CC BY
85
_ 05.12.00 РАДИОТЕХНИКА И СВЯЗЬ _
05.12.13 УДК 621.391
КОНТРОЛЬ ЦЕЛОСТНОСТИ ПЕРЕДАВАЕМЫХ ДАННЫХ В СЕТЯХ СВЯЗИ СТАНДАРТА 5С
© 2017
Сергей Михайлович Наместников, кандидат технических наук, доцент кафедры «Телекоммуникации» Ульяновский государственный технический университет, Ульяновск (Россия) Иван Александрович Сорокин, кандидат технических наук, доцент кафедры «Инфокоммуникационные технологии и системы связи» Нижегородский государственный инженерно-экономический университет, Княгинино (Россия) Николай Юрьевич Чилихин, кандидат технических наук, доцент кафедры «Инфокоммуникационные технологии и системы связи» Нижегородский государственный инженерно-экономический университет, Княгинино (Россия)
Аннотация
Введение: процесс создания высокоскоростных сетей подвижной связи неразрывно связан с необходимостью улучшения элементов сетевой структуры на всех уровнях. В связи с этим происходит совершенствование не только архитектуры всей сети и модуляционных составляющих сигнала, но и внедрение новых подходов к контролю целостности передаваемых данных. По этой причине помехоустойчивые коды должны обладать не только высоким уровнем корректирующей способности, но и иметь возможность управлять высокоскоростными потоками между подвижными терминалами и стационарными платформами.
Материалы и методы: на данный момент нет окончательной версии стандарта 5G. Различные корпорации, такие как Huawei, Cisco, Ericsson и т.д., активно представляют свое видение данного поколения подвижной связи. В связи с этим активно разворачиваются тестовые площадки с уже конкретными техническими решениями. Однако уже сейчас можно утверждать, что базисными инновациями этого поколения мобильной связи будут следующие технологии: SCMA, F-OFDM, а также полярные коды. Полярные коды в качестве алгоритмов декодирования будут использовать либо последовательный декодер Арикана, либо алгоритм Тала-Варди. В данной работе предлагается использовать метод перестановочного декодирования полярных кодов на основе лексикографического подхода. Результаты: проведена оценка энергетического выигрыша алгоритма перестановочного декодирования полярных кодов на основе лексикографического подхода в сравнении с классическими схемами декодирования. Предложенный алгоритм показал наилучшие результаты с точки зрения корректирующих способностей (BER) в области низких значений отношения сигнал/шум.
Обсуждение: численные результаты позволяют утверждать, что предложенный подход обеспечивает максимальное использование введенной в код избыточности.
Заключение: предложенный подход позволяет повысить корректирующие способности полярных кодов в области низких значений отношения сигнал/шум, что благотворно сказывается на целостности передаваемых данных в условиях помеховой обстановки. Это расширяет возможности сетей связи стандарта 5G. Ключевые слова: 5G, алгоритм Тала-Варди, базовый кластер, лексикографическое декодирование, метрика Хэмминга, мягкие решения символов, мягкое декодирование, номер кластера, перестановочное декодирование, полярный код, последовательный декодер Арикана, расстояние Бхаттачария, ядро Арикана.
Для цитирования: Наместников С. М., Сорокин И. А., Чилихин Н. Ю. Контроль целостности передаваемых данных в сетях связи стандарта 5G // Вестник НГИЭИ. 2017. № 12 (79). С. 7-21.
CONTROL THE INTEGRITY OF DATA TRANSMITTED IN COMMUNICATION NETWORKS OF THE 5G STANDARD
© 2017
Sergey Mikhailovich Namestnikov, Ph. D. (Engineering), the associate professor of the chair «Telecommunication» Ulyanovsk State Technical University, Ulyanovsk (Russia) Ivan Aleksandrovich Sorokin, Ph. D. (Engineering), the associate professor of the chair « Infocommunication technologies and communication systems» Nizhny Novgorod State of engineering -economic university, Knyaginino (Russia) Nikolay Yurievich Chilikhin, Ph. D. (Engineering), the associate professor of the chair « Infocommunication technologies and communication systems» Nizhny Novgorod State of engineering -economic university, Knyaginino (Russia)
Abstract
Introduction: the process of creating a high-speed mobile networks is inextricably linked with the need to improve elements of the network structure at all levels. In this regard, there is an improvement not only of the architecture of the network and the modulation components of the signal, but also introduce new approaches to monitoring the integrity of transmitted data. For this reason, error-correcting codes not only have to have a high level of correcting capabilities, but also to have the ability to control high speed flows between mobile terminals and fixed platforms. Materials and methods: there is currently no final version of the standard 5G. Various corporations such as Huawei, Cisco, Ericsson, etc. are actively present their vision of this generation of mobile communications. In this regard, it is actively deployed a test site with specific technical solutions. However, we can already claim that the basic innovation of this generation of mobile communication will have the following technology: SCMA, F-OFDM, and polar codes. Polar codes as decoding algorithms will use either a sequential decoder of Arikan, or algorithm Tal-Vardy. In this paper we propose to use the method of permutation decoding of polar codes based on lexicographic approach. Results: assessment of energy winning the permutation decoding algorithm for regular codes based on the lexicographical approach in comparison with classical decoding schemes. The proposed algorithm showed the best results in terms of corrective abilities (BER) in the low values of the ratio signal/noise.
Discussion: numerical results confirm that the proposed approach ensures maximum utilization of introduced redundancy.
Conclusions: the proposed approach allows increasing the correcting ability of the polar codes in the low values of the ratio signal/noise, which beneficially affects the integrity of transmitted data in terms of noise conditions. It extends the capabilities of communications networks of the 5G standard.
Keywords: 5G, algorithm Tal-Vardy, base cluster, lexicographic decoding, Hamming metric, soft decision symbols, soft decoding, cluster number, permutation decoding, polar code, serial decoder of Arikan, Bhattacharya distance, core of Arikan.
For citation: Namestnikov S. M., Sorokin I. A., Chilikhin N. Y., Control the integrity of data transmitted in connunication nerworks of the 5G standart // Bullerin NGIEI. 2017. № 12 (79). P. 7-21.
