CC BY
18
УДК 519.632
Д. В. Чурбанов1
ЕДИНСТВЕННОСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТА
ПРИ ПРОИЗВОДНОЙ В НЕЛИНЕЙНОМ УРАВНЕНИИ ПЕРВОГО
ПОРЯДКА
Рассматривается задача об определении зависящего от пространственной переменной коэффициента по дополнительному граничному условию. Исследуется вопрос существования и единственности решения прямой задачи. Доказывается устойчивость решения прямой задачи по искомому коэффициенту. Выделены условия единственности решения обратной коэффициентной задачи.
Ключевые слова: обратная задача, нелинейное уравнение, единственность решения.
1. Постановка задачи. Пусть функция u(x,t) удовлетворяет задаче
Щ + (д(х)и)х = —/i(x)f(u), 0 < ж ^ 1, t > 0, (1)
u(0,t) = ip(t), t^ О, (2)
и(х, 0) = íp(x), 0 ^ х ^ 1. (3)
В настоящее время для уравнений в частных производных коэффициентные обратные задачи широко исследуются в различных постановках [1-6]. Задача (1)-(3) близка к той, что исследовалась в работах [7, 8], где была рассмотрена линейная модель популяции биологических объектов [9, 10]. Пусть задача (1)-(3) будет рассматриваться как прямая на множестве Q = (0,1] х (0, сю), правая часть и граничные функции удовлетворяют следующим условиям:
/WeC1^), о </го</(*К/м, |/'(*)1</м, 5 еж, (4)
ф) € С1[ 0,1], <р(х) >0, же [0,1], (5)
е С1[0, оо), 0 \Ф'(Щ<ф'м, t е [0, оо), ф(0) = ¥>(0), (6)
/¿(ж) е С[0,1], /¿(ж) >0, же [0,1], (7)
^€^[0,1], д{х) > 0, же [0,1]. (8)
Пусть в рамках обратной задачи, связанной с определением функции д(ж), известны значение д( 1), функции (р{ж), ф(1), ¿¿(ж), f(s), функция c(t), t е [0, оо), такая, что
c(í) = u(l,í), íe[0,oo), (9)
причем для c(t) имеют место ограничения
c(t) е С[0,оо), \c(t2) -c(íi)| < Lc\h -Í!| Víi,í2 G [0,oo), c(0) = ф). (10)
Пусть 6 = {g(x) e C^O, 1], 0 < gm < g(ж), ж e [0,1], g( 1) = 9l}.
1 Факультет BMK МГУ, acn., e-mail: dmitriychurbanovQgmail.com 5 ВМУ, вычислительная математика и кибернетика, № 1
Определение. Пару функций {g(x),u(x,t)} назовем решением обратной задачи (1)-(3), (9), если известные функции <р(х), ip(t), /¿(ж), f(s), и искомые функции u(x,t) G C(Q) DC1(Q \ {t = G(x)}), g(x) G 0 удовлетворяют соотношениям (l)-(3), (9) при выполнении условий (4)—(7), (10).
2. Решение прямой задачи. При условии (8) определена возрастающая функция
X
Г d'i
G(x) = / —7-7, X G ГО, 11.
