Численное исследование асимптотической устойчивости положений равновесия Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика к Математическое

моделирование

Сетевое научное издание

Ссылка на статью:

// Математика и математическое моделирование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2017. №3. С. 44-63.

Б01: 10.24108/шаШш.0317.0000070

Представлена в редакцию: 25.05.2017 © МГТУ им. Н.Э. Баумана

УДК 517.938

Численное исследование асимптотической устойчивости положений равновесия

Воркель А. А.1'*, Крищенко А. П.1'2

* [email protected]

1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия 2ФИЦ ИУ РАН, Москва, Россия

Задачей исследования является анализ асимптотической устойчивости положений равновесия автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений на основе функционального метода локализации инвариантных компактов. Для этого использовался критерий асимптотической устойчивости в терминах инвариантных компактов и положительно инвариантных множеств. Данный критерий применяется на основании результатов численной итерационной процедуры построения локализирующих множеств. В настоящей статье были рассмотрены системы дифференциальных уравнений второго и третьего порядка и проведён численный анализ асимптотической устойчивости положений равновесия этих систем. В отличие от других методов исследования устойчивости положений равновесия при рассмотренном подходе не требуются нахождение собственных чисел матрицы Якоби и поиск функции Ляпунова. Более того, численная процедура делает алгоритм универсальным для различных систем и позволяет избежать работы со сложными аналитическими структурами.

Ключевые слова: динамическая система; асимптотическая устойчивость; локализация; локализирующее множество; инвариантный компакт

Введение

В поведении динамических систем важную роль играют ограниченные траектории (положения равновесия, предельные циклы и т.д.). Проблема оценки положения подобных траекторий привела к постановке задач, называемых задачами локализации [1, 2, 3]. В этих задачах оценка положения ограниченных траекторий интерпретируется как построение множества в фазовом пространстве, содержащего все инвариантные компактные множества системы. Это множество называют локализирующим [2].

Один из методов построения локализирующих множеств основан на использовании функций, определенных на фазовом пространстве системы и называемых локализирующими [1, 2, 3, 4]. Рассматривая различные локализирующие функции, можно повторять процесс итерационно и получить целое семейство локализирующих множеств, пересечение которых дает в итоге более сильный результат [5, 6, 7].

В данной статье рассматривается задача исследования асимптотической устойчивости положений равновесия автономных систем дифференциальных уравнений [8, 9] на основе функционального метода локализации инвариантных компактов [2] и критерия асимптотической устойчивости в терминах инвариантных компактов и положительно инвариантных множеств [10].

Для автономных систем дифференциальных уравнений был разработан алгоритм численной итерационной процедуры построения локализирующих множеств для инвариантных компактов, содержащихся в заданном множестве. В конкретных примерах проведено исследование положений равновесия на устойчивость.

1. Постановка задачи

В настоящей работе рассматривается задача анализа асимптотической устойчивости положения равновесия системы обыкновенных дифференциальных уравнений вида

X = / (ж).

(1)

где ж = (ж1, ..., хп)т € Еп — вектор состояний; /(ж) = (/1(ж),

/п(ж))т € С1 (Еп) —

вектор правых частей системы. Введем функции

р* = ^г(х), г = 1,

к,

(2)

которые будем называть локализирующими.

Множество содержащее рассматриваемое положение равновесия системы (1), зададим путем ограничений на выбранные локализирующие функции (2):

= {ж € Еп: р ^ р ^ д] ,

(3)

где р = (р1, ..., рк)т; д = (дь ..., дк)т; р = (рь ..., рк)т.

Пример множества при координатных локализирующих функциях приведен на рис. 1.

Рис. 1. Множество ^о в двумерном случае

Требуется, используя заданные локализирующие функции (2), разработать алгоритм численной итерационной процедуры построения локализирующих множеств для инвариантных компактов системы (1), содержащихся в начальном множестве (3). На основе результатов данной процедуры для системы (1) необходимо применить критерий асимптотической устойчивости в терминах инвариантных компактов и положительно инвариантных множеств.

