Итерационная факторизация для численного решения эллиптического уравнения четвёртого порядкав прямоугольной области Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.63

ИТЕРАЦИОННАЯ ФАКТОРИЗАЦИЯ ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ЧЕТВЁРТОГО ПОРЯДКА В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ

А.Л. Ушаков1

Рассматривается эллиптическое уравнение четвёртого порядка в прямоугольной области при смешанных краевых условиях. Его решение строится на итерационной факторизации оператора, энергетически эквивалентного оператору решаемой задачи. Дискретизация исходной задачи производится по методу конечных элементов, а предобуславливатель выбирается на основе метода конечных разностей, при этом скорость сходимости итерационного процесса не зависит от параметров дискретизации.

Ключевые слова: итерационная факторизация, предобуславливатель.

Введение

Рассматривается эллиптическое уравнение четвёртого порядка в прямоугольнике со сторонами, параллельными осям координат; на правой и верхней сторонах прямоугольника заданы условия шарнирного опирания, а на остальной части границы условия симметрии. Задача, получающаяся при дискретизации уравнения Пуассона по методу конечных разностей, решаемая в [1], дважды возникает на каждом шаге предлагаемого итерационного процесса. Система линейных алгебраических уравнений получается при дискретизации исходной задачи по методу конечных элементов, в отличие от [2], где применялся метод конечных разностей. Исходная задача может быть получена в методах типа фиктивных компонент при решении эллиптических уравнений четвёртого порядка в плоских областях достаточно произвольного вида при однородных, например, главных или естественных краевых условиях.

Непрерывная задача в вариационной и классической постановках

Рассматривается задача

и е¥: Л(и,V) = I(у) "Vе¥, I е¥', (1)

где соболевское пространство функций

V = У(О) = {у еГ22(П): у|Г1 = 0, |П| г2 = о}

на области О = (0; Ь1) X (0; Ь2), с границами Г ={Ь1}х [0; Ь2] и [0; Ь1] х|Ъ2}, Г2 =г\гх, Г = 1О, билинейная форма

Л(u, у) = | (оАиАу +(1 - а)(иххухх + 2ихууху + иууууу) + ат)й °,

о

при этом а = а1 на области О1, а = а2 на О\О1, области О1, О2: О = О1 и О2, О1 П О2 = 0 ,

1О1 П1О2 Ф 0 , заданы константы <ге (0;1), Ь1-,Ь2 е (0; +<»), аг,а2 е [0; +<»), а1 < а2 .

Можно отметить, что

и м2 и и2

$С1,С2 е(0; +¥) : ^И^22(П) <Л(У,у) < С2 |И^22(П) "у еГ,

а, следовательно, решение задачи (1) существует и единственно. Если / - заданная достаточно гладкая функция и

I (V) = (/, V), где ( /, V ) = | руйО ,

о

то из задачи (1) получается неоднородное бигармоническое уравнение со свободным членом при смешанных и однородных краевых условиях

* 2 /■ I * I „ 1и 1Ди |

Д и + аи = т , и г = Ди г = 0, —г =-г = 0. (2)

у ’ 1г1 1г1 ’ 1п 1г2 1п 1г2 ^ '

1 Ушаков Андрей Леонидович - старший преподаватель, кафедра дифференциальных и стохастических уравнений, Южно-Уральский государственный университет.

E-mail: ushakov_al@inbox.ru

Итерационное решение непрерывной задачи в вариационной постановке

Утверждение 1. Для следующей спектральной задачи, имеющей у нас вспомогательное значение

дп

находятся методом разделения переменных собственные числа и функции соответственно:

(2/ - 1)рх (2 j - 1)ру

1 = (2i - 1)2p2 + (2 j - 1)2p2

г; j -2 4b2

4b]2

j, j = Q, jcos"

2

,2

2b1

-cos ■

2b

2

2- ^2’ SUP 1j =+¥ •

/Л • Т Л Р Р при этом 0 < min Л, , = Л , = —- +--

Je* г’; 1,1 4Й2 4b2 ,,,eN

Введём билинейную форму

M(Uv) = J AuAvdW = J + 2uxyvxy + MyyVyy )dW, uv e V .