J 9(0 1 j
о
В области Q П {t ^ G(x)} на характеристиках t(x,xo) = G(x) — G(xо), х G [жо, 1], xq G [0,1], уравнение (1) можно записать в виде
d(g(x)u(x,t(x,xо))) _ ж€(жо,1], жо G [О,1]. (11)
После замены z(x,xq) = д(х)и(х, t(x, xq)) имеем следующую задачу Коши:
= ' Жо g [о, 1], z(xq,xq) = <р(х0). (12)
Для области Q П {t > G(ж)} справедливо аналогичное (11) уравнение
d(g(x)u(x, G(x) + i0)) , , f, , , , u ,A ,, , rn ч
d -— = ^v(x)j(u(x,G(x) + i0)), ж G (0,1], ta G [0, oo),
с начальным условием g(0)u(0,to) = g(0)ip(to). Из задачи (12) можно получить нелинейное интегральное уравнение относительно функции ru(x,t) для области Q П {t ^ G(ж)}:
u(x,t) = (р(х0(х,г))^ЩЩ^----!— [ f(u(r],G(r]) -G(x) + t))n(v)dri, (13)
д{ ж) д{ ж) J
Жо (x,t)
где жо(ж, t) — обратная к t(ж, жо) функция при фиксированном значении ж G [жо, 1], a G~l(t;)—обратная к функции t = G(ж), ж G [0,1]. В области QD{t > G(x)} аналогичное интегральное уравнение для функции и(ж, t) = й(х, t) имеет вид
х
й(х, t) = ф(1 - G(ж))4^т - -7-т f f(ù(v, G(rj) - G(ж) + t))n(rj) dr]. (14)
g(x) g(x) J 0
Лемма 1. При выполнении условий (4)-(8) интегральные уравнения (13), (14) имеют единственные непрерывные решения, функции u(x,t) uû(x,t), в областях Q Г) {t ^ G(x)} uQD{t> G(x)} соответственно, так что u(x,t) = û(x,t) при t = G(ж), ж G [0,1].
Доказательство. Так как интегральное уравнение (13) получается из задачи Коши (12) эквивалентными преобразованиями, то свойство решения интегрального уравнения можно исследовать на основе свойств решения задачи Коши. Правая часть в уравнении задачи (12) удовлетворяет
тах и(х)
условию Липшица по функции z(x,xq) с коэффициентом ---f'M в силу условий (4), (7), (8).
9т
Следовательно, задача Коши (12) имеет единственное непрерывное решение z(ж, жо) по переменной ж G (жо, 1] для любого жо G [0,1]. Согласно [11], данное решение непрерывно по параметру xq G [0,1] равномерно по ж G (жо,1]. Из непрерывности по одной переменной и равномерной непрерывности по другой переменной следует непрерывность фунции по двум переменным во всей рассматриваемой области, T.e._u(x,t) G C(Q П {t ^ £?(ж)}). Аналогично доказывается непрерывность решения й(х,t) для области Q П {t > G(ж)}. С учетом условий согласования ф(0) = <у?(0) функции ru(x,t) и й(х,t) совпадают на прямой t = G(ж). Лемма 1 доказана.
Лемма 2. При выполнении условий (4)-(8) функции u(x,t) и û(x,t), являющиеся решениями интегральных уравнений (13), (14), имеют непрерывные равномерно ограниченные производные первого порядка в областях Q П {t ^ G(x)} и Q П {t > G(x)} соответственно.
Доказательство. Продифференцируем по £ равенство (13). После замены £ = ¿(ж,жо) имеем уравнение относительно функции г>(ж;жо) = щ(х,1(х,хо)) для х € (жо, 1], хо € [0,1],
ж
1 1 Г ,
у(х; ж0) = ф(х, ж0) - -^щц(х0)/(<р(х0))д(х0) - ^-у J /х (£)/'(«(£; ж0)М£; ж0) (15)
ж0
где
д( ж0(ж,г)) V
^(ж,ж0) = <р( ж0(ж,г))
, и(ж; жо) = и(ж, ¿(ж, жо))-
t=t(x,xo)
Из непрерывности функции и(ж;жо) по ж € (жо, 1] для любого жо € [0,1] следует непрерывность ядра К{ж,жо,£) = жо))- И3 этого и непрерывности по ж € (жо,1] правой части уравнения (15),
функции ¿?(ж,ж0) = ф(ж, ж0) - ^^-/(<р(хо))д(хо), для любого ж0 € [0,1] следует, что функция г>(ж;ж0) непрерывна по переменной ж € (жо, 1] для любого жо € [0,1], так как удовлетворяет уравнению (15) Вольтерра второго рода. Отсюда же следует равномерная ограниченность решения г>(ж;жо) в области СК ж0 < ж 5$ 1, поскольку в данной области равномерно ограничены функции К(ж,жо,£) и ж,жо).
