CC BY
38
лым "возмущением" гамильтоновой системы. Если функцию Н1 можно представить в виде
Н1 = 82 Н '1, где Н '1 принимает конечное значение в области изменения переменных
11,12,^,^2 а 8 - малый параметр, то в интервале изменения дуговой координаты 5 порядка
8 1 условно-периодическое решение (10) будет отличаться от точного решения на величину порядка 8 . Разность между функциями Гамильтона (4) и (7) при 5 = 50 может быть сделана необходимо малой за счет малости начальных отклонений переменных и аналитичности функции Гамильтона Н . Порядок малости этой разности сохраняется и при произвольных значениях 5 в силу устойчивости стационарного решения. В работах [4,5] доказано, что величины 11, 12 для "возму-
щенной" системы мало отличаются от начальных значений, если выполнено условие
)2 н о (11, I:
det
= аиа22-а,2, Ф 0 (13)
dl dl
m n
Из формул для коэффициентов аи,а22,а12 следует справедливость (13).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Биркгоф, Дж.Д. Динамические системы. - Ижевск: Издательский дом «Удмуртский университет», 1999 -408 с.
2. Горр, Г.В., Илюхин, А.А., Ковалев, А.М., Савченко, А.Я. Нелинейный анализ поведения механических систем. Киев: Наукова думка, 1984 - 288 с.
3. Илюхин, А.А. Пространственные задачи нелинейной теории упругих стержней. Киев: Наукова думка, 1979 - 218 с.
4. Колмогоров, А. Н. Общая теория динамических систем и классической механики // Междунар. мат. конгр. в Амстердаме. М.: Физматгиз, 1961. С. 187-208.
5. Мозер, Ю. КАМ-теория и проблемы устойчивости. М.: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001 - 437 с.
УДК 519.6: 681.3
А.В. Цейлер
ИТЕРАЦИОННЫЙ АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ЛЯПУНОВУ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННОЙ
МАТРИЦЕЙ КОЭФФИЦИЕНТОВ
Аннотация. Признаки устойчивости по Ляпунову решений систем линейных дифференциальных уравнений представлены в матричной форме, содержат необходимые и достаточные условия, при этом не преобразуют функций правой части системы. В целом признаки ориентированы на компьютерную реализацию, часть из них - на аналитическое исследование. Программно реализуемые признаки даны для линейных и автономных систем общего вида, доказаны и приведены критерии устойчивости.
Ключевые слова: устойчивость по Ляпунову, линейные системы дифференциальных уравнений, программно реализуемые критерии.
A.V. Zeiler
ITERATIVE ANALYSIS OF LYAPUNOV STABILITY OF SOLVING A LINEAR SYSTEM OF DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH CONSTANT MATRIX OF COEFFICIENTS
Absrtact. Criterions of Lyapunov stability of solutions of systems of linear differential equations are presented in a matrix form, contain the necessary and sufficient conditions, it does not transform the functions of the right side of the system. In general, criterions are oriented to computer implementation, some of them - on the analytical research. Program implemented criterions are for linear and autonomous systems of general form, proven and are the criteria of stability.
Key words. Lyapunov stability, linear systems of differential equations, program implemented cri-terions.
Определение устойчивости в смысле Ляпунова заимствуется [1]. Пусть рассматривается система
= Е (Г, 7), 7( Ч ) = 70.
(1)
Для нее, как и для рассматриваемых ее частных случаев, будут предполагаться выполненными все условия существования и единственности решения задачи Коши. В частности , эти предположения будут считаться выполненными при рассмотрении автономной системы
= F(Y), 7 ((оо ) = 7,.
а(
(2)
Решение 7 = 7 ( (, (0, 70 ) системы (1) называется устойчивым (справа) в смысле Ляпунова, если оно существует на полупрямой (, < ( < и для него выполнены условия:
(1) Найдется такое Р > 0, что каждое решение 7((, (0,, удовлетворяющее начальным данным 7 ( (0 ) = 71, существует на (0 < ( < как только || 71 — 70 || < Р .
(2) Для любого 8 > 0 можно найти 5 = 5(8, Е, 70), 8 > 0 , такое, что || 71 — 70 || <5 влечет II7((, (0, 7,) — 7 ( (, (0, 70 ) < 8 для всех точек полупрямой.
Устойчивость будет называться асимптотической (справа), если при выполнении первых двух условий дополнительно выполняется третье:
(3) Можно указать 80 =80 (Е,70), такое, что из неравенства Ц^ — 70 || < 50 следует
|| 7((, (0,70)—7 ((, (0,71 )||——^ 0.
Аналогично определяется устойчивость и асимптотическая устойчивость слева, при этом
+ заменяется на — да и вместо полупрямой [ (0, да) рассматривается полупрямая [ (0,—да).
Для автономной системы (2) имеет место [ 1 - 3 ] простой признак неустойчивости. Он состоит в фиксировании нарушения необходимого условия устойчивости, формулировку которого содержит
Лемма. Чтобы невозмущенное решение 7 ( (, (0, 7)) автономной системы (2) было устойчиво (справа) в смысле Ляпунова, необходимо, чтобы для любого 8 > 0 нашлось Д0 = Д0 (8, (0, 70 ), Д0 > 0, такое, что из неравенства
0 < Д < Д0
(3)
следовало бы неравенство
|| 7 ((, (0, 70) — 7 ((, (0, 70д)||<8 ,
(4)
где 70Д = 7 ( (0 + Д), - для всех точек полупрямой (0 < ( < .
Доказательство. Пусть решение 7 ( (, (0, 70 ) системы (2) устойчиво (справа) в смысле Ляпунова. Тогда для любого 8 > 0 найдется 80 > 0, такое, что
|| 7 ((, (0, 70) — 7 ((, (0, ^ )||<8 ,
(5)
как только
— 70 <80.
(6)
В силу автономности система (2), наряду с решением 7(() = 7 ( (, (0, 70 ) ,содержит в качестве решения сдвиг 7 ( ( + Д)= 7 ( ( + Д, (0, 70Д ) этого решения, где 70Д = 7 ( (0 + Д ), причем при любом Д > 0. По непрерывной зависимости решения 7(() от начальных данных можно указать Д 0 > 0, такое, что
||7 (¿о +Д)-7 ( Ч)||<5о
для любых А> 0 из неравенства
0 < А < А
или, для тех же А,
0
70А 70
<5 0.
Это означает, что для любого такого А выполняется (6) при обозначении 7Х = 70А. В таком случае, по условию леммы для сдвига 7(/ + А, ¿0,70А) должно выполняться (5) в обозначениях 7Х = 7 ( ¿0 + А)=70А, 7 ( ¿0, 7Х ) = 7 ( г + А, ¿0, 70А). Тем самым для любого 8> 0 можно
указать А0 > 0, при котором для всех А из (3) будет выполняться (4) на полупрямой [¿0, да).
Лемма доказана.
По аналогии с данным доказательством можно доказать
Следствие. Чтобы невозмущенное решение 7 (¿0,70) автономной системы (2) было
асимптотически устойчиво (справа), необходимо, чтобы существовало А1 = Ах ( ¿0, 70 ), такое, что из неравенства
0 < А< А1
следовало бы
|| 7 (г, ¿0,70)-7 (г+А, ¿0,О-—^ 0.
0' 0/ V > 0>~0А/||
Частным случаем (2) является однородная система с постоянной матрицей В
dY
—НУ VI, ,=,
'0/ 0'
^ = В7, 7 (¿0 ) = 70. dг
(7)
Метод Эйлера для (7) , с учетом отсутствия свободного члена, примет вид
7+! = Л7,, I = 0,1,..., 70 = 7(¿0).
(8)
Видоизменение метода Эйлера для (7), согласно (8), записывается без свободного члена и при р = I влечет
7+1 = Л"170 .
(9)
Если в (9) положить / +1 = 2к , то степень Л2 находится путем к умножений матрицы самой на себя и дает приближение к решению
7к = Л2 К
(10)
(11)
в весьма удаленной (при большом к) точке
7 ( ¿2к )« 72к
¿2к = ¿0 + 2кИ.