Введение
Глобализация современного информационного общества приводит к совершенствованию существующих и развитию новых сетей беспроводной связи. Мобильность объектов и высокая скорость передачи данных в любых условиях помеховой обстановки, а также наличие кардинально новых сервисных услуг являются главными критериями перехода к новому поколению подвижной связи. В связи с этим происходит оптимизация не только архитектуры всей сети и модуляционных составляющих сигнала, но и внедрение новых подходов к контролю целостности передаваемых данных. По этой причине помехоустойчивые коды долж-
ны обладать не только высоким уровнем корректирующей способности, но и иметь в своем арсенале механизм оптимизации высокоскоростных потоков между подвижными терминалами и стационарными платформами [1, c. 46; 2, c. 22; 3, c. 31; 4 c. 28; 5, c. 1; 6, c. 1].
На данный момент нет окончательной версии стандарта 5G. Различные корпорации, такие как Huawei, Cisco, Ericsson и т. д., активно представляют свое видение данного поколения подвижной связи. В связи с этим активно разворачиваются тестовые площадки с уже конкретными техническими решениями. Однако уже сейчас можно утверждать, что базисными инновациями этого поколения мобильной связи будут
следующие технологии: SCMA (Sparse Code Multiple Access), F-OFDM (Flexibel OFDM), а также полярные коды (ПК). Данный класс помехоустойчивых кодов будет обеспечивать контроль целостности передаваемых данных. Это касается сетей подвижной связи 5-го поколения [5, c. 1; 6, c.1].
Современная теория помехоустойчивого кодирования такова, что она обладает широким спектром избыточных кодов (низкоплотностные коды, турбоко-ды, фонтанные коды, ортогональные коды и т. д.). Однако каждая предложенная техническая схема обладает теми или иными преимуществами и недостатками. Таким образом, при разработке и внедрении нового стандарта связи необходимо использовать такую схему кодирования, которая обладает наибольшим выигрышем по некоторому набору критериев перед иными схемами в концепции предложенных задач перспективной (разрабатываемой) системы связи.
По этой причине среди широкого спектра избыточных кодов с позиции введенных требований ПК является наиболее целесообразным и многообещающим техническим решением. Концептуальный подход формирования ПК основан на базе матрицы (ядра) Арика-на. Это структурная единица представляет собой
fl тт
матрицу следующего вида F = I I . Через вели-
1 1
чину г обозначают ее т-ю кронекеровскую степень, где т относится к классу натуральных чисел. Однако для получения конечной порождающей матрицы необходимо осуществить ввод новой структуры, а именно матрицы перестановок Вк . Это же, в свою очередь, достигается с учетом введения вероятностного параметра - расстояния Бхат-тачария (РБх), который вычисляется на основе следующей системы [1, а 147; 3, а 34; 7, с. 3059; 8, а 87]
Z
12-Z,„ -Zl для ^л0<i<i
2-i+1,j
i,X Z2
hi
для j0N>0<i<г
hi
(1)
где ' = N/2 -1, ] ={0,1,2,..., N -1} , - элементы
N -1
множества только с четными номерами и ]0 о -элементы множества только с нечетными номерами, начиная с нуля, а N = 2ш - длина кодовой комбинации. Проведенный анализ позволяет утверждать,
I N-11 I -N-11 I I
что множества вида ]0,е = ]0о =|х| равномощны.
Для получения системы уравнений (1) при различных значениях N (т. е. длины кодовой комбинации) необходимо использовать только те компоненты указанных множеств, которые находятся на одних и тех же позициях. При этом результирующая поро-
ждающая матрица определяется следующим выражением: ^ = Вм • Г®ш [1, с. 142; 7, с. 3055; 8, с. 81].
Применение невырожденного преобразования Вд, • Гвш к символам, полученным от источника информации, обеспечивает необходимые условия для достижения поляризующего эффекта. По этой причине поляризующая трансформация канала
P
-N (Уо-N-1 U N-1) базируется
на принципе поляризации векторных каналов меньшей размерности Р' (у-1 Ц-1) , ' = N,N/4,N/2,...,1 . Таким образом, выполняется операция декомпозиции для плотностей условных вероятностей Р^ (У^1, Ц-1 К), которая описывается следующим соотношением [1, с. 144; 7, с. 3059; 8, с. 69; 9, с. 12; 10, с. 114]
РТ ( уГ 1 К)=11 ( У© с1 к© и21+1 )х
2 и2 •+1
х Р») ( Т-1,и^ |и2г+!),
PIT1 (y2-Nk+1 )=1 Pf (yN© <:' М «м+1 )х х TN? (уГХ1 Ui+i),
(2)
где и п
вектора только с четными номерами, а
и ^ 1 - вектора только с нечетными номерами. При значении в пределе N ® Г каналы р'- оказываются либо полностью бесшумными (надежными), либо полностью зашумленными (ненадежными). По этой причине информационные символы и , передаваемые по каналам с низким уровнем достоверности (надежности), можно считать всегда детерминиро-в анными («замороженными» или ненадежными). Общий вид выражения для получения выходного кодового вектора 1 определяется следующим
соотношением [1, с. 144; 7, с. 3059; 8, с. 69; 9, с. 13; 10, с. 114]
Xn-1 = uA-(BN-Ff-)©uAfr .(BN •F?m),
(3)
где и - надежные символы (позиции кодового вектора, которые принимают любое значение из множества {0,1}) и илГ - ненадежные символы (позиции кодового вектора, которым присваивается значение «0»).
Как отмечалось ранее, схема кодирования, интегрированная в структуру системы мобильной связи 5-го поколения, должна обладать механизмом управления высокоскоростными потоками. Другими словами, скорость передачи данных между под-
вижными терминалами и стационарными платформами должна быть априори максимальной, а сеть максимально загруженной пользовательской информацией благодаря параметрической адаптации.
В схеме полярного кодирования задача управления избыточностью и, как следствие, кодовой скоростью решается в рамках РБх. Данный методологический инструмент обладает весьма гиб-
ким механизмом реализации как на аппаратном, так и на программном уровнях и носит универсальный характер в рамках концепции ПК. В работах [1, с. 161; 3, а 34] подробно рассмотрен принцип использования РБх. Для ПК (16,8) распределение РБх определено следующим набором значений (оно представлено в таблице 1).
Таблица 1. Распределение РБх для ПК длины N=16 / Table 1. The distribution does DB mean PC length N=16
Параметр / Parameter Z "о Z "i Z "2 Z "3
Значение / Value 0.999985 0.992203 0.985336 0.772476
Параметр / Parameter Z "4 Z "5 Z "6 Z "7
Значение / Value 0.963364 0.653824 0.532700 0.100113
Параметр / Parameter Z "8 Z "9 Z "10 Z "11
Значение / Value 0.899887 0.467300 0.346176 0.036636
Параметр / Parameter Z "12 Z "13 Z "14 Z "15
Значение / Value 0.227524 0.014664 0.007797 0.000015
Заливкой отмечены ненадежные («замороженные») символы или строки порождающей матрицы, которые будут вычеркнуты. В работах [1, а 147; 3, с. 34; 7, а 3067; 8, с. 95; 9, а 13; 10, с. 114] было показано, что если РБх 2 ^ 1, то канал считается ненадежным («замороженным», строка порождающей матрицы вычеркнутой) и не влияет на формирование кодового вектора (указанным компонентам последовательности {и0,и,....,[} ставится в соответствие значение
«0»). На основе ранжирования строк порождающей матрицы (каналов) мы можем гибко управлять кодовой скоростью и выстраивать управляемые с точки зрения объема информационного блока кодовые конструкции. Таким образом, каждая строка порождающей матрицы имеет свой ранг на основе РБх [3, а 34]. Подобный инструмент обеспечивает требуемый уровень пропускной способности радиоканала между мобильной платформой и базовыми станциями. Тем не менее необходимо дополнительно производить оценку состояния канала связи посредством информации, полученной по пилот-сигналам или на основе статистических характеристик индексов мягких решений символов (МРС). В работах
[1, а 17; 4, с. 179; 9, а 15; 10, с. 113; 11, а 26; 12, с. 76] достаточно подробно изложен механизм ф ормирования МРС. Для дальнейшего понимания принципов построения ПК необходимо проанализировать поведение значений символов при различной вероятности стирания. Можно отметить, что тренды представленных характеристик значений разрядов кодовой комбинации имеют сходный характер. Данная зависимость представлена на рисунке 1 и более подробно описана в работе [1, с. 167].
Исследование представленной последовательности показывает, что значения символов обладают выраженной нелинейностью. При этом на данном графике можно выделить характерные места, в которых налицо эффект увеличения частот возникновения события, которое наступает при одних и тех же значениях вероятности стирания. Подобный процесс возникает вследствие возрастания корреляционных зависимостей между блоками символов кодовой последовательности. Анализ схемы полярного кодирования и вероятностного параметра - РБх позволяет утверждать целесообразность применения подобных технических решений для сетей мобильной связи 5-го поколения.
uO У «1 ■' П2, X , , x us/ ^ J " ! ^ /V ,'/ , .'
\ , ■■■ / / / / / ) ' / / / / / / / / / * / u5 1 ■ u6 / / ! ' / ' / / '■ / / Г во/ U7/ / ' i ! / / / / 'nil' ■'' / /' / r / lll3. j
/ ■■'' i / ■■' 7 / ■■' ' i I ' / .-■■ } ■■' r / / / / ' / I / / / U / ' / / / / .■■' / /
/ / / / ' s / / ■■' / / / / .■■/// / 1 i ■' / / ■ ^ / i ■■ / / ■' / / / / , У □ / ul4 >' / ■■'' / .■■ / / ,' / /
■■'/// / / / / /si's' : - ; / /' > / ■ / ■ ^ i
Б
Рис. 1. Зависимость значения символов от вероятности стирания / Fig. 1. The dependence of the character values from the probability of erasure
Материалы и методы
Для развертывания сети 5 О необходимо построение высокоразвитой сетевой архитектуры (сетевые элементы и различные терминалы должны быть существенно модернизированы). Кроме того, поставщики услуг могут создавать новые передовые технологии, которые должны с легкостью применяться и встраиваться в созданную инфраструктуру [5, с. 1; 6, с. 1].
Стоит отметить, что апгрейд основывается на когнитивной технологии радиосвязи, которая включает в себя различные значимые функции, такие как способность устройства определять географическое положение, а также погодные условия, температуру и т. д. Когнитивные технологии радиосвязи таковы, что устройство действует как приемопередатчик. Оно может поймать и среагировать на радиосигналы в своей рабочей среде. Кроме того, оно быстро различает изменения в своей среде и, следовательно, оперативно реагирует в соответствии со своим протоколом, чтобы обеспечить бесперебойное и качественное обслуживание [5, с. 1; 6 с. 1; 13, с. 126; 14, с. 119; 15, с. 130].
Важной проблемой, стоящей перед сетями 5О, является обеспечение радиопокрытия. Для этого необходимо создать такое радиопокрытие, которое будет организовано и структурировано для выполнения требований QoS. Такие требования, прежде всего, ориентированы на потребности конечных пользователей. Другими словами, радиопокрытие сети будет адаптироваться для обеспечения всех запросов абонентов, что отсутствовало в сетях связи предыдущих поколений. Ярким примером такого подхода является применение фазированных антенных решёток. Они способны динамически изменять свою диаграмму направленности. Другим техниче-
ским решением является использование всего доступного частотного диапазона, в частности использование миллиметрового диапазона на коротких расстояниях.
Что касаемо вопроса о сетевой архитектуре 5G, то тут стоит выделить три подсистемы (облака), которые представлены на рисунке 2 [5, с. 1; 6, с. 1].
облако доступа (Access) подразумевает активную интеграцию и применение технологий на базе распределенных и централизованных структур, а также систем доступа. Данное облако обладает обратной совместимостью с сетями 4G и 3G;
облако управления (Control) обеспечивает управление организованными сессиями, мобильностью подвижных элементов сети и качеством услуг в соответствии с QoS;
транспортное облако (Forward) обеспечивает физическую передачу данных в сеть. Критерии такой передачи: высокая надежность, высокая скорость и оптимальное управление нагрузкой.
Развитие радиоинтерфейса сетей связи 5-го поколения является объективной необходимостью. Как правило, это достигается за счет увеличения спектральной эффективности. По сравнению с сетями 4-го поколения (4G) спектральная эффективность сетей 5-го поколения (5G) будет увеличена в 3 раза и достигнет около 6 бит/сек на 1 Гц [5, с. 1; 6, с. 1; 16, с. 138].
Как уже отмечалось ранее, крупные корпорации в области телекоммуникаций предложили свое видение стандарта связи 5G. Компания Huawei успешно развернула сеть со следующими техническими решениями [5, с. 1; 6, с. 1]:
SCMA (Sparse Code Multiple A^ess) - разделение абонентов на базе разреженного кода. Данная технология организована так, что подтверждение о
доставке передаваемых по сети данных не требуется. Это позволяет не загружать сеть объемной служебной информацией, что благотворно сказывается на временных задержках и скоростях обработки информации. Кроме того, подобный подход основан на технологии передачи битовых потоков от различных мобильных абонентских терминалов на одном частотном ресурсе. Данные напрямую преобразуются в кодовое слово. Это происходит за счет применения «кодовой» книги. Существует определенный набор таких книг, из которого формируется
требуемая «кодовая» книга. Важно отметить, что такие коды называются квазиортогональными. Количество квазиортогональных кодов довольно большое, что позволяет обеспечивать высокую вариативность. Другими словами, исходный сигнал (исходное сообщение) накладывается на «кодовую» книгу, и уже преобразованный сигнал попадает в радиоинтерфейс. Восстановление сигнала на приемной стороне также производится по «кодовой» книге. Графическое описание технологии представлено на рисунке 2 [5, с. 1; 6, с. 1].
Рис. 2. Алгоритм технологии SCMA / Fig. 2. Algorithm technology SCMA
F-OFDM (Flexibel OFDM) - усовершенствованная технология OFDM, позволяющая организовать гибкое разбиение на поднесущие, гибкое изменение длины символов и гибкое изменение цикли-
ческого префикса. То есть под каждую задачу будет использоваться свой набор параметров. Сравнение технологий представлено на рисунке 3 [5, с. 1; 6, с. 1; 17, с. 275].
Рис. 3. Сравнение технологий OFDM и F-OFDM / Fig. 3. Comparison of technologies of OFDM and F-OFDM
Важно отметить, что третьей базовой технологией, обеспечивающей успешное внедрение сетей мобильной связи 5-го поколении, является ПК. В сетях 5-го поколения возможно использование дополнительных технологий, таких как [5, с. 1; 6, с. 1]:
- Massive MIMO - обеспечивает передачу к одному мобильному терминалу до 8 потоков пользовательских данных. Отличительной особенностью технологии Massive MIMO является то, что мобильный пользователь может работать с большим количеством антенн одновременно. При этом фазированные антенные решетки будут обладать очень острыми диаграммами направленности, что обеспечит «многоантенное» радиопокрытие. При этом пространственное мультиплексирование нескольких лучей позволит увеличить отношение сигнал/шум, тем самым подавив межсимвольную интерференцию от других пользователей, что, в свою очередь, увеличит пропускную способность и спектральную эффективность;
- Novel Multiple Access - новые технологии доступа, например, SCMA;
- New Full Duplex - применяется одна частота (UpLink (UL) и DownLink (DL));
- Flexibel Duplex - технология обеспечивает гибкую передачу трафика, т. е. в UL можно передавать информацию для DL;
- FBMC/UFMC (Filter Bank Multicarrier, Universal Filter Multi-Carrier) - за счет увеличения спектральной эффективности происходит улучшение канальной селективности, что позволяет использовать «когнитивное радио»;
- Adv. Coding and Modulation - применение совокупности технологий модуляции и кодирования, среди которых следующие методы: Non-binary coding, Bitmapping techniques, Joint coding and modulation;
- Ultra-dense networking позволяет за счет виртуализации организовать сверхплотные сети. Подобная стратегия позволит организовать сети со сложной иерархией и обеспечить одновременное взаимодействие сот между собой;
- Low latency and high reliability - снижение задержки и повышение надежности;
- M2M/D2D - передача информации напрямую между устройствами (машинами, девайсами) без участия человека. Расширение покрытия за счет устройств абонентов, построение децентрализованной сети;
- High frequency communication - частоты ниже 6 ГГц будут первичными диапазонами для сети 5G. Частоты выше 6ГГц используются для универсального доступа и магистральной связи.
Как уже отмечалось ранее, ПК являются базисной технологией 50. В рамках работы предлагается использовать перестановочное декодирование на основе лексикографического подхода вместо классических схем.
Процесс декодирования ПК основан на применении в качестве упорядоченных статистик условных вероятностей (распределений), которые вычисляются для каждой принятой компоненты кодового вектора. В работах [1, с. 154; 7, с. 3068; 9, с. 16] показано, что в основе построения последовательного декодера (ПД) Арикана лежит процесс вычисления логарифма отношения правдоподобия с учетом оценок предыдущих компонент (символов) кодового вектора. Когда кодовый вектор поступает из канала связи в декодирующее устройство, запускается процесс генерации оценок и принятия решения на основании алгоритма, описанного ниже:
Для каждого, = 0,1,.......N -1 , если ц е Лл ,
тогда ц = 0 , иначе вычислим оценку:
|0, если ЫЛ^СуТ-1,иТ-1) > 0 [1, в противном случае Стоит отметить, что декодирующее устройство выносит жесткое решение. В конечном итоге подобный подход способен приводить к лавинообразному распространению ошибок. Данный эффект начинает проявляться даже в случае возникновения единичных ошибок на более ранних шагах декодирования. Таким образом, можно однозначно утверждать, что ПД не относится к классу схем декодирования, основанных на концепции «декодирования в целом».
ПД Арикана осуществляет вычисление и принимает решение путем сравнения с пороговым значением, которое равно нулю. Вычисление же осуществляется в соответствии с выражением [1, с. 154; 9, с. 16]
LLRN )(y
(i )Л N - 1
1)= log-
P( ? )(y N-1,
0)
(4)
^ V N Л < -2|1)
Для простоты описания логики работы ПД Арикана целесообразно использовать длину кодового вектора, равного N = 2 . Такая длина кодовой комбинации позволяет понять особенности предложенного подхода, не перегружая при этом визуальный ряд восприятия. Структурная схема распределения условных вероятностей представлена на рисунке 4. На рисунке 4 для простоты графического представления введены следующие обозначения: треугольник - условные вероятности принятого символа, квадрат - принятое решение о значении булевой переменной. Условные вероятности
P (У0 I хо = 0) и P(y0 | x0 = 1), а также распределения PУ | Хх = 0) и P(y1 | x1 = 1) однозначно опре-
деляют значения величин
P(УУ I"o = 1) [1, с. 155].