Докажем непрерывность функции г>(ж;жо) по жо € [0,1] равномерно по ж € (жо,1]. Рассмотрим точки жо и жо<ь такие, что жо, жой € (0,1) и |жо^жой| < б, жо > жой- Пусть А$у(х; жо) = и(ж; жо)^и(ж; жой), Дй-Р(ж,жо) = ж,жо) — Р(х,х0б) и Д$К(ж,жо,С) = ^(ж,ж0,С) — К(х,хой,£). Тогда
ж
А$у(х; ж0) = Д<5-Р(ж, ж0) + J ж, ж0, ж0)
) ж
к(х,жо<ьжой) + I к(х,ж0,жо) ж е (ж0,1]. (16)
Жо
Жо
ж0г жо
Используя ограниченность функций |К(ж,жо<ь£)| < для жой € (0,1), когда также справедливы неравенства жо<5 < ж, жо ^ £ ^ ж и ^(С^ой)! < Для жо<5 £ (0,1), жо<5 < ж, можно оценить интеграл
Жо
из правой части уравнения (16) / К(ж, жо<ь жой) следующим образом:
ж0
К(ж, ж0(5, £)«(£; ж0(5) (¿С
< VI <5.
Так как вместе с этим функции .Р(ж, жо), К{ж, жо, С) непрерывны по жо, то приращения данных функций в точке жо, величины ж, жо), А$К(х, жо, С); стремятся к 0 при 5 ^ 0. Таким образом, для правой части уравнения (16) справедлива оценка
Жо
Дй^(ж,ж0) + У ДйК(ж,ж0,С)и(С;жо) (¿С ^ У К(ж,жой,С)и(С;ж0й) (¿С с
Жо Жог
ж Жо
5$ |Дй^(ж,ж0)| + !У |К(ж,жой,С)и(С;ж0й)|^ <
Жо Жог
< £1(5) + (ж - Хй)у1£2{8) + К1'щ8 < е0(5),
где £г{ё) 0 при <5 —> 0, г = 0,1, 2. Используя устойчивость решения уравнения Вольтерра второго рода (16) по правой части, можно заключить, что |Дй«(ж;жо)| < К£0(8) для ж € [жо, 1], где К — положительная постоянная, что означает непрерывность функции «(ж; жо) по жо равномерно по ж в области 0 5$ ж0 < ж 5$ 1. Используя вместе с этим непрерывность функции г>(ж;жо) по ж € (жо, 1] для любого жо € [0,1], можно, как и в лемме 1, сделать вывод о непрерывности щ(х,1) в <3 П {I ^ £?(ж)}.
Рассмотрим вопрос о дифферепцируемости по ж. Продифференцировав по х уравнение (13), можно выразить производную ux(x,t) через производную ut(x,t) для области Q П {t ^ £?(ж)} в виде
ж
их(х, t) = ф(х, t) + I G(v) ~ G(x) + t)MV) dV - t)) +
g2{x) J g{x)
Жо (x,t)
X
+ Kxo{x,t)^o{x,t))/ЫМ^ т + ^гт [ nm'Mv, G(V) - G(x) + t))ut(V, G(V) - G(x) +1) dV, 9 \x) 9 \x) J
Жо (ж,t)
где
\ 9(x) )x
Из непрерывности функций, входящих в правую часть равенства, а также равномерной ограниченности подынтегральных функций следует непрерывность и ограниченность функции ux(x,t) BQfl{K G(x)}.
Аналогично решается вопрос о непрерывной дифференцируемое™ решения интегрального уравнения (14), функции û(x,t), в области Q П {t > G(x)}. Лемма 2 доказана.
Теорема 1. Прямая задача (1)-(3) при выполнении условий (4)-(8) имеет единственное решение u(x,t) G C(Q) П С1 (Q \ {t = G(x)j).
Доказательство. Используя приведенные выше леммы, можно заключить, что единственное решение интегрального уравнения (13), функция u(x,t), принадлежит множеству C1(QD {t ^ G(x)}), а единственное решение интегрального уравнения (14), функция û(x,t), — множеству C1(Q П {t > G(x)}), причем u(x,t) = û(x,t) при t = G(x), x G [0,1]. Легко проверить, что решение интегрального уравнения (13), функция u(x,t), удовлетворяет уравнению (1) и начальному условию (3), а решение интегрального уравнения (14), функция û(x,t), также удовлетворяет (1) и граничному условию (2). Следовательно, задача (1)-(3) эквивалентна системе интегральных уравнений (13) BQfl{K G(x)} и (14) в Q П {t > G(x)} и разрешима единственным образом. Теорема 1 доказана.