В данной работе анализ устойчивости положений равновесия систем обыкновенных дифференциальных уравнений проводится в терминах инвариантных компактов и положительно инвариантных множеств [10, 11]. Сформулируем критерий асимптотической устойчивости.

Теорема 1 ([10]). Для того чтобы положение равновесия автономной системы (1) было асимптотически устойчиво, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:

1) положение равновесия в некоторой своей окрестности является единственным инвариантным компактом системы;

2) любая окрестность положения равновесия содержит положительно инвариантную окрестность этого положения равновесия.

Для конкретных примеров условия теоремы 1 проверяются при помощи функционального метода локализации инвариантных компактов.

Универсальным сечением [4], соответствующим функции р(ж), на множестве называется множество

системы (1)).

Введем обозначения

Pinf (Qo) = inf Np(x), Psup(Qo )= sup p(x).

xeSv{Q o) xeS^(Qo)

Для инвариантных компактов системы (1), содержащихся в подмножестве Q С справедливо следующее утверждение.

Теорема 2 ([2]). Пусть Q0 С U, где U — открытое множество в Rn, и p G C^(U). Тогда любой содержащийся в множестве Q0 инвариантный компакт системы (1) содержится в множестве

2. Критерий асимптотической устойчивости

3. Функциональный метод локализации

S^(Qo) = {x G Qo: Lf p(x) = 0} , где Lf p(x) = /¿(x) — производная Ли по векторному полю f (производная в силу

Q^(Qo) = {x G Qo: pinf (Qo) ^ p(x) ^ psup(Qo)} .

Множества ^(^о) называются локализирующими, соответствующими локализирующей функции а любые множества, содержащие все инвариантные компакты системы, — просто локализирующими множествами [12].

4. Итерационная процедура

Описанный подход можно усилить последовательным применением теоремы 2 с различными локализирующими функциями принимая Qlp на предыдущем шаге в качестве на текущем. Общего алгоритма выбора локализирующих функций нет. Подбирать их нужно для каждого конкретного примера, анализируя универсальные сечения разных функций и местонахождение точек экстремума локализирующих функций на этих сечениях относительно границ начального множества Q0. Процесс итерационной процедуры построения локализирующих множеств описывает следующая теорема.

Теорема 3 ([2]). Пусть даны функции ^ е Сте(Ега), г = 0, 1, 2, ... Тогда множества Qо = Qvо, Qi = QViг = 1, 2,..., где

QVi= {х е Qi-l: ^-1) ^ ^(х) ^ ^^^-1)} , содержат все компактные инвариантные множества системы (1) и

Qо 3 Ql 3 ... 3 Qi 3 ...

В качестве начального множества Q0 выбирается множество, содержащее рассматриваемое положение равновесия и не содержащее другие положения равновесия. Тогда выбором локализирующих функций можно попытаться добиться того, что локализирующие множества Q0, Q1, .. ., Qi, ... будут стягиваться к положению равновесия (точнее, в некоторую малую окрестность этого положения равновесия).

Заметим, что, как правило, выбирается некоторый набор уникальных локализирующих функций, которые применяются последовательно друг за другом. После итерации с последней функцией из выбранного набора начинается новый круг с первой функции.

Поиск универсальных сечений аналитически не всегда представляется легкой задачей, поэтому, чтобы избежать работы со сложными аналитическими структурами и сделать программу универсальной для разных систем и локализирующих функций, универсальные сечения для каждой уникальной локализирующей функции в данной работе ищутся численно: строится сетка по начальному множеству, из всех точек сетки применяется одна из функций оптимизации МЛТЬЛВ (например, Гво1уе) для численного решения уравнения Lf (<^) = 0 с некоторой заданной в программе точностью, причем исключаются результаты, выходящие за границы рассматриваемого множества. В итоге искомое универсальное сечение находится поточечно. Чем мельче шаг сетки, тем выше плотность найденных точек.

