CC BY
31
УДК 519.63
ИТЕРАЦИОННАЯ ФАКТОРИЗАЦИЯ
НА ФИКТИВНОМ ПРОДОЛЖЕНИИ ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ЧЕТВЁРТОГО ПОРЯДКА
А.Л. Ушаков1
Рассматривается эллиптическое дифференциальное уравнение четвёртого порядка при смешанных краевых условиях. Его численное решение с помощью итерационной факторизации на фиктивном продолжении сводится к решению систем линейных алгебраических уравнений с треугольными матрицами, в которых количество ненулевых элементов в каждой строке не более трёх.
Ключевые слова: итерационная факторизация, фиктивное продолжение.
Введение
Рассматривается эллиптическое дифференциальное уравнение четвёртого порядка в прямоугольнике со сторонами, параллельными осям координат, на двух смежных сторонах прямоугольника заданы условия шарнирного опирания, а на остальной части границы условия симметрии. Для дискретного аналога этого уравнения в виде систем линейных алгебраических уравнений приводится факторизованный предобуславливатель квадратно попеременно треугольного вида. Исходная задача может быть получена в методах типа фиктивных компонент при решении эллиптических дифференциальных уравнений четвёртого порядка в плоских областях достаточно произвольного вида при однородных главных или естественных краевых условиях.
Малые деформации тонких пластин на упругом основании
Из линейной теории изгибания тонких пластин на упругом основании, основываясь на [1, 2] энергия деформированной пластины может быть записана в виде
е (и)=-2 в | ((Дй)2 + 2(1 - (г)(й2ху - йххйуу ))й п+-21 кй2 а п -1 Рйй п,
2 п 2 п п
где Р - давление, К - коэффициент жёсткости упругого основания (К = 0 в случае отсутствия упругого основания), В = ЕИ3/(12(1 -с2)) - цилиндрическая жёсткость пластины, И - толщина пластины, Е - модуль Юнга (модуль растяжения), с - коэффициент Пуассона (отношение поперечного сжатия к продольному растяжению), п - плоская область, й - искомое смещение. Если приравнять к нулю вариацию энергии
дЕ(й) = В | (ДйДу +(1 - (Т)(2йхуїху - - йууїхх ))йп + | п - | р:ї(іп = 0,
п п п
где V = 8'й , то при а = К/В, / = Р\В получается, что
| (сДйДУ + (1 - с)(йхх^хх + 2йху^ху + йуу^уу ) + айV )ап = \ рйп .
п п
После интегрирования по частям устанавливается
| (Д2й + ай)уйп +111й-1 l2йvds = | рйп , п 5 5 п
где
llU = AU + (l - о)nln2Uxy - Г&ж - n\Uyy ■.
, - дДН д , - . , 2 2ч- ч
= т + _ ds ^1^2 (uyy - uxx ) + (nl - n2 ) Uxy ) ,
s = dQ, n1 = -cos(n,x), n2 = -cos(n,y).
1 Ушаков Андрей Леонидович - старший преподаватель, кафедра дифференциальных и стохастических уравнений, Южно-Уральский государственный университет.
E-mail: ushakov_al@inbox.ru
2014, том 6, № 2 17
Таким образом, возможно рассмотрение краевых условий жёсткой заделки, шарнирного опи-рания, симметрии и свободного опирания в отдельном или смешанном виде.
Непрерывная рассматриваемая задача в вариационной и классической постановках
Рассматривается задача
щ є^: Л(й, V) = Цф) "V є^, й єУ{, (1)
где соболевское пространство функций
дп
на области О-(0; 61) X (0; Ь2), с границами Г1 -{Ь1}х [0; Ь2] и [0; Ь1] х{Ь2}, Г2 -Г\Г^ Г-дО, билинейная форма
^ - | (&ЩА^1 +(1 - + 2.^^ + и1ууУ1уу) + аг?1 ^ )ёО,
О
при этом а - а1 на области О1, а - а2 на О\О1, области О1, О2: О - О1 и О2, О1 П О2 - 0. дО1 П дО2 Ф 0 , заданы константы о є (0;1), ЬГ, Ь2 є (0; +¥, аГ, а2 є [0; +¥, а1 < а2 .
