursuite : JIP). Les sept principales composantes de ce système incluent les éléments suivants :

• fabrication de pièces et de planches à l'aide de techniques locales traditionnelles ;

• développement de la créativité par la conception et la fabrication de pièces et de planches, mécaniques et électroniques ;

• participation à l'organisation de concours pour perfectionner les techniques d'organisation et d'expression orale ;

• analyse des positions et stratégies de jeu, à l'aide de méthodes mathématiques élémentaires.

Pour plus de renseignements, s adresser à :

Professeur Grigori TOMSKI

UNESCO ED/PE 7 place de Fontenoy 75352 Paris (France) Télécopieur : (33 I) 45 65 94 05

La FIDJIP lance un appel aux

professeurs de mathématiques

La Fédération internationale du système JIP (FIDJIP), créée à l'initiative de I'UNESCO et du secrétariat du Projet 2000+ pour promouvoir la culture scientifique et technologique pour tous, invite les professeurs de mathématiques de l'enseignement secondaire à participer à ses travaux.

La FIDJIP prévoit d'organiser des séminaires et conférences sur son système à l'intention de ces enseignants.

Pour de plus amples informations, veuillez contacter M. Gregori Tomski (voir ci-dessus).

В 1994 году была организована Якутская федерация ЖИПТО под названием Федерация национальной динамической интеллектуальной игры преследования СОНОР Республики Саха (Якутия). Заметим, что СОНОР является национальной игрой Якутии, но не народной, ибо ЖИПТО еще долго будет охраняться авторским правом и правом интеллектуальной собственности [79, 80].

CNN распространил репортаж о ЖИПТО и ФИДЖИП в предновогодней передаче об играх народов мира. В 1995 году были организованы Первые международные турниры по ЖИПТО среди взрослых и детей. Репортажи о турнирах были опубликованы в журналах Sources UNESCO (на многих языках), Les Cahiers de la Diplomatie и Pedagogie Ludique.

В 1996 году Президент Французской комиссии преподавания математики Андре Деледик заявил:

« ЖИПТО нас очаровало, ибо оно имеет богатство вещей простых и основных.

Простота правил делает ее доступной для всех возрастов в любой момент.

Но вместе с тем, эта игра - богатая.

Богатая в интеллектуальном и стратегическом плане, она открывает перспективы для размышлений как для дошкольников, так и для исследователей из университетов и научных центров высокого уровня.

Богатая в творческом плане: стимулирует воображение, дает возможность для создания все новых и новых вариантов игры.

Богатая в плане культуры: в традициях замечательной и сегодня открытой страны в Сибири она предлагает видение конкурентоспособного и уравновешенного мира, одновременно традиционного, динамичного и умного.

Мы надеемся, что читатель разделит наш божественный сюрприз (удивление). Мы желаем ЖИПТО вечной юности при долголетии. »

В коммюнике для прессы, написанном Андре и Елен Деледик, читаем:

« На заре XXI века появилась стратегическая игра с очень простыми правилами - дети могут начинать играть с 4 или 5 лет - и с большим стратегическим богатством: университетские ученые потратят много времени прежде, чем найти хорошие стратегии.

Эта игра, кажется, имеет все качества, чтобы стать настоящей «классической» игрой, как шахматы, шашки, жаке и т. п. »

Андре Деледик отметил чуть позже в журнале Ассоциации учителей математики (1997):

« Как одна и та же игра может быть настолько простой, что она интересует детей 5 лет и настолько сложной, что взрослые игрют в нее так же, как в шахматы? В этом состоит весь гений его автора Григория Томского.»

К этому времени были подведены первые итоги педагогических экспериментов во Франции. Из статьи доктора Жиль Бружер, директора департамента игр университета Париж-Норд, в педагогическом журнале Enfant d'abord (n° 197, 1996) :

«Освоив игру в основном, дети начинают творить по своему усмотрению, присваивая той или иной фигуре большое значение, создавая новые версии, модифицируя и развивая игру: принципы игры дети начинают дополнять и интерпретировать согласно своему желанию и фантазии. Именно в этом заключается суть Системы ДИП, которая позволяет всевозможные варианты, исходя из базовой версии. Речь идет о педагогической системе, в которой игра используется для оптимизации соотношения интерес/эффект.»

В 1997 году состоялась Выставка Искусства ЖИПТО в ЮНЕСКО с участием художников («жиптографов») Афанасия и Татьяны Осиповых из Якутска, Катерины Ткач из Москвы ; Татьяны Никка, Брижит Пеллерин, Фариде Шарон из Франции ; Сюзан Канас из США, Мотоко Тачикава из Японии. Были организованы конференция ЖИПТО: Педагогическое средство и интеллектуальный досуг в ЮНЕСКО и Турнир среди дошкольников со статусом чемпионата мира. CNN распространил репортаж о выставке и чемпионате.

Из статьи Вероник Жен в журнале L'Evènement du Jeudi (N 686/687, 1997): «Игра, изобретенная якутским математиком Григорием Томским, получила высокое признание (devient référence) в мире науки и образования.»

В 1999 году состоялась конференция ЖИПТО и Творчество в ЮНЕСКО. Профессор Робертом Пажес, почетный президент ЕВРОТАЛАНТ, признал ЖИПТО в своем докладе в качестве "эврогенической метаигры", т.е. семейства игр, стимулирующих творчество ( "порождающих открытия" = "эврика" + "генос").

Известный французский писатель Марк Пеллерин опубликовал в 2000 году роман Не забудь страх (Marc-Alfred Pellerin, N'oublie pas d'avoir peur, Paris, Gallimard), в котором два главных героя являются любителями ЖИПТО. Этот роман получил Международную премию Sang d'Encre за лучший в мире детектив на французском языке. Другой роман Марк Пеллерин Иннокентий (Marc-Alfred Pellerin, Inokenti, Albin Michel, 2004), в котором ЖИПТО служит путеводной нитью повествования, также получил престижную литературную премию.

SÉRIE N О 1 Я К

МЛИС-ALFHED PELI.ERTW

N'oublie pas d'avoir peur

PRIX SANG D'ENCRE

В 2005 году я покинул ЮНЕСКО и полностью сосредоточился на руководстве ФИДЖИП. Было создано издательство Editions du JIPTO, которое выпустило основные произведения, написанные для развития ЖИПТО как стимулятора различных видов творчества [81-105].

Широкое признание ЖИПТО обеспечило к этому времени серьезное отношение к математическим исследованиям по теории ЖИПТО, что пополнило геометрию преследования очень большим количеством нерешенных проблем математической теории ЖИПТО.

Приведу в виде приложения к этой части описание моего поста в ЮНЕСКО, где среди многих обязанностей присутствует популяризация «конкурса математических проблем ДИП / ЛР» и «метода развития творчества учащихся с помощью ДИП»:

Использование ЖИПТО для приобщения к методу математического моделирования

Одной из главных задач современного образования является разьяснение учащимся сущности метода математического моделирования. Искусство математического моделирования может быть освоено только благодаря упражнениям. Однако для понимания математизированных физических или экономических теорий нельзя обойтись без предварительного достаточно глубокого изучения соответствующих областей науки, в то время как в теории преследования изучаются понятные всем процессы, а в теории ЖИПТО -математические модели реально разыгрываемых, начиная с дошкольного возраста, игр.

СТАНДАРТНОЕ ПОЛЕ ДЛЯ ИГРЫ ЖИПТО

© Г.В.Томский, 1988

Размеры: 30 х 40 (например, см.), расстояния горизонтальных линий от верхнего края 1, 10, 19; диаметр «убегающих» 2, «преследователя 4; радиус каждой из 5 нижних зон ускорения 5, верхней зоны ускорения 10

Чтобы записать партии ЖИПТО, достаточно нарисовать след каждой фишки, например, обводя карандашом контур основания этой фишки после каждого шага. Затем пронумеровать шаги.