W W

Второе равенство имеется при рассматриваемых краевых условиях на прямоугольной области. Утверждение 2. Имеют место неравенства

gM(v, v) <A(v,v) < g2M(v,v) "v eV, g = 1, g2 = ( Д2 + а2)/Л_2 .

Доказательство. Выполняется, что

Л2, + a, A(v v) Л, + а7 ЛД + а2

1 = inf ь\ 1 = g<^v-v)<g2 = sup ь\ 2 = 2 "veV

Л,Ä2, 1 M(v,v) /2 дР Д2, Д21

Введём нормы

vllм = ^M(v,v) , IVL =yjL(v,v) •

Рассматривается итерационный процесс:

ык еV : М(ык - ык-1, V) = -тк (Л(ык-1, V) -1(у)) "V е V,

тк = т = 2/(у1 + /2) = 21^/(242 + а2), ке N, "ы0 е V . Теорема 1. Для итерационного процесса (3) имеют место оценки:

1.

2.

(3)

uk - u < L £ 0 u - u

uk - и < £ 0 u - u

M

м

где относительная ошибка сходимости ик к решению и следующая

sk I I -о ^

£ <

/ =((Ї2 -Yl)l(Y2 +П))к =(a2l(2l,1 + а2)) , k Є N •

Доказательство. Введём оператор Я из V в V : М(Яы,V) =Л(ы,V), "ы,Vе V .

Так как ^М^,V) <Л^,V) < g2M(v,V), то ^М^,V) < М(Я^,V) < g2M(v,V), т.е. у11 < Я < g21. Я - ограниченный и самосопряжённый оператор. Заметим, что Л(Я_1ы,V) = М(ы,V). Пусть

= u + yk, kе N U{0} , тогда из итерационного процесса

и = и

отсюда

имеем

M(yk -yk ], v) = -tkL(yk ], v) и Л(R ](yk -yk ]), v) = -tkL(yk ], v),

R— (yk — yk—1) = —tkyk—1, yk = (I - tkR)yk-1.

Пусть Tk = I — tkR, тогда можно перейти к доказательству первого неравенства.

L(yk,yk) = h(TkVk—1,Tk¥k—1) < sup (K(TkV,Tk¥)lL(y,y))L(yk—1,yk—1) =

yeV

так как оператор Tk самосопряжённый

sup f Л^'

чуєКv Л(у,у) „

L(yk-1, yk-1) =

sup

ууєК V

1 -tk

L(Ry,y)

L(y,y)

//

L(yk-1, yk-1) =

2

2

1/2

полагаем v = R' y

( r

sup

l -T

V veV V

A(v, v) k A(R_1v, v)

A(yk-1,yk-1) =

sj

< max

(( sup

V veV 2

1 -t

A(v, v) M(v, v)

A(yk-1, yk-1) <

SJ

{l1 - rtk )2, I1 - g2tk )2j A(yk-1, yk-1) =

отсюда

A(yk ,yk) < q 2A(yk 1,yk 1),

ик - и < q ик 1 - и uk - и < qk и 0 - и

v v ’ v

Теперь можно рассмотреть получение второго неравенства.

M(yk, yk) = M (Tkyk-1, Tkyk -1) < sup (M(Tky,Tky)/ M (y, y)) M(yk -1, yk -1) =

yeV

( ( sup

M(7yy) VyevV (My,y) ,,

(( sup 1

Vyev V

u2

I M (yk-1, yk-1) =

< max {(1 - gTk )2, (1 - gt )2 j M(yk-1, yk-1)

A(y,y) M (y,y).

M (yk-1, yk-1) <

отсюда

M(yk, yk) < q2M(yk-1, yk-1),

ик - и < q ик 1 - и uk - и < qk и 0 - и

M m’ M

M

На каждом шаге итерационного процесса (3) возникает задача вида

и є К: М(и, V) = 1 (у) VV є К, I є¥ Заметим, основываясь на утверждении 2, что

(4)

$С1’С2 e(0; +¥) : |v||w22(W) <M(v’v) < C2|Nw22(W) "veV =

а, следовательно, решение задачи (4) существует и единственно. Если / - заданная достаточно гладкая функция, как и в задаче(1) I (V) = (/, V), то из задачи (4) получается неоднородное бигар-моническое уравнение при смешанных и однородных краевых условиях

* 2 у I * I п Эи | ЭЛи|

Д и = / , и г = Ли г = 0, —Г =----------Г = 0.