В итерационной процедуре среди точек универсального сечения, соответствующего текущей локализирующей функции, ищутся те, в которых эта локализирующая функция достигает своего максимального и минимального значений. Эти значения становятся новыми

ограничениями на данную локализирующую функцию в новом локализирующем множестве, которое и является результатом каждой итерации. Это множество используется в качестве начального на следующей итерации. В результате из точек универсального сечения, соответствующего следующей локализирующей функции, исключаются те, которые выходят за границы этого множества. Из оставшихся точек аналогично ищутся те, в которых уже новая локализирующая функция достигает своего максимального и минимального значения, и обновляются границы локализирующего множества. Последовательное повторение этого процесса получения локализирующих множеств образует итерационную процедуру.

Критерием остановки итерационной процедуры является попадание локализирующего множества на очередном шаге в некоторую окрестность положения равновесия, размер которой задается пользователем. Данная окрестность задается достаточно малой. По достижении этой окрестности можно считать, что итерационная процедура стянулась в точку равновесия с выбранной точностью.

Итерационная процедура также останавливается, если после прохода по всем k уникальным локализирующим функциям границы множеств Qi и Qi+k не отличаются. В этом случае для достижения положительного результата необходимо подбирать другие комбинации локализирующих функций и начальных множеств.

Стоит добавить, что точки универсальных сечений для каждой уникальной локализирующей функции находятся всего один раз и не пересчитываются в итерационном процессе, а на каждом шаге итерационной процедуры подходящие точки получаются путем исключения не попавших в локализирующее множество на предыдущей итерации. Это является сильной стороной метода с точки зрения численной реализации.

5. Проверка условий критерия

Обоснуем применение теоремы 1 на основании результатов итерационной процедуры локализации инвариантных компактов.

Проверка первого условия. Положение равновесия находится в выбранном начальном множестве Qo, поэтому выбираем любую окрестность этого положения равновесия внутри Qo. Если итерационная процедура стянулась к точке равновесия, значит согласно теореме 3 в Q0 нет других инвариантных компактов, кроме рассматриваемого положения равновесия. Поскольку Qo содержит выбранную окрестность, в этой окрестности также нет других инвариантных компактов, и значит первое условие теоремы 1 выполнено.

Проверка второго условия. В качестве локализирующих рассматриваем множества Qi вместе с некоторой своей окрестностью:

Qi = {ж е Qi-1: Pi,inf(Qi-i) - T < Pi(x) < Pi,sup(Qi-i) + t} , где t — малая величина.

Таким образом получаем открытые множества <5которые как и Qi стягиваются к положению равновесия.

Выбираем любую окрестность положения равновесия внутри Q0. Следовательно, в некоторый момент г = ] множество попадет в эту окрестность. После к итераций, где к — количество уникальных локализирующих функций, изменится по всем своим границам, т.е. общих границ у Q^ и Qне останется.

На этом этапе можно численно проверить знаки производных локализирующих функций

^ = ^П^т^*^ ^ = ^^т^*)),

где

П {х : ^то(х) < ^т—)} , X* € Qm-1 П {х : ^т(х) > ^зир ^т—) } .

Эти значения позволяют понять направление траекторий относительно границ локализирующего множества Qm. Расположение точек х* и х* проиллюстрировано на рис. 2.

Рис. 2. Нахождение значений sign(t£>m)

Многообразия уровня ^ = const в точках x* и x* обладают свойством полупроницаемости по отношению к траекториям системы (1) и пересекаются с ними трансверсально. Поэтому исходя из знаков а- и а+, i = j +1, ..., j + k, можно понять, является ли множество положительно инвариантным.

Если траектории системы (1) не выходят из QQ ни через одну из границ этого множества, то можно говорить о положительной инвариантности Q. Таким образом, второе условие теоремы 1 выполнено, если на всех итерациях а- = 1 и а+ = — 1.

