CC BY
21
£1—
УДК 513.88
ИТЕРАЦИОННЫЙ АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ ЦИКЛОВ НЕЛИНЕЙНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ. Ч. 2. Оценки параметров
И. Г. Исмаилов
Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова, г. Москва
Найдены оценки управляющих параметров итерационного алгоритма в терминах правой части системы, которые могут быть полезны для непосредственного численного поиска неустойчивых циклов нелинейных автономных систем.
ВВЕДЕНИЕ
В работе [1] рассмотрена задача о приближенном построении цикла многоконтурной автономной системы автоматического регулирования, которую можно привести к виду
= /(Х), х е О*. (1)
Для определения точки периодического решения и соответствующего периода была предложена следующая процедура:
хк + 1 = хк - У*((/ - 2Г(^ хк))(хк - Р (^ х*)) +
+ ((а, хк> - >)а), (2)
Рк + 1 = Рк + Рк</(Р(рк> хк))> хк - Р(рк> хк)>>
к = 0, 1, 2, (3)
где 2(г, х), 2(0, х) = %, — фундаментальная матрица линейной системы дифференциальных уравнений =
/Г-' (р(г, х)) 2; уки рк — управляющие параметры итерационной процедуры (2), (3), р(г, х) — решение системы (1) с начальным условием р(0, х) = х; вектор а е О*; число > е О, через (•,• > обозначено скалярное произведение в евклидовом пространстве О*. Было доказано (см. основную теорему работы [1]), что если управляющие параметры ук и рк достаточно малые положительные числа, то последовательность {хк, гк} сходится по норме к искомому циклу и его периоду. Однако для практического применения предложенной процедуры важно знать, каким именно оценкам должны удовлетворять параметры ук и рк. Цель настоящей работы состоит в получении этих оценок, исходя из свойств правой части системы
(1). Итерационный алгоритм (г), (З) был опубликован в тезисах [г—4].
1. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА
Пусть Г — изолированный цикл системы (1) с периодом Г *, т * е Г и
(а, т *) = >. (4)
Рассмотрим гиперплоскость я, определяемую уравнением (4). Изменяя параметры а и >, всегда можно добиться трансверсальности плоскости я и цикла Г.
Пусть . таково, что шар ||т||R* P . содержит отыскиваемый цикл, Г0 > Г* — некоторое число и, кроме того, для некоторых постоянных .1, )1, )2, *1 и *
max{||L(P, т}|| : ||т|| P .0, 0 P P P Г0} P .1,
max ||/(т)|| P )1, max ||/’(т)|| P )2, (5)
INI < .1 1 INI < .1 2
И/Ц) -/(*2)|| P *JX1 - ту, ||t|| P .1,
||/'(Tj) - /'(T2>|| P *2.||T1 - XjH, ||t|| P .1. (6)
Тогда справедлива следующая
Теорема, t условиях основной тео—емы—аботы [1] уи-—авляюцие иа—амет—ы и—о^еф—ы (2), (3) могут быть вы-б—аны из условий: 0 < а0 P yk P E0 P 1,0 < а1 P pk P E1 P 1, где р0 м E1 — любые иоложительные числа, удовлетворяющие соотношениям
1 "1Р0 + 4("2 + ('1)Р1 < 1, (7)
1 1^1 + 4("2 + ('1)Р0 < 1. (8)
где
и 2 *10(0 0(0 ()) + *1 ) 00
"1 = 1 + ||а||2 + е 10 + е 20 + е 2 10 +
.Т ( n п )( (*1 + )2)00 Т) ^200
, *2 ( .0 + .1 ) ( е - 1 ) е (П)
* + )2 , (У)
"2 = )1 + ((. + .1))2 + )1) е
^200 е, (10)
е*100), (11)
). (12)
Доказательство теоремы см. в Приложении.
2. ЗАМЕЧАНИЯ
Напомним, что упомянутые в формулировке условия сводятся к следующему: точка х * пересечения цикла Г с плоскостью я и период 0* должны быть изолированными решениями системы уравнений
(I - 2 (Р, т))(т - р (Р, т)) + ((а, т) - > )а = 0 (/(Р (P, т)), р (P, т)) = 0.