’ 1Г1 1Г1 ’ Эп|Г2 Эп |Г2

(5)

Видно, что задача (5) имеет факторизованный оператор и может быть записана как система эллиптических уравнений второго порядка при смешанных и однородных краевых условиях

Эw |

Эп Эи |

Эп

Замечание 1. Для собственных функций краевой задачи (1), когда а1 = а2, следующего вида <Рг,; (X У) =- 2

(6)

■\jb1b2 (1i, j + a2 )

(2i - 1)юс (2 j - 1)^j . .

cos———cosv _ , 7 , i, j e N

2b1

2b

устанавливается непосредственной проверкой первое и известно второе

1 j, 1, =1, A( j, j, j і) = 0, (U j) *(k, 1), k, 1 e N,

',j IIv 'k e

2. "ук е V Зск; е М: ук = X ек^и;, к е Ш {0}.

¡, 3=1

При равенстве аг = а2 в итерационном процессе (3) будет Д2^.; = Дс,-1 ~т(1; + а2)сг--1,

= Ри;0.- , где А,; = 1 ~?(1Ь + а2)17з . Таким образом у = X РиА,№,3 , т.к. СЬ = Р,3С13 '

¡, 3=1

2

2

2

Учитывая, что maxipt J = max 1 — т(Л2г- + a2)1i 2 £ a2 (2l12i1 + a2) , имеет место следующая оцен-

i,jeN' ' i irt \ ’ /

i, jeN

ка

/ 0

j u — u vl u — u V \

Ел2^ 0 \2 Pr, 3 (CU )

i, 3 =1

V

Z (C° 3 )2 £ I Iті eN I Pi, j\ I £ ( °2і (1 + a2) ) •

i, 3=1 Vi,je /

Дискретная задача в виде системы линейных алгебраических уравнений

Производится дискретизация задачи (1) по методу конечных элементов на параболических восполнениях:

и еі^с V: Л(и, V) = 1 (у) "V еі^с V . (7)

Рассматриваются система линейных алгебраических уравнений соответствующая задаче (7):

и е М" : Ли = 7, 7 е М", (8)

где V е М : V = (у1,...,V") , N = т • п, т , п е N , а vn(i_l:)+3■ = ^, і = 1,...,т , у = 1,...,п , и vj у яв-

ляются значениями функции дискретного аргумента соответствующего узлам сетки (хі, уу.) = ((і - 0,5)И1, (] - 0,5)Н2), і, ] е Ж, шаги сетки Н1 = 61 /(т + 0,5), Н2 = Ь2 /(п + 0,5),

состоящей из указанных выше узлов, а матрицы Л размерности N X N определяются следующим образом:

(Лм,V) =Л(м,V) "и,Vе V с V,

здесь (.,.) - скалярное произведение векторов такого вида (и,V) = Xи^^Н "и,V е М

£=1

а подпространство V с V определяется так, что

(т П І

V: V = XXV;-,уФ"У (х,У),V,,у е М,|,

где базисные функции

Фг,у (х, у) = (х)¥ 2,у (у), (х) = Е(1/і)¥ (х/Н1 - і + 3) +¥(х/Н - і + 2)-Е(і/т)¥(х/Н - і),

¥2,у (У) = Е(1/у)¥(у/Н2 - у + 3) + ¥(у/Н> - і + 2) -Е(у/п) ¥(у/Н2 - у), і = 1,..., т , у = 1,...,п ,

0,5г 2, г е[0;1],

-г2 + 3г-1,5, ге [1;2],

0,5г2 -3г + 4,5, ге [2;3],

¥(г) = 0, гї [0;3], Е(.) - функция целая часть числа, компоненты вектора I определяются следующим образом

_1Н“17 (Фг', 3'

Y( z) =

l«(/-1)+j =l,,] = h h- l (Ф ,3 (x, y)), i = 1,..., m , j = 1,..., n , т.е. (l, v) = l (V) "v eF .

Отметим, что решение задачи (8), как и (7) существует, единственно и известны оценки типа

1. ||м — и|| t £ clhT ^llull ? ,

II ll^2c(W) И II 11^-(W)

2. lim I\и — Uli ч = 0 , h = (h,h-), \h\ = max jh,h2} .

h®0 (W) 1 2 II L 1 -J

Решение дискретной задачи при итерационной факторизации предобуславливателя

Определим матрицы Vх, Vу размерности N X N

( V XU , v) = ZZ (-(Ui+1,3 - ui, 3 )h1 1 К 3h1h2, um+1,3 =

m+1,3'

= 0, 3 = 1,..., и,

¿=13=1

m и

(V,v) = ZZ(-(Ui,3+1 - u.,3 )h2 1)vi,jh1h2, Ui,«+1 = Vi,«+1 = 0, Г = і—

i =1 j=1

j

Дополнительно введём матрицы V] и V2 размерности т X т и п X п соответственно

т п

(^и, V ) = Е (-(и, +1 - и, )/21"1)Уг, ит+1 = г

1+1 = гт+1 = 0 , (V2U , г ) = Е (-(и; +1 - и] )Ь2 1 >] , ип+1 = гп+1 = 0 .

,=1 У=1

Они связанны с предыдущими матрицами следующим образом Vх = V1 ® Еп , Vу = Ет ® V2 . Здесь Ет и Еп - единичные матрицы размерности т X т и п Xп соответственно, а (.,.) обычное скалярное произведение векторов. Определим матрицу

т п

(Аи,V) = ЕЕ((и<+1,У -и,,У)(г,+1,У -V',У)Й1-2 + (и,,У+1 -и,,У)(г,,У+1 -V',У)^2"2)^1^2 ,

,=1 У =1

и,,п+1 = г,,п+1 = ^ = 1,..., т , ит+1,У = гт+1,У = ^ У = п .

Заметим, что

А = V/Vх + Vy,Vу = (V! ® Еп)'(Vl ® Еп) + (Ет ® V2),(Ет ® V2) = (Vl,Vl) ® Еп + Ет ® (V2,V2) .

Дополнительно введём матрицы Д1 =V1 V1 и Д2 =V2V2 размерности т X т и п X п соответственно, тогда А = Д1 ® Еп + Ет ® Д2 . Определим матрицу М = А2. Отметим, что М = (Д1 ® Еп + Ет ®Д2)2 = Д2 ® Еп + 2Д1 ®Д2 + Ет ®Д2.

Матрица Л представляется в виде Л = Л2,0 + 2Л1,1 + Л0,2 + аЛ0,0, где матрицы Лр’4 :

(л р,4и, ^ | и/Р/Чг/Р/Ч<1П "и, V ёК , (р, 4) е {(2,0), (1,1), (0,2), (0,0)} .

п

Дополнительно введём матрицы Лхр , Лу,?, р, д = 0,1,2 размерности т X т и п X п соответственно, элементы которых следующие

Л/,Р = ¿Г11х)^}(х^х, к,, = 1,...,т , ЛУу4 = ¿2-11 ^(у)^Шу , I,У = 1,...,п .

0 0

Утверждение 3. Имеют место формулы Лр,д = Лхр ® Лу,?, р, д = 0,1,2.

Доказательство. Заметим, что т.к.

=¿Л-1 [ ф"р 4 (/, у)Фг’рУ 4 (/, у^п =

х , у х , у

Л р,4

п(к-1)+/,и!;-1)+У

Ч 2

= ¿1-11^х)^}(х)^-11 У2^)(у)^((4^(у)^у =Лк,рЛуУ .

2 J А 2,1 '

0 0

Замечание 2. Имеет место Л = Л^2 ®Лy,0 + 2Лх,1 ®Лy,1 +Лх,° ®Лy,2 + аЛх,° ®Лy,0 и

. х,0

х,1

Лх,2 = Д2 , Лу,2 = Д2, т.е. Л = Д2 ® Лу,0 + 2ЛхД ® Лу,1 + Лх,0 ® Д2 + аЛх,0 ® Лу,0 .