Для наглядности рассмотрим некоторое локализирующее множество QQi+2, для которого выполнены следующие соотношения:

sign(^i(x*)) = —1, sign(^3i(x1*)) = 1, (4)

Sign(^2 (x*)) = 1, sign(^2(x2*)) = —1, (5)

где

x\ е

x2, е

Qi П {ж: pi(x) < pi,inf(Qi)} , x1* е Qi П {ж: pi(x) > pi,sup(Q Qi+i П {x: P2(x) < P2,inf (Qi+i)} , x2* е QQi+i П {x: P2(x) < P2,si

Исходя из знаков производных локализирующих функций (4) и (5) можно сделать вывод, что множество (¿+2 не является положительно инвариантным. Направления траекторий фазового портрета, изображенные на рис. 3, иллюстрируют это утверждение.

0.3

0.2

0.1

sign p>i( х™ 0

-0.1

-0.2

-0.3

И

А Q sign р2(> / / / :2*) = -1 i \l \

А ¡+2 г \ \ \ N. ¡1 ' "

/l. / sign Щ

К л / /> /

1 /

к \ sign ~Р2 Л j ji (xl) = 1

<P2sup(Qi+l)

1*) = 1

<P2i„f(Qi+l)

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.Е

х.

VI sup(Qi)

1

ФИпЛО/)

Рис. 3. Множество ((¿+2, не являющееся положительно инвариантным

6. Примеры

Пример 1. Рассмотрим нелинейную систему дифференциальных уравнений 2-го порядка

ж 1 = (2x1 - Ж2)(3жх - Ж2)(Ж2 -

(6)

Ж 2 = (ж1 — 3ж2)(ж1 — 4ж2)(ж1 — 5ж2). Система (6) имеет единственное положение равновесия

Ж1 = 0, Ж2 = 0. (7)

Матрица Якоби системы (6) вырождена в точке (7), поэтому сделать вывод об устойчивости данного положения равновесия по первому приближению нельзя. Локализирующие функции определим следующим образом:

^2т-1 = Ж - Ж2, Р2т = Ж - 5.5жЬ Ш = 1, 2,...

Начальное множество ^о выбираем так, чтобы оно содержало интересующее положение равновесия (и никакие другие положения равновесия системы (6)):

— 1 ^ х2) ^ 1, -3.5 ^ (х1,ж2) ^ 3.5.

Универсальные сечения

Ш = {х е ^0: Lf Ы = 0} , (^о) = {х е ^0: Lf (^2) = 0} , т =1, 2,

будем искать численно. Для этого выберем сетку на множестве по фазовым переменным системы (6) и применим одну из функций оптимизации МЛТЬЛВ — функцию Гво1уе. Все полученные точки представлены на рис. 4.

Нули функции $ (х) Нули функции

ч ^^ 1

[ - •-^ОРГ

1

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 О 02. 0.4 0.6 О.В 1

Рис. 4. Результат численного построения множеств Б^2т-1 (О)) и Б^2т (О) в примере 1

Можно видеть, что в окрестности начала координат присутствуют лишние точки. Это происходит из-за вычислительных ошибок МЛТЬЛВ. Точность функции Гво1уе можно повысить с помощью соответствующих настроек, но это приведет к снижению плотности точек универсальных сечений.

На рис. 5-7 приведены результаты работы итерационной процедуры. На каждом рисунке изображены множество на пересечении синих линий и получившееся после прохождения двух итераций множество, которое залито красным цветом.

В результате получилась локализирующая последовательность множеств, стягивающихся в одну точку — нулевое положение равновесия (7) системы (6).

Для определения устойчивости положения равновесия (7) для т =1, 2, ... были подсчитаны значения атт = т(х*)) и = з1§п(<£т(х*)). Результаты приведены в табл. 1. Из этих результатолв видно, что траектории со всех сторон притягиваются к множествам Qi и не выходят из них. Значит Qi являются положительно инвариантными множествами.

0.3 -0.6 -0.4 -0.2 0 02 0.4 0.6 0.3 1

Рис. 5. Множества О0 и О2 в примере 1

0.3 -0.6 -0.4 -0.2 О 02 0.4 0.6 0.3 1

Рис. 6. Множества О2 и в примере 1

0.3 -0.6 -0.4 -0.2 0 02 0.4 0.6 0.3 1

Рис. 7. Множества и в примере 1

Таблица 1

Таблица значений ат и в примере 1

т 1 2 3 4 5 6

^т 1 1 1 1 1 1

т -1 -1 -1 -1 -1 -1

Таким образом, согласно теореме 1 положение равновесия (7) является асимптотически устойчивым.