которая, в свою очередь, эквивалентна условию равенства нулю градиента функции погрешности
3(х, Р) = 2 (IIх - р(Р, х)||2 + «а, х> - >)2). (13)
Функция (13) неотрицательна. В ее нулях градиент обращается в нуль. Заметим: наряду с точкой {х *, 0*} экстремалью (и нулем) функции (13) будет также точка
{р( 0*, х*), 0*}, 01* < 0*, гдер( 0*, х*) — второе (из нескольких возможных) пересечение гиперплоскости я с циклом Г. В силу трансверсальности и конечности периода 0 *, все прочие пересечения плоскости я с циклом Г е-отделены от точки х *.
Поясним структуру функции погрешности. Первое слагаемое в правой части равенства (13) фактически означает невязку Р-периодичности при фиксированном Р. Второе слагаемое добавлено с целью выделить начальное условие для точки х* на цикле Г: без него многообразием минимумов функции 3 оказалась бы вся кривая Г. Этот прием тесно связан с методом функциона-лизации параметра при вычислении функциональной характеристики цикла (см. работы [5, 6]).
3. ПРИЛОЖЕНИЕ
Доказательство теоремы. Для доказательства нам понадобятся пять лемм.
Лемма 1. Дусть ||х1||, ||х2|| Р . и 0 Р Р Р 0О. 0огда
Доказательство. Так как р (P, т1) = т1 + J /(р (т,
0
p
х1))@т, р(Р, т2) = т2 + JДр(т, т2))@т, то ||р(Р, т1) - р(Р, т2)|| P 0
Р
P К - т^Л + *1J ||р(т, ^) - р(т, т2)||@Т.
0
Из последнего неравенства и леммы Гронуолла— Беллмана вытекает оценка (14). ♦
Лемма 2, Дусть ||т|| P .0, 0 P Р1, Р2 P 00. 0огда
||Р(Р1, т) - р(Р2, т)|| P |Р1 - pj^. (15)
Р1
Доказательство. Так как р(Р1, т) = т + J/(р(т,
0
р2
т))@т, р(Р2, т) = т + J/(р(т, т))@т, то р(Р1, т) - р(Р2, т) = 0
р2
= f/(р(т, т))@т и ||р(р1, т) - р(р2, т)|| P max ||/(р(т, т))|| х Р1 р2 <т< р1
х |Р1 - Pj P - Pj. ♦
Лемма 3, Дусть ||т|| P .0, 0 P Р P 00. 0огда
||2(Р, т)|| P е)2Р. (16)
Р
Доказательство. Так как 2(Р, т) = I + J(р(т,
х))2(т, х)@т то ||2(Р, х)|| Р 1 + )21 ||2(т, х)||@т.
о
Из последней оценки и леммы Гронуолла—Беллмана следует оценка (16). ♦
Лемма 4. Дусть ||х|| Р .0, 0 Р Р1, Р2 Р 0о. 0огда
||2(Р1, х) - 2(Р2, х)|| Р ) а)200 |Р1 - Р2|. (17)
Доказательство аналогично доказательству леммы 2.
Лемма 5. Пусть ||х1||, ||х2|| Р .0, 0 Р Р Р 00. 0огда ||2(Р, х1) - 2(Р, х2)|| Р
*2 / ^*1 + ^2)00 -.ч ^2Р
* + )2
(е
- 1) е ||т - т2||. (18)
*1Р
||р(Р, т1) - р(Р, т2)|| P ||т1 - т2||е 1 .
(14)
Доказательство аналогично доказательству леммы 1; используется лемма Гронуолла—Беллмана.
При доказательстве основной теоремы в работе [1] было показано, что сходимость Цт (||хк - х*|| + |Рк - 0*|) = 0
к О»
имеет место, если только константы Р0 и Р1 подчинены неравенствам (7) и (8), где числа "1, "2, (1 и (2 опреде-
ПРОБПЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ № 4 • 2DD5
131
ляются из условий липшицевости градиента функции 3 (х, Р):
||"Р3(х1, Р1) - УР3(х2, Р2)|| Р (1||х1 - х2|| + (2|Р1 - Р2|,
||"х3(х1, Р1) - "х3(х2, Р2)|| Р "1||х1 - х2|| + "2|Р1 - Р2|.
Цель ближайших выкладок — вычисление констант "1, "2, (1 и (2 исходя из значений .0, . 1, ),, )2, * и *2.