С учетом (10), (11) можно приближенно проверить признак леммы при достаточно больших значениях опираясь на соотношения
7 (¿2к)-7 (¿2к +А)« Л2 7 (¿0) - Л2 7 (¿0 + А), ||7(¿2к)-7(¿2к +А)||« Л2к(7(¿0)-7(¿0 + А))
(12)
Проверке должно подлежать неравенство (4) при произвольном 8 > 0, которое для приближения (12) примет вид
<2к
Л2 (7(¿0)-7(¿0 + А))
<8.
где Д > 0 - любое число из условия (3) леммы. В условиях следствия должно проверяться соотношение
А2 (7 (^)—7 (+Д))
k ^ ад
->0
(14)
для всех Д < Дь Д1 из условия следствия.
В (13), (14) приращение 7 (t0 ) — 7 ( t0 + Д) задает некоторое возмущение начальных данных для нулевого решения однородной системы (7). Легко видеть, что если это приращение заменить на произвольного вида возмущение 71 — 70 нулевых начальных данных, то составленные по аналогии с (13), (14) соотношения
А24 (71 — 70)
<8
(15)
А24 (71 — 70)
4 ^ад
0,
(16)
выполнения которых для произвольно задаваемого 8 > 0 следует требовать, соответственно для некоторого 5 при всех 71, ЦТ,— 70 || <5 и для некоторого 80 при всех
71, || 71 — 701| < 50, будут фактически осуществлять приближенную проверку данного вначале определения устойчивости (справа) и асимптотической устойчивости (справа) для решения 7 (t, t0, 70 ) однородной системы (7).
В самом деле для этой системы при t = ^
7(t, ^ 70)—7(^ ^ 7,) = 7(^, ^ 70)— 7(^, ^ 71), где по методу Эйлера имеет место приближенное равенство
7(^, ^ 70)« 724 = 724—1 + hB 724—1 = (Е + hB7—1 = А72,_1г следовательно,
7(^, ^ 70)« А24 70,
и аналогично для 70 = 71, -
7 (^, to,7l ) - ~24 = ~ —1 + кВ ^ —1 = (Е + ^) ~ —1 = А~24 —1 ,
так что
7(t2t, ^)« А2 ~ = А24 71.
Поэтому в каждой точке t = ^ из (11)
7(и 70)—7(t + Д, ^ 71 )|
А7, — А7,
2" 2'
А2 (70 — 71)
Таким образом, соотношения (15) и (16) дают приближенную проверку как необходимого, так и достаточного условия устойчивости и соответственно асимптотической устойчивости с формальными оговорками относительно 8, 5 и 50.
Следует уточнить смысл понятия приближенности в процессе проверки необходимых и достаточных условий устойчивости.
При любом конечном t = ^ из (11) при d = 0,
А2 =(Е + hB)2=(Е + hB) к =(Е + hB)
<—0 к
Отсюда
А2
к ^ 0
е
в а—к)
как только в (11) t = const .
и
14 —'
к
к
При любом произвольном выборе и фиксировании г в соотношении г = ¿2к = ¿0 + 2 И для переменной к будет выполняться к ^ 0 тогда и только тогда, когда к ^ да. Поэтому, если для произвольного г > г0 имеет место связь И, к и г из соотношения
г - и
к =
2к
и <г = сош! к = 0,1,...,
(18)
предельный переход (17) выполняется тогда и только тогда, когда выполняется
Л2
к ^ да
е
В (г-0)
(19)
В (17) - (19) матрица Л образуется из матрицы В, взятой из (7), путем добавления к единичной матрице Е матрицы В с множителем к из (18)
Л = Е + ИВ, - (20)
соответственно конструкции шага метода Эйлера
7к+1 = 7к + ИВ 7к = (Е + ИВ)7к = Л7*.
Поскольку В в (7) - матрица постоянных коэффициентов, то е В(г г0) в (17), (19) задает матрицу фундаментальной системы решений.
Согласно известной структуре этой матрицы [4], нулевое решение однородной системы (7) устойчиво (справа) тогда и только тогда, когда
, В(г-0
< с = сош!
(21)
для всех точек полупрямой [ г0, да); асимптотическая устойчивость (справа) имеет место тогда и только тогда, когда
,В(г-0)
(22)
Из сопоставления (21) и (22) с (18), (19), с учетом изложенного, вытекает
Теорема [2]. Для того чтобы решение 7 ( г, г0, 70 ) однородной системы (7) с постоянной
матрицей коэффициентов В было устойчиво (справа) в смысле Ляпунова, необходимо и достаточно, чтобы матрица Л, определяемая из (20) для И из (18), удовлетворяла ограничению
Нт Л2
к ^да
< с = сош!