Замечание 3. Для любых и,V е Шт имеет место равенство

т-1

(Лх,0и , г ) = (ЛlX,0 (U1, и2 /, (г1, г2 ),) + Е (ЛX,0 (и,-1, и,, и,+1)', (г,-1, V, +1),) + (Лт (um-1, ит )', (гт-1, гт )')

,=2

где используемые выше матрицы следующие

Л^0 = — 1 120

86 14 14 6

Лх’0 = — т 120

6 13

13 59

Л

х,0 _

120

Утверждение 4. Видно \ = 116,12 = 1/6,1 = 1, если

, х,0,

■ 6 13 1 ■

13 54 13

1 13 6

',+1)' Ф 0, , =

,, = 2,...,т -1.

Ех - диагональные матрицы, где на диагонали первый и последний элементы 1/6, а средний 2/3.

1

Утверждение 5 . Для спектральной задачи Л^ЛХ’0^,у2)' = АЕ*(у1;у2)', (уьу2)' Ф 0 собственные числа 1 = 4/25, Л2 = 1, здесь Е1Х диагональная матрица, у которой на диагонали первый элемент 5/6, а второй элемент, он же и последний 1/6 .

Утверждение 6. Для спектральной задачи Л: Лх,0(уш_1, Ут )' = ЛЕт (ут-1, Ут )', (ут-1, Ут )' Ф 0 собственные числа 0 <Д2 = (89 ± 3\/469)/200 < 1, здесь ЕХ диагональная матрица, у которой на диагонали первый элемент 1/6 , а второй элемент, он же и последний 5/6.

Введём вспомогательные матрицы У+, Л+ размерности т X т : Л+ = (У+ /У+ > 0,

т т

(У+Й; V) = Е (иг+1 + Щ )У, , У) = Е (и»'+1 + и )(у»+1 + V ), ит+1 = Ут+1 = 0

і=1

і=1

матрицу 51 размерности тXт с элементами 5) у = Е(2/(1 + у)), ¡,у = 1,...,т .

Утверждение 7. Имеют место неравенства 2/15 Ет <Л^ < Ет (2/15 Еп <Лx,0 < Еп). Доказательство. Правое неравенство следует из замечания 3 и утверждений 4,5,6, т.к.

т—1

(Ети , V ) = (Е1 Ц, и2)',{Уі, У2)') + X (Е* (и,—і, и,, иг+і)',(Уг—і, V,, Уг+і)') + (ит—Ъ ит У^т—1, ^ )') •

і=2

Используя известный приём, имеем, что 120ЛХ,° > 120MХ,0 _ (Л+ + 251)2 _ 22(Л+ + 251) = 16Ет . Замечание 4. Для любых и, у е Мт имеет место равенство

т—1

(ЛХ,1и , v) = (ЛlX,1 (ul,и2)\(V1, v2 )') + X (Л*Д (и,—1,и,,и,+1)', (vi—1, V, ^+1)') + (ЛтД (ит—1,Ыт )', (Ут—1,Vm T),

г=2

где используемые выше матрицы следующие:

Утверждение 8. Имеют место неравенства

Л т = £ , лхД = ^ " 2 —1 —1"

" 1 —1" " 2 —1"

—1 2 —1

—1 1 т 6 —1 5 г 6

—1 —1 2

і = 2,..., т — 1 •

'-—2

1 А* <ЛХД <А*, где А* =

3 і і і і 2

1 —1 0

—1 2 —1

0 —1 1

і = 2,..., т — 1.

Доказательство. Имеем 6/22(ЛХд -1/3ЛХ) > 0 , т.к. (у2—1 -2уг-1Уг+1 + у2^) = (уг-1 _ у^)2 > 0 . Видно, что 6й12 (ЛХ - ЛХД) > 0, т.к.

У—1 - 4уг_1уг + 4у2 - 4УгУг+1 + 2Уг-1Уг+1 + у2+1 = (Уг-1 - Ъг + уг+)2 > °.