II

В ЖИПТО можно также играть без всяких фишек, рисуя с помощью трафарета следы (траектории) «преследователя» и «убегающих» в виде последовательности касающихся между собой кругов.

I

Такая форма игры достаточно удобна и широко практиковалась в Якутии в 1991-1992 годах до начала распространения наборов для игры и продолжает практиковаться всеми, кто интересуется использованием ЖИПТО для популяризации и преподавания математики.

При игре на листочке бумаги с помощью трафарета для рисования кружочков и ручки можно уменьшить размеры игрового поля, чтобы поместить ее на листочке школьной тетради в клетку. Достаточно начертить прямоугольник с шириной в 150 мм и высотой в 200 мм. Провести параллельные линии III, II, I на расстоянии в 5, 50, и 95 мм от верхнего края этого прямоугольника. Позиция (местоположение) «убегающего» изображается кругом, диаметр которого d не превышает 10 мм.

Таким образом, путь (след) каждого из пяти «убегающих» (в базовых версиях) изображается следующим образом. Круг с номером 0 должен касаться нижней стороны прямоугольника, круг с номером 1 касается круга с номером 0 и т.д., каждый круг должен касаться с предшествующим.

При замедленном перемещении появляются круги с кратными номерами, например, круг с номером 4-6. Таким образом, след «убегающего» является непрерывной цепочкой, состоящей из звеньев - кругов диаметром d = 10 мм или менее.

На бумаге удобно играть в версии ЛPTO-В2, в которых след «преследователя» состоит из парных звеньев - касающихся между собой кругов, диаметром d. Один из кругов с номером 0 должен касаться середины верхней стороны игрового поля. Полученный кусок пути продолжает пара кругов с номером 1, потом добавляется пара двух кругов с номером 2 и т. д.

Столкновением «убегающих» называется случай, когда пересекаются звенья с одинаковыми номерами у двух или более «убегающих». Поимка «убегающего» происходит при соприкосновении или пересечении звеньев путей «убегающего» и «преследователя» с одинаковыми номерами. Пойманные или столкнувшиеся «убегающие» прекращают дальнейшее движение, что выражается зачеркивавшем дальнейшей нарисованной части путей этих «убегающих». Для облегчения анализа сложных ситуаций следы могут быть разных цветов.

Партия игры JIPTO^2 протекает следующим образом. Первый ход игрока, действующего за «убегающих», состоит в том, что он рисует начала их путей, причем последние звенья у всех «убегающих» должны иметь одинаковый номер. В ответ на это другой игрок рисует начало пути «преследователя» до пары кругов с тем же номером, что и последние звенья нарисованной части путей «убегающих».

Следующий ход игрока, действующего за «убегающих», состоит в том, что он рисует продолжения путей оставшихся, т.е. не пойманных и не столкнувшихся «убегающих». При этом последние звенья у путей еще не достигших верхней линии должны иметь одинаковый номер. Ответ противника состоит в продолжении пути «преследователя» до пары кругов с тем же номером. Аналогично производятся последующие ходы игроков.

В конце партии игры JIPTO-82-А!, «убегающие» получают сумму баллов

m + n + p

где m - число «убегающих», дошедших до линии I, n - число «убегающих», достигших линии II, p - число «убегающих», достигших линии III.

После первой партии игроки меняются ролями и играют вторую партию. В паре партий выигрывает тот, кто получил больше баллов, действуя за «убегающих».

В случае ничьей выигрывает тот, кто доставил больше «убегающих» на III линию. Если это не позволяет объявить победителя, дают предпочтение тому, кто доставил больше «убегающих» на II линию. Чтобы избежать ничьей, можно подсчитать число «убегающих», которые пересекли линию I или дать победу тому, кто быстрее захватил последнего «убегающего».

Чтобы ускорить игру можно заранее установить количество максимальных ходов. В этом случае последние ходы игрока, перемещающего «убегающих», являются продолжением их путей до линии III.

Описанная версия JIPTO^2^1 является игрой на материальном (физическом) игровом поле. Желательно использовать для игры ручки, способные чертить тонкие линии, ибо в ЖИПТО точность производства ходов (в данном случае рисования кругов - звеньев путей) очень сильно влияет на результат игры.

Поэтому часто некоторые игроки начинают мечтать об абсолютной точности, что приводит к понятию математических ЖИПТО (математических моделей ЖИПТО). Заменяя нарисованные на бумаге круги геометрическими кругами на плоскости, получаем геометрическую модель ЖИПТО.

В описываемых далее стандартных моделях имеется прямоугольное поле для ЖИПТО (прямоугольник игры) с высотой 40 (единиц) и шириной 30. На расстоянии 1, 10, 19 от одной стороны («верхней стороны») прямоугольника расположены прямые параллельные линии III, II, I.

JIPTO-В!

Позицией «убегающего» является круг, диаметр которого равен 2; позицией «преследователя» является круг с диаметром 4. Эти круги не должны пересекаться со сторонами прямоугольника игры, но могут их касаться (никакая точка круга, изображающего позицию, не должна быть вне прямоугольника игры).

Начальные позиции «убегающих» (круги с номером 0) зафиксированы в начале игры. Они должны касаться «нижней стороны» (противоположной «верхней стороне») прямоугольника игры. Начальная позиция «преследователя» касается центра верхней стороны прямоугольника игры.

След (путь) каждого из пяти «убегающих» определяется следующим образом: круг с номером 0 касается нижней стороны прямоугольника игры, круг с номером 1 касается с кругом с номером 0 и затем каждый круг должен касаться круга с предшествующим номером. Круг может иметь несколько номеров, например, 4-6. Таким образом, след «убегающего» является цепочкой, состоящей из кругов с диаметром, равным 2. След «преследователя» состоит из кругов с диаметром 4.

Партия происходит следующим образом. Сначала игрок, который действует за «убегающих», определяет свои круги с номером 1. Потом игрок, действующий за «преследователя», определяет свой круг с номером 1. Далее, игрок, действующий за «убегающих», после него, игрок, действующий за «преследователя», последовательно определяют свои круги с номером 2 и т.д.

Игрок, действующий за «убегающих», продолжает пути только еще не пойманных и не столкнувшихся «убегающих». Он может сразу определить последовательность нескольких кругов следа «убегающего». Последние круги, определенные таким образом на каждом ходе, должны иметь одинаковый номер для всех «убегающих» (в случае необходимости вводятся кратные номера). Ответом игрока, действующего за «преследователя», является определение последовательности позиций «преследователя» до круга с тем же самым номером.

JIPTO-ВЬА!

В этой версии ЖИПТО выигрыш «убегающих» равен m + n + p, где m -число «убегающих», дошедших до линии I, n - число «убегающих», достигших линии II, p - число «убегающих», достигших линии III.

JIPTO^^

В этой версии ЖИПТО выигрыш «убегающих» равен m + n + p, где m -число «убегающих», пойманных до линии II, но не до линии I; n - число «убегающих», пойманных до линии III, но не до линии II; p - число «убегающих», достигших линии III.

Аналогично определяются геометрические JIPTO-В2-А1 и JIPTO-В2-А2, в которых след «преследователя» состоит из пар кругов с диаметром 2.

Мы видим, что в случае базовых версий ЖИПТО переход в процессе математического моделирования от игровых объектов (поле игры и фишки; кружочки, нарисованные на бумаге) к абстрактным математическим объектам производится путем естественной модификации терминологии: в

математической модели не используются физические единицы измерения (мм), круги "определяются", а не "рисуются", ибо все математические объекты являются идеальными объектами, существующими только как абстрактные понятия.