Таким образом, уравнение для функции u(x,t) на характеристике t(x,xo), получаемое из (13) для x G (жо, 1], жо G [0,1], имеет вид
ж
g(x ) 1 f
u(x,t(x,xQ)) = ip(xo)—----г— f(u(r],t(r],xQ)))fi(r])dr]. (17)
д(х) д(х) J
Жо
3. Единственность решения обратной задачи. Пусть
Аи(х; жо) = v,2(x; xq) — и\(х; xq), где щ(х; xq) = и(х, t(x, xq); gi(£)), г = 1,2,
Ад(х) = д2(х) - gi(x), ж G (ж0,1], ®0б[0,1].
Пусть (pm = min <p(x), (рм = m&x ¥>(ж), ßM = max ß(x). же[од] же[од] же[од]
Лемма 3. При выполнении условий (4)-(8) для разности решений задачи (1)-(3) справедлива
оценка при xq < ж ^ 1, 0 ^ жо ^ 1:
\u2(x;xQ) - ui(x-,xq)\ < a\g2(xQ) - gi(x0)\ + Ci\g2(x) - gi(x)\, (18)
где Gi = ф- exp 1 (<Рм9м + /мЯм); « = exp I/m^I — положительные постоянные.
Доказательство. Воспользуемся уравнением (17) и неравенством треугольника:
\и2(х; жо) - ui(x; ж0)| < <р(х0) 1
g2(xQ) (®0)
<р(хо)
92 (ж)
92 (ж) д2(х) |f(u2(Ç;x0)) - f(ui(&%o))\\KO\d(
9i(xq) gi(x0)
д2(х) g i{x) 1 1
g2{x) gi{x)
\f(Ul&xQ))M0\d^
Жо
Жо
Ж
< — |Лз(жо)| + <рм^\Ад(х)\ + f'M— \Au(£;x0)\d£ + fM^f\Ag(x)\, ж0 < ж sg 1, 0 < ж0 < 1.
д-т дт дт ./ дт
х0
Используя лемму Гронуолла-Беллмана, можно получить требуемую оценку для жо < х ^ 1,
О < яг0 < 1:
|Ди(ж;ж0)| < ехр) (Ш\Ад{хо)\ + ±(срм9м + /м/хм)|Д5(ж)|) . (19)
I, дт) \ дт дт /
Лемма 3 доказана.
Теорема 2. Пусть выполнены условия (4)-(7), (10) и существует постоянная дт, такая, что справедливо неравенство
фм^мГм \ т Мм
ехр < Lf—- > < 1,
дт{Рт I. дт, )
тогда обратная задача (1)-(3), (9) может иметь не более одного решения, представимого парой функций {д(х),и(х,1)}.
Доказательство. Пусть существуют две функции д\{х) и д2(х), являющиеся решениями обратной задачи (1)-(3), (10). Докажем, что существует постоянная С > 0, для которой имеет место неравенство
1
Ых) - <71 (ж)| < С !\д2(в) - д1(в)\(18, х б [0,1]. (20)
х
Для получения неравенства (20) воспользуемся уравнением (17). Положив в нем ж = 1, подставим дополнительное условие обратной задачи (9):
1
д(х ) 1 Р
с(С(1) - С{ж0)) = <р(~ J /(и(г), 0(г]) - 0(ха)))ц(г]) йг), ж0 б [0,1].