Пример 2. Рассмотрим нелинейную систему дифференциальных уравнений 3-го порядка

{С1 --(^2 +Н ^з);

С1 — -Сз + С1С2 - (с2 + С^); (8)

С2 — С2 + С1Сз - (ж2жз + С3). Система (8) имеет единственное положение равновесия

С1 — 0, С2 — 0, Сз — 0. (9)

Собственные значения матрицы Якоби системы (8) в точке (9) равны

А1 — -1, Л2 — г, Лз — -г.

Это критический случай, поэтому на основе первого приближения сделать вывод об устойчивости данного положения равновесия нельзя.

Локализирующие функции определим следующим образом:

= XI, <Р2т = X + Ш = 1, 2,...

Зададим границы начального множества :

-1 ^ ^1(Ж1,Ж2,Ж3) ^ 1, ^2(х1,Ж2,Жэ) ^ 0.1.

Заметим, что вторая локализирующая функция является суммой квадратов х2 и х3 и отвечает за цилиндрическую границу локализирующих множеств, поэтому для нее задается только ограничение сверху.

Все полученные точки универсальных сечений и Б^2 представлены на рис. 8.

Рис. 8. Результат численного построения множеств Б^ и Б^2 в примере 2

На рис. 9-11 приведены результаты итерационной процедуры. На каждом рисунке изображены множество на пересечении синих плоскостей и цилиндрической поверхности и получившееся спустя одну итерацию множество, образованное на пересечении красных плоскостей и цилиндрической поверхности.

Заметим, что на рис. 11 границы локализирующего множества, заданные плоскостями, на последней итерации притянулись практически вплотную друг к другу, поэтому цилиндрическая поверхность не видна.

Локализирующая последовательность множеств стянулась к нулевому положению равновесия системы (8).

Для определения устойчивости положения равновесия (9) для ш = 1, 2, ... были вычислены значения ат = §1§п(^т(ж*)) и ат = в1§п(^т(ж*)), причем для локализирующей функции <^2(я) считалось только ат. Результаты отображены в табл. 2.

Итак, по теореме 1 положение равновесия (9) является асимптотически устойчивым.

Рис. 9. Множества и Q1 в примере 2

0.4 -, 0.2 -О -02 -

Рис. 10. Множества Q1 и в примере 2

Рис. 11. Множества и Q3 в примере 2

Таблица 2 Таблица значений ат и в примере 2

т 1 2 3

®т 1 - 1

-1 -1 -1

Пример 3. Рассмотрим нелинейную систему дифференциальных уравнений 2-го порядка

х 1 = -х + - X - X); (10)

I 2 2\ ^ ^

х 2 = х1 + х2(1 — х2 — х2). Система (10) хорошо известна [13]. Кроме нулевого положения равновесия она имеет предельный цикл (рис. 12).

Покажем, как разработанный численный алгоритм и функциональный метод локализации инвариантных компактов можно применять для анализа устойчивости предельных циклов.

Зададим единственную локализирующую функцию:

22

Выберем начальное множество так, чтобы содержало в себе предельный цикл:

р(х1,х2) ^ 2.

■1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

Рис. 12. Фазовый портрет системы (10)

Все полученные точки универсального сечения Б< представлены на рис. 13.

Результат итерационной процедуры, которая при единственной локализирующей функции, очевидно, завершается за одну итерацию, приведен на рис. 14. Синяя граница соотвест-вует начальному множеству, а локализирующее множество, полученное после выполнения итерации, залито красным.

Нули функции (х)

- -

( * \ ! 1

1 * 1 3, )

*

■1.5 -1 -0.5 О 0.5 1 1.5

Рис. 13. Результат численного построения множества Б<(^о) в примере 3

Как видно, граница локализирующего множества вплотную притянулась к предельному циклу.