Напомним, что в геометрии Евклида в постулате 1 описывается использование «идеальной линейки», а постулат 3 описывает использование «идеального циркуля». Поэтому в геометрии Евклида можно «чертить» траектории «преследователя» и «убегающих» следующим образом.

Из центра А(0) окружности n°0 проводится отрезок [A(0)A(1)], равный

диаметру окружности п°0:

потом проводится окружность n°1 с центром А(1), равный окружности n°0:

и т. д.

Заметим, что траекториями «преследователя» и «убегающих» можно считать также ломаные линии, состоящие из отрезков, соединяющих центры построенных окружностей.

Поэтому мы называем описанные выше модели реальными геометрическими ЖИПТО. С одной стороны, они моделируют реальную игру СОНОР, а с другой стороны, можно играть в эти геометрические ЖИПТО, строя с помощью идеальных циркуля и линейки реальное количество заработанных в партии такой игры баллов.

Принципы построения геометрических моделей других версий ЖИПТО описаны в книге Элементарная геометрия преследования [96-98].

В книге Математика ЖИПТО [100-102] описаны также аналитические модели ЖИПТО, использующие простой символический язык, что мы не будем описывать в этой главе, носящей ознакомительный характер.

ГРИГОРИЙ томский

ГРИГОРИЙ томский

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ

ГЕОМЕТРИЯ ПРЕСЛЕДОВАНИЯ

МАТЕМАТИКА ЖИПТО и темы для исследований

Russian Edition

Эти две книги доступны и должны быть интересны для по-настоящему одаренных в области математики детей, которые характеризуются тем, что :

- осваивают математику легче и быстрее других;

- читают много научно-популярной и другой литературы по математике;

- делают попытки самостоятельного исследования и интересуются формулировками нерешенных проблем;

- имеют непреодолимый интерес к математике, огромную способность к концентрации и яростное желание достичь совершенства.

Стратегии «преследователя» и «убегающих»

Не существует общего определения стратегии. Используя обычный язык можно сказать, что это способ действий игрока. Приведем сначала несколько примеров наиболее используемых стратегий «преследователя».

Заметим, что в игре ЛPTO-B2 пути (следы) состоят из кругов диаметра d = 2. Можно изучить игры с другими значениями d < 2. В предельном случае, когда d стремится к 0, получаем идеальное математическое ЖИПТО. В этом случае позиции «убегающего» и «преследующего» являются геометрическими точками, пути (траектории) являются линиями. Идеальное математическое ЖИПТО легче поддается анализу, оно полезно для изучения ЖИПТО с достаточно маленькими значениями d.

Обозначим через P(t) позицию «преследователя» Р и F(t) позицию «убегающего» F в момент 1 Партия начинается с момента t = 0. При этом не учитывается время для размышления над ходами. Линия, состоящая из точек P(t), называется траекторией Р. Траекторией F является линия, состоящая из точек F(t). Имеем:

P(s) P(t) < a(t - s), F(s) F(t) < Ь^ - s) для всех t > s,

где a - максимальная скорость Р и Ь - максимальная скорость F ^ > Ь, часто a = 2 и Ь = 1). Отметим, что в идеальном математическом ЖИПТО «преследователь» и «убегающие» могут изменить направление своих движений в любой момент времени.

Говорят, что в Идеальном математическом ЖИПТО «преследователь» Р использует стратегию погонного преследования, если выполняются следующие условия:

1. Если позиция P(t) не совпадает с F(t), то Р перемещается с максимальной скоростью по лучу (полупрямой) с F(t));

2. Если P(s) = F(s) в момент времени s, то P(t) = F(t) для всех t > s.

Минимальный момент времени s, удовлетворяющий условию 2, называется моментом поточечной поимки. Траектория «преследователя» Р, использующего стратегию погонного преследования, называется погонной линией.

Для Реальных геометрических ЖИПТО типа ЛPTO-В1 стратегией простого преследования называется случай, когда «преследователь» следует за «убегающим». При каждом своем ходе, он делает шаг по направлению к позиции этого «убегающего».

В Реальных геометрических ЖИПТО простое преследование (стратегия простого преследования) совпадает со стратегией U (2-погонной стратегией), ибо

траектории «убегающих» являются ломаными линиями, состоящими из отрезков длиной, равной 2.

Рассмотрим еще один вид преследования.

Перехват: Если «убегающий» идет по фиксированному направлению, то «преследователь» определяет соответствующую позицию поимки и начинает двигаться к этой позиции. Когда «убегающий» меняет направление, то «преследователь» определяет новую позицию поимки и начинает двигаться к этой позиции.

В Идеальных математических ЖИПТО этой стратегии соответствует широко используемая стратегия преследования с интересными геометрическими свойствами. Будем предполагать, что игроки движутся с максимальными скоростями. Это условие значительно сокращает доказательство многих утверждений. Заметим, что любое прямолинейное движение со скоростью меньше максимальной равносильно некоторому зигзагообразному движению с максимальной скоростью. Будем также считать, что игроки движутся по ломаным и на конечном отрезке времени могут менять направление движения конечное число раз. Это ограничение не является существенным, поскольку любую траекторию движения можно сколь угодно точно приблизить ломаной линией.

Предположим, что в любой момент времени t > 0 «преследователь» может определить свою позицию Р(0, позицию убегающего F(t) и направление его движения [F(t),A(t)). Стратегией параллельного сближения называется следующий способ преследования.

Пока «убегающий» F движется по лучу [F(0), A(0)), «преследователь» P перемещается по лучу [P(0),B(0)), где B(0) - «точка перехвата, определяемая условиями:

1. B (0) лежит на луче [F (0), A (0))

2._Р(0)_В(0) _ F(0) В{0)

т.е P и F достигают одновременно этой точки, если F движетя по [F (0), A(0)) :

F(0) F(t) А(0)

В(0)

Р(0)

Пусть F меняет направление своего движения в момент времени ^ и некоторое время перемещается по лучу А(^)). Тогда Р движется по лучу

[РО^), B(t1)), где Б — точка перехвата на луче А(^)),

удовлетворяющая условию

если F снова меняет направление своего движения в момент времени Ц, то Р

2'

начинает двигаться к новой точке перехвата Б

и т. д. :

При использовании «преследователем» стратегии параллельного сближения отрезок параллелен отрезку [Р(0)^(0)] в каждый момент

времени 1

Для Реальных геометрических ЖИПТО опишем еще одну стратегию.

Заграждение: Сначала «преследователь» доходит до позиции между «убегающим» и одной из линий I, II, III, затем после каждого шага «убегающего», «преследователь» восстанавливает такое положение (когда прямая, проходящая через центры позиций «преследователя» и «убегающего» перпендикулярна к линии I), приближаясь к «убегающему».

Эти примеры показывают, что стратегии «преследователя» являются алгоритмами, которые ставят в соответствие каждой траектории «убегающего» траекторию «преследователя», построенную в соответствии с этим алгоритмом.

В ЛРТО В-1 «преследователь» доходит до линии I за 4 шага. Затем он в состоянии преградить путь к линии I любому «убегающему». Это доказывает следующую теорему:

Теорема 1. В ЛРТО-Б1-А1 и ЛРТО-Б1-А2 существуют стратегии «преследователя», которые гарантируют, что «убегающие» получают не больше 12 (баллов).

Аналогичным способом доказывается, что в игре ЛРТО-Б2 «преследователь» преграждает путь к линии I любому «убегающему».

Теорема 2. В ЛРТО-Б2-А1 и ЛРТО-Б2-А2 существуют стратегии «преследователя», которые гарантируют, что «убегающие» получают не больше 12.

Отметим легкость доказательства этих теорем, что интересно для приобщения к математике ЖИПТО. Такие легкие теоремы в математике обычно называются «предложениями».

Труднее доказать следующие теоремы:

Теорема 3. В ЛРТО-Б1-А1 и ЛРТО-Б1-А2 существуют стратегии «преследователя», которые гарантируют, что «убегающие» получают не больше 11.

Теорема 4. В ЛРТО-В2-А1 и ЛРТО-В2-А2 существуют стратегии «преследователя», которые гарантируют, что «убегающие» получают не больше 11.

Несравнимо труднее попытка улучшения полученных результатов.

Теорема 5. В ЛРТО-В1-А1 и ЛРТО-В1-А2 существуют стратегии «преследователя», которые гарантируют, что «убегающие» получают не больше 10.

Теорема 6. В ЛРТО-В2-А1 и ЛРТО-В2-А2 существуют стратегии «преследователя», которые гарантируют, что «убегающие» получают не больше 10.

и т. д.

Опишем элементарные стратегии «убегающих» в Реальных геометрических ЖИПТО .

Движение к цели: Движение по перпендикуляру к линии III.

Можно позволить «убегающему» отступать, если «преследователь» приближается к нему.

Бегство: «Убегающий» делает свой шаг, чтобы быть как можно дальше от «преследователя».

Можно соединить эти две стратегии в различные «обходные маневры», когда «убегающий» пытается пройти к линии III и убегает от «преследователя», когда тот приближается к нему.

Оценивая количество баллов, которые получают «убегающие», идущие к цели (что довольно трудно), можно доказать следующие теоремы:

Теорема 7. В JIPTO-B1-A1 и JIPTO-B1-A2 существуют стратегии «убегающих», которые гарантируют им не менее 3 баллов.

Теорема 8. В JIPTO-B2-A1 и JIPTO-B2-A2 существуют стратегии «убегающих», которые гарантируют им не менее 3 баллов.Ясно, что эти оценки могут быть улучшены.

Идеальный случай состоит в том, чтобы найти стратегию «убегающих», которые гарантирует им А баллов и стратегию «преследователя», которая гарантирует, что «убегающие» не получат больше, чем А баллов. В этом случае, число А названо значением игры и соответствующие стратегии называются оптимальными стратегиями.

Опыт игр и эвристические рассуждения показывают, что значение игры СОНОР, скорее всего, равно 8 или 9.

Проблемы для исследования

Определения различных стратегий являются полезными упражнениями в описании в математических терминах способов действий, которые невозможно точно описать другим способом. Надо начинать с описания стратегий преследования и убегания для одного и двух «убегающих», затем для трёх и четырёх и наконец для пяти «убегающих», так как каждая стратегия превращается в стратегию для более маленького количества «убегающих» по мере поимки «убегающих». Можно, например, построить большое количество стратегий «убегающих» на базе нескольких «элементарных стратегий»: движение к цели, различные маневры обхода, убегания и т. д.

Приведем примеры тем для исследования математических моделей различных версий ЖИПТО.

Первая группа тем: Пусть "преследователь" в Реальном геометрическом ЖИПТО на каждом шаге использует стратегию перехвата ближайшего к нему в это время "убегающего". Получить оценки результатов игры "убегающих" при различных способах их действий в выбранной для исследования версии ЖИПТО.

Вторая группа тем: Пусть "преследователь" в Реальном геометрическом ЖИПТО на каждом шаге использует стратегию простого преследования ближайшего к нему в это время "убегающего". Получить оценки результатов игры "убегающих" при различных способах их действий в выбранной для исследования версии ЖИПТО.

Третья группа тем: Пусть "преследователь" в Идеальном математическом ЖИПТО использует стратегию параллельного сближения с ближайшим к нему в момент коррекции направления своего движения "убегающим". Получить оценки результатов игры "убегающих" при различных способах их действий в выбранной для исследования версии ЖИПТО.

Четвертая группа тем: Пусть "преследователь" в Идеальном математическом ЖИПТО использует 8-погонную стратегию ближайшего к нему в момент коррекции направления своего движения "убегающего". Получить оценки результатов игры "убегающих" при различных способах их действий в выбранной для исследования версии ЖИПТО.

Пятая группа тем: Пусть "преследователь" в Реальном геометрическом ЖИПТО на каждом шаге использует стратегию параллельного сближения между своим центром и центром ближайшего к нему в это время "убегающего". Получить оценки результатов игры "убегающих" при различных способах их действий в выбранной для исследования версии ЖИПТО.

Разумеется, аналогичные группы проблем можно изучать для любых других интересных стратегий преследования.

Для каждого из тысяч версий ЖИПТО существуют две основные проблемы.

Проблема «преследователя». Найти стратегию «преследователя», которая гарантирует ему приемлемый результат.

Проблема «убегающих». Найти стратегию «убегающих», которая гарантирует им приемлемый результат.

Для меня будет большим удовольствием, если благодаря этим темам найдется новый блестяший математический гений в какой-нибудь глухой аргентинской или якутской деревне, который, может быть, придумает потом прикладную математическую теорию, полезную для прогресса человечества. По крайней мере, я сам в 15 лет с интересом бы взялся за такое исследование, с удовольствием нашел бы потом специалистов по математической теории преследования, после появления первых идей.

На самом деле, каждая версия ЖИПТО заслуживает глубокого исследования, которая может быть оформлена в виде диссертации «Математическая теория игры ЛРТО-У», где V = ЛРТО-В1-А1, ЛРТО-В1-А2, ЛРТО-В1-А2-Р(1,2,3,4,5), ... [69].

Нельзя, однако, думать, что завтра появятся сотни кандидатов наук по математической теории ЖИПТО. Темы слишком трудные, исследования будут продолжаться веками.

Первые диссертации будут посвящены математической теории базовых игр ЛРТО-А1-В1, ЛРТО-А1-В2, ЛРТО-А2-В1, ЛРТО-А2-В2 и могут быть написаны по следующему плану:

Во введении, вкратце, описывается история создания и распространения ЖИПТО, внедрения в образование, дается быстрый обзор педагогических и психологических исследований. Затем объясняются особенности математических моделей базовых версий ЖИПТО. Дается обзор исследований по динамическим играм, результаты которых могут быть использованы для изучения рассматриваемого варианта ЖИПТО. Далее описывается содержание самой диссертации, формулируются основные результаты и заключения.

В первой главе описываются аналитическая и геометрическая модели рассматриваемой версии ЖИПТО, описываются основной и дополнительный критерии, обсуждаются используемые понятия оптимальности. Такая формализация доступна способным школьникам и дает для них прекрасную возможность приобщиться к понятию математического моделирования.

Описание моделей сложных вариантов ЖИПТО достойна тем дипломных работ и научных статей. Для целей теоретического исследования полезны "идеальные модели" ЖИПТО, которые получаются переходом к пределу при устремлении диаметра фишек к нулю. Это позволяет в некоторых случаях использовать результаты теории дифференциальных игр.

Во второй главе исследуется случай, когда в конце игры остается один "убегающий". Дело осложняется наличием геометрических ограничений на перемещения и существованием дополнительных критериев. Поэтому нельзя надеяться на получение исчерпывающих результатов даже в этом простейшем случае.

В третьей главе исследуется случай двух убегающих, в четвертой - трех, в пятой - четырех, в шестой - пяти убегающих. Речь может идти только о построении стратегий, гарантирующих достаточно хорошие результаты игрокам, хотя бы в частных случаях (например, при фиксированном порядке поимки или при каких-то других ограничениях на движения и стратегии).

В заключении формулируются выводы автора о наиболее перспективных направлениях дальнейших исследований.

В книге [69] описаны 2480 основных официальных версий ЖИПТО. Уточнение правила поимки (касание фишек или их пересечение) увеличивает это число в два раза. Исследование идеальных математических ЖИПТО с поточечной поимкой снова в два раза и т. д.

Таким образом, нами сформулированы тысячи тем для математических диссертаций.

Преимущество будут иметь те, кто еще в школе заинтересуется элементарной геометрией преследования и к окончанию университета накопит некоторое количество своих математических результатов. Другими словами, достигнет высшего уровня математической культуры еще в школе.

Главное преимущество математики заключается в том, что доказательство любой новой теоремы математической теории ЖИПТО будет признано научным достижением всеми специалистами и будет опубликовано в одном из математических журналов, независимо от возраста и уровня образования автора.

Моделирование стратегий представляет собой начало приобщения к языку математической теории игр. Понятие оптимальных стратегий не вызывает трудностей для игр, в которых интересы игроков противоположны, как в случае базовых версий ЖИПТО. Можно показать, что оптимальное значение игры одинаково для всех пар оптимальных стратегий. Такая ясность исчезает для игр, где интересы игроков не противопоставлены. Не существует больше понятия "оптимальность", которое бы было универсально приемлемо.

Язык математической теории игр содержит такие понятия, как "компромисс", "переговоры", "обещание", "угроза", "наказание", "стабильность". Такое обогащение математического словаря облегчает моделирование реальных конфликтных ситуаций и компромиссов.

Теория ЖИПТО дает возможность иллюстрировать понятия теории игр для начинающих и специалистов интересными и поучительными примерами. В математической теории игр термин «игра» обозначает любую конфликтную ситуацию или ситуацию, в которой ищется компромисс. Изучаемые модели, например, экономические или военные часто далеки от игровых.

Элементарная геометрия преследования

Теперь можно описать содержание развиваемой нами Элементарной геометрии преследования.

GRIGORI TOMSKI

ELEMENTARY GEOMETRY OF PURSUIT

GRIGORI TOMSKI

GEOMETRIE ELEMENTAIRE DE LA POURSUITE

В элементарной геометрии преследования мы изучаем траектории «преследователей» и «убегающих», являющиеся ломаными линиями или цепочками касающихся между собой кругов. Особенностью геометрии преследования является изучение различных стратегий преследования и убегания, определяемых в геометрических терминах. Например, различные стратегии «преследователя» Р описывают правила построения с помощью линейки и циркуля (идеальных) траекторий Р в зависимости от реализации траекторий «убегающего» (или «убегающих», если их много, а также других «преследователей», если они существуют).

Таким образом, в геометрии преследования рассматриваются траектории, которые являются на самом деле объектами классической геометрии: ломаные, цепочки касающихся кругов и т.д. Но к преобразованиям и другим отношениям, изучаемым в классической геометрии (вращение, подобие и т.д.), добавляется бесконечное число преобразований и отношений, порожденных различными стратегиями. Эти стратегии являются алгоритмами, определенными в геометрических терминах. Далее оцениваются результаты, гарантированные изучаемыми стратегиями в соответствии с различными критериями. Например, в играх на быстродействие сравниваются длины траекторий «преследователя» до момента поимки. В играх с «линией жизни» проверяется, достигают ли эту линию все траектории «убегающего», соответствующие изучаемой стратегии. Совокупность таких проблем образует богатый источник для геометрических исследований.

При последовательном аксиоматическом подходе к элементарной геометрии в нее следует включать все интересные утверждения, вытекающие из ее аксиом, то есть нельзя считать, что планиметрия должна заниматься только исследованием фигур на плоскости и другими темами, введеными в Началах Евклида. В этом смысле Элементарная геометрия преследования на плоскости в части, опирающейся только на аксиомы планиметрии, является частью этой самой планиметрии.

Мы считаем, что Система безошибочного определения математических талантов может быть основана только на тестировании способностей учащихся к исследованию нерешенных математических задач, описываемых на языке школьной математики.

С этим утверждением трудно не согласиться. Мы долго и упорно работали над созданием источников таких задач. Именно для этой цели разработана Элементарная геометрия преследования, имеющая неограниченные перспективы развития с участием всех любителей математики. При этом важно, что она является новым расширением классической евклидовой геометрии.

Развитая мною и моими учениками Математическая теория ЖИПТО дает неисчерпаемое количество нерешенных математических задач преследования, формулируемых на языке элементарной математики. Многие такие задачи могут быть исследованы способными учениками, знающими только школьную геометрию. Наиболее одаренные из них могут в 15-16 лет доказывать настоящие математические теоремы. Нет сомнения, что такие дети станут при желании хорошими профессиональными математиками.

Книга Математика ЖИПТО наполнена длинными формулами, что позволяет дать более полные и точные определения используемых классов стратегий и их оптимальности, познакомиться с теоремами о существовании оптимальных стратегий в некоторых классах игр и соответствующими теоретическими алгоритмами нахождения этих стратегий.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Научному творчеству в области математики я всецело посвятил 21 год своей жизни, а с переходом на работу в ЮНЕСКО в 1992 году сосредоточился на разработке и реализации различных международных проектов [74-77, 106, 107], в том числе, в области популяризации математики и математического образования [104, 105].

Я согласен с процитированной мною классификацией математиков, предложенной Жаном Дьедонне (в его книге Pour l'honneur de l'esprit humain : les mathématiques aujourd'hui, Hachette, 1987) и отношу себя к сильным математикам международного уровня, «способным к оригинальным исследованиям», которых по его мнению в развитых странах на 10 миллионов жителей рождается примерно по одному в год.

Если считать, что творческая жизнь математика продолжается в среднем около 40 лет, то в Якутии с ее примерно миллионом жителей могло бы быть около четырех математиков такого уровня, но я не вижу пока на своей родине математиков, имеющих право мечтать о создании своей математической школы мирового уровня.

Дьедонне на самый высокий третий уровень своей классификации математиков ставит «больших новаторов, чьи идеи оказывают влияние на всю науку своего времени и даже век спустя» и считает, что теперь таких появляется по одному или два в год по всему миру.

При этом математические таланты этих новаторов трудно соизмеряемы, например, нельзя сравнивать математические способности знаменитых математиков древности (например, Пифагора Евклида и Архимеда), а также великих новаторов Декарта и Лобачевского с признанными гениальными виртуозами математической науки, такими, как Галуа, Пуанкаре, Колмогоров и другие.

В этом отношении приятно осознавать, что я написал первую в мире книгу по Элементарной геометрии преследования, что является историческим событием в преподавании и популяризации математики, ибо

элементарная геометрия на плоскости в течении 2500 лет ограничивалась изучением свойств геометрических фигур и линий.

Действительно, Элементарная геометрия преследования является расширением классической элементарной геометрии Евклида, на которой воспитывались в течении более 2000 лет поколения математиков. Она и Математика ЖИПТО образуют неиссякаемый источник тем для исследования, формулируемых на языке, доступном для школьников после начала изучения ими геометрии на плоскости. Эти проблемы образуют единое направление исследований, а не совокупность разрозненных нерешенных задач.

Приобщение в рамках этого направления к исследовательской деятельности открывает двери к научной профессиональной работе в области математики или любой другой области деятельности с использованием методов математического моделирования. Поэтому следует перейти от использования тестов и соревнований (олимпиад и т.д.) к проверке математических способностей учащихся путем раннего приобщения к настоящим исследованиям, что составляет основу моей Системы раннего и безошибочного определения математических талантов.

Использование этой системы способно превратить среднее или даже небольшое государство в математическую державу, что подробно разьяснено в книге Математика — ключ к успеху [104]. Поэтому неожиданное открытие существования новой области математических исследований, доступной учащимся средних школ, должно привлечь внимание стран, которые серьезно относятся к своему будущему.

Раннее приобщение к базовой версии ЖИПТО (с 5 лет или раньше) является показателем наличия у ребенка повышеннего интеллектуального коэффициента, причем правила ЖИПТО в отличие от правил классических настольных интеллектуальных игр легко модифицируются на любой вкус. Использование силы искусства при популяризации ЖИПТО повышает возможности его коммерциализации, что в сочетании с его педагогическим потенциалом позволяет надеяться на распространение по всему миру.

В этом случае мои идеи окажут влияние на популяризацию математики и, следовательно, всей науки в течении веков.

ЛИТЕРАТУРА

1. Томский Г.В. Игровые задачи в динамических системах. - Иркутск: Изд-во ИГУ, 1982, 161 с.

2. Петросян Л.А., Томский Г.В. Динамические игры и их приложения. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1982. 6 252. с.

3. Петросян Л.А., Томский Г.В. Геометрия простого преследования. -Новосибирск: Наука, 1983. - 143 с.

4. Петросян Л.А., Томский Г.В. Дифференциальные игры с неполной информацией. - Иркутск: Изд-во ИГУ, 1984, 188 с.

5. Томский Г.В., Уланов В.А. Игры в общих управляемых системах. - Иркутск: Изд-во ИГУ, 1982, 208 с.

6. Петросян Л.А., Томский Г.В. Элементарные задачи преследования и убегания.

- Якутск: Изд-во ЯГУ, 1989. - 80 с.

7. Петросян Л.А., Томский Г.В. Через игры - к творчеству. - Новосибирск: Наука, 1991. - 127 с.

8. Томский Г.В. Динамические игры с полной информацией и их приложения: Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. - Л.: ЛГУ, 1987. - 256 с. (Tomski G Fondements de la théorie axiomatique des jeux dynamiques.

- JIPTO International, 2004. - 258 p.)

9. Томский Г.В. Об аппроксимации параметрических дифферециальных игр // Математические методы в социальных науках. 1975, Вып. 5. - Вильнюс, с. 63-68.

10. Томский Г.В. Параметрические динамические игры преследования // Проблемы механики управляемого движения. - Перьм, 1975, с. 108-113.

11. Томский Г.В. Существование значения в дифференциальных играх, описываемых задачей Гурса // Некоторые вопросы дифференциальных уравнений, Вып.1. - Якутск, 1975, с. 132-135.

12. Томский Г.В. Об одном классе дифференциальных игр // Некоторые вопросы дифференциальных уравнений, Вып.1. - Якутск, 1975, 145 с. 136-145.

13. Томский Г.В. Параметрические дифференциальные игры. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. - ЛГУ, 1975, 120 с.

14. Томский Г.В. Существование значения в полудинамических играх // Математические заметки, 1977, Т. 22, N 3, с. 401-410.

15. Томский Г.В. Квазидинамические игры // Некоторые вопросы диффернциальных и интегральных уравнений и их приложения. - Якутск, 1977, с. 99131.

16. Томский Г.В. Антагонистические игры в динамических системах по Калману // Некоторые вопросы дифференциальных и интегральных уравнений и их приложения. -Якутск, 1977, с. 132-152.

17. Томский Г.В. Об информированности игроков в дифференциальных играх // Тезисы IV Всесоюзной конференции по теоретической кибернетике. - Новосибирск, 1977, с. 23.

18. Томский Г.В. Задачи о сближении-уклонении в квазидинамических системах // Прикладная математика и механика, 1978, Т. 42, N 2, с. 219-227.

19. Томский Г.В. Кусочно-синтезирующие стратегии в дифференциальных играх // Управление динамическими системами. - ЛГУ, 1978, с. 238-244.

20. Томский Г.В. Уравнения для значений динамических игр // Некоторые вопросы диффернциальных и интегральных уравнений и их приложения, 1978, Вып. 3. - Якутск, с. 172-188.

21. Tomski G.V. Encounter-evasion problems in quasidinamic systems // J. Appl. Math. Mech, 1978, 42 (2), p. 229-237.

22. Tomski G. Jeux dynamiques à deux joueurs // Cahiers du CEREMADE, n° 7919. -44 p. (Université de Paris-Dauphine)

23. Tomski G. Jeux dynamiques qualitatifs // Cahiers du CEREMADE, n° 7934. - 25 p. (Université de Paris-Dauphine)

24. Томский Г.В. О стратегиях в дифференциальных играх // Прикладная математика и механика, 1980, Т. 44, N 4, с. 626-631.

25. Томский Г.В. Методы решения антагонистических игр в динамических системах // Научно-практическая конференция, Секция: Вопросы прикладной математики и механики. - Якутск, 1980, с. 30-31.

26. Tomski G.V. On strategies in differential games // J. Appl. Math. Mech, 1980, 44 (4), p. 441-446.

27. Томский Г.В. О динамических играх с фиксированной продолжительностью // Прикладная математика и механика, 1981, Т. 45, N 2, с. 230-235.

28. Томский Г.В. Об обобщенном значении динамических игр на быстродействие // Вестник ЛГУ, 1981, N 19, вып. 4, с. 40-44.

29. Tomski G.V. O fixed-duration dynamic games // J. Appl. Math. Mech, 1981, 45 (2), p. 164-168.

30. Tomski G.V. The generalized value of high-speed dynamic games // Tфhoku Math. J. 1981, 34 (2), p. 40-44.

31. Томский Г.В. Игровые задачи в управляемых системах // IV Всесоюзная конференция по оптимальному управлению в механических системах. - М., 1982, с. 178.

32. Петросян Л.А., Томский Г.В. Динамические игры c полной информацией и их приложения к играм с неполной информацией // Дифференциальные уравнения, 1982, Т. 18, N 4, с. 593-599.

33. Petrosyan L.A., Tomski G.V. Dynamic Games with Complete Information and their Applications to Games with Incomplete Informatiojn // Differential Equations, 1982, 18 (4), p. 429-434.

34. Bernhard P., Tomski G. Une construction rétrograde dans les jeux differentiels qualitatifs et applications à la régulations // R.A.I.R.O. Automatique / System Analysis and Control, vol. 16, N 1, p. 71-84.

35. Томский Г.В. Зоны захвата и убегания в динамических играх качества // Дифференциальные уравнения, 1983, Т. 19, N 3, с. 419-425.

36. Томский Г.В. Антагонистические игры в управляемых системах // Теория игр и ее приложения - Кемерово, 1983, с. 50-60.

37. Томский Г.В. Оптимальное управление динамической системой // Динамические управляемые системы - Якутск, 1983, с. 140-146.

38. Томский Г.В., Пермяков Г.П. Об антагонистических играх в общих управляемых системах // Всесоюзный научно-практический семинар «Прикладные аспекты управления сложными системами», Москва, 1983, с. 192.

39. Петросян Л.А., Томский Г.В. Динамические игры // Известия АН СССР. Техническая кибернетика, N 2, с. 33-50.

40. Petrosyan L.A., Tomski G.V. Dynamic games // Engrg. Cybernetics, 1983, 21 (2), p. 24-38.

41. Томский Г.В. О линейных дифференциальных играх преследования // Кибернетика, 1984, N 8, с. 1264-1265.

42. Томский Г.В. Об одном методе последовательных приближений функции Беллмана // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1984, N 8, с. 1264-1265.

43. Томский Г.В. Два метода последовательных приближений функции значения в динамических играх // Управление динамическими системами. - Л., 1984, с. 133-138.