Можно отметить, что
V - V!(О) -^1 є^2(О): V|Г -0,Г2 -0
$с1’ с2 е( о; +¥): сх| КЦп) £Л(г1 ^£ с21 КЦй) "* еК1’
а, следовательно, решение задачи (1) существует и единственно. Если щ - искомая, а /1 - заданная достаточно гладкая функция и
& (*)=СЛ, ^, где (/1, *1) = | &1й п, п
то из задачи (1) получается неоднородное бигармоническое уравнение со свободным членом при смешанных и однородных краевых условиях
дщ\ - дДи1 і -,
Д и1 + ащ — ^, и1 |Г1 — Д^1 |Г1 — 0, |г2 _ |г2 _ °. (2)
Дискретная аппроксимация рассматриваемой задачи
Производится дискретизация задачи (1) по методу конечных элементов на параболических восполнениях:
«1 е V с Ц : Л(г?1,*1) — &х(л?1) "* е Ц с Ц. (3)
Рассматривается система линейных алгебраических уравнений, соответствующая задаче (3):
«1 е Мм : Лй1 — &1, &1 е М^, (4)
где *1 е МN: *1 — (*1,1,...,*1,^)', N — т • п, т , п е N , а *1,и(г_1)+у — *и,/, » — 1,...,т , / — 1,...,п , и *и,/ являются значениями функции дискретного аргумента соответствующего узлам сетки (х»,.У/) — ((» - 0,5)^1, (/ - 0,5)*2), ?, / е Ж , шаги сетки й1 — Ь1/(т + 0,5), й2 — Ь2/(п + 0,5), состоящей из указанных выше узлов, а матрицы Л размерности N X N, определяются следующим образом:
(Лм1, *1) —Л(г?1, г\) "г?1, * е Ц с , здесь (.,.) - скалярное произведение векторов следующего вида:
N
{u1, *1) — («1, *1)^1^2 — ^ и1,к*1,к\^2 "«1, *1 е М , к—1
а подпространство Ц с Ц определяется так, что
{ т П I
*?1: *1 — ЕЁ*и,/фг,у (хУ^*1,»,/е М,|,
где базисные функции
Ушаков А.Л. Итерационная факторизация на фиктивном продолжении для
численного решения эллиптического уравнения четвёртого порядка
Fi,j(x,y) = Yu(x)Y2J(y), Yu(x) = E(1/i)Y(x/h1 -i + 3) + Y(x/h1 -i + 2)-E(ilm)Y(x/h1 -i),
Y2,J (y) = E(V j)Y(y/h2 - j + 3) +Y(y/h2 -i + 2)-E( j/n)Y(y/h2 - j), i = 1,...,m , j = 1,...,и ,
" 0,5z2, ze [0;1],
Y(z) = J-z2 + 3z-1,5, ze[l;2],
0,5z2 -3z + 4,5, ze[2;3],
Y(z) = 0, zg[0;3], E(.) - функция целая часть числа, компоненты вектора g1 определяются следующим образом:
g1,«0-1)+j = g1,i,J = h1-1h21 g1(Fi,J(xУ)), i = I...m , j = и,n , т.е. (gl,vi) = ,£Г1 (’V51), "*1 е^. Отметим, что решение задачи (4), как и (3) существует, единственно и известны оценки типа
1. К-й1 W(W)£сИ кЫW(W),
2. lirn|\й1 -й1 ||W2(W) = 0, h = (h1,h2), |h| = max{h1,h2} .
Фиктивное продолжение дискретной решаемой задачи и её решения
Выбирается фиктивное продолжение дискретной решаемой задачи из (4)
йe М2N : Du = g, ge M2N , g2 = 0, (5)
где векторы
v e М2N : v = (v ', v ')',
V 1 ’ 2 ' ’
блочная, нижнетреугольная матрица D размерности 2N X 2N такова, что
D11 = L , D12 = 0 , D21 = 6A , D22 = Мв ,
матрицы
6a = Aq+qA, Mq= a2-q2, q=V/Vy-V/Vx, a=V/Vx +V/Vy,
а матрицы Vx, Vy размерности N X N определяются следующим образом (a = 1,2):
m n
(V xйa, va)= ZZ (-(«a,i+1, j - Ua,., j Ж\,, j ЖК Ua,m+1, j = va,m+1,j = 0 j = 1,..., П
i=1 J =1
*«) — (-(«а,»,/+1 -«а,,,/ УъЧ,»,/ )h1h2, «а,»,п+1 — *а,,,п+1 — 0, » — 1,...,т.
,—1 / —1
Введём подпространства векторов:
К—{* — (*/, )’ е М2N : 5^*1 + М о*2 — 0}, Ц —{* — (*', *')’ е М2N : у; — 0}.
Утверждение 1. Решение задачи из (5) и — («1’,«2)/е У1 существует, единственно и и1 - решение задачи из (4).
Итерационная факторизация на фиктивном продолжении дискретной решаемой задачи
Определим блочную матрицу С размерности 2N X 2N такую, что
С11 — С22 — Мв , С12 — -5А , С21 — 5А .
Для решения задач из (5) предлагается итерационный процесс:
йк е М^ : С(йк - «к-1) — -тк (Ьйк-1 - &), тк > 0, к е N "й° е¥1. (6)
Заметим, что в итерационном процессе из (6) возникают задачи с факторизованным оператором следующего вида:
ие ^: (ЬЬ*)2й — в , ве СN, при этом возможно расщепление на более простые задачи
И е СN , ЬН — в, в е СN,
Же ^ , ЬЖ — И , И е ^ ,
б е , ьб — ж , ж е ,
и е , ьи—д, д е cN,
где матрицы Ь и Ь* удовлетворяют следующим соотношениям (ё2 — -1):
ь — Ух'-ёУ У, Ь — Ь — Ух + