Итерационный декодер максимального правдоподобия пространственно-временных блочных кодов на фоне пространственно-коррелированного шума Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

22e

Теория и техника телекоммуникаций Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 5 (3), с. 226-231

УДК 621.396.4

ИТЕРАЦИОННЫЙ ДЕКОДЕР МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫХ БЛОЧНЫХ КОДОВ НА ФОНЕ ПРОСТРАНСТВЕННО-КОРРЕЛИРОВАННОГО ШУМА

© 2011 г. А.В. Кричигин Е.А. Маврычев 2

1 Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского 2 Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева

mavrychev. eugene@mail. rn

Поступила в редакцию 10.06.2011

Рассматривается MIMO-система (multi input multi output) передачи данных с блочным пространственно-временным кодированием. Решается задача максимально правдоподобного декодирования в пространственно-коррелированном шуме с неизвестной корреляционной матрицей. Алгоритм декодирования, основанный на полуопределенном математическом программировании, обобщается на случай пространственно-коррелированного шума. Предложен итерационный квазиоптимальный алгоритм для случая неизвестной пространственной корреляции шума. Эффективность рассмотренных декодеров подтверждается математическим моделированием.

Ключевые слова: MIMO-система, пространственно-временное кодирование, декодер максимального правдоподобия.

Введение

Пространственно-временное кодирование в MIMO-системах является перспективной технологией высокоскоростной передачи данных в беспроводных каналах [1—6]. Использование блочных пространственно-временных кодов (STBC) позволяет получить усиление сигнала за счет разнесенной передачи и приема [3, 4] и тем самым повысить пропускную способность системы связи в условиях многолучевого распространения сигналов.

Наилучшее декодирование обеспечивает алгоритм, основанный на критерии максимального правдоподобия (МП) [4, 7], однако МП декодер требует существенных вычислительных затрат. В общем случае сложность МП декодера растет экспоненциально с ростом размерности пространственно-временного символа и порядка модуляции. Для STBC используются квази-оптимальные алгоритмы максимального правдоподобия (КМП), например, алгоритм сферического декодирования [5, 8] и алгоритм математического программирования с полуопреде-ленным ограничением (SDP - semi-definite programming) [5, 6, 9, 10]. Сложность данных методов растет по степенному закону.

Наибольшее распространение получили ортогональные блочные пространственно-временные коды (OSTBC) [2, 11], которые являются частными случаями STBC. Интерес к данному

классу кодов вызван тем, что для них существует простой алгоритм МП декодирования в присутствии белого шума, основанный на согласованной фильтрации [7].

В ряде работ [12-15] рассматривается проблема декодирования OSTBC в присутствии помех и коррелированного шума. В работе [12] описывается линейный приемник OSTBC на фоне помех множественного доступа. Данный метод основан на минимизации выходной мощности помехи. В работе [13] был предложен линейный приемник для многоантенной системы связи с кодовым разделением пользователей и схемой пространственно-временного кодирования на основе кодов Аламоути.

Декодер, основанный на критерии максимума отношения правдоподобия, рассматривался в работах [14, 15]. В статье [14] обсуждался декодер OSTBC с дифференциальной модуляцией в пространственно-коррелированном шуме с неизвестной матрицей корреляции. В работе [15] предложен алгоритм OSTBC декодирования с произвольной модуляцией, основанный на итерационной процедуре. Однако алгоритм [15] имеет экспоненциальный рост сложности в зависимости от размерности информационного символа и порядка модуляции.

Целью данной статьи является разработка алгоритма декодирования STBC, основанного на критерии МП, на фоне пространственного коррелированного шума с неизвестной матри-

цей корреляции. Предложен итерационный алгоритм декодирования STBC с квадратурной амплитудной модуляцией на основе SDP. Использование SDP позволяет снизить рост сложности алгоритма декодирования до степенной зависимости. Показано, что вероятности ошибочного декодирования итерационного SDP декодера близки вероятностям МП декодера с известной корреляционной матрицей.

Модель М1МО-системы

Рассмотрим МІМО-систему передачи информации с М передающими и N приемными антеннами. Предполагаем, что канал связи, являющийся стационарным и частотно-неселективным, описывается канальной матрицей

тт Г'' NкM г-' пхт

НєС , где С - множество комплексных матриц размерности ихт. Точная информация о состоянии канала доступна только на приемнике и недоступна на передатчике.

Выходной сигнал М1МО-системы может быть записан как

У (О = Нх0) + 40, (1)

переданный

где х(0 = [х:(?) ... Хм(?)]Г Є С Мх1

сигнал, у^) = [у1(?) ... У^СО]1" еС Ш1 - принятый сигнал, у(() = [Ы?) ... ^?)]Т еС МуЛ - аддитивный шум, ( )Т - знак транспонирования.

Сделаем следующее предположение о модели шума. Будем считать, что шум является комплексным гауссовым процессом, некоррелированным во времени и коррелированным в пространстве с корреляционной матрицей

Куу=Е{у(?)¥Я(?)}, где Е{ } - математическое

г \н

ожидание и ( ) - знак эрмитова сопряжения.

Рассмотрим схему блочного кодирования [3, 4] с объединением принятого и переданного пространственно-временных символов в блоки длиной Т:

Х(/) - [х((/- 1)Т +1) ... х(/Т)] е X,

¥(/) - [у((/ - 1)Т +1) ... у(1Т)] е СШТ, (2)

У(1) - [у((/ - 1)Т +1) ... у(/Т)] е С ЫхТ,

где X - множество пространственно-временных кодовых матриц размерности МхТ.

Принятый пространственно-временной сигнал записывается как

¥(1) = ИХ(/) + У(1). (3)

Передаваемый пространственно-временной символ Х(/) представляет собой линейное преобразование информационного символа «(/), являющегося комплексным вектором размерности Кх1. Кодированный пространственновременной символ запишем в виде

Х(я(/)) = £ (С. Яе К (/)>+ Ц ІШ К (/)}), (4)

к=1

где Ск и Бк - кодовые матрицы размерности МхТ, Яе{ } и 1т{ } - операторы реальной и мнимой части комплексного числа соответственно.

Информационные символы принадлежат множеству з(/)є5. Полагаем, что символ из множества 5 можно получить с помощью линейного преобразования вектора данных Ь(/) размерности Рх1, принадлежащего бинарному множеству Ь(/)є{-1, +1}Рх1. Данное преобразование представим через комплексную матрицу линейной модуляции W в виде [6]:

ь(/) = Wb(/). (5)

Используя (4), перепишем (3) в следующей форме [16]

¥(/) = Л(Н)8(/) + У(/), (6)

где оператор «подчеркивание» для произвольной матрицы М определяется как уее{Яе(М)} уее {ІшМ)> , а оператор векторизации vec{ } образует вектор из столбцов матрицы.

Матрица А(Н) учитывает преобразование действительного информационного вектора ^(/) как в пространственно-временном кодере, так и в МІМО канале, и может быть представлена в виде:

М =

(7)

Л(Н) = [НС1

нс нц

НЦ ]. (8)

Используя (5), действительный информационный символ ^(/) представим с помощью бинарного вектора данных Ь(/):

8(1) = т(/), (9)

где \¥ = [Яе WT 1т WT ]Т - действительная матрица линейной модуляции размерности 2КхР.

Введем корреляционную матрицу =

= Е{У(1) УТ (/)} вектора шума У(/). С учетом свойств пространственно-временной корреляции шума эта матрица представляется в следующей форме:

И,

\т ® Игг 1т ® И1Г

1т ® И г

1т ® И,,

(10)

где ® означает кронекерово произведение матриц, 1Т - единичная матрица размерности Т*Т. Матрицы Игг, К„, Кіг и Кй являются авто- и взаимно-корреляционными матрицами реальных и мнимых частей шумового вектора у(?), определяемыми как

(11)

Игг - £{Яе[у(?)]Яе[уТ (г)]},

И п- £{Яе[у(? )]1ш[уТ (г)]},

Игг - £{1ш[у(г)]Яе[уТ(г)]},

И,, - £{1ш[у(г)]1ш[уТ(г)]}. Компоненты КГГ, Кп-, Кгг и Кгг- корреляционной матрицы Куу могут быть представлены в форме:

КГГ = 0.5 Яе {<5}2 + 0.51ш{^0.5}2,

Rr = G. 5 Re {R;5} Im {R^5 } -

- G.5Im{RVV5}Re{RVV5}, Rir = G.5Im{RVV5}Re{Rv°v5} -

- G. 5 Re {R;5 }Im {RVGv5 },

пенным ростом. Используя (14), (15), можно обобщить КПМ декодер [9], основанный на SDP, на случай коррелированного шума. Используем следующее обозначение:

Q

Z=

GT G

- Y(l )T G b(l)

1

- GT Y(l)

Y(l )T Y(l)

(1e)

[b(l)T 1].

(12)

Rn = G.5Re{RvG,.5}2 + G.5Im{RVV.5}2.

Декодер

с известной корреляционной матрицей

Рассмотрим декодирование сигналов на фоне шума с известной корреляционной матрицей. В данном разделе описываются хорошо известный МП декодер и КМП декодер на основе алгоритма математического программирования с полу-определенным ограничением. МП декодер максимизирует логарифм отношения правдоподобия /(¥(/) | ь(/)) или /(¥(/) | Ь(/)). Логарифм отношения правдоподобия записывается как / (¥(/ )|Ь(/))=- аеі Ъуу -

- ТгИ^ [¥(/) - Л(H)Wb(/ )][¥(/) - (13)

- Л(Н)\¥ Ь(/)Т,

где Тг{ } - след матрицы, det{ } - детерминант матрицы.

Таким образом, получаем традиционную задачу минимизации на множестве бинарных векторов {-1, +1}Рх1:

Ь(/) = агд ШІП | ¥(/) -ОЬ|2 , (14)

Ье{-1,+1}м

где ¥(/) и О означают

¥(/) = И-0/ ¥(/), О = К-0^5Л(Н)\¥. (15)

Алгоритм максимально правдоподобного декодирования (14) требует больших вычислительных затрат, которые растут экспоненциально с увеличением размерности вектора данных: 0(2р), где 0( ) - асимптотическая вычислительная сложность.

Известен алгоритм КМП декодирования, основанный на SDP и предложенный в [9], который имеет вычислительную сложность со сте-

Оптимизационную задачу (14) представим в следующей форме [9, 10]: mlnTrQZ,

Z (17)

если Z > G, rank {Z} = 1, Z^ = 1,

где Z > 0 означает, что матрица Z положительно полуопределенная, т.е. имеет действительные неотрицательные собственные числа, а оператор rank{ } возвращает ранг матрицы.

Задача (17) является невыпуклой, но преобразуется в задачу линейной оптимизации с положительным полуопределенным условием

minTiQZ s.t. Z > G, Z„ = 1. (18)

Выражение (18) получено из (17) путем исключения невыпуклого условия rank{Z} = 1. Решение может быть найдено с помощью известных методов решения выпуклых задач оптимизации, например, с помощью алгоритма внутренних точек. Получение оценки вектора

данных b(l) из найденной матрицы Z рассмотрено в [10]. Главным преимуществом (18) является степенная сложность ЯПМ декодера. Сложность декодера на основе SDP алгоритма рассматривалась в различных работах, например, [9, 10], и оценивается как O(P3 5).

Итерационный декодер с неизвестной корреляционной матрицей

Рассмотрим новый итерационный квази-оптимальный алгоритм декодирования блочных пространственно-временных кодов, основанный на SDP. В общем случае задача декодирования в шуме с неизвестной пространственной корреляцией состоит в максимизации логарифма функции правдоподобия f(Y(1),...,Y(L) |s(1),...,s(L),Rw), где L - число пространственно-временных символов.

В работе [15] описан итерационный алгоритм декодирования ортогональных пространственно-временных кодов. Этот подход может быть обобщен на случай произвольного пространственно-временного кода. В данной работе предлагается комбинировать процедуру итерационного декодирования и SDP алгоритм, что

позволяет снизить вычислительную сложность декодирования.

Опишем алгоритм итерационного КМП декодирования. Итерационная процедура начинается с инициализации корреляционной матрицы единичной матрицей. Далее логарифм функции правдоподобия f (¥(/ )| Ь(/)) (13) максимизируется относительно вектора данных. Максимизация выполняется посредством SDP алгоритма

(18). Используя оценку информационных символов, мы можем найти условную оценку корреляционной матрицы [14]:

1 1

К* =—£ (¥(/) - НХ(/))(¥(/) - НХ(/))Я. (19)

/=1

Таким образом, на каждом шаге производится декодирование символа и оценивается корреляционная матрица. Представим итерационный КМП декодер в виде последовательности шагов.

1. Инициализация корреляционной матрицы:

К} = I„ . (20)

2. Итерационная процедура начинается для j=1, где j - номер итерации.

