О моделировании деформаций пластин Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.63 Б01: 10.1152!) шшрШШ.Ч

О МОДЕЛИРОВАНИИ ДЕФОРМАЦИЙ ПЛАСТИН

А.Л. Ушаков

Рассматривается эллиптические краевые задачи четвертого порядка, лежащие в основе математических моделей деформаций пластин на упругих основаниях при смешанных краевых условиях четырех теоретически возможных типов. Предлагаются замещения этих задач в вариационной форме на их фиктивные продолжения. Решения последних задач с помощью модификаций методов фиктивных компонент сводятся к решениям задач в прямоугольной области. Приводятся оптимальные оценки сходимости итерационных процессов на непрерывном уровне. При простой дискретизации фиктивно продолженных задач по методу конечных элементов на параболических восполнениях получаются эффективные численные модификации методов фиктивных компонент простые при практической реализации на ЭВМ. Получаемые системы ли-Н6ИНЫХ алгебраических уравнений могут оптимально решаться с помощью методов итерационных факторизаций. В итоге предложенные численные методы являются логарифмически оптимальными или оптимальными по количеству арифметических операций, необходимых для достижения задаваемых относительных погрешностей.

Ключевые слова: деформации пластин; фиктивные продолжения.

1. Математические модели деформации пластин. Пусть С М — ограниченные области. Рассматриваются математические модели теории упругости для вычислений деформаций пластин йа на упругих основаниях под действия ми давлений /а при различных однородных краевых условиях

А2йа + аайа = й, а = 1, 2, дй,

дйд

дпа

й*\га,о = апаг =0 й*\гаА = 1*,1йа\г = 0, (1)

. 1 а,0

= la,2Ua\T 2 = la,\Ua\T 3 =j la,2ua\r 3 =

р _ " 1 г а, 2 "'г а,3

г а,2

Здесь границы За = д = г а,О и Г а,1 и Га,2 и Г а,г, Га,г П Г а,] = 0, еСЛ И % = ^ %, ] = 0, 1, 2, 3, па - внешние нормали к д0,а аа € [0; оа € (0; 1) - константы. Дифференциальные

операторы

1а,1йа = ^йа + (1 " Оа)па,1 па,2йаху па,2йахх па,1йауу,

1а,2йа = + (1 - &а) (Па,1Па,2 (йауу - йахх) + (^д - П^йаху),

дпа дЗа

причем пад = — еео$.(па,х), па,2 = — еоБ(па,у). Краевые условия из (1) определяют, что у

Га,О Га,1 Га,2

Га,з - свободное опирание.

Моделям из (1) соответствуют следующие вариационные модели деформации пластин

йа € На : Ла(йа,Уа) = 9а(Уа) УУа € На, За € Н'а ,а = 1, 2, (2)

^ ^ ^ { ду }

На = На (^а) = | Уа € Ш2(Па) : ^а]^ у ГаД = 0> д^ ^ У ^ = 0\ -

соболевские пространства функций на областях

Ла (йа,уа) = ^ + (1 Оа)(йаххуахх + 2йахуу аху + йауу Уауу) + аайауа)Л&а

билинейные формы и да(ьа) = J ¡ауайО,а - линейные функционалы. Предположим, что для задачи (2) имеют место оценки

ЗС1,С2 € (0;+го) : С1 \\ьа< Ла(ьа,Уа) < с2 раУ^Па) € На,а = 1, 2.

2. Фиктивные продолжения непрерывных задач и их решений. Рассмотрим фиктивные продолжения вариационных моделей деформаций пластин (2) вида

й € V: Л\(й, 1\у) +Л2(й,ь) = д1(11V) + ^(у) Уу € V, дз-а(у) =0 Уь € У3-а, а = 1,2, (3)

^ { дь }

V = ПП) = € : у1гоиГ1 =0, дп |гоиГ2 = °\ -

соболевское пространство функций на области П с норм ой \\V\ly = л/ Л(ь, V). Огр анпченные плоские области П, Пз-а такие, ч то П1, П2 С П , П = П ^иП 2, П1 Р| П2 = 0, Г^о П Г2,з 5 дП1П дП2 = Б = 0. Граница 8 = дП = Го и Г1Ц1 Г2 и Гз, Г* П Г3 = 0, если г = ] г] = 0,1, 2, 3, причем п ее внешняя нормаль. Определим подпространства пространства V

Vi2 = £ V :Щ2 | п\п. = ^ , i = 1, 2.

