Особые решения в задаче о движении симметричного гиростата Текст научной статьи по специальности «Математика»

3. Ромм, Я.Е. Параллельные итерационные схемы линейной алгебры с приложением к анализу устойчивости решений систем линейных дифференциальных уравнений // Кибернетика и системный анализ. - 2004. -№ 4. - С. 119 - 142.

4. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. - Изд-во Ленинградского университета., 1955. - 656 с.

УДК 531.3В ББК 22.21

К.С. Шаврин

ОСОБЫЕ РЕШЕНИЯ В ЗАДАЧЕ О ДВИЖЕНИИ СИММЕТРИЧНОГО ГИРОСТАТА

Аннотация.В рамках задачи о движении твердого тела, имеющего неподвижную точку, указаны условия существования равномерных вращений, величина угловой скорости которых зависит от параметров системы. Для решения А.И. Докшевича найдены условия, при которых решение вырождается в стационарное. Найдены ограничения на параметры задачи, приводящие к ветвлению самих стационарных решений, так и ответвлению от них решений более сложной структуры.

Ключевые слова: Неподвижная точка, угловая скорость, стационарное решение, параметр, ветвление.

К^. Shavrin

SPECIAL SOLUTIONS OF THE PROBLEM ABOUT MOTION OF SYMMETRIC GYROSTAT

Abstract. In the framework of the problem of the motion of a rigid body with a fixed point, specified conditions for the existence of uniform rotation, the angular speed of which depends on the system parameters. To solve A. I. Dokshevich found the conditions where the solution degenerates into the stationary. Found the restrictions on the parameters of the problem, leading to branching of the stationary solutions themselves and the branch of solutions of a more complex structure.

Key words: Fixed point, angular velocity, steady-state solution, the parameter branching Уравнения движения тяжелого гиростата в векторном виде имеют вид [5]:

(х + X)* = (х + X) х а + P(e х у), у* = у х а (1)

Здесь ) - угловая скорость тела-носителя; х(хх, х2, х3) - кинетический мо-

мент гиростата; у - единичный вектор силы тяжести; e - единичный вектор, идущий из неподвижной точки О в центр тяжести гиростата; А.(Л1, Хг, Х3) - гиростатический момент; Р - произведение веса гиростата и расстояния от неподвижной точки до его центра тяжести. Звездочка означает дифференцирование по времени в осях, связанных с телом-носителем гиростата. Величины Xj линейно зависят от компонент вектора угловой скорости:

Xj = А11ш1 +А12Ш2 +А13Ш3 где A - тензор инерции гиростата в неподвижной точке.

В работе Илюхина А.А., Колесникова С.А [2] указано стационарное решение при условиях Докшевича А.И., которое имеет вид:

" 1" с ( а +1 \2

а + (а — 1) I -\с

Хп —

а — 2

Yio — '

а(а + 1)

1 — а

Va + 1 + (1 — а)с2

( а + 1 Va + 1 + (1 — а)с2

■ Уо —

а — 1

1 +

а+ 1 + (1 — а)с2У

а + 1

— 1

а+ 1 + (1 — а)с2\2

а + 1

+ а

1 — а — а

(а+1 + (1 — а)с2\2

а + 1

Р0

—а(а + 1)с

720 =■

(а+ 1 + (1 — а)с2\2 V а + 1

+ а

Р0

= Гзо = 0 (2)

где

Р0 —

а(а + 1)

(а + 1 + (1 — а)с2)\2 а+1

+ а

/(1 — а)

М

а + 1

Ка + 1 + (1 — а)с2

— 1

1 — а — а

а + 1 + (1 — а)с2 а + 1

+ (а — 1)2с2

1. Если выполняются соотношения

_ а + 1 а+1 2(а—1)с3

с2 < ---, -< п < 2с,

У4(а — 1) а — 1 а + 1

то уравнение г2 (г) = 0 имеет два действительных корня [4]. Точка V — с является внутренней для интервала [г1,г2]. Когда начальное значение V — с, то система (1) допускает единственное стационарное решение, которое имеет вид:

И -

2 а /а + 1 + (1 — а)с2\2

хп —

а — 2

а + (1 — а) (■

а+1 а + 1 + (1 — а)с2

•Уо =

1 — а

1 —

а+1

Гю

а(а + 1)

1 — а

а + 1

+ 1

Ка + 1 + (1 — а)с2

(а + 1 + (1 — а)с2\2 V а + 1

а + 1 + (1 — а)с2\2 а+1

— а

+ 1 — а

Г20

(3)

^о — Гзо = 0,

где Ро =

а(а + 1)

(а + 1 + (1 — а)с2)\2 а + 1

— а

/(1 — о)

\

а + 1

^а + 1 + (1 — а)с2

+ 1

1 — а + а

2. Пусть выполняются соотношения:

а+1 а+1

-, п —

а + 1 + (1 — а)с2 а + 1

2(а — 1)с3

+ (а — 1)2с2.