P (УУ I Uo = °)
Рис. 4. Принятие решения на основе условных вероятностей для нулевого символа / Fig. 4. The decision on the basis of conditional probabilities for the null symbol
На основе выражения (4) происходит вычисление логарифма отношения правдоподобия ЬЬЯ, значение которого позволяет процессору декодирующего устройства вынести жесткое решение в пределах множества {0,1}. Аналогично происходит
процедура для определения последующего символа, что представлено на рисунке 5 [1, с. 156].
После определения исходного вектора осуществляется проверка. Описанная процедура представлена на рисунке 6.
Рис. 5. Принятие решения на основе условных вероятностей для первого символа / Fig. 5. The decision on the basis of the conditional probabilities for the first symbol
Рис. 6. Проверка исходного и кодированного символов / Fig. 6. Check the source and encoded symbols
и
Важно отметить, что существенным недостатком ПД Арикана является снижение быстродействия обработки данных при увеличении значения N. Подобная особенность оказывается критичной в силу высоких требований высокоскоростных сетей связи 5-го поколения. Как отмечалось выше, если на более ранней стадии происходит даже единичная
ошибка, то оценка всех оставшихся компонентов принятого кодового вектора будет ошибочной. В работах [18, с. 3; 19, с. 6571] был предложен алгоритм, позволяющий устранить подобный негативный эффект. Структурная схема указанного алгоритма представлена на рисунке 7.
Рис. 7. а) идеальное дерево вариантов для ПК (4,3), б) выбор только двух ветвей на каждой стадии для ПК (4,3) / Fig. 7. a) perfect tree of options for PC (4,3), b) choice of only two branches at each stage for PC (4,3)
Идеальное дерево всех различных вариантов значений передаваемых бит и для ПК (4,3) с множеством «замороженных» битов изображено на рисунке 7(а). Количество ветвей в таком дереве равно 2к, где к - размерность кода. Введем понятие Ьрс - желаемый размер списка наиболее правдоподобных ветвей дерева. Правило выбора Ьрс наиболее надежных ветвей при оценке бита и соответствует выбору таких ветвей, которые имеют наибольшую вероятность оценки и , что продемонстрировано на рисунке 7, б. Другими словами, декодирующее устройство выбирает наиболее вероятностный исход (наиболее похожую комбинацию) из всего пространства разрешенных кодовых комбинаций. Существенным недостатком указанного алгоритма является использование вычислений с плавающей запятой. Доказана целесообразность применения целочисленных вычислений, позволяющих снизить вычислительные затраты декодера при сходном значении вероятности ошибки на бит [1, с. 157].
В работах [9, с. 15; 10, с. 115] предложено, что декодер производит не просто вычисление
ЬЬЯ ('1, ^'1) для оценки символа по отношению
к пороговому значению, а дополнительно для каждой компоненты принятого кодового вектора осуществляет вычисление МРС с целью формирования оценки надежности. Действительно, в большинстве аналитических оценок, позволяющих измерить эффективность процедуры мягкого декодирования помехоустойчивых кодов, в качестве МРС символов принимается значение ЬЬЯ.
Суть перестановочного декодирования ПК на основе лексикографического подхода состоит в том, что код С к с порождающей матрицей С и метрикой Хэмминга ё , содержащий множество разрешенных кодовых векторов Спк = {с0,с,...,с^ }, в ходе
списочного декодирования принятого из канала с помехами слова Упр = Упер © е , где е - вектор ошибок, а Упер е Сп к, составляет список {5"} е Си к множе-
ства слов, находящихся от слова V на расстоянии
ё-1 и менее. На основе критерия максимального правдоподобия декодер осуществляет замену слова Vпр на вектор Сгр е СпЛ из списка {5} , имеющего
наибольшее число совпадающих позиций со словом V . Используя структурные признаки (алгебраические закономерности) в построении помехоустойчивых кодов, показана возможность разбиения пространства С* на кластеры. Каждый кластер содержит замкнутое множество комбинаций {с,} е Спк , где 0 < г < 2f -1, / - число одноименных номеров разрядов для любой комбинации пространства С , отводимых под признак (номер) кластера, при этом для систематических кодов / < к и {/} е ОЕ(2к-/) . Упорядочение номеров г является лексикографической процедурой, позволяющей уменьшить время формирования списка в 2/ раз за счет однозначного выделения из С комбинаций кластера с номером
г , следовательно, {5,.} = с,.0,са,...,с к . Полагая 2к -1 = ^ , для всего множества Спк получим [1, с. 172; 20, с. 80; 21, с. 16; 22, с.72]:
г = 0 {с00, с01, ..., с0(2к -1)};
г = 1 {С10.
'11'
с.
1(2к-1)
(5)
■■■■> (2к-1)J Выделение для всего С одних и тех же / < к разрядов систематического кода позволяет уменьшить длину списка в 2к - / раз за счет разбиения пространства С на С / кластеров. Подобная
процедура справедлива для несистематических кодов, типа ПК, несмотря на отсутствие выраженной структуры в размещении информационных разрядов [1, с. 172; 20, с. 80; 21, с. 16; 22, с. 72].
Результаты Для сравнения потенциальных характеристик алгоритма перестановочного декодирования ПК на основе лексикографического подхода с известными схемами декодирования применяются разработанные имитационные модели. В качестве исследуемых кодов использовались коды длин п = 8, п = 16, п = 32 . Выбор таких длин не случаен. Коды размерности п = 8, п = 32 применяются для демонстрации корректирующих способностей рассматриваемых алгоритмов при масштабировании длины кодовой комбинации. При этом коды п = 16 демонстрируют возможности схем декодирования
при различном соотношении информационных и избыточных символов. На рисунках 8 и 9 приведены результаты испытаний имитационных моделей, в ходе которых обеспечивались приемлемые статистические погрешности.
При длине блока п = 8 наилучшей корректирующей способностью обладает предложенный алгоритм АПД. Это обусловлено малым значением N для принятого из канала связи кодового вектора. Исправляющая способность АПД для кода ПК (32, 16) оказывается гораздо хуже в сравнении с МРД и АВФ. Это связано с тем, что при снижении вычислительных затрат (т. е. количества операций) решающей схемы использовался принцип, при котором пространство разрешенных кодовых комбинаций делилось на кластеры размерностью, равной 4. Стоит отметить, что для несистематических кодов в этом случае длина кластера (т. е. число бит, отвечающих за номер кластера) оказывается равной / > п /2 . При сокращении длины кластера корректирующая способность АПД становится сопоставима с МРД, при этом происходит увеличение вычислительных затрат. Однако данное увеличение не выходит за рамки количества операций, характерных для МРД.