44. Tomski G.V. On dynamic games // 12th IFIP Conf. On System Modelling and Optimization. Abstracts. I. - Budapest, 1985, p. 364-365.

45. G.V.Tomskii, A method of successive approximations of Bellman function // Journal USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, Volume 24, issue 4, dec. 1985, Pages 182-185.

46. Томский Г.В. О существовании решений антагонистических дифференциальных игр // Дифференциальные уравнения, 1986, Т. 22, N 9, с. 1630-1631.

47. Томский Г.В. Критерии существования решений антагонистических дифференциальных игр // Многошаговые иерархические дифференциальные и кооперативные игры. - Калинин: Изд. КГУ, 1986, с. 46-51.

48. Томский Г.В. Программные итерации в динамических системах // Управление динамическими системами. - Якутск: Изд. Якутского университета, 1986, с. 137-144.

49. Томский Г.В. Об антагонистических играх в общих управляемых и эволюционных системах // Исследование систем, описываемых дифференциальными уравнениями. - Якутск: Изд. СО АН СССР, 1986, с. 43-48.

50. Томский Г.В. Информационные системы антагонистических динамических игр // Вестник ЛГУ, 1987, Серия I, вып. 2, с.116-117.

51. Томский Г.В. О дифференциальных играх качества // Дифференциальные уравнения и применения. - Русе, 1987, с. 417-420.

52. Томский Г.В. О необходимых и достаточных условиях существования решения антагонистических динамических игр в терминах одной функции Ляпунова // Динамические процессы и устойчивость. - Якутск, 1987, с. 153-169.

53. Томский Г.В. Общие кусочно-синтезирующие стратегии в дифференциальных играх // Методы прикладной математики и математической физики. - Якутск, 1987, с. 3-5.

54. Tomski G. Introduction à la théorie des jeux dans les systèmes généraux // Cahiers du CEREMADE, 1987, n° 8701. - 68 p. (Université de Paris-Dauphine)

55. Томский Г.В. Дифференциальные игры качества в классе Е-стратегий // Дифференциальные уравнения, 1988, Т. 24, N 5, с. 818-824.

56. Томский Г.В. Проблемы теории антагонистических динамических игр с полной информацией // Проблемы теории игр в общих системах - Якутск, 1988, с. 40-49.

57. Томский Г.В. Критерии существования решения дифференциальных игр // Вопросы оптимального управления и исследования операций. - Иркутск, 1988, с. 148154.

58. Томский Г.В. Геометрические методы решения задач преследования на плоскости // Оптимальное управление. Геометрия и анализ. Тезисы докладов. -Кемерово, 1988, с. 105.

59. Томский Г.В., Егоров Р.И. Информированность игровов в антагонистических динамических играх // Динамика систем и управление - Саранск, 1988, с. 140-143.

60. Tomski G.V. Qualitaty Differential Games in the E-Strategy Classe // Differential Equations, 1988, 24 (5), p. 538-542.

61. Томский Г.В. Динамические игры без дискриминации в классе Е-стратегий // Дифференциальные уравнения и их приложения. - Якутск, 1989, с. 3-10.

62. Томский Г.В. Программные итерации в одной дифференциально-импульсной системе // Теория игр и ее приложения. - Кемерово, 1989, с. 21-25.

63. Данилов Н.Н., Томский Г.В. Кооперативные динамические игры с побочными платежами // Динамические системы. - Якутск, 1989, с. 8-18.

64. Данилов Н.Н., Томский Г.В. О существовании В-ядра в динамических играх с фиксированной продолжительностью // Дифференциальные уравнения, 1990, Т. 26, N 3, с. 401-408.

65. Danilov N.N., Tomski G.V. Existence of an E-B-Kernel for Dynamic Games of Fixed Duration // Differential Equations, 1990, 26 (3), p. 292-297.

66. Томский Г.В. Принятие решения о встрече в одной задаче простого преследования // Исследования по геометрии простого преследования. - Якутск, 1991, с. 99-104.

67. Томский Г. В., Барашков П. Д. Состояние и перспективы развития исследований по теоретической и прикладной математике в Я-С ССР. - Якутск: ЯМНУЦ, 1991. - 16 с. (Académie des Sciences de l'URSS)

68. Tomski G. JIPTO : 1001 jeux pour tous. - P. : JIPTO International, 2002. - 40 p. (Editions du JIPTO, 2005. - 60 p.)

69. Томский Г.В. ЖИПТО: Учебник инструктора. - Editions du JIPTO, 2021. - 78 с. (Projet JIPTO, 2021, N 1)

70. Tomski G. JIPTO : Manuel du Moniteur. - Editions du JIPTO, 2021. - 86 p. (Projet JIPTO, 2021, N 2)

71. Tomski G. JIPTO : Instructor's Handbook, 2017 (Amazon Kindle). - 74 p.

72. Tomski G. L'UNESCO et les ONG : Politique officielle et expérience personnelle. - Editions du JIPTO, 2006. - 124 p.

73. Tomski G. UNESCO ET PHILOSOPHIE: Catalyseur des idées et centre d'attraction des gens de bonne volonté. - Editions du JIPTO, 2019. - 148 p. (FIDJIP-EUROTALENT-CONCORDE, 2019, N 2)

74. Томский Г.В. ЮНЕСКО И ФИЛОСОФИЯ: Катализатор идей и центр притяжения людей доброй воли. - Editions du JIPTO, 2019. - 153 p. (FIDJIP-EUROTALENT-CONCORDE, 2019, N 1)

75. Томский Г.В. Краткие автобиографические заметки // CONCORDE, 2017, N 1, p. 3-112.

76. Томский Г.В. ФИДЖИП: Международная федерация для всех, 2016 (Amazon Kindle). - 102 с.

77. Томский Г.В. Международная академия КОНКОРД // CONCORDE, 2018, N 4, р. 3-20.

78. Томский Г.В. Программы и проекты Международной академии КОНКОРД, 2018 (Amazon Kindle). - 205 c.

79. Томский Г.В. Защита интеллектуальной собственности на примере ЖИПТО, 2017 (Amazon Kindle). - 72 с.

80. Tomski G. Protection du droit d'auteur et de la propriété intellectuelle : Exemple

du JIPTO, 2017 (Amazon Kindle). - 73 p.

81. Томский Г.В. ЖИПТО и художественное творчество для всех. - Editions du

JIPTO, 2020. - 104 c. (JIPTO-Livres, 2020, N 1)

82. Tomski G. JIPTO : Créativité artistique pour tous. - Editions du JIPTO, 2020. -

107 p. (JIPTO-Livres, 2020, N 2)

83. Tomski G. JIPTO : Artistic creativity for all, 2017 (Amazon Kindle). - 97 p.

84. Томский Г.В. ЖИПТО и искусство фотографии всех - Editions du JIPTO, 2021. - 110 с. (JIPTO-Livres, 2021, N 2)

85. Tomski G. JIPTO : Compositions photographiques. - Editions du JIPTO, 2021. -112 p (JIPTO-Livres, 2021, N 3)

86. Tomski G. JIPTO : Photographic compositions, 2017 (Amazon Kindle). - 104 p.

87. Томский Г.В. ЖИПТО и литературное творчество для всех (Amazon Kindle).

- 117 с.

88. Tomski G. JIPTO : Source de l'inspiration littéraire, 2016 (Amazon Kindle). - 120

p.

89. Tomski G. Le JIPTO et le Système JIP. - Editions du JIPTO, 2005. - 214 p.

90. Томский Г.В. ЖИПТО и образование: Теоретические основы Системы ДИП. -Editions du JIPTO, 2021. - 220 с. (Bulletin EUROTALENT-CONCORDE, 2021, N 1)

91. Tomski G. JIPTO : de la Maternelle à l'Université. - Editions du JIPTO, 2007,. -

207 p.