Легко видеть, что Ух3(х, Р) = (%— 20(Р, х))(х - р(Р, х)) + + «а, х> - й)а, УР3(х, Р) = -</(р(Р, х)), х —р(Р, х)>.
Используя эти выражения и оценки из доказанных лемм (14)—(18) с помощью несложных преобразований получим неравенство:
||"х3(х1, Р1) - Ух3(х2, Р2>|| Р (1 + ||а||2 + е*10° + е^0 +
(*1 + )-?) 00 )•) 00
*2(.0 + .1)(е - 1 )е , ()2 + *1) 00 А
+ ---------------------------------- + е X
*! + )2 ^
X ||х"1 - + (-) + (.0)2 ^ -) ^ .1)2) е 2 0 )|Р1 - Р2|-
Таким образом, градиент Ух3(х, Р) по переменной х функции (13) удовлетворяет условию Липшица по х и Р с константами " и "2, причем последние имеют вид (9) и (10). Аналогично получаем
||Vt3(Xi, t,) - Vp3(x2, Рг)|| P
P (.О*1 е'ИО + М, + .,*,е*lTо + М,е "1 ^О)||x, - x2|| +
*iT>
*1 е )W X1
+ (.0*1)1 + .1*1)1 + )12)|Р1 - Р2|.
Поэтому производная УР3(х, Р) функции (13) удовлетворяет условию Липшица по х и Р с константами ( и (2, определяемыми выражениями (11) и (12). Теорема доказана. ♦
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Доказанная теорема носит прикладной характер и может оказаться полезной для непосредственных вычислений на ЭВМ. Задачи, связанные с поиском неустойчивых циклов, часто встречаются в нелинейной динамике. Например при исследовании уравнений Дуф-
финга, Лоренца, Эно. Кроме того, в работах обширного класса для строгих аналитических доказательств применяется численный эксперимент. Суть подобных методов зачастую сводится к тому, чтобы установить отличие от нуля вращения поля, связанного с функцией последования (отображением Пуанкаре). Иногда это удается сделать благодаря устойчивости вращения к малым возмущениям поля, а следовательно, и к вычислительным ошибкам. В свете этого приведенные выше алгоритм и оценки параметров можно использовать для первоначальной локализации цикла. Впоследствии может оказаться, что на некоторой сфере с центром в точке х* на секущей гиперплоскости вращение поля функции последования не равно нулю и, таким образом, станет возможным строго доказать существование цикла в окрестности найденного приближения.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ссмаилов С Г. Об одном итерационном алгоритме построения циклов автономных систем // Проблемы управления. — 2005. — № 3. — С. 10—12. (www.ipu.ru/period/pu).
2. кобылев l. d., Ссмаилов С Г., Хо—овин С. Х. Об одном алгоритме построения предельных циклов в системах автоматического регулирования // IV междунар. семинар “Устойчивость и колебания нелинейных систем управления”. — М. — 1996. — С. 6.
3. %ожа/7оу I. G. On the scheme of approximate construction of cycles of nonlinear systems // Fourth International conference on “Control, automation, robotics and vision”. — Singapore, — 1996.
4. Тотаа/'/оу I. G. On the approximate construction of cycles in automatic control systems // Fourth International Symposium on “Method and Models in Automation and Robotics”. — Poland, — 1997.
5. кобылев l. d., Х—асносельским e. d. Функционализация параметра и теорема родственности для автономных систем // Дифференциальные уравнения. — 1970. — № 11. — С. 1946—1952.
6. кобылев l. d., Хо—овин С. Х. Теоремы родственности в теории нелинейных колебаний // Методы анализа нелинейных систем: Сб. науч. тр. — МГУ, Ин-т системного анализа РАН. — М., — 1997.
в Ґ095; 554-79-00 !-та;7; г7йат «@таг7.ги
□
Вниманию подписчиков!
В каталоге "Роспечати" на 2OO5 г. ошибочно указана периодичность журнала "Проблемы управления" - 4 номера в год. Однако с 2OO5 г. мы выходим б раз в год. Если Вы подписались по каталогу "Роспечати", то для получения № З и б Вам необходимо на них подписаться по объединенному каталогу "Пресса России" (индекс З8006) или через Редакцию.
Редакция