При изменении длины кодового вектора и уменьшении числа информационных разрядов АПД ПК (16, 5) показывает сходные характеристики с МРД. В этом случае улучшение исправляющей способности кода связано с увеличением числа избыточных символов. Поведение характеристики АПД ПК при сохранении длины кодового вектора, но увеличении числа информационных разрядов обусловлено тем, что наблюдается ожидаемый тренд в сторону ухудшения корректирующей способности. Это характерно для всех схем декодирования.
Алгоритм перестановочного декодирования ПК на основе лексикографического подхода оказался эффективным относительно алгоритма Тала-Варди и ПД Арикана в диапазоне отношений параметра Еь / ^ от 0 до 3 дБ. При более высоких значениях этого параметра предложенный алгоритм не демонстрирует такой же эффективности, и причиной этого является проявление эффекта минимизации возникновения ложных ветвей в процедуре реализации алгоритма Тала-Варди и улучшения состояния канала связи для ПД Арикана. Тем не менее корректирующие характеристики остаются достаточно высокими. Энергетический выигрыш составляет порядка от 1 до 2 Дб в диапазоне от 0 до 3 дБ.
Рис. 8. BER в случае декодирования предложенным алгоритмом и известными схемами для ПК (8,4) и ПК (32,16): АПД - алгоритм перестановочного декодирования, ММД - метод мажоритарного декодирования, АВФ - алгоритм с использованием весовой функции на базе МРС, МРД - метод распространения доверия / Fig. 8. BER in the case of decoding the proposed algorithm and well-known schemes for PC (8,4) and PC (32,16): APD - algorithm for permutation decoding, MMD - a method of majority decoding, AWF - the algorithm using the
weighting functions on the basis of SDS, BP - belief propagation
Рис. 9. BER в случае декодирования предложенным алгоритмом и известными схемами для ПК (16, 5) и ПК (16, 11) / Fig. 9. BER in the case of decoding the proposed algorithm and well-known schemes for PC (16, 5) and PC (16, 11)
Обсуждение
Применение перестановочного декодирования ПК на основе лексикографического подхода носит универсальный характер. Такая концепция может быть использована как на физическом уровне при упорядочивании индексов мягких решений в процедуре перестановочного декодирования, так и на канальном уровне при разбиении пространства разрешенных кодовых комбинаций для составления списка, подлежащего обработке декодирующим
устройством. Использование метода кластерного разбиения позволяет в 2/ раз сократить время составления списка при длине номера кластера / бит. Это является неоспоримым преимуществом при интеграции схем полярного кодирования в сетях связи 5-го поколения, которые критичны к временным задержкам. Введение концепции базового кластера позволяет получить дополнительный временной выигрыш за счет исключения из процедуры перестановочного декодирования атрибутов проверки
свойства невырожденности переставленной порождающей матрицы, которая требует сложной реализации на ПЛИС операции поиска обратной матрицы и вычисления через нее порождающей матрицы эквивалентного кода.
Таким образом, целесообразно при построении декодирующего устройства на аппаратном и программном уровнях заложить АПД и алгоритм Тала-Варди. Это обусловлено тем, что они взаимно дополняют друг друга. В зависимости от состояния канала связи декодер принимает решение о способе декодирования.
Заключение
Применение перестановочного декодирования ПК на основе лексикографического подхода в области низких значений отношения сигнал/шум
обеспечивает высокие корректирующие характеристики. Это расширяет возможности сетей связи стандарта 50. Наличие уверенного радиопокрытия сети не позволяет полностью решить проблемы межсимвольной интерференции, наличия «теневых» зон, гидрометеоров и т. д. По этой причине в условиях помеховой (шумовой) обстановки использование перестановочного декодирования ПК на основе лексикографического подхода является объективным и целесообразным.
Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ и Правительства Ульяновской области в рамках научного проекта № 16-47-732011\18.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гладких А. А., Климов Р. В., Чилихин Н. Ю. Методы эффективного декодирования избыточных кодов и их современные приложения. Ульяновск : УлГТУ. 2016. 258 с.
2. Морелос-Сарагоса Р. Искусство помехоустойчивого кодирования. Методы, алгоритмы, применение. Москва: Техносфера. 2006. 320 с.
3. Наместников С. М., Чилихин Н. Ю. Многомерные кодовые конструкции с применением расстояния Бхаттачария // Автоматизация процессов управления. 2017. № 2 (48). С. 28-34.
4. Гладких А. А. Основы теории мягкого декодирования избыточных кодов в стирающем канале связи. Ульяновск: УлГТУ, 2010. 379 с.
5. Денисов Д. Технологии 50-сетей // nag.ru: Информационно-аналитический портал об интернет-провайдинге [Электронный ресурс]. 2016. Режим доступа: https://nag.ru/articles/article/30498/tehnologii-5g-setey.html (дата обращения 24.11.2016 г.).
6. Huawei: применение технологии полярных кодов - важный шаг в развитии 5G. Официальный сайт компании Huawei [Электронный ресурс]. 2016. Режим доступа: http://www.huawei.com/ru/news/ru/ 2016/HW_482281. (дата обращения 08.10.2016 г.).
7. Arikan E. Channel polarization: A method for constructing capacity-achieving codes for symmetric binary-input memoryless channels // IEEE Transactions on Information Theory. 2016. Vol. 7 № 55. pp. 3051-3073.
8. Korada S. B. Polar Codes for Channel and Source Coding // PhD thesis, Ecole Polytechnique Federale de Lausanne (EPFL). 2009. P. 181.
9. Гладких А. А., Чилихин Н. Ю. Декодирование полярных кодов в декодере Арикана на базе индексов мягких решений // Инфокоммуникационные технологии. 2014. № 12 (3). С. 11-17.
10. Гладких А. А., Чилихин Н. Ю. Моделирование алгоритмов совместной обработки полярных кодов в системе произведения кодов // Радиотехника. 2014. № 7. С. 111-115.
11. Гладких А. А., Климов Р. В. Численное моделирование обобщенной процедуры формирования индексов мягких решений // Инфокоммуникационные технологии. 2013. № 12 (2). С. 22-28.
12. Гладких А. А., Чилихин Н. Ю. Формирование мягких решений в системе широкополосного канала связи с QPSK-QAM // Автоматизация процессов управления. 2013. № 3 (33). С. 75-79.
