Построение решения уравнений Эйлера-Кирхгофа методом нормальных форм Текст научной статьи по специальности «Математика»

Если det I E hB \ ф 0

—hB 24

< 1, то матрица E--hB обратима, например, по од-

24

ной из схем, описанных в [7]. Оба требования заведомо выполнимы при условии, что h достаточно мало.

На изложенной основе может обсуждаться применимость данных приемов [9] для анализа устойчивости по Ляпунову решения системы (1). Здесь же целесообразно отметить, что с помощью специальных методов [2] к системам вида (1) с постоянной матрицей В сводятся все системы дифференциальных уравнений из класса приводимых. Помимо того, важными физическими приложениями непосредственно обладают некоторые системы данного вида, в частности системы

С-= АФ + b - SФ,

dt

где С, А, S - матрицы N х N, Ф - разностный вектор из N компонент. К такому виду сводится двумерное уравнение диффузии, которое затем с дополнительными преобразованиями решается на векторных компьютерах [10].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Немыцкий, В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. - М.-Л.: Гос. издат. технико-теоретической литературы. - 1947. - 448 с.

2. Матвеев, Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. - Изд-во Ленинград. ун-та. - 1955. - 656 с.

3. Чезари, Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Мир. - 1964. - 478 с.

4. Демидович, Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. - М.: Наука, 1967. - 472 с.

5. Красовский, Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. - М.: Физматгиз, 1969. -190 с.

6. Арнольд, В.И. Математические методы классической механики. - М.: Наука, 1989. - 472 с.

7. Ромм, Я.Е. Параллельные итерационные схемы линейной алгебры с приложением к анализу устойчивости решений систем линейных дифференциальных уравнений // Кибернетика и системный анализ. - 2004. - № 4. - С. 119 - 142.

8. Березин, И.С., Жидков Н.Г. Методы вычислений, т.1. - М.: Наука, 1970. - 464 с.

9. Ромм, Я.Е. Компьютерно-ориентированный анализ устойчивости на основе рекуррентных преобразований разностных решений обыкновенных дифференциальных уравнений // Кибернетика и системный анализ. - 2015. - Т. 51. - № 3. - С. 107 - 124.

10. Родриг, Г., Хендриксон, К., Пратт, М. Неявный численный метод решения двумерного уравнения диффузии и эксперименты по его векторизации // Параллельные вычисления / под ред. Г. Родрига. - М.: Наука, 1986. - С. 102 - 124.

и

УДК 531.3В ББК 22.21

Н. А. Терёхин

ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЭЙЛЕРА-КИРХГОФА МЕТОДОМ НОРМАЛЬНЫХ ФОРМ

Аннотация. В этой статье для построения приближенного решения уравнения Кирхгофа используются методы гамильтоновой механики. Сначала указывается алгоритм построения приближенного решения, а затем находится решение, отличающееся от точного членами четвертого порядка относительно начальных значений величин, характеризующих деформацию стержня.

Ключевые слова: импульс, нормализация, стержень, центральная ось, система координат, унивалентный.

N. A. Terekhin

THE CONSTRUCTION OF THE SOLUTION OF THE EULER-KIRCHHOFF METHOD OF NORMAL FORMS

Annotation. In this article, for the construction of an approximate solution of the Kirchhoff methods are used Hamiltonian mechanics. First, an algorithm for constructing an approximate solution, then

395

the solution is different from the exact terms of the fourth order with respect to the initial values of the quantities characterizing the deformation of the rod.

Keywords: momentum, normalization, rod, the central axis, coordinate system, univalent.

Уравнения Кирхгофа можно преобразовать в систему обыкновенных дифференциальных уравнений гамильтонова типа. Это означает, что в новых переменных pi, qi, уравнения Кирхгофа имеют вид [2,3]

dqi dH (Pi, qi) dqi dH (pi, qi)

ds др^ ' ds дд^

Здесь qi - обобщенные координаты, - обобщенные импульсы, Н (pi, qi) - функция Гамильтона. Существование такого преобразования следует из аналогии в формах записи уравнений Кирхгофа и уравнений движения твердого тела, имеющего неподвижную точку. Для последних уравнения известен способ введения обобщенных координат и импульсов. Будем исходить из следующего определения функции Гамильтона:

Н = Т - П, П = Ру-т, Т = 1 (ЬиМ2 + Ь22М22 + Ь33М32) + (ЬпМ2 + Ь13М3)М1

(1)

В правой части равенства, определяющего величину T, учтено, что система координат является специальной.

В качестве обобщенных координат выберем углы Эйлера ц ,3,р . Тогда

= ц/ sin 3 sin р + 3 cos р,

1 . (2)

®2 = ц/ sin 3 sin р + 3 sin р, а>3 = ц/ cos3 + р.