92. Томский Г.В. ЖИПЮ и массовая франкофония. - Edition du JIPTO, 2018. -112 c. (Projet JIPTO, N 1)

93. Tomski G. JIPTO et Francophonie vivante // Bulletin de l'Académie Internationale

CONCORDE, 2018, N 4, р. 8-100.

94. Tomski G. Utilisation du JIPTO pour la diplomatie publique et la politique

d'image, 2017 (Amazon Kindle). - 75 p.

95. Томский Г.В. Использование ЖИПТО для публичной дипломатии и

имиджевой политики, 2017 (Amazon Kindle). - 87 с.

96. Tomski G. Géométrie élémentaire de la poursuite. - Editions du JIPTO, 2005. -

244 p.

97. Томский Г. В. Элементарная геометрия преследования, 2017 (Amazon Kindle). - 211 с.

98. Tomski G. Elementaty Geometry of Pursuit, 2017 (Amazon Kindle). - 208 p.

99. Tomski G Fonctions et modélisation mathématique. - Editions du JIPTO, 2005. -

188 p.

100. Томский Г. В. Математика ЖИПТО и темы для исследований. - Editions du

JIPTO, 2021. - 121 p. (FIDJIP-EUROTALENT-CONCORDE, 2021, N 1)

101 Tomski G. Mathématiques du JIPTO et thèmes de recherche. ■ - Editions du JIPTO,

2021. - 124 p. (FIDJIP-EUROTALENT-CONCORDE, 2021, N 2)

102 Tomski G. Mathematics of JIPTO and research topics, 2017 (Amazon Kindle). -

120 p.

103. Томский Г.В. От изучения стратегий преследования к «Началам» Евклида // Bulletin de l'Académie Internationale CONCORDE, 2018, N 3, р. 24-96.

104. Tomski G. Mathématiques - clé du succès : Sur la culture mathématique pour tous. - Editions du JIPTO, 2020. - 121 p. (Projet JIPTO, 2020, N 1)

105. Томский Г.В. Математика - ключ к успеху: О математической культуре для всех. - Editions du JIPTO, 2020. - 130 с. (Projet JIPTO, 2020, N 2)

106. Томский Г.В. Международные дела и связи регионов, 2016 (Amazon Kindle).

- 130 с.

107. Томский Г.В. Международные проекты свузами и научными центрами Франции, 2016 (Amazon Kindle). - 77 с.

СОДЕРЖАНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ........................................................................................................3

МОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИ И САМООБРАЗОВАНИЕ

Вертикальное рождение..............................................................................................4

В якутских школах.......................................................................................................6

Пробуждение интереса к математике.........................................................................9

Выбор профессии.......................................................................................................13

Учеба в университете................................................................................................15

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ТВОРЧЕСТВО

Первые теоремы.........................................................................................................19

Начало научной работы в области математики........................................................28

Стажировка во Франции............................................................................................33

Защита докторской диссертации...............................................................................39

Мой след в математике..............................................................................................41

ПЛАН СОЗДАНИЯ НАУЧНОЙ ШКОЛЫ

Попытка консолидации математических сил Якутии.............................................47

Оригинальный метод популяризации математики..................................................50

Проблемы теории ДИП и искусственный интеллект..............................................52

Математическая одаренность....................................................................................54

и уровни математической культуры..........................................................................54

РОЖДЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОМЕТРИИ ПРЕСЛЕДОВАНИЯ

Значение геометрического образования...................................................................57

ЖИПТО - семейство ДИП на любой вкус................................................................59

Использование ЖИПТО для приобщения

к методу математического моделирования..............................................................68

Стратегии «преследователя» и «убегающих»..........................................................75

Проблемы для исследования.....................................................................................81

Элементарная геометрия преследования.................................................................84

ЗАКЛЮЧЕНИЕ........................................................................................................86

ЛИТЕРАТУРА...............................................................................................................................................88

Académie Internationale CONCORDE

Международная академия КОНКОРД

11 rue de la Concorde, 10100 Romilly sur Seine (France) Blog : http://academie-concorde.blogspot.com Président : g.tomski@gmail.com Secretaire Général : christian-rouge@orange.fr

Tel. : 03 25 39 85 50

Journal Officiel de la République Française, n° 52 du 26.12.09

Comité de lecture de CONCORDE est composé des membres actifs de cette académie :

Professeur Grigori Tomski (France), président Christian Rouge (France), secrétaire général Professeur Nelya Tazeeva (France) Professeur Edmond Jouve (Paris) Professeur Jean-Paul Guichard (France) Dr Francis M. Sanchez (Paris)

Dr Oya Artun (Paris) Dr Christian Bizouard (Paris) Professeur Fathi Moussa (Paris) Professeur Elena Deza (Paris) Professeur Albert Fischer (Paris) Professeur Boris Kluchnikov (UNESCO) Dr Adriana Melo-Salinas (EUROTALENT) Professeur Nikolay Mouchkambarov (Moscou) Professeur Vladimir Tchistiakov (Russie) Dr Alexandre Kononov (Moscou) Professeur Leon Petrossian (Saint-Pétersbourg) Professeur Oleg Malafeev (Saint-Pétersbourg) Professeur Valeriy Kotov (Crimée) Dr Alexander Voin (Israël) Professeur Kabyl Kalykov (Kazakhstan) Professeur Alexey Golikov (Yakoutsk) Dr Stepan Kaygorodov (Yakoutsk) Dr Valentin Irkhin (Ekaterinbourg)

Редакционная коллегия журнала состоит из следующих ученых:

Действительные члены Международной академии КОНКОРД

Профессор Григорий В. Томский (Франция), президент Кристиан Руж (Франция), генеральный секретарь Профессор Наиля К. Тазеева (Франция)

Профессор Эдмонт Жув (Париж) Профессор Жан-Поль Гишард (Франция) Профессор Елена Деза (Париж) Доктор Франсиз Саншез (Париж)

Доктор Ойа Артун (Париж) Доктор Кристиан Бизуард (Париж) Профессор Фатхи Мусса (Париж) Профессор Альберт Фишлер (Париж) Профессор Борис Ф. Ключников (ЮНЕСКО) Доктор Адриана Мело-Салинас (ЕВРОТАЛАНТ) Профессор Николай Н. Мушкамбаров (Москва) Профессор Владимир А. Чистяков (Россия) В.н.с. Александр А. Кононов (Москва) Профессор Леон А. Петросян (Санкт-Петербург) Профессор Олег А. Малафеев (Санкт-Петербург) Профессор Валерий А. Котов (Крым) Доктор Александр Воин (Израиль) Профессор Алексей В. Голиков (Якутск) Доцент Степан П. Кайгородов (Якутск) В.н.с. Валентин Ю. Ирхин (Екатеринбург)

В редакционный совет журнала входят: Члены-корреспонденты

Профессор Кристиан Валлар (Франция) Доктор Жюлио Цезарь Жиоржини (Франция) Доктор Ксавье Латур (Франция) Доктор Жан-Жак Берчи (Швейцария) Доктор Пелагея Папутсаки (Нидерланды) Эрлендс Калабуиг (Испания, директор Евронет) Архитектор Марк Валле (Франция) Ален Герен (Франция, менеджер) Марк Компаньон (Франция, менеджер)

Райхан Жанбулатова (Казахстан) и другие эксперты проектов академии.

Imprimé en France Indicatif éditeur : 2-35175

Editions du JIPTO 11, rue de la Concorde 10100 Romilly sur Seine (France)

Dépôt légal : Juillet 2021