CC BY
12УДК 621.396.4
Е. А. Маврычев
Нижегородский государственный технический университет им. Р. Е. Алексеева
Итерационное различение сигналов в М1М0-системе на основе критерия максимального правдоподобия в присутствии шума с пространственной корреляцией
Рассмотрена система передачи информации, имеющая разнесенные антенны на передачу и на прием (М1МО-система). Рассмотрен алгоритм различения сигналов на фоне пространственно-коррелированного шума, основанный на критерии максимального правдоподобия. Предложен итерационной алгоритм различения информационных символов с оценкой корреляционной матрицы шума. Представлены результаты математического моделирования для рэлеевского канала, показывающие эффективность предложенного алгоритма.
М1МО-система, различение сигналов, метод максимального правдоподобия
Применение систем связи, обладающих наборами пространственно-разнесенных антенн для приема и передачи сигналов (М1МО-систем), является наиболее перспективным решением задачи повышения скорости передачи данных в многолучевой среде при ограничениях на частотные полосы и мощность излучаемого сигнала [1], [2]. Задача оптимального различения сигналов в условиях априорной неопределенности относительно помех в таких системах требует учета пространственно-корреляционных свойств как сигналов, так и шума.
Декодирование принимаемых сигналов может основываться на различных статистических критериях, наиболее эффективным из которых является критерий максимального правдоподобия (МП).
Методы формирования и декодирования сигналов в каналах с пространственно-коррелированным шумом предложены в [3]. В работе [4] рассмотрен приемник сигналов с пространственно-временным кодированием и дифференциальной (относительной) модуляцией на фоне неизвестного пространственно-коррелированного шума, реализующий МП-критерий. Декодирование ортогональных пространственно-временных кодов на основе итерационного алгоритма предложено в [5].
В настоящей статье исследуется оптимальный по МП-критерию прием сигналов на фоне пространственного коррелированного шума. При неизвестной корреляционной матрице шума алгоритм МП не реализуем из-за вычислительных сложностей. Поэтому рассмотрен аналогичный [5] итерационный алгоритм декодирования сигналов на фоне пространственного коррелированного шума. Показано, что сложность итерационного алгоритма растет линейно с ростом числа декодируемых символов, что позволяет реализовать данный алгоритм на практике. Приведены результаты математического моделирования, демонстрирующие эффективность предлагаемого метода пространственного разделения пользователей.
Модель М1МО-системы. Пусть МГМО-система включает в себя М передающих и N приемных антенн. Будем полагать, что число передающих антенн не больше числа приемных антенн (М < N). Последовательность данных преобразуется в Ь пространственных символов, которую можно представить в виде матрицы £ с размерами М х Ь. Матрица
© Маврычев Е. А., 2067
пространственно-временных символов ^ = [8(I)], t = 1, Ь, состоит из Ь векторов-столбцов 8 (t) = [8т 0)], т = 1, М, пространственных символов, передаваемых в ^е моменты времени. Если используется многомерная модуляция сигналов, то каждый элемент матрицы £ является символом алфавита размерности К, т. е. sm (Ое{аь а2, ..., аК} = {Л}, причем
I = 1, Ь, т = 1, М. Обозначим через {Л}МхЬ множество матриц с размерами М х Ь, элементы которых принадлежат алфавиту {Л}, тогда £ е {Л}МхЬ .
Рассмотрим модель частотно-неселективного канала, описываемого матрицей комплексных коэффициентов передачи Н с размерами N х М. Элемент этой матрицы ИПт является коэффициентом передачи сигнала из т-й передающей антенны в п-ю приемную ан-
тенну, причем m = 1, M, n = 1, N. При передаче пространственного символа s (t) в прием-
"|Т
ннке создается сигнал, описываемый вектором комплексных амплитуд
X (t) = [xn (t)] ,
n = 1, N, элементами которого являются комплексные амплитуды приемной антенны: x (t) =
= Hs (t) + z (t), где z (t) = [zn (t)]T, - вектор-столбец смеси собственных шумов приемных
устройств и внешних помех; т - операция транспонирования. Пусть Rzz = E{z (t)zH (t)} - корреляционная матрица шумов в элементах приемной решетки (E - символ статистического
усреднения; - символ эрмитова сопряжения). Будем считать, что смесь собственного шума и помех является случайным гауссовским процессом, некоррелированным во времени.
Условная многомерная плотность распределения входного процесса (функция правдоподобия) для нормального комплексного распределения шума записывается как [4]
p (X|S ) = (пN det Rzz) L exp {-Tr [r-1 (X - HS )(X - HS )H ]}, (1)
где det - определитель матрицы; Tr - след матрицы; X = [ x (t)], t = 1, L.