Для того чтобы получить выражение функций Гамильтона H в канонических переменных, представим величину T через компоненты вектора о :

T = 1 (В,,®,2 + B22®2 + В33®32) + В12®,®2 + В13®,®3 + В23®2®3.

Сюда вместо компонента ®г необходимо подставить их значения из (2). Воспользуемся определением обобщенных импульсов для гамильтоновой системы:

ST

Рр =^Т= В13°1 + В23°2 + В33°3; др

дТ

Рз =д33 = (В11°1 + В12°2 + В® ) COs Р ~ (В12°1 + В22°2 + В23°3 ) sin ( дТ

pw =-= (Вио, + В12®2 + В13®3) sin psin3 + (В12®, + В22®2 + В23®3) cos р sin 3 +

w дц/

+ (В13®, + В23® 2 + В33®3) cos 3.

Заменив здесь выражения в скобках соответствующими компонентами Mi вектора момента M, получим

pp = M3, p3 = M1cosp-M2 sinp, pv = Mj sinpsin3 + M2cospsin3 + M3cos3.

Разрешим эти соотношения относительно величин Mj5 M2, M3 :: 1

M =

1 sin3

p3 cos р sin 3 + (pw - pp cos3)sin р M2 = \(PV - Рр cos3) COSР-Р3 sinW sin 3

Qin M L 4 '

; (3)

этЗ

М 3 = Рр-

Подставим найденные значения М{ в (1). В результате получим следующее выражение для функции Н в специальной системе координат:

2sin1^ b [p& cosisin& + (pу - pv cos&) sin i

+b22 [(pv " Pv C0S5) cosi- p$ Sin isin&] }

+

2 I

+

+ -b33pi \C0sVsin& + (pv - pv cos & )sin il x

2 sin &L vrr

x {b12 [(pv - pv cos &) cos i - p& sin i sin & + b13pv sin &} - P sin i sin &.

(4)

Последнее слагаемое здесь получено заменой у1 его выражением через углы Эйлера в соответствии с формулами

эп = sin & sin у, э21 = cos i cos у - sin vsin vcos&,

312 =- sin & sin у, э22 = cos i sin у - sin i cos у cos&,

313 = cos&; э23 = sin&sini;

331 =- sin i cos у - cos i sin у cos&,

332 =- sin i sin у + cosicosa cos&,

333 = sin & cos i.

Если в интеграле

Mxyx + M2Y2 + M3Y3 = K (5)

подставить вместо величин у1,у2 и у3 их представление через углы Эйлера, то левая часть этого интеграла совпадает с выражением для обобщенного импульса pw. Таким образом, импульс pw - величина постоянная. Он равен моменту K концевых сил относительно центральной оси: pw = K. С другой стороны, постоянство обобщенного импульса является следствием того факта,

что координата у - циклическая. Сопоставление выражения для импульса pw с интегралом (5)

определяет еще и его величину.

Преобразования функции Гамильтона. Разложение функции Гамильтона. Проводимые преобразования справедливы при любых значениях основных переменных. Далее рассматриваются лишь малые перемещения точек стержня. Геометрически эту малость можно представить следующим образом. Упругая линия стержня принадлежит объему, заключенному в круговом цилиндре достаточно малого радиуса, осью которого служит ось стержня в недеформированном состоянии. Кроме того, поперечное сечение поворачивается в своей плоскости на малый угол.

Если стержень прямолинейный, то оси специальной системы координат для каждого сечения параллельны осям фиксированной в пространстве системы координат, причем вектор т направлен по оси O^3. Данному расположению систем координат соответствуют следующие значения канонических переменных:

п п ж

w = п, & = i = ^ pv = p& = pv = 0.

Нормализация H 2. С помощью унивалентного канонического преобразования

p& = x!, pi = V^ & = я, i = ^ñy2

форма H2 приводится к виду

2 2 /2 2

x1 + y + n (x2 + y2 )J .

Для дальнейших преобразований функции Гамильтона целесообразно ввести комплексно-сопряженные переменные

H 2 = 1 2 2

p = x + iy , q = x - iy (m = 1,2).

rm m S m> 4m m Jm\ > /

P = u + q = v---(m = 1,2).

m m о ' "m m о V ' /

Переменные pm, qm являются каноническими для функции Гамильтона H = —2iH , которая представляется в виде

H = H 2 + Hj + H 4.