\]4(а — 1) а—1' " а+1 Тогда значение V — с — V? является трехкратным корнем уравнения г2 — 0 и стационарное решение уравнений (1) имеет вид

^22С

Ш1П —

1П

2 \з

а+(1 — а) (^—т)

(Я2(а —2))

1-1

„ га—1\з

Л22а Г ^ 2 )]

(Я2(1 —а))

а(а + 1)

1 — а

Гю — ■

( 2 \з „ /а— 1\з „ /а—Ьз

I—) +1 —1 — а + а{—)

Ро

, (4)

х

а(а + 1)с

720

—а +

(ü-if

, ^зо = 0, Гзо = 0.

Дадим интерпретацию полученных выше результатов в задаче о движении гиростата, имеющего полости, заполненные вращающейся жидкостью. При выполнении условий п. 2 и равенства v2 = с стационарное решение (4) определяет равномерные вращения гиростата вокруг вертикали. Направление вектора угловой скорости ш в гиростате вычисляется с помощью второго и третьего равенств (4). Этот вектор лежит в главной плоскости у3 = 0.

Если начальное значение v Ф с, то соотношение (3) устанавливает связь зависимой переменной V от времени t при t £ [0, +да). Получим решение уравнений (1) в виде соотношений:

= Л2Т11к=0^к(а)т2к = А2Т12к=0грк(а)т2к

a>1=A11Гk=0Yk(a)т2«, = А22(Гк=0Гк(а) т2*У Я2т

Шз=А22&1=оГк(а)т2*)2 (5)

= rk=0ßk(.g)T2k = !?к=Ма)т2к

п CELoKfcWc)2, 72 (Гк=0гк(Ф2«Г

= тХ1=оГк(а)т2к = Ä2t

Yз = (I.L»YkШ2«y, где т = л22 Вывод. Решение (5) описывает асимптотические равномерные движения гиростата и имеет в качестве предельной точки (при t ^ да) соотношение (4). Решение интересно тем, что переменные Эйлера - Пуассона являются элементарными алгебраическими функциями времени. Такая ситуация встречается крайне редко в известных случаях интегрируемости уравнений Эйлера -Пуассона [3].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Докшевич, А.И. Новое частное решение уравнений движения гиростата, имеющего неподвижную точку // Механика твердого тела. 1979. № 2. - С. 12-15

2. Илюхин, А.А., Колесников, С.А. Бифуркация стационарных решений системы уравнений Эйлера-Кирхгофа в случае симметрии // Механика твердого тела. 2005. № 35. - С.93-101

3. Илюхин, А.А. Пространственные задачи нелинейной теории упругих стержней. - Киев: Наук. думка, 1979. - 218 с.

4. Илюхин, А.А. Изгиб и кручение изотропного стержня с равными главными жесткостями при изгибе // Механика твердого тела. 1971. №. 3. - С. 161-164

5. Харламов, П.В. Лекции по динамике твердого тела. - Новосибирск: НГУ, 1965. - 222 с.

УДК 139,4 ББК 22.37

А.А Попова

ТЕРМОУПРУГОЕ СОСТОЯНИЕ ЦИЛИНДРА С ТОНКОЙ ОБОЛОЧКОЙ НА ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ

Аннотация. Рассматривается термоупругое состояние цилиндра относительно большой длины, цилиндрическая поверхность которого окружена предельно "мягкой" или предельно "же-сткой"оболочкой со скользящей заделкой. Показано, что материал оболочки со скользящей заделкой не оказывает влияния на осевые напряжения в цилиндре со свободными торцами.

Ключевые слова: цилиндр, термоупругое состояние, температурные напряжения, перемещения, деформации, оболочка.

AA Popova

THERMOELASTICITY STATE CYLINDER THIN-WALLED ON THE CYLINDRICAL SURFACE

Annotation. Thermoelastic state of a relatively long cylinder the cylinder surface of which is surrounded by a limiting "soft" and limiting "tough" shell with a slipping attachment is considered. It is shown that the shell material doesn't influence the axial stresses in a cylinder with free ends.

Key words: cylinder, thermoelastic state, temperature stresses, displacement, deformations, shell