Алгоритм максимального правдоподобия. Рассмотрим задачу оптимального различения по МП-критерию в MIMO-системе сигналов, принимаемых на фоне пространственно-коррелированных шумов. По наблюдаемой выборке векторов x (t), t = 1, L, необходимо вынести решение о том, какие пространственно-временные символы были переданы. В силу монотонности преобразования максимизация функции правдоподобия p (X|S) эквивалентна максимизации логарифма этой функции, поэтому правило МП-различения можно записать как S = arg max
ln p (X|S ).
Se{ A}M xL
Учитывая (1), логарифм функции правдоподобия имеет вид
ln p (X| S) = -NL ln n - L ln det Rzz - Tr [R- (X - HS) (X - HS)H =
- NL ln n - L ln det Rzz - £ Tr {r-} [x (t) - Hs (t)] [x (t) - Hs (t )]H}. (2)
t=1
При взаимно независимой последовательности пространственных символов 8 (^),
t = 1, Ь (в случае модуляции без памяти и без кодирования) в соответствии с выражением (2) каждый пространственный символ декодируется независимо. Тогда различение пространственного символа 8 О) должно выполняться по следующему решающему правилу:
^ )^{А}М х1
1 н
и) = а^ шт Тг В— [х(0-НьЩх(О-Нь(0]
(3)
Для принятия решения о пространственном символе 8 (t) по правилу (3) необходимо перебрать все возможные векторы размера М на множестве {А}М х1. Количество возможных вариантов будет равно 2КМ, а принятие всего блока пространственных символов потребует вычисления Ь2КМ метрик в соответствии с (3).
Алгоритм (3) может быть применен в случае известной корреляционной матрицы шума. Если корреляционная матрица шума неизвестна, необходимо искать максимум
функции правдоподобия р (XI £, В22 ). Найдем МП-оценку корреляционной матрицы шума. Для этого приравняем нулю производную от логарифма функции правдоподобия р (XI £, В22 ) по корреляционной матрице Я22 :
51п р ( Ж Я22 )/Я = 0. (4)
Использовав стандартные правила дифференцирования матричной алгебры и решив уравнение (4), найдем условную оценку корреляционной матрицы шума, зависящую от матрицы пространственно-временных символов [4]:
= Г1 (X - Ж) (X - Ж)Н. (5)
Подставим в функцию правдоподобия (1) вместо неизвестной корреляционной матрицы
Я,, ее оценку (5): р (X|£ ) = ехр (-Ж)/(лЖ {ёе! [(X - Ж)(X - Ж )Н ]}Ь) и получим правило принятия решения о переданных символах при неизвестной матрице корреляции шума:
£ = а^ шт ёе! [(X - Ж)(X - Ж)Н ]. (6)
А}М хЬ
Полученное правило является оптимальным алгоритмом различения сигналов в М1МО-системе на фоне шума с неизвестной корреляционной матрицей в соответствии с МП-
критерием. Данный алгоритм предполагает поиск на множестве {А}МхЬ , при этом число возможных комбинаций равно 2КЬМ. Увеличение числа передающих антенн, порядка модуляции и длины блока символов приводит к экспоненциальному росту сложности МП-алгоритма. По этой причине практическая реализация алгоритма (6) не представляется возможной, а следовательно, необходимо искать алгоритмы различения с допустимой вычислительной сложностью.
Итерационный алгоритм различения. Рассмотрим итерационный алгоритм различения сигналов, основанный на правиле МП. Суть алгоритма заключается в том, что на каждой итерации используется алгоритм различения сигналов с известной корреляцион-
ной матрицей (3), в котором вместо точной корреляционной матрицы используется ее оценка, полученная на предыдущем шаге. По найденной оценке пространственно-временных символов оценивается корреляционная матрица в соответствии с (5). В качестве начального приближения корреляционной матрицы выбирается единичная матрица, соответствующая некоррелированному собственному шуму.
Итерационный алгоритм различения символов, состоящий из J итераций, можно представить в виде следующей последовательности шагов:
1. Инициализация корреляционной матрицы К.. (0) = ^, установка счетчика итераций , = 0, начало итерационного процесса.
2. Оценка информационных символов на м шаге:
8, (I) = а^ шт Тг (К-} {(, -1) [х (I) - Н (I)][х (I) - Н (I)]Н}).
8(1 Ы Л}М
-|Н
3. Оценка корреляционной матрицы на ,-м шаге: (,) = Ь 1 [X - Н§, ] [X - н£, ]
где § = [§ (I)], I = .