13. Лаптева А. М., Сорокин И. А. Возможные проблемы в когнитивных сетях связи и пути их решения // В сборнике: Социально-экономические проблемы развития муниципальных образований XXI Международная научно-практическая конференция. 2016. С. 125-127.
14. Калентьева Е. А., Сорокин И. А. Аспекты создания когнитивных сетей связи // в сборнике: Социально-экономические проблемы развития муниципальных образований XXI Международная научно-практическая конференция. 2016. С.118-120.
15. Сорокин И. А. Исследование когнитивных сетей как перспективной технологии для улучшения производительности мобильных систем // Современные проблемы проектирования, производства и эксплуатации радиотехнических систем. 2016. № 1 (10). С. 229-232.
16. Романов П. Н., Сорокин И. А. Технология приема-передачи спутникового Интернета и телевидения с разработкой устройства приема-передачи сигнала // Карельский научный журнал. 2015. № 2 (11). С. 136-143.
17. Сорокин И. А., Черепков В. Ю. Анализ методов и алгоритмов повышения передачи информации с OFDM // В сборнике: Социально-экономические проблемы развития малых муниципальных образований. Материалы международной научной конференции. 2014. С. 273-279.
18. Tal I., Vardy A. List decoding of polar codes // Proc. of the IEEE Intern. Symp. on Information Theory (ISIT). 2011. P. 1-5.
19. Tal I., Vardy A. How to construct polar codes // IEEE Trans. Inform. Theory. 2013. October. Vol. 59 № 10. P.6562-6582.
20. Чилихин Н. Ю. Эффективное декодирование кодов Рида-Маллера и полярных кодов на основе кластерного подхода // Современные проблемы проектирования, производства и эксплуатации радиотехнических систем: сборник научных трудов. Ульяновск: УлГТУ. 2014. № 9. С. 79-82.
21. Гладких А. А., Чилихин Н. Ю., Наместников С. М., Ганин Д. В. Унификация алгоритмов декодирования избыточных кодов в системе интегрированных информационно-управляющих комплексов // Автоматизация процессов управления. 2015. № 1 (39). С. 13-20.
22. Гладких А. А., Чилихин Н. Ю. Эффективное декодирование двоичных блоковых кодов // Проблемы техники и технологий телекоммуникаций. Казань. 2014. № 1. С. 71-73.
Дата поступления статьи в редакцию 13.09.2017, принята к публикации 10.11.2017.
Информация об авторах:
Наместников Сергей Михайлович, кандидат технических наук, доцент кафедры «Телекоммуникации»
Адрес: Ульяновский государственный технический университет,
432027, Россия, Ульяновск, ул. Северный Венец, 32
E-mail: [email protected]
SPIN-код: 4072-5712
Сорокин Иван Александрович, кандидат технических наук,
доцент кафедры «Инфокоммуникационные технологии и системы связи»
Адрес: Нижегородский государственный инженерно-экономический университет,
606340, Россия, Княгинино, ул. Октябрьская, 22а
E-mail: [email protected]
SPIN-код: 3941-6944
Чилихин Николай Юрьевич, кандидат технических наук,
доцент кафедры «Инфокоммуникационные технологии и системы связи»
Адрес: Нижегородский государственный инженерно-экономический университет,
606340, Россия, Княгинино, ул. Октябрьская, 22а
E-mail: [email protected]
Spin-код: 4277-1301
Заявленный вклад авторов: Наместников Сергей Михайлович: общее руководство проектом, анализ и дополнение текста статьи. Сорокин Иван Александрович: сбор и обработка материалов, написание окончательного варианта текста. Чилихин Николай Юрьевич: сбор и обработка материалов, подготовка первоначального варианта текста.
Все авторы прочитали и одобрили окончательный вариант рукописи.
REFERENCES
1. Gladkikh A. A., Klimov R. V., Chilikhin N. Y. Metody jeffektivnogo dekodirovanija izbytochnyh kodov i ih sovremennye prilozhenija [Methods for efficient decoding of redundant codes and their modern applications]. Ulyanovsk: UlGTU, 2016, 258 p.
2. Morelos-Saragosa R. Iskusstvo pomekhoustoychivogo kodirovaniya. Metody, algoritmy, primeneniye [The Art of error-correcting coding. Methods, algorithms, applications]. Moscow: Tekhnosfera, 2005, 320 p.
3. Namestnikov S. M., Chilikhin N. Y. Mnogomernyye kodovyye konstruktsii s primeneniyem rasstoyaniya Bkhattachariya [Multidimensional code constructions using the Bhattacharya distance], Avtomatizatsiya protsessov upravleniya [Automation of management processes], 2017, No. 2 (48), pp. 28-34.
4. Gladkikh A. A., Osnovy teorii myagkogo dekodirovaniya izbytochnykh kodov v stirayushchem kanale svyazi [Fundamentals of the theory of soft decoding of redundant codes in an erasure channel]. Ulyanovsk: UlGTU, 2016, 379 p.
5. Denisov D. Tekhnologii 5G-setey [Takhnologiy 5G-Satei], nag.ru: Informatsionno-analiticheskiy portal ob internet-provaydinge [nag.ru: Informational-analitchechy portal about the Internet-provider]. 2016. Available at: https://nag.ru/articles/article/30498/tehnologii-5g-setey.html (Accessed 24.11.2016).
6. Huawei: primeneniye tekhnologii polyarnykh kodov - vazhnyy shag v razvitii 5G [Huawei: the application of polar-code technology is an important step in the development of 5G], Ofitsial'nyy sayt kompaniya Huawei [Official website of Huawei]. 2016. Available at: http://www.huawei.com/ru/news/ru/2016/HW_482281. (Accessed 08.10.2016).
7. Arikan E. Channel polarization: A method for constructing capacity-achieving codes for symmetric binary-input memoryless channels, IEEE Transactions on Information Theory, 2009, No. 7 (55), pp. 3051-3073.
8. Korada S. B. Polar Codes for Channel and Source Coding, PhD thesis, Ecole Polytechnique Federale de Lausanne (EPFL), 2009, 181 p.
9. Gladkikh A. A., Chilikhin N. Y. Dekodirovanie poljarnyh kodov v dekodere Arikana na baze indeksov mjagkih reshenij [Decoding of polar codes decoder of Arikan on the basis of the indexes soft solutions], Infokommunikacionnye tehnologii [Information and communication technologies], 2014, No. 12 (7), pp. 11-17.