Зададим Л(й, V) = Л^й, v) + Л2(й, v), причем Л^й, v) = Л^й , v ), Vi(v) = gi(v |ni ) при любых й, v £ V, i = 1, 2. В этом случае будем считать, что имеют место оценки

ЗС1,С2 £ (0;+^) : ci ||v||W|(n) < Mv,v) < С2 ||v||Wf(n) VV £ V•

Пусть Vo = Vi Ф V4 - прямая сумма подпространств V2, i = 1, 2, в скалярном произведении Л(-, ■), подпространство V3 = ^V3 £ V : Л^з^о) = 0 Wo £ Vo j, т.е. V = Vo ® V3 в скалярном

произведении Л(^, ■). Причем через vo £ V, v3 £ V обозначены проекции v на соответствующие подпространства. Далее вводятся подпространства Vs_3i = V3 ® V;2, i = 1, 2, тогда имеет место V = Vi ® V2. Будем считать, что Hi = Hi(Qi) = Vi(Q-i), V(Qi) = V i = 1, 2, H2 = V (Q2). v v v

Определим, что /¿2 : V ^ Vi2, i = 1, 2, - ограниченные операторы, причем V2 = imIi2. Заметим при этом, что Ii 2 — т.е. Ii2 проекторы, но не обязательно ортопроекторы. Будем считать, что Io = Ii + I4. Здесь Io : V ^ Vo - ограниченный оператор, причем Vo = imIo, Io = Io2 Io

Л1(й, Iov) = Л1(й, Iiv), gi(Iov) = gi(Iiv)VU,v £ V.

Предположение 1. Имеют место следующие неравенства

£ (0; 1] Зр2 £ [^i; 1] : ^^3^3) < Л2^3^3) < ) W3 £ V3.

3. Модификации методов фиктивных компонент. Для вычислений деформаций пластин на непрерывном уровне были предложены следующие итерационные процессы [1].

йк £ V : Л(йк - u^^v) = -TkЛ(u^^iiv) + Л2(йк_^- gi(Iiv) - g2(v)) Vv £ V,

Ti = (2 - a) + (a - 1)t, t £ (0;2), (4)

Tk £ (0; 2e_i), k £ N\ {1} ; VUo £ Va С V, a = 1, 2.

Теорема 1. Для итерационных процессов из (4) имеют, место следующие оценки

< Va ||й° - й||т> ,k £ N,a = 1, 2.

р — a II ИТ/ ) ) )

Вестник ЮУрГУ. Серия «Математическое моделирование 139

и программирование» (Вестник ЮУрГУ ММП). 2015. Т. 8, № 2. С. 138-142

к

йк й

A.J1. Ушаков

I\Uk - и

v <......V

k

uk — и

„ ,a = 1, /

где

0 < £a < ((2 - а)5г + (a - 1)qi) qk-i, Si = \jH^iHv/ - 1, WI - IiWv , 0 < qi =max {|1 - тßl| , |1 - r\) , т & (0;2), 0 < q = max{|1 - Tßi\, |1 - тр2\ } < 1,т & (0; 2ß-i).

Здесь I оператор тождественного преобразования из V в V. Если a = 2 и Ti = т = 2/(1+ ßi), то qi = (1 - ßi)/(1 + ßi). ЕслИ тк = т = 2/(ß2 + ßi), то q = ß - ßi)/(ß2 + ßi), k & N\ {1} . 4. Дискретизации фиктивно продолженных задач. При дискретизации задач из (3) будем дополнительно предполагать, что

( dv 1

V = V(Q) = {V & WI(Q) : «|г0иri =0,dn IreUГ2 = ,

где область Q = (0; bi) х (0; b2), с границами Го = 0, ri = {bi} х [0; b2] U[0; bi) x {b2}, s = Гi U Г2, Г3 = 0, s = dQ, bi, b2 & (0; +rc>), т.е. рассматриваются задачи, решение которых изучалось уже ранее в [2]. Предлагается рассмотреть на основе метода конечных элементов системы линейных алгебраических уравнений, получающихся при дискретизации задач, предложенных в (3),