2 Н~

Замечание 5. Имеет место равенство — ЛХ = ЛХД , где ЛХ =~^~

Утверждение 9. Имеют место неравенства

1 —1

—1 1

1 Ь~2

1 Ах <ЛХ,1 <АХ где Ах =

~ ^т — іХт — ^т ? А і~хт ~

2

2

1 —1 —1 3

Доказательство. Имеем 12й1 (ЛX, -1/2 Лх) > 0, т.к. (ут-1 - 2ут-1ут + Ут) = (ут-1 - Ут) > 0.

2

т

ВиДно, что 6^12 (Ат — ЛтД) > 0 , т.к. (у2т—1 — 4vm—1Vm + ) = (vm—1 — ^т )2 > 0.

Следствие 1. Имеют место неравенства 3 1Л1 <Лx,1 <Л1 (з 1Л2 <Л7,1 <Л2 ). Доказательство. Следует из замечаний 4, 5 и утверждений 8, 9, т.к.

т—1

(Л1и , У) = (ЛХ (ul, u2)/, (у1 , у2 )') + Е (ЛХ (и—1, и, и+1 У , (У—1, V, У+1 У) + (Лт (ит—1, ит /, (ут-1, Ут )').

і=2

Утверждение 10. Имеют место следующие неравенства

и

1. 9-1 A1 ®A2 <Л^ ®Л^ < A1 ®A2,

2. 2/15A? ® En <A2 ® ЛJ’0 < A2 ® En ,

3. 2/15Em ®A2 <Лх’0 ®A2 < Em ®A2.

Доказательство. Если me M : Лx,1v = /uA-v , v Ф 0, re M : Л7,1w = rA2w, w Ф 0 , то, учитывая

, хД

.x,1

следствие 1, mre

i=mre

3-4

. Если l e M : Лx, ® Л ^ и = 1A1 ® A2u , и Ф 0, то и = v ® w и

9-1;1

, а, следовательно, имеет место 1., т.к. все рассматриваемые матрицы симметричны и положительно определенны. Аналогично доказываются остальные неравенства.

Следствие 2. Имеет место к1 Л2 < Л < к2Л2, если к1 = 9-1 у1 = 9-1, к2 = у2 = (Д2 + а2)/Я121 . Доказательство. Из утверждений 2, 10 и замечания 2 получаются требуемые неравенства к^Л2у,у ^ = к^Му,у) <(Лу,у) = Л(у,у) < к2М(у,у) = к2(Ыу,у} = к2 ^Л2у,у ^ .

Введём нормы ||у|Л2 =

M2v,v^ , ||v||Л

2

= >/(Л V,V) ,

"v e MN .

Рассматривается итерационный процесс:

йк е М": Л2(йк -ик-1) = -тк(Лйк-1 -/), тк = т = 2/(к1 + к2)> 0, ке N, "й° е М Теорема 2. Для итерационного процесса (9) имеют место оценки:

dN

(9)

1. мк - и <е Л и0 - и Л

2. мк - и «о < (N и0 - и Л2

где относительная ошибка сходимости ик к решению и следующая

e< qk = ((к2 -к1)/(к2 + к1))к =((8l1'21 + 9a2)/(10l121 + 9a2)) , кe N .

Доказательство. Пусть йк = м + ук, к e N U {0}, тогда из итерационного процесса Л2 (ук - ук-1) = -ткЛ ук-1, ук - ук-1 = -ткЛ~2Л ук-1, ук = (E - гкЛ~2Л)ук-1.

Пусть Тк = E - ткЛ_2Л, тогда У = Ткук-1, где Тк = Тк > 0 и можно доказать первое неравенство.

ЛУк,ук) =(ЛТкУк-1,ТкУк-1)< sup ({ЛТкУ,ТкУ)1{ЛУ,у)){ЛУ,у) =

ye К N

: SUp

ye К N

(ЛТкУУ) ^

(Луу)

(Лук-1,ук-1) =

sup

yeKN

1 -Тк

ЛЛ 2Лу,У ^ (ЛУ,у

Лук-1,ук-1) =

полагаем v = Л хЛ12у,

veK

отсюда

= sup (l-Тк (Av, v)/^2v, v)) (Лук 1,ук ^ < max {(1- ¿г )2, (1- ^ )2}(Лук 1, у ^

Лук ,ук^ = q2^ Лук 1,у Далее можно привести вывод второго неравенства.