4. Если , < J, то , =, +1 и переход на шаг 2, иначе конец итерационной процедуры, £ = SJ - декодированные символы.
В этом случае асимптотическая сложность будет определяться количеством операций на втором шаге (алгоритм различения с известной корреляционной матрицей), умноженным на число итераций J. Результирующее количество вычисляемых метрик для декодирования
пространственно-временных символов будет равно J 2КМ. В отличие от оптимального алгоритма (6) вычислительная сложность итерационного алгоритма растет с увеличением числа символов линейно, что позволяет реализовать данный алгоритм на практике.
Результаты моделирования. Чтобы установить эффективность рассмотренного алгоритма, проведено математическое моделирование для МГМО-системы с четырьмя приемными и четырьмя передающими антеннами (М = N = 4). Передача информации осуществлялась сигналами с двоичной фазовой манипуляцией без помехоустойчивого кодирования, т. е. {Л} = {-1, +1}. Полагалось, что сигналы распространяются в случайной однородной рассеивающей среде, поэтому коэффициенты передачи Ипт имеют рэлеевское
распределение амплитуд, равномерное распределение фаз и не коррелированы между собой. Сигнал принимается на фоне пространственно-коррелированного шума. Используется экспоненциальная модель корреляции, при которой произвольный элемент корреляционной матрицы записывается в виде (р, д) = (1 - р) 1 рр д е'(р д^
Результаты моделирования показаны на рис. 1, 2. В моделировании рассматривался итерационный алгоритм с различным числом итераций и МП-алгоритм для точно известной корреляционной матрицы. На рис. 1 представлены зависимости вероятностей битовых ошибок Р от отношения "сигнал/шум" д. Оценка корреляционной матрицы в итерационном алгоритме выполнялась по Ь = 50 символам. На рис. 2 показаны зависимости вероятностей ошибки от числа выборок Ь для оценки корреляционной матрицы при д = 5 дБ.
P
L = 50
P
q = 5 дБ
J = 1
J = 1
0.001
0.01
0.1
2
3
-5
0
5
q, дБ
5
50 Рис. 2
L
Рис. 1
Из рисунков следует, что эффективность итерационного алгоритма для неизвестной корреляционной матрицы с ростом числа итераций J приближается к эффективности МП-алгоритма, использующего известную корреляционную матрицу шума. Сравнительно небольшое число итераций (3...5) обеспечивает приемлемое качество различения сигналов. Например, при количествах выборок L = 50 и итераций J = 5 вероятность ошибки 0.01 достигается при отношении "сигнал/шум" на 1 дБ выше, чем у алгоритма МП с точно известной корреляционной матрицей.
В настоящей статье предложен итерационный алгоритм различения в системе передачи данных с наборами пространственно-разнесенных антенн для приема и передачи сигналов на фоне шума с неизвестной корреляционной матрицей. Предложенный алгоритм основан на критерии МП. Представлены результаты математического моделирования, показывающие характеристики данных алгоритмов.
1. Tarokh V., Seshadri N., Calderbank A. R. Space-time codes for high data rates wireless communication: Performance criterion and code construction // IEEE Trans. inf. theory. 1998. Vol. IT-44, № 3. P. 744-765.
2. Ермолаев В. Т., Маврычев Е. А., Флаксман А. Г. Применение адаптивных антенных решеток для повышения темпа передачи информации в перспективных системах связи // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники. 2001. № 9. C. 50-58.
3. Optimal designs for space-time linear recorders and decoders / A. Scaglione, P. Stoica, S. Barbarossa et al. // IEEE Trans. signal proc. 2002. Vol. SP-50, № 5. P. 1051-1064.
4. Smart antennas for broadband wireless access networks / K. Sheikh, D. Gesbert, D. Gore, A. Paulraj // IEEE comm. mag. 1999. Vol. CM-37, № 11. P. 100-105.
5. Larsson E., Stoica P. Li J. On maximum-likelihood detection and decoding for space-time coding systems // IEEE Trans. signal proc. 2002. Vol. SP-50, № 4. P. 937-944.
E. A. Mavrychev
Nizhniy Novgorod state technical university
Iterative signal detection in MIMO system based on maximum likelihood criterion in presence of spatial correlation noise
The communication systems with transmit and receive diversity (MIMO system) are considered. Signals are received in presence of spatial color noise fields. Detector based on maximum likelihood is considered. An algorithm with iterative estimation of correlation matrix is proposed. Simulation results for multipath channel are presented. These results demonstrate effectiveness of the proposed approach.
MIMO system, signal detection, maximum likelihood method
Статья поступила в редакцию 29 мая 2011 г.
Список литературы