Нормализация H, . Преобразование функции H проведем в два этапа. На первом укажем каноническое преобразование переменных pm, qm ^ um ,vm, при котором функция Гамильтона

H(u,v) не содержит членов третьего порядка. Общий вид искомого преобразования на обоих этапах по структуре одинаков:

053 0S3 ——, q = v--3

mm

Oqm oum

mm

На первом этапе производящую функцию S3 преобразования (3.19) будем искать в виде однородной формы третьей степени следующего вида:

S, (^ q )=Е S 'а1а2а3«4 UfU2 q« q2 , N = «1 + «2 + «3 + «4, «1 ^ 0

||а||=3

Нормализация нл . Преобразованная к переменным um и vm функция Гамильтона H

имеет вид H = — i (u1v1 + u2v2 ) + H4 (u, v) , где H4 (u, v) - однородная по um, vm форма четвертой степени. Чтобы не загромождать изложения, явный вид коэффициентов этой формы приводить не будем . На втором этапе преобразования H постараемся получить в выражении для H4 минимально возможное число отличных от нуля членов. Форму четвертой степени с помощью преобразования Биркгофа приведем к виду, в котором присутствуют лишь члены, содержащие произведения сопряженных переменных в одинаковых степенях. Как и на первом этапе, преобразование зададим с помощью производящей функции:

054 OS4

um = Zm + Vm = <m — . (6)

ov oz

mm

Производящая функция S4 имеет вид

s = V R z«i z«2 z« z«4

0 4 a1a2a3a 4 1 ^2 ¿1 ^2 '

H = 4

причем коэффициенты вычисляются по формулам Биркгофа [1] через коэффициенты Нл. Необходимо отметить, что при таком нахождении коэффициентов R« « « « остаются неопределенными коэффициенты R2020,Rm1,R0202. Явный вид коэффициента R«««« приводить не будем. Заметим лишь, что в преобразовании (6) сохранены только члены третьего порядка, поэтому в выражении производящей функции S4 можно заменить vm на <am . Переменные zm и <am будут каноническими и сопряженными. Приведем результирующее преобразование pm, qm ^ z<m, в котором специальным выбором неопределенных коэффициентов

R2020, R1111, R0202. удовлетворен критерий вещественности результирующего преобразования:

X ' гт(m) а, « а3 а4 , X ' п~'(m) а, « а3 а4

p = z + > 1 z, z-, < <4 + > 1 z,1 z-, < <4;

rm m / , ««««4 12 12 / > а1а2а3а4 12 1 2 '

«1=2 « =3

;(m) h z«2<«3<«4 + v G(m)

X ' /~*(m ) a « « h , X ' /~*(m ) h « « а A i о

q = < + > Gv ; z z-,< 3<4 + > Gv ; z,1 z-,< 3<4, m = 1,2.

J m m / , а1а2а3«4 12 1 2 / - а1а2а3«4 12 12' '

1 2 3 4 1 2

||a||=2 liai |=3

Интегрирование уравнений Гамильтона приведенной системы. Покажем, что произведения рт = гтат - величины, постоянные на решениях системы с гамильтонианом

й = - (р1 + ПР2 + ах !Р2 + 2а12 рр + а22 р22). (7)

С этой целью продифференцируем равенство рт = гтат по дуговой координате s:

dpm / ds = т dz / ds + г^а / ds . Величины гт и т являются каноническими переменит т т т т т т *

ными, поэтому они удовлетворяют уравнениям Гамильтона с функцией Н , определяемой равенством (7):

dzm дН dаm дН , „

т = 1,2. (8)

ds дат ds дzm

т т

Преобразуем эту систему уравнений, учитывая, что функция Н зависит лишь от произведений Рт = Zmam :

dzm дН дН дрт дН дат дН дН дрт дН

_т =__=___гт = _ z _ _т =_=__^т = ф _ (9)

ds да др да т др ds дz др дz т др

т гт т гт т гт т гт

Приведем выражение для производной dpm / ds , воспользовавшись полученными формулами (9) для производных dzm / ds и dаm / ds :

dzm дН дН дрт дН дат дН дН дрт дН

т ____лг т _ _ т ____* т _ ^

т■ = _ z

т

ds да др да др ds дz др дz др

т гт т гт т гт т гт

Тот факт, что величины р1 и р2 постоянны, позволяет легко проинтегрировать уравнения (8). Обозначим

М1 (р^ р2 ) = г ^ = 1 + 2«11 Р1 + 2«12р2; М2 (Рl, Р2 ) = г ^ = П + 2«12Р1 + 2«22Р2

Ф11* 1 12*2' ' 2 \ * 1 ' * 2 / /-Ч

1 др

2

Так как р1 и р2 - действительные величины, то и константы ¡и1 и ¡и2 также действительны. Теперь уравнения (9) принимают вид

dzm dа

т

= ги z , -— = _ги а .

1 г^т ш' 1 г^т т

ds ds

Их решение:

^ = , а1 = с1е ; z2 = с2 еи, а2 = с1е .