3. С помощью (15), (16) вычисляется Q(')(/) для каждого пространственно-временного символа (/ = 1...Г), а с помощью (10), (12) -корреляционная матрица К .

4. Решается SDP задача (18) для декодирования каждого пространственно-временного символа (/ = 1 ...Г).

5. Обновляется оценка К^) посредством

(19) с использованием декодированных пространственно-временных символов на ]'-й итерации.

6. Если j = J, итерационная процедура прерывается, иначе переходим на шаг 3.

7. Декодированные символы, полученные на последнем шаге, являются финальными символами Ь(/) = Ь(3)(/).

Заметим, что предложенный алгоритм имеет степенную сложность с линейным ростом в зависимости от числа итераций и числа пространственно-временных блоков. Асимптотическая вычислительная сложность рассмотренного алгоритма равна 0(JLP35).

Результаты моделирования

Эффективность предложенного метода подтверждается с помощью математического моделирования. В каждом эксперименте канальные матрицы и шум моделировались случайными.

Комплексные коэффициенты передачи канальной матрицы являются независимо распределенными гауссовыми величинами. Шум представляет собой гауссов случайный процесс с корреляционной матрицей

^ (р, д)—, (21)

1 - Р

где р - коэффициент пространственной корреляции между двумя соседними антеннами, а ф -случайная фаза, которая равномерно распределена в интервале (0, 2л).

Диагональные элементы корреляционной матрицы Кто, заданной выражением (21), равны ст2 = 1/(1 -р). Отметим, что в соответствии с (21) чем больше величина коэффициента корреляции, тем выше дисперсия шума.

При моделировании исследовались следующие декодеры: МП декодер с известной корреляционной матрицей; КМП декодер с известной корреляционной матрицей; предложенный итерационный КМП декодер с неизвестной корреляционной матрицей. Решение SDP задачи выполнялось с помощью пакета SeDuMi [17], разработанного для среды МА^АВ, который предназначен для решения задач математического программирования.

Показаны результаты моделирования для STBC, описанного в [3] (кодовая матрица соответствует выражению (36) в [3]), с М = 3, T = 4, K = 4. Число приемных антенн N = 4. Используется квадратурная фазовая модуляция без помехоустойчивого кодирования. На рис. 1 приведены зависимости вероятности битовой ошибки (BER) от отношения сигнал/шум для разных декодеров. При этом коэффициент корреляции равен р = 0.99, а корреляционная матрица в итерационном методе оценивается 50 пространственно-временными символами. На рис. 2 изображена зависимость BER от числа символов для оценки матрицы, при этом отношение сигнал/шум равно 2 дБ, а коэффициент корреляции р = 0.99. На рис. 3 приведена зависимость BER от дисперсии шума. Заметим, что дисперсия, равная 0 дБ, соответствует р = 0, дисперсия, равная 10 дБ, - р = 0.9, дисперсия, равная 20 дБ, - р = 0.99, а дисперсия, равная 30 дБ, -р = 0.999.

Из представленных рисунков можно сделать следующие выводы. BER для КМП алгоритма с известной корреляционной матрицей очень близки BER для МП алгоритма с известной корреляционной матрицей. BER для итерационного КМП алгоритма с неизвестной корреляционной матрицей приближается к BER для МП алгоритма с точно известной корреляцией при

SNR, dB

Рис. 1. Зависимость ВЕЯ от отношения сигнал/шум: * - итерационный алгоритм (7=1); □ - итерационный алгоритм (7=2); V - итерационный алгоритм (7=3); $ - итерационный алгоритм (7=5); о - МП алгоритм с точно известной корреляционной матрицей; • - КМП алгоритм с точно известной корреляционной матрицей

The number of symbols a , dB

Рис. 2. Зависимость ВЕЯ от числа символов для оценки корреляционной матрицы: * - итерационный алгоритм (7=1); □ - итерационный алгоритм (7=2); V - итерационный алгоритм (7=3); $ - итерационный алгоритм (7=5); о - МП алгоритм с точно известной корреляционной матрицей; • - КМП алгоритм с точно известной корреляционной матрицей

Рис. 3. Зависимость ВЕЯ от дисперсии шума: * -итерационный алгоритм (7=1); □ - итерационный алгоритм (7=2); V - итерационный алгоритм (7=3); $ - итерационный алгоритм (7=5); о - МП алгоритм с точно известной корреляционной матрицей; • - КМП алгоритм с точно известной корреляционной матрицей

увеличении числа символов для оценки корреляционной матрицы и числа итераций. В анализируемых случаях оценка корреляционной матрицы по 50 символам с пятью итерациями позволяет получить достаточно хорошие BER. Таким образом, можно сделать вывод, что при достаточном усреднении корреляционной матрицы и достаточном числе итераций результаты итерационного КМП декодера близки к результатам, полученным с помощью МП декодера с известной корреляционной матрицей.

Заключение

В данной работе рассмотрено различение в М1МО-системе сигналов, принимаемых на фоне пространственно-коррелированного шума с неизвестной корреляционной матрицей. Разработан метод различения сигналов, являющийся квазиоптимальным алгоритмом максимального

правдоподобия. Предлагаемый метод основан на итерационной процедуре, использующей математическое программирование, для поиска оптимального информационного вектора сигнала. Проведенное моделирование показало, что сравнительно небольшое число итераций позволяет различать сигналы с вероятностью ошибки, близкой к вероятности ошибки максимально правдоподобного алгоритма с точно известной корреляционной матрицей.

Работа выполнена при частичной поддержке гранта РФФИ № 11-02-01418-а.

Список литературы

1. Tarokh V., Seshadri N., Calderbank A. R. // IEEE Trans. on Information Theory. 1998. V. 44. Р. 744-765.

2. Alamouti S. M. // IEEE Journal of Selected Areas of Communications. 1998. V. 16. Р. 1451-1458.

3. Hassibi B., Hochwald B.M. // IEEE Trans. on Information Theory. 2002. V. 48. P. 1804-1824.

4. Heath Jr. R.W., Paulraj A.J. // IEEE Trans. on Signal Processing. 2002. V. 50. P. 2429-2441.

5. Ma X., Giannakis G.B. // Wireless Communications and Mobile Computing. 2002. Р. 693-717.

6. Steingrimsson B., Luo Z.-Q., Wong K.M. // IEEE Trans. on Signal Processing. 2003. V. 51. Р. 27102719.

7. Ganesan G., Stoica P. // IEEE Trans. on Information Theory. 2001. V. 47. P. 1650-1656.

8. Viterbo E., Boutros J. // IEEE Trans. on Information Theory. 1999. V. 45. P. 1639-1642.

9. Ma W.K., Davidson T.N., Wong K.M., Luo Z.-Q., Ching P.C. // IEEE Trans. on Signal Processing. 2002. V. 50. P. 912-922.

10. Kisialiou M., Luo Z.-Q. // ICASSP 2005, Philadelphia, PA, USA, March 18-23, 2005. V. 3. P. 433-436.

11. Tarokh V., Jafarkhani H., Calderbank A.R. // IEEE Trans. on Information Theory. 1999. V. 45. Р. 1456-1467.

12. Shahbazpanahi S., Beheshti M., Gershman A.B., Gharavi-Alkhansari M., Wong K.M. // IEEE Trans. on Signal Processing. 2004. V. 52. Р. 33063313.

13. Li H., Lu X., Giannakis G.B. // IEEE Trans. on Signal Processing. 2002. V. 50. Р. 1193-1204.

14. Larsson E.G., Stoica P., Li J. // IEEE Trans. on Signal Processing. 2002. V. 50. Р. 937-944.

15. Larsson E.G., Stoica P., Li J. // IEEE Trans. on Signal Processing. 2003. V. 51. Р. 362-372.

16. Gharavi-Alkhansari M., Gershman A.B. // IEEE Trans. on Information Theory. 2005. V. 51. Р. 331334.

17. Sturm J.F. // Optimization Methods Software. 1999. V. 11-12. Р. 625-653.

ITERATIVE MAXIMUM-LIKF.LIHOOD DECODER OF SPACE-TIME BLOCK CODES IN THE PRESENCE OF SPATIALLY CORRELATED BACKGROUND NOISE

A. V. Krichigin, E.A. Mavrychev

A MIMO (multi input multi output) communication system with space-time block coding is considered. The problem of maximum likelihood decoding is solved in the presence of spatially correlated noise field with an unknown covariance matrix. A decoding algorithm based on semi-definite programming is generalized to the case of spatially correlated noise. An iterative quasi-optimal algorithm for the case of unknown noise spatial correlation is proposed. The effectiveness of the proposed technique is confirmed by mathematical simulation results.

Keywords: MIMO system, space-time coding, maximum-likelihood decoder.