Чтобы понять, является ли множество Q1 положительно инвариантным, был определен знак а++. Оказалось, что а+ = — 1, т = 1.

Таким образом, траектории системы (10) с внешней стороны притягиваются к множеству Ql и не выходят из него. Любая положительная полутраектория системы (10), начинающаяся в положительно инвариантном ограниченном множестве Q1, ограничена и стремится к своему ^-предельному множеству [8], которое находится в Q1. Поэтому можно говорить о наличии аттрактора [14, 15] в множестве Q1, но утверждать, что он совпадает с границей Q1, мы не можем.

Докажем, что между циклом и положением равновесия нет других инвариантных компактов. Для этого рассмотрим ту же локализирующую функцию

Р(Ж1,Ж2) = + х1,

но зададим другое начальное множество Q0.

Примем в качестве Q0 множество Q1, заданное неравенством: р(х1,х2) < 1. При численной реализации будем считать, что р ^ 1 — т, где т — малая величина.

Все полученные точки универсального сечения Б^ представлены на рис. 15.

Результат итерационной процедуры приведен на рис. 16. Синяя граница соотвествует начальному множеству, которое на этот раз лежит во внутренней области предельного цикла, а множество, полученное после выполнения итерации, обозначено красным цветом.

Нули функции м

ч

/

/

-Л х г

■1 -0.fi -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.6 1

Рис. 15. Результат численного построения множества в примере 3

J_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I

■1 -0,6 -0.6 -0.4 -0.2 О 0.2 0.4 0.6 0.6 1

Рис. 16. Множества Q0 и Q'1 в примере 3

Можно видеть, что граница локализирующего множества вплотную притянулась к положению равновесия. Согласно теореме 3 в множестве Q0 нет других инвариантных компактов, кроме нулевого положения равновесия. Это означает, что предельный цикл не содержится в множестве Q0.

Значение адля множества Q'1 равно 1. Следовательно, по теореме 1 нулевое положение равновесия системы (10) неустойчиво.

Напомним, что множество Q0 открыто, его граница почти совпадает с предельным циклом, и оно не содержит других инвариантных компактов, кроме неустойчивого положения равновесия. Значения ф в точках его границы положительны. Из этого следует, что Q0 не является положительно инвариантным множеством, т.е. траектории выходят из него и приближаются к циклу.

Итак, предельный цикл системы (10) является притягивающим с обеих сторон, и значит он устойчивый.

Заключение

В данной работе описан метод исследования асимптотической устойчивости положений равновесия автономных систем, который базируется на функциональном методе построения локализирующих множеств и критерии асимптотической устойчивости в терминах инвариантных компактов и положительно инвариантных множеств. Предложен алгоритм численной реализации итерационной процедуры локализации инвариантных компактов и проведена проверка условий критерия асимптотической устойчивости по результатам процедуры. Приведены примеры, подтверждающие работоспособность изложенного метода.

Исследование асимптотической устойчивости обычно связано с поиском собственных чисел матрицы линейного приближения или нахождением функции Ляпунова. Но матрица линейного приближения может оказаться вырожденной или, например, иметь пару комплексно сопряженных значений с нулевой действительной частью, а поиск функции Ляпунова часто оказывается достаточно сложной задачей. Благодаря описанному в настоящей статье методу при анализе асимптотической устойчивости положений равновесия можно обойтись без поиска функции Ляпунова и нахождения собственных чисел.

Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект 17-11-01220).

Список литературы

1. Крищенко А.П. Локализация предельных циклов // Дифференциальные уравнения. 1995. Vol. 31, №11. С. 1858-1865.

2. Крищенко А.П. Локализация инвариантных компактов динамических систем // Дифференциальные уравнения. 2005. Т. 41, № 12. C. 1597-1604.

3. Krishchenko A.P. Estimations of domains with cycles // Computers & Mathematics with Applications. 1997. Vol. 34, iss. 2-4. Pp. 325-332. DOI: 10.1016/S0898-1221(97)00130-2

4. Канатников А.Н., Крищенко А.П. Инвариантные компакты динамических систем. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. 231 с.