Ви = д. (5)

Здесь и & RN, д & RN. Пусть V & RN: V = (vi, ...,vN)', N = m • n, m, n& N a vn(i-i)+j = Vij, i = 1,...,m, j = 1,...,n, и Vi,j являются значениями функции дискретного аргумента, соответствующего узлам сетки (xi,yj) = ((i - 0, 5)hi, (j - 0, 5)h2), шаги сетки hi = bi/(m + 0, 5), h-2 = b2/(n + 0, 5), состоящей из указанных выше узлов. Матрица В размерности N х N

(Ви, V) = Л^у^Ьь) + Л2(и, V) Vu, V & V С V,

а векторы д определены (д, V) = gi(IiV) + g2(V) для любого V & Здесь (•, •) - скалярное

N

произведение векторов, причем (и, V) = ^^ икVkhih-2 для любых u,V & RN. Подпространство

k=i

m n

V = < V : V = ^^ьг,3Фг(х,у),ьг,э £ И,С V,

[ г=13=1 )

где базисные функции

Фг 3(х, у) = Ф1 ,г(х)Ф2 (у), Ф1 ,г(х) = Е(1/г)Ф(х/^ - г + 3)+Ф(х/^1 - г + 2)-Е(г/т)Ф(х/Л,1 - г),

Ф2 (у) = Е(1/^)Ф(у/^2 - 3 + 3)+Ф(у/^2 - г + 2)-Е(3/п)Ф(у/^ - 3),г = 1,..., т,3 = 1, ...,п,

( 0, 5г2, г £ [0; 1],

Ф(г) = < -г2 + 3г - 1, 5, г £ [1;2], [ 0, 5г2 - 3г + 4, 5, г £ [2;з] ,

Ф(г) =0 , г £ [0; 3], Е(•) - целая часть числа. Будем предполагать, что оператор 1о просто обнуляет все коэффициенты Уг^ у базисных функций Фг'3 (х,у), носители которых имеют не пустое пересечение с границей Б, т.е. с границей (частью границы области), через которую осуществляются продолжения задач и их решений. Введем в рассмотрение подпространства

= {Уг2 £ V : Vг2 | П\П. = ^ , г = 1, 2.

Пусть У/о = У1 ф У4 прямая сумма подпространств У*2, г = 1, 2, в скалярном произведении Л(^, •). Подпространство

Уз = {Уз € V : Л(ьз,ьо) = 0 УУо € '^о}

т.е. V = Уо ф Уз в скалярном произведении Л(^, •), а через Уо € У, Уз € V обозначены проекции У на соответствующие подпространства. Введем следующие подпространства: У8—з* = Уз ф У*2, г = 1, 2, тогда имеет место У = У1 ф У2. Замечание 1. Имеют место следующие неравенства

3у1 € (0; 1] 3^2 € [А; 1 : в1Л(Уз,Уз) < Л2(Уз,Уз) < у2Л(уз,Уз) УУз € Уз-

5. Модификации методов фиктивных компонент на дискретном уровне. Предлагаются итерационные процессы вычислений деформаций пластин на дискретном уровне

йк € у: Л(йк - йк-1,У) = -тк(Л1 (йк-1,11 У) +Л2(йк-1,У) - д^ЬУ) - д2(У)) УУ € у,

П = (2 - а) + (а - 1)т, т € (0;2), (6)

тк € (0; 2У-1), к € {1} ; УУо € Уа С У, а = 1, 2;

модификации методов фиктивных компонент на матричном уровне

ик € : Л(ик - ик-1) = —тк(Вик-1 - д),

т1 = (2 - а) + (а - 1)т, т € (0;2), (7)

тк € (0; 2/3-1), к € М\ {1} ; Уио € Уа С , а = 1, 2,

У1 = {У1 € У : у € У1} , У2 = {У2 € У : Л(у2,У1) =0 Уу € У^} ,

Уа С - подпространства, соответствующие подпространствам Уа, а = 1, 2, а матрица Л размерности N х N определяется {Ли, У) = Л(У, У) для любых У, У € У С У/-