(Л2ук,ук) =(Л2Ткук-1,Гкук-1) < _sup ((Л2Тку,Тку)1{Л2уу))(Л2ук-1,ук-1) =

«ттк -1 к -1

ик - и < q ик 1 - и ик - и < q'c К| О - и

Л Л ’ Л

yeKN

= sup

ye К N

Л2у,у

J

< max

(Л2ук 1,ук ^ = sup 1 -t (Луу)

yeKN ^ {Л2уу

{(1 - к1Тк )2, (1 - к2Тк )2 } (Л2ук-1, у-1)

(Л2ук-1,ук -^ <

2

тогда

A2yk,yk) = q2 A2yk—1yk—1

—k — —k—1 - —k — k —0 —

u — u /1 2 u — u A2’ u — u A2 ^ q u — u

(10)

(11)

На каждом шаге итерационного процесса (9) возникает задача вида:

и е М" : Л2й = Т, Т е М", для которой возможно расщепление на две однотипные задачи

Ъ е М" : Ли = Т, Т е М",

и е М" : Ли = ЪЪ е М" .

Для решения (11) можно применять варианты эффективного по количеству арифметических операций метода предложенного и изучаемого в работе [1]. В этом случае предполагается использование двухступенчатых итерационных процессов, где итерационные параметры могут выбираться с помощью наиболее подходящих в каждом случае вариационных методов для достижения необходимой точности в решениях вспомогательных и рассматриваемой задач.

Вывод. Учитывая всё ранее изложенное, можно отметить, что для решения рассматриваемой задачи (8) с " неизвестными на основании теоремы 2 предложенным итерационным процессом

(9) с относительной погрешностью е , требуется не более чем 0(" 1п2 е“1) арифметических операций.

Литература

1. Ушаков, А. Л. Модификация итерационной факторизации для численного решения двух эллиптических уравнений второго порядка в прямоугольной области / А. Л. Ушаков // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математика. Механика. Физика». - 2013. - Т. 5, № 2. - С. 88-93.

2. Ушаков, А.Л. Моделирование итерационной факторизации для эллиптического уравнения четвертого порядка / А.Л. Ушаков // Известия челябинского научного центра. - 2007. -Вып. 1 (35). - С. 33-36.

Поступила в редакцию 13 ноября 2013 г.

2

Bulletin of the South Ural State University Series “Mathematics. Mechanics. Physics” ______________________________________________________________________2014, vol. 6, no. 1, pp. 42-49

ITERATIVE FACTORIZATION FOR NUMERICAL SOLUTION OF ELLIPTIC EQUATION OF THE FOURTH ORDER IN RECTANGULAR AREA

A.L. Ushakov1

The elliptic equation of the fourth order in rectangular area is considered under mixed boundary conditions. The solution is based on iterative factorization of the operator that is energetically equivalent to the operator of the solved solution. Discretization of initial task is made on the basis of method of final elements, and the precondition is selected on the basis of final differences method, thus the speed of convergence of iterative process doesn't depend on discretization parameters.

Keywords: iterative factorization, precondition.

References

1. Ushakov A.L. Modifikatsiya iteratsionnoy faktorizatsii dlya chislennogo resheniya dvukh ellip-ticheskikh uravneniy vtorogo poryadka v pryamougol'noy oblasti (Updating iterative factorization for the numerical solution of two elliptic equations of the second order in rectangular area). Vestnik YuUrGU. Seriya “Matematika. Mekhanika. Fizika”. 2013. Vol. 5, no. 2. pp. 88-93. (in Russ.).

2. Ushakov A.L. Izvestiya chelyabinskogo nauchnogo tsentra. 2007. Issue 1 (35). pp. 33-36. (in Russ.).

Received 13 November 2013

1 Ushakov Andrei Leonidovich is Senior Lecturer, Differential and Stochastic Equations Department, South Ural State University.

E-mail: ushakov_al@inbox.ru