10. Gladkikh A. A., Chilikhin N. Y. Modelirovanie algoritmov sovmestnoj obrabotki poljarnyh kodov v sisteme proizvedenija kodov [Simulation of algorithms for joint processing of polar codes in the system works codes], Radiotehnika [Radio], 2014, No. 7, pp. 111-115.
11. Gladkikh A. A., Klimov R. V. Chislennoe modelirovanie obobshhennoj procedury formirovanija indeksov mjagkih reshenij [Numerical modeling of the generalized procedure of forming the indexes soft solutions], Infokommunikacionnye tehnologii [Information and communication technologies], 2013, No. 11 (2), pp. 22-28.
12. Gladkikh A. A., Chilikhin N. Y. Formirovanie mjagkih reshenij v sisteme shirokopolosnogo kanala svjazi s QPSK-QAM [The formation of soft solutions in broadband communication channel with QPSK-QAM], Avtomatizacija processov upravlenija [Automation of management processes], 2013, No. 3 (33), pp. 75-79.
13. Lapteva A. M., Sorokin I. A. Vozmozhnyye problemy v kognitivnykh setyakh svyazi i puti ikh resheniya [Possible problems in cognitive communication networks and ways to solve them], v sbornike: Sotsial'no-ekonomicheskiye problemy razvitiya munitsipal'nykh obrazovaniy XXI Mezhdunarodnaya nauchno-prakticheskaya konferentsiya [In the collection of Socio-economic problems of community development in the XXI International scientific and practical conference]. 2016, pp. 125-127.
14. Kalentieva E. A., Sorokin I. A. Aspekty sozdaniya kognitivnykh setey svyazi [Aspects of creating cognitive communication networks], v sbornike: Sotsial'no-ekonomicheskiye problemy razvitiya munitsipal'nykh obrazovaniy XXI Mezhdunarodnaya nauchno-prakticheskaya konferentsiya [In the collection of Socio-economic problems of community development in the XXI International scientific and practical conference]. 2016, pp. 118-120.
15. Sorokin I. A. Issledovaniye kognitivnykh setey kak perspektivnoy tekhnologii dlya uluchsheniya proizvoditel'nosti mobil'nykh sistem [The study of cognitive networks as a promising technology for improving the performance of mobile systems], Sovremennyye problemy proyektirovaniya, proizvodstva i ekspluatatsii radiotekhnicheskikh sistem [Modern problems of design, production and operation of radio systems], 2016, No. 1 (10), pp. 229-232.
16. Romanov P. N., Sorokin I. A. Tekhnologiya priyema-peredachi sputnikovogo interneta i televideniya s razrabotkoy ustroystv priyema-peredachi signala [Technology transfer and acceptance of satellite internet and television development unit of reception and transmission of the signal], Karel'skiy nauchnyy zhurnal [Karelian scientific journal], 2015, No. 2 (11), pp. 136-143.
17. Sorokin I. A., Cherepkov V. Yu. Analiz metodov i algoritmov povysheniya peredachi informatsii s OFDM [Analysis of methods and algorithms for increasing the transmission of information with OFDM], V sbornike: Sotsial'no-ekonomicheskiye problemy razvitiya malykh munitsipal'nykh obrazovaniy Materialy mezhdunarodnoy nauchnoy konferentsii [In the collection of Socio-economic development problems of small municipalities, the Materials of the international scientific conference]. 2014, pp. 273-279.
18. Tal I., Vardy A. List decoding of polar codes, Proc. of the IEEE Intern. Symp. on Information Theory (ISIT), 2011, pp. 1-5.
19. Tal I., Vardy A. How to construct polar codes, IEEE Trans. Inform. Theory, 2013, No. 59 (10), pp.6562-6582.
20. Chilikhin N. Y. Jeffektivnoe dekodirovanie kodov Rida-Mallera i poljarnyh kodov na osnove klasternogo podhoda [Efficient decoding of Reed-Muller codes and polar codes based on the cluster approach], Sovremennye problemy proektirovanija, proizvodstva i jekspluatacii radiotehnicheskih sistem: sbornik nauchnykh trudov [Modern problems of design, production and operation of radio systems: collection of scientific papers]. Ulyanovsk: UlGTU, 2014, No. 9, pp. 79-82.
21. Gladkikh A. A., Chilikhin N. Y. Namestnikov S. M., Ganin D. V. Unifikacija algoritmov dekodirovanija izbytochnyh kodov v sisteme integrirovannyh informacionno-upravljajushhih kompleksov [Unification of algorithms of decoding of redundant codes in the system integrated information-control complexes], Avtomatizacija processov upravlenija [Automation of management processes], 2015, No. 1 (39), pp. 13-20.
22. Gladkikh A. A., Chilikhin N. Y. Jeffektivnoe dekodirovanie dvoichnyh blokovyh kodov [Efficient decoding of binary block codes], Problemy tehniki i tehnologij telekommunikacij [Problems of technics and technology of telecommunications], Kazan, 2014, No. 1, pp. 71-73.
Submitted 13.09.2017; revised 10.11.2017.
About the authors:
Sergey M. Namestnikov, Ph. D. (Engineering), associate professor of the chair «Telecommunication» Address: Ulyanovsk State Technical University, 432027, Russia, Ulyanovsk, Severniy venetc Street, 32 E-mail: [email protected] Spin-code: 4072-5712
Ivan A. Sorokin, Ph. D. (Engineering), associate professor
of the chair « Infocommunication technologies and communication systems»
Address: Nizhny Novgorod State University of Engineering and Economics,
606340, Russia, Knyaginino, Oktyabrskaya Street, 22a
E-mail: [email protected]
Spin-code: 3941-6944
Nikolay Y. Chilikhin, Ph. D. (Engineering), associate professor
of the chair «Infocommunication technologies and communication systems»
Address: Nizhny Novgorod State University of Engineering and Economics,
606340, Russia, Knyaginino, Oktyabrskaya Street, 22a
E-mail: [email protected]
Spin-code: 4277-1301
Contribution of the authors: Sergey M. Namestnikov: managed the research project, analysing and supplementing the text. Ivan A. Sorokin: collection and processing of materials, writing the final text.
Nikolay Y. Chilikhin: collection and processing of materials, preparation of the initial version of the text.
All authors have read and approved the final manuscript.