Постоянные интегрирования ст = dm + гЬт, ст = dm _ гЬт определяются начальными

значениями исходных переменных, от которых зависят частоты ¡и1 и ¡и2. Величины ¡ит, ст и ст

связаны между собой, так как рт = стст = dm + , а ит являются функциями от р1 и р2. Исследование точности приближений. Решение [3]

** = Ь + I Я^^ЪГЧ"4. Ук = Ъ + I ^^ГЬЪГЪ"4. (10)

является решением системы уравнений с функцией Гамильтона (7), которая получена из функции Гамильтона (4) разложением её в степенной ряд и последовательным применением преобразований Биркгофа, причем как в разложении, так и в преобразованиях Биркгофа удерживались лишь члены до четвертой степени включительно. Таким образом, решение (10) является приближенным для исходной системы уравнений. Рассмотрим вопрос о близости построенного приближенного решения к точному, т. е. к решению уравнений, для которых в функции Гамильтона в разложении удержаны все члены, а начальные значения канонических переменных взяты из области сходимости этого разложения. Перейдем в полном гамильтониане к переменным "действие - угол" /1,12, (р1, (р2 по формулам

=у[21т ^Рт, Ът Э1П Рт, т = 1,2, (11)

и представим гамильтониан Н в виде

Н = Но (¡1,/2) + Н, (¡1,/2,р,р2). (12)

Здесь Н0 (11, ¡2) представляет ту часть функции Гамильтона Н , которая получена преобразованием. В слагаемое Н1 (11,¡2,р1,р2). объединены члены разложения функции Гамильтона, начиная с пятой степени, и те добавки, которые получаются от преобразования функции Гамильтона и имеют степень выше четвертой. Функцию Н1 (11, ¡2,р1,р2). будем называть ма-

лым "возмущением" гамильтоновой системы. Если функцию Н1 можно представить в виде

Н1 = 82 Н '1, где Н '1 принимает конечное значение в области изменения переменных

¡1,12, р1, р2 а 8 - малый параметр, то в интервале изменения дуговой координаты s порядка

8 1 условно-периодическое решение (10) будет отличаться от точного решения на величину порядка 8 . Разность между функциями Гамильтона (4) и (7) при s = s0 может быть сделана необходимо малой за счет малости начальных отклонений переменных и аналитичности функции Гамильтона Н . Порядок малости этой разности сохраняется и при произвольных значениях s в силу устойчивости стационарного решения. В работах [4,5] доказано, что величины ¡1, 12 для "возму-

щенной" системы мало отличаются от начальных значений, если выполнено условие

)2 н 0 (¡1, I:

det

= аи а22 - си2 Ф 0 (13)

<9I dl

m n

Из формул для коэффициентов ап, а22, а12 следует справедливость (13).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Биркгоф, Дж.Д. Динамические системы. - Ижевск: Издательский дом «Удмуртский университет», 1999 -408 с.

2. Горр, Г.В., Илюхин, А.А., Ковалев, А.М., Савченко, А.Я. Нелинейный анализ поведения механических систем. Киев: Наукова думка, 1984 - 288 с.

3. Илюхин, А.А. Пространственные задачи нелинейной теории упругих стержней. Киев: Наукова думка, 1979 - 218 с.

4. Колмогоров, А. Н. Общая теория динамических систем и классической механики // Междунар. мат. конгр. в Амстердаме. М.: Физматгиз, 1961. С. 187-208.

5. Мозер, Ю. КАМ-теория и проблемы устойчивости. М.: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001 - 437 с.

УДК 519.6: 681.3

А.В. Цейлер

ИТЕРАЦИОННЫЙ АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ЛЯПУНОВУ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННОЙ

МАТРИЦЕЙ КОЭФФИЦИЕНТОВ

Аннотация. Признаки устойчивости по Ляпунову решений систем линейных дифференциальных уравнений представлены в матричной форме, содержат необходимые и достаточные условия, при этом не преобразуют функций правой части системы. В целом признаки ориентированы на компьютерную реализацию, часть из них - на аналитическое исследование. Программно реализуемые признаки даны для линейных и автономных систем общего вида, доказаны и приведены критерии устойчивости.

Ключевые слова: устойчивость по Ляпунову, линейные системы дифференциальных уравнений, программно реализуемые критерии.

A.V. Zeiler

ITERATIVE ANALYSIS OF LYAPUNOV STABILITY OF SOLVING A LINEAR SYSTEM OF DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH CONSTANT MATRIX OF COEFFICIENTS

Absrtact. Criterions of Lyapunov stability of solutions of systems of linear differential equations are presented in a matrix form, contain the necessary and sufficient conditions, it does not transform the functions of the right side of the system. In general, criterions are oriented to computer implementation, some of them - on the analytical research. Program implemented criterions are for linear and autonomous systems of general form, proven and are the criteria of stability.

Key words. Lyapunov stability, linear systems of differential equations, program implemented cri-terions.