5. Starkov K.E. Compact invariant sets of the Bianchi VIII and Bianchi IX Hamiltonian systems // Physics Letters A. 2011. Vol.375, iss. 36. Pp. 3184-3187. DOI: 10.1016/ j.physleta.2011.06.064

6. Starkov K.E. Bounds for compact invariant sets of the system describing dynamics of the nuclear spin generator // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation.

2009. Vol. 14, iss. 6. Pp. 2565-2570. DOI: 10.1016/j.cnsns.2008.08.005

7. Starkov K.E. Localizing bounds for compact invariant sets of nonlinear systems possessing first integrals with applications to Hamiltonian systems // Intern. J. of Bifurcation and Chaos.

2010. Vol. 20, no. 5. Pp. 1477-1483. DOI: 10.1142/S0218127410026629

8. Халил X.K. Нелинейные системы: пер. с англ. 3-е изд. М.; Ижевск: Ин-т компьютерных исслед., 2009. 812 с. [Khalil H.K. Nonlinear systems. 3rd ed. Upper Saddle River: Prentice Hall, 2002. 750 p.].

9. Sastry S.S.Nonlinear systems: analysis, stability, and control. N.Y.; L.: Springer, 1999. 667 p.

10. Крищенко А.П. Анализ асимптотической устойчивости автономных систем методом локализации инвариантных компактов // Доклады РАН. 2016. Т. 469, № 1. С. 17-20. DOI: 10.7868/S086956521619004X

11. Крищенко А.П. Исследование асимптотической устойчивости в целом методом локализации инвариантных компактов // Дифференциальные уравнения. 2016. Т. 52, no. 11. С. 1457-1464. DOI: 10.1134/S0374064116110029

12. Рамазанова Х.М. Локализация инвариантных компактов системы Lorenz-84 // Математика и математическое моделирование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2015. №4. С. 54-65. DOI: 10.7463/mathm.0415.0812317

13. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. 2-е изд. М.: Наука, 1990. 486 с.

14. Леонов Г.А. Оценки аттракторов и существование гомоклинических орбит в системе Лоренца // Прикладная математика и механика. 2001. Т. 65, no. 1. С. 21-35.

15. Леонов Г.А. Об оценках аттракторов системы Лоренца // Вестник Ленинградского ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. Астрономия. 1988. № 1. С. 32-37.

Mathematics i Mathematical Modelling

Electronic journal of the Bauman MSTU

Mathematics and Mathematical Modelling of the Bauman MSTU, 2017, no. 3, pp. 44-63.

DOI: 10.24108/mathm.0317.0000070

Received: 25.05.2017

© Bauman Moscow State Technical University

Numerical Analysis of Asymptotic Stability of Equilibrium Points

VorkeP A. A.1'*, Krishchenko A. P.1'2 *[email protected]

1 Bauman Moscow State Technical University, Russia; 2 Federal Research Center "Computer Science and Control" of RAS, Moscow, Russia

Keywords: dynamical system, asymptotic stability, localization, localizing set, invariant compact set

The aim of this study is to numerically analyze an asymptotic stability of the equilibrium points of autonomous systems of ordinary differential equations on the basis of the asymptotic stability criterion given in the article and the functional localization method of invariant compact sets. The article formulates the necessary and sufficient conditions for an asymptotic stability in terms of invariant compact sets and positively invariant sets and describes a functional localization method. Presents appropriate localization theorems for invariant compact sets of dynamical systems.

To investigate the asymptotic stability is proposed an algorithm for a numerical iteration procedure to construct the localizing bounds for invariant compact sets contained in a given initial set. Application of the asymptotic stability criterion is based on the results of this procedure. The author of the article verifies the conditions of the appropriate theorem and confirms the use of this criterion.

The examples of two- and three-dimensional systems of differential equations demonstrate a principle of the iteration procedure. The article also gives an example of the system with a limit cycle and it shows that the developed numerical algorithm and the functional localization method of invariant compact sets can be used to analyze stability of the limit cycles.