Замечание 2. Если предполагать, что оператор Дпросто обнуляет все коэффициенты Угз у базисных функций Фг'3(х, у), носители которых имеют не пустое пересечение с П\П1, то в (6), (7), в оценках относительной погрешности может появиться зависимость от шагов сетки

3с € (0 + ж): 61 = ^\\I1Wl - 1, У1 - ИУу < с\Н\-з/2 , \Н\ = ш\п {^М} -

Замечание 3. Если в (6), (7), а = 2 и т1 = т = 2/(1 + в), то д1 = (1 - в1) / (1 + в1)-

Если в (6), (7) тк = 2/02 + в), то д = 02 - У1)/02 + У1), к € М\ {1} . Вывод. При решении задач, возникающих на каждом шаге итерационных процессов из (7) можно использовать метод итерационных факторизаций из [2]. Для решения задач из (5) с N неизвестными (шаги сетки одного порядка) по предложенным итерационным процессам из (7) требуется, если а = 1 те более чем О^ 1п N 1п2 е-1) арифметических операций, если а = 2 не более чем О^ 1п2 е-1) арифметических операций. Для выбора итерационных параметров тк не требуется знания констант (31, (32- При выборе этих параметров можно использовать известные вариационные методы и рекомендовать, при а = 1 со второй ите-

а=2

поправок.

Вестник ЮУрГУ. Серия «Математическое моделирование 141

и программирование» (Вестник ЮУрГУ ММП). 2015. Т. 8, № 2. С. 138-142

A.J1. Ушаков

Литература

1. У А.Л. Модификация метода фиктивных компонент / А.Л. У IIIciKOBI Челяб. гос. техн. ун-т. - Челябинск, 1991. - 40 с. (Деп. в ВИНИТИ 11.11.1991, .V'!232-1И991 )

2. Ушаков, А.Л. Итерационная факторизация на фиктивном продолжении для численного решения эллиптического уравнения четвертого порядка / А.Л. Ушаков // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математика, Механика, Физика. - 2014. - Т. 6, №2. - С. 17-22.

Андрей Леонидович Ушаков, старший преподаватель, кафедра «Дифференциальные и стохастические уравнения:», Южно-Уральский государственный университет (Челябинск, Российская Федерация), ushakov_al@inbox.ru.

Поступила в редакцию 27 января 2015 г.

MSC 65N85 DOI: 10.14529/mmpl50213

About Modelling of Deformations of Plates

A.L. Ushakov, South Ural State University (Chelyabinsk, Russian Federation),

ushakov_al@inbox.ru

Of concern are the elliptic boundary problems of the fourth order which are underlying in mathematical models of deformations of plates on the elastic bases under the mixed boundary conditions of four theoretically possible types. Replacements of these problems in a variation form to their fictitious continuations are proposed. Solutions of the last problems by means of modifications of fictitious components methods are reduced to solutions of problems in a rectangular area. Optimum estimates of convergence of iterative processes at the continuous level are given. At simple sampling of fictitiously continued problems by method of final elements on parabolic completions, effective numerical modifications of fictitious components methods turn out to be suitable for practical realization on the computer. The received systems of linear algebraic equations can be optimally solved by means of iterative factorizations methods. As a result the proposed numerical methods are log-optimal or optimal by number of arithmetic operations necessary for achievement of set relative errors.

Keywords: deformations of plates; fictitious continuations.

References

1. Ushakov A.L. Modifikaziya metoda fiktivnykh komponent [Modification of a Method of Fictitious Components (Depp, in VINITI 11.11.1991, no. 4232-B1991)]. Chelyabinsk, Chelyabinsk State Technical University, 1991. 40 p.

2. Ushakov A.L. [Iterative Factorization on Fictitious Continuation for the Numerical Solution of the Elliptic Equation of the Fourth Order]. Bulletin of the South Ural State University. Series: Mathematics, Mechanics, Physics, 2014, vol. 6, no. 2, pp. 17-22. (in Russian)

Received January 27, 2015 g.