CC BY
33
£1—
УДК 513.88
ИТЕРАЦИОННЫЙ АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ ЦИКЛОВ НЕЛИНЕЙНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ Ч. 1. Сходимость
И. Г. Исмаилов
Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова, г. Москва
Предложен новый алгоритм приближенного построения цикла автономной нелинейной системы обыкновенный дифференциалыных уравнений. Алгоритм обладает локалыной сходимостыю и эффективен в случае неустойчивых циклов.
ВВЕДЕНИЕ
Будем рассматривав задачу приближенного построения цикла автономной системы обыкновенный диффе-ренциалыныгх уравнений. Если некоторый цикл Г орби-талыно асимптотически устойчив, то задача его приближенного построения, как правило, не выгзытает затруднений: если началыное условие х0 решения p(t, х0) системы
достаточно близко к циклу Г, то lim inf |p(t, х0) — U = 0.
t О f U € Г
Таким образом, если отыскиваемый орбиталыно асимптотически устойчивый цикл достаточно хорошо локализован, то применением какого-либо метода численного интегрирования можно получиты сколы угодно точное приближение к циклу. Однако во многих важный ситуациях (например, в задачах хаотической динамики) отыскиваемые циклы, как правило, неустойчивы. Задача приближенного построения таких циклов становится существенно сложнее. Один из приемов приближенного построения неустойчивых циклов автономных систем базируется на комбинации метода функционализации параметра [1] и какого-либо дискретизационного метода (метода механических квадратур, метода коллокации и др.) (см., например, работы [2, 3]).
Однако такой подход весыма трудоемок в вычисли-телыном отношении и требует дополнителыной информации об отличии от нуля топологического индекса отыскиваемого цикла. Поэтому представляет интерес разработка и исследование простых в применении итерационных алгоритмов приближенного построения неустойчивых циклов. Один из таких алгоритмов принадлежит Спарроу (С. Sparrow) [4]. Этот алгоритм базируется на методе Ныютона, поэтому реализация алгоритма Спарроу на каждом шаге требует обращения специалы-ных матриц. Это обстоятелыство существенно уменыша-ет диапазон применимости алгоритма и делает его неэффективным в вырожденных и плохо обусловленных задачах. В данной работе предлагается новый итерационный алгоритм приближенного построения циклов ав-
тономных систем, эффективный для неустойчивых периодических решений. Этот резулытат быгл опубликован в тезисах докладов [5-7].
1. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА
Будем рассматриваты систему обыкновенных диффе-ренциалыных уравнений
g = /(х), т е к*. (11
Пусты К — вещественная осы, К* — евклидово пространство со скалярным произведением (.,.). Если х е К*, t е К, то через {х, t} обозначается пара в К* + 1. Ниже через Т обозначается операция транспонирования.
Предположим, что правая часты системы (1) непрерывно дифференцируема. Обозначим через p(t, х) решение этой системы с началыным условием p(0, х) = х.
Зафиксируем некоторый вектор а е К*, число > е К и рассмотрим в пространстве пар {х, t} систему уравнений
х = p(t, х), (2)
(а, х) = >. (3)
Пусты пара {х*, t*}, t* z 0 является решением системы (2), (3). Тогда х * — это точка некоторого цикла системы (1), а t* — его период. Следователыно, задача отыскания циклов системы (1) эквивалентна отысканию решений системы (2), (3).
Рассмотрим следующую итерационную процедуру
хк + 1 = хк — Jt((/ — 2Т(^ хк))(хк — p^ х*)) +
+ ((а, хк) — >)а), (4)
+ 1 = + -ГД хк — P(tк, хк)),
к = 0, 1, 2, ..., (5)
где Т — символ транспонирования, 2(х, t) (2(0, х) = %) — фундаменталыная матрица линейной системы диффе-
1D
CONTROL SCIENCES № З • 2005
ренциалыныгх уравнений @@2 = ух' (р(Р, х))2 а у^, рк — управляющие параметры итерационной процедуры (4), (5).
Предположим, что Г — изолированный цикл системы (1) с периодом Г*, х * е Г и
(а, х *) = >. (6)
Рассмотрим гиперплоскосты я, определяемую уравнением (3). Если она трансверсалына циклу Г в точке х*, то пара {х *, Г*} является изолированным решением системы (2), (3). Справедлива следующая
Теорема. Дусть иа—а {х*, Г*} — изолированное решение системы у—авнении
(% — 2Г(Р, х))(х — р(Р, х)) + ((а, х) — >)а = 0 (7)
(/(Р(Р, х)), х — р(Р, х)) = 0, (8)
а уи—авляюцие иа—амет—ы у^, ите—а^ионнои и—о^еду—ы
(4), (5) удовлетво—яют не—авенствам
0 < «о < у*< Ро < 1, (9)
0 < « < Р1 < 1, (10)
где числа Р0 и Р^остаточно малы, Дусть начальное и—и-•лижение {х0 Р0} и— о^еду— ы (4), (5) достаточно близко к иа—е {х*, Г*}, Тогда иоследовательные и—иближения {х^ Р^} сходятся к иа—е {х*, Р*}:
11т (||хА — х*|| + |РА — Г*|) = 0. (11)
Р О №
Доказателыствотеоремы см. в Приложении.
2. ПРИМЕР ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРЕМЫ
В качестве приложения сформулированной теоремы рассмотрим многоконтурную автономную систему автоматического регулирования. Ее динамика описывается системой обыкновенных дифференциалыных уравнений
Здесы £;(р) и )(р) многочлены:
I -1 ••
((р) = Р + =1Р + ... + а,., (13)
) (Р) = >0 р” + >1р” — 1 + ... + >”, I = 1, ..., и, (14)
Р = @@Р — оператор дифференцирования по переменной
Р. Предполагается, что порядки многочленов (13) и (14) подчинены условию О т; + 1, I = 1, ..., и. Формалыно правые части дифференциалыных уравнений определены лишы для достаточно гладких нелинейностей. Для определения решений системы (12) в случае произволы-
ныи непрерывных нелинейностей „/Ё(х1, ..., Хл), і = 1, ..., и стандартным образом переходят к пространству состояний. В этом пространстве система (12) принимает вид:
@Х = /(х), Х є К*, (15)
где функция /(х) выражается через коэффициенты многочленов и функции уі и при этом имеет такую же глад-косты, как исходные нелинейности. Если функции _/Ё дифференцируемы т; раз, то любое решение системы (15) будет решением системы (12). Таким образом, периодические колебания в многоконтурной автономной системе автоматического регулирования можно искаты с помощыю алгоритма (4), (5).
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Предположение о трансверсалыности плоскости я искомому циклу Г не является ограничителыным. Изменяя параметры а и > этого всегда можно добитыся при условии некоторой началыной локализации. Равенства (7) и (8) фактически означают изолированносты критической точки {х*, Г*} функции невязки 3(х, Р), при этом отсутствует требование невырожденности минимума этой функции. Заметим, что задача поиска цикла сложнее в случае автономной системы, чем в случае Г-пери-одической, где априори известен период. Предложенная схема дает как началыное приближение, так и значение периода искомого периодического решения системы
(1). Схема может быты реализована с помощыю любого профессионалыного пакета вычислителыных алгоритмов, например МаШЬ или МаШетайс.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Доказателыство теоремы. Рассмотрим в окрестности точки {х *, Р *} е К* + 1 функцию
3(х, Р) = 0,5(||х — р(Р, х)||2 + ((а, х) + >)2). (16)
Обозначим через V оператор градиента по переменным {х, Р}, через "х — оператор градиента по х, а через "Р — производную по Р. Непосредственный подсчет показывает, что
V 3(х, Р) = {% — 2Г(Р, х))(х — р(Р, х)) +
+ ((а, х) — >)а, (—/(р(Р, х)), х — р(Р, х))|,
"х3(х, Р) = (% — 2Г(Р, х))(х — р(Р, х)) + ((а, х) — >)а, "Р3(х, Р) = —(Др(Р, х)), х — р(Р, х)).
В силу выражения (6) точка {х *, Р *} является точкой минимума функции 3(х, Р). А так как пара {х *, Г *} суты изолированное решение системы (7), (8), то она является изолированной критической точкой функции 3(х, Р). Следователыно, существует шар В с К* + 1 с центром {х*, Г*}, в котором единственной критической точкой функции (16) и точкой абсолютного минимума будет {х *, Г *}.
ПРОБЛЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ № 3 • 2005
11
Положим s = min 3(х, t), где 35 — граница шара.
{х, ?} € 55
Выберем положителыное S < s таким образом, чтобы max ||У3(х, t)|| < тш{||{х, t} — {у, т}|| : {х, t} е ((S),
{х, t} е i(S)
{U, т} е 35 (17)
где ((G)— лебегово множество функции 3(х, t), т. е. ((S) = {{х, t} е 5 : 3(х, t) P S}.
Покажем теперы, что для любого началыного приближения {х0 t0} е (^)последователыны1е приближения {хк tk} процедуры (4), (5) сходятся к паре {х*, Т*}. Для этого покажем вначале, что из включения {хк tk} е ((S) вытекают соотношения
{хк + 1, + 1} е 5, (18)
3(хк + 1, tk + 1) — 3(хк, Pg) P —v||V 3(хк, pG)||2, (19)
где v — достаточно малое положителыное число.
В силу равенств (4), (5) и оценок (9), (10) имеем:
||хк + 1 — х^ P К3^ tk)||, (20)
|tk + 1 — tk| P Vt3^ tk)|. (21)
Из неравенств (17), (20) и (21) следует включение (18). Пусты числа "1, "2, (1 и (2 таковы, что для любых {х1, t1}, {х2, t2} е 5 выполнены неравенства
||"х3(х1, t1) — Ух3(х2, «2)|| P "1||х1 — + "2|t1 — t2|,
||"рЗ(х1, t1) — УрЗ(х2, t2)|| P (1||х1 — х2|| + (2|t1 — t2|,
а константы E0 и Р1 в неравенствах (9) и (10) таковы, что
2 "1Р0 + ±(" + ('1>Р1 < 1, (22)
2 (2Р1 + 1 ("2 + А)Р0 < 1. (23)
Тогда
1
3(хк + l, + 1) — tk) = j ("х3(хк + т(хк + 1 —
0
1
— хk), + W(tk + 1 — tk)), хк + 1 — хк))@т + jVt^C-Xk +
0
+ т(хк + 1 — ^ + W(tk + 1 — tk)), хк + 1 — tk)@W =
1
= —У4("х3(хк — ТУк"х3(хк, tk), ^ — WPk 3(хк, ^
0
1
"х3(хк, tk))@W — Р4"3(хк — т"^к"х3(хк, ^ ^ —
0
— WPk^ "t3^ ДО = —'yJVc3^ tk)|P —
1
— Рк("3(хк, ^))2 — Jkj("х3(хк — Jk3(х^ tk),tk —
0
— тРк"3(хк, Р*» — "х3(хк, tk), "х3(хк, tk))@W —
1
— р4"х3(хк — j 3(хк, tk),tk — тРЛ3(хк, р*» —
0
— "р3^ Р*)- "р3^ до <
< —УЛ"х3(хк, Р*)||2 — р*("р3(х*, Р*))2 +
+ 2 У*("1У*||"х3(х*, Р*)|| + "2Р2|"р3(х*, Р*)|)|"х3(х*, Р*)|| +
+ 1 Р*((1У*||"х3(х*, Р*)|| + (2Р*|"р3(х*, Р*)|)"р3(х*, Р*)|| <
< —У*(1 — 2 — 4("2 + (1)Р*||"х3(х*, Р*)||2 —
— р*(1 — 1 (2Р* — 4("2 + (1 )у*|"р3(х*, Р*)||2 <
Р —«0(1 — 1 "1Р0 — 1 ("2 + (1)Р1||"х3(х*, Р*)||2 —
— «1(1 — 1 (2Р1 — 1("2 + (1)Р0"р3(х*, Р*)|2.
Из последней оценки и неравенств (22) и (23) вытекает неравенство (19), в котором
V = т1п{«0(1 — 1 "1р0 — 4("2 + (1)рр
«1(1 — 2 (2Р1 — 1 ("2+(1>Р0)>-
Суммируя неравенства (19) по от 0 до ”, получаем
”
3(х„ + 1, Р” + 1) — 3(х0, Р0) Р —V X ||"3(х*, Р*)||2.
N = 0
А так как справедливы включения (18), то из послед”
него неравенства следует, что ряд X ||" 3(х*, Р*)||2 схо-
N = 0
дится. Но тогда 11т |" 3(х*, Р*)|| = 0. А так как {х*, Г*} —
Р
единственная критическая точка функции 3(х, Р) на шаре В, то из последнего равенства следует сходимосты
(11). Теорема доказана.
ЛИТЕРАТУРА
1. кобьмев l. d., S—асносельскмм М. d. Функционализация параметра и теорема родственности для автономных систем // Дифференциалыные уравнения. — 1970. — № 11. — С. 1946—1952.
2. кобьмев l. d. К теории фактор-методов приближенного решения нелинейным задач // Доклады1 АН СССР. — 1972. — Т. 199, № 1. — С. 9—12.
3. кобьмев l. d. Метод механических квадратур в задаче о периодических решениях // Успехи математических наук. — 1972. — Т. XXVII, вып. 4 (166). — С. 203—204.
4. ZparNow С. The Lorenz Equations: Bifurcations, Chaos and Strange Attractors. — New York: Springer, 1982.
5. kofewee l. d., Ссжаилов С Г., So—овия С. S. Об одном алгоритме построения пределыных циклов в системах автоматического регулирования // IV междунар. семинар «Устой-чивосты и колебания нелинейных систем управления». — М., 1996. — С. 6.
6. /omaz'fov %. #. On the scheme of approximate construction of cycles of nonlinear systems // Fourth intern. conf. on «Control, automation, robotics and vision». — Singapore, 1996.
7. iomaz'fov %. #. On the approximate construction of cycles in automatic control systems // Fourth intern. symp. on «Method and Models in Automation and Robotics». — Poland, 1997.
в 554-79-00
!-ma;7:7/kDam@Kkr.«et □
12
CONTROL SCIENCES № 3 • 2005