Thanks to the method described in the article, when analyzing an asymptotic stability of equilibrium points, finding a Lyapunov function and calculating eigenvalues of a matrix of linear approximation are non-essential. Thus, it is possible to avoid labour-intensive work with complex analytical structures.

The numerical iteration procedure can be used in systems of different dimensions and makes the presented algorithm of asymptotic stability analysis universal.

References

1. Krishchenko A.P. Localization of limit cycles. Differential Equations, 1995, vol.31, no. 11, pp. 1826-1833.

2. Krishchenko A.P. Localization of invariant compact sets of dynamical systems. Differential Equations, 2005, vol. 41, no. 12, pp. 1669-1676. DOI: 10.1007/s10625-006-0003-6

3. Krishchenko A.P. Estimations of domains with cycles // Computers & Mathematics with Applications, 1997, vol. 34, iss. 2-4, pp. 325-332. DOI: 10.1016/S0898-1221(97)00130-2

4. Kanatnikov A.N., Krishchenko A.P. Invariantnye kompakty dinamicheskikh sistem [Invariant compact sets of dynamical systems]. Moscow: BMSTUPubl., 2011. 231 p. (in Russian).

5. Starkov K.E. Compact invariant sets of the Bianchi VIII and Bianchi IX Hamiltonian systems. Physics Letters A, 2011, vol. 375, iss. 36, pp. 3184-3187. DOI: 10.1016/j.physleta.2011.06.064

6. Starkov K.E. Bounds for compact invariant sets of the system describing dynamics of the nuclear spin generator. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation,

2009, vol. 14, iss. 6, pp. 2565-2570. DOI: 10.1016/j.cnsns.2008.08.005

7. Starkov K.E. Localizing bounds for compact invariant sets of nonlinear systems possessing first integrals with applications to Hamiltonian systems. Intern. J. of Bifurcation and Chaos,

2010, vol. 20, no. 5, pp. 1477-1483. DOI: 10.1142/S0218127410026629

8. Khalil H.K. Nonlinear systems. 3rd ed. Upper Saddle River: Prentice Hall, 2002. 750 p. (Russ. ed.: Khalil H.K. Nelinejnye sistemy. Moscow; Izhevsk: Institute of Computer Technologies Publ., 2009. 832 p.).

9. Sastry S.S.Nonlinear systems: analysis, stability, and control. N.Y.; L.: Springer, 1999. 667 p.

10. Krishchenko A.P. Asymptotic stability analysis of autonomous systems by applying the method of localization of compact invariant sets. Doklady Mathematics, 2016, vol. 94, no. 1, pp. 365368. DOI: 10.1134/S1064562416040025

11. Krishchenko A.P. Global asymptotic stability analysis by the localization method of invariant compact sets. Differential Equations, 2016, vol.52, no. 11, pp. 1403-1410. DOI: 10.1134/S0012266116110021

12. Ramazanova Kh.M. Localization of compact invariant sets of the Lorenz'1984. Matematika i matematicheskoe modelirovanie [Mathematics and Mathematical Modelling], 2015, no. 4, pp. 54-65. DOI: 10.7463/mathm.0415.0812317 (in Russian)

13. Bautin N.N., Leontovich E.A. Metody ipriemy kachestvennogo issledovaniya dinamicheskikh sistem na ploskosti [Methods and techniques of the qualitative study of dynamical systems in plane]. 2nd ed. Moscow: Nauka Publ., 1990. 486 p. (in Russian).

14. Leonov G.A. Bounds for attractors and the existence of homoclinic orbits in the Lorenz system. J. of Applied Mathematics and Mechanics, 2001, vol.65, no. 1, pp. 19-32. DOI: 10.1016/S0021-8928(01)00004-1

15. Leonov G.A. About estimates of the Lorentz system attractors. Vestnik Leningradskogo uni-versiteta. Ser. Matematika. Mekhanika. Astronomiia [Vestnik of the Leningrad Univ. Mathematics], 1988, iss. 1, pp. 32-37 (in Russian).