(23)
на всем множестве точек полупрямой [ г0, да). Для асимптотической устойчивости (справа) необходимо и достаточно, чтобы
Нт Л2
к ^да
(24)
Замечание. Утверждение теоремы относится, в частности, к устойчивости нулевого решения системы (7).
Следствие. Утверждение теоремы сохранится, если (23),(24) заменить на соотношения
и соответственно
Нт Л2
и ^ 0
Нт Л2
к ^ 0
< с = сош!.
0.
При этом к, г и к связаны соотношением (18), Л, к и В - соотношением (20).
к
к
к
г ^ да
к
к
г ^ да
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Чезари, Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Мир, 1964. - 478 с.
2. Ромм, Я.Е. Бесконфликтные и устойчивые методы детерминированной параллельной обработки: Дисс. ... док. техн. наук. - Таганрог. ТРТУ. - 1999. - 546 с.
3. Ромм, Я.Е. Параллельные итерационные схемы линейной алгебры с приложением к анализу устойчивости решений систем линейных дифференциальных уравнений // Кибернетика и системный анализ. - 2004. -№ 4. - С. 119 - 142.
4. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. - Изд-во Ленинградского университета., 1955. - 656 с.
УДК 531.3В ББК 22.21
К.С. Шаврин
ОСОБЫЕ РЕШЕНИЯ В ЗАДАЧЕ О ДВИЖЕНИИ СИММЕТРИЧНОГО ГИРОСТАТА
Аннотация.В рамках задачи о движении твердого тела, имеющего неподвижную точку, указаны условия существования равномерных вращений, величина угловой скорости которых зависит от параметров системы. Для решения А.И. Докшевича найдены условия, при которых решение вырождается в стационарное. Найдены ограничения на параметры задачи, приводящие к ветвлению самих стационарных решений, так и ответвлению от них решений более сложной структуры.
Ключевые слова: Неподвижная точка, угловая скорость, стационарное решение, параметр, ветвление.
К^. Shavrin
SPECIAL SOLUTIONS OF THE PROBLEM ABOUT MOTION OF SYMMETRIC GYROSTAT
Abstract. In the framework of the problem of the motion of a rigid body with a fixed point, specified conditions for the existence of uniform rotation, the angular speed of which depends on the system parameters. To solve A. I. Dokshevich found the conditions where the solution degenerates into the stationary. Found the restrictions on the parameters of the problem, leading to branching of the stationary solutions themselves and the branch of solutions of a more complex structure.
Key words: Fixed point, angular velocity, steady-state solution, the parameter branching Уравнения движения тяжелого гиростата в векторном виде имеют вид [5]:
(х + X)* = (х + X) х а + P(e х у), у* = у х а (1)
Здесь ю(ю1,ю2,ю3) - угловая скорость тела-носителя; х(хх, х2, х3) - кинетический момент гиростата; у - единичный вектор силы тяжести; e - единичный вектор, идущий из неподвижной точки О в центр тяжести гиростата; А.(Л1, Хг, Х3) - гиростатический момент; Р - произведение веса гиростата и расстояния от неподвижной точки до его центра тяжести. Звездочка означает дифференцирование по времени в осях, связанных с телом-носителем гиростата. Величины Xj линейно зависят от компонент вектора угловой скорости:
Xj = А11ш1 +А12Ш2 +А13Ш3 где A - тензор инерции гиростата в неподвижной точке.
В работе Илюхина А.А., Колесникова С.А [2] указано стационарное решение при условиях Докшевича А.И., которое имеет вид:
" 1" с ( а +1 \2
а + (а — 1) I -\с
Хп —
а — 2
Yio — '
а(а + 1)
1 — а
Va + 1 + (1 — а)с2
( а + 1 Va + 1 + (1 — а)с2
■ Уо —
а — 1
1 +
а+ 1 + (1 — а)с2У
а + 1
— 1
а+ 1 + (1 — а)с2\2
а + 1
+ а
1 — а — а
(а+1 + (1 — а)с2\2
а + 1
Р0