Жо
Переобозначив переменную жо через ж, можно получить уравнение для функции д(х):
1 jl]
/
i
~ V¿ дю) i г
д(х) =--g(l) +—— f(u(r],t(r],x)))[i(r])dr], же [0,1]. (21)
<р{ж) <р{ж) J
х
Взяв два уравнения (21) для функций gi(x) и д2(ж), с учетом обозначения щ(ж; жо) = и(ж, t(ж, жо); 5¿(0); ¿ = 1,2, можно оценить разность Ад(ж) = д2(х) — дi(x), Ад( 1) = 0:
|Д$(®)1 <
i 11
5(1)
<р(х)
С{1 Ш>) - с(/ш) I+ /Ш|/("2(ч;х)) - <
i i ^gWLe r\g2(0 ^gi(0\ + mfk [Ытх)_иЛтхШ же[0,1]. (22)
<¿>m J gm, Vm J
С учетом оценки (19) неравенство (22) принимает вид
i
|Лз(ж)| < - ж)|Д,д(ж)| + f^lbi + с^Ш^мЛ í\g2(v) - 9l(r,)\dV, ж G [0,1], (23)
<¿>m V Vmgm Рт ) J
х
где, как и выше в формуле (18),
4>м I ,, Мм « =-ехр < /м-
5™ 5™
а для коэффициента при первом слагаемом в правой части неравенства (23) в силу условий данной теоремы справедлива оценка
У-мГм ,л ч . фм^м/'м [е/ Мм) I ^ -, ^ гп п а-— (1 — х) < -— ехр < /м-> = а < 1, х G [0,1J.
Фт дтфт (. 9 т J
m ri ffW-Lc . г Мм/'м rnn\
Тогда при константе C2 =-5- + Ci-— имеет место оценка вида (20):
Vm9m fm
1
|А5(ж)| < ^ J\Ag(V)\dV, х G [0,1],
х
из которой по лемме Гронуолла-Беллмана следует, что g\{х) = д2{х) при х G [0,1]. Из единственности решения прямой задачи (1)-(3) следует u(x,t; д2(х)) = u(x,t; д\(х)) при (x,t) G Q. Таким образом, обратная задача (1)—(3), (9) не может иметь двух различных решений. Теорема 2 доказана.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Денисов A.M. Единственность решения задачи определения нелинейного коэффициента системы уравнений в частных производных в малом и целом // Сибирский матем. журнал. 1995. 36. № 1. С. 60-71.
2. Денисов A.M. Обратная задача для гиперболического уравнения // Дифференц. уравн. 2000. 36. № 10. С. 1427-1429.
3. Музы лев Н. В. Теоремы единственности для некоторых обратных задач теплопроводности // ЖВМ и МФ. 1980. 20. № 2. С. 389-400.
4. Соловьев В.В. Обратные задачи определения источника для уравнения Пуассона на плоскости // ЖВМ и МФ. 2004. 44. № 5. С. 862-871.
5. ТуйкинаС.Р. О единственности решения одной обратной задачи для полулинейной системы уравнений первого порядка // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 1996. № 2. С. 12-18.
6. Щеглов А. Ю. Обратная коэффициентная задача для квазилинейного уравнения гиперболического типа с финальным переопределением // ЖВМ и МФ. 2006. 46. № 4. С. 647-666.
7. Денисов A.M., Макеев A.C. Численный метод решения обратной задачи для модели популяции // ЖВМ и МФ. 2006. 46. № 3. С. 490-500.
8. Денисов A.M., Макеев A.C. Итерационные методы решения обратной задачи для одной модели популяции // ЖВМ и МФ. 2004. 44. № 8. С. 1480-1489.
9. Murray J.D. Biology. N.Y.: Springer, 1993.
10. Webb G. F. Theory of Nonlinear Age-Dependent Population Dynamics. N.Y.: Marcel Dekker, 1985.
11. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1970.
Поступила в редакцию 30.05.12
THE UNIQUE DETERMINATION OF THE COEFFICIENT NEAR THE DERIVATIVE IN THE FIRST ORDER NONLINEAR EQUATION
Churbanov D. V.
A problem of determination a coefficient dependent on the spatial variable by an additional boundary condition is investigated in the article. A problem of the existence and uniqueness of the direct problem is solved also. The stability of the direct problem to the specified coefficient is achieved. This stability and some other condition provide the uniqueness of the inverse problem.
Keywords: inverse problem, nonlinear equation, uniqueness of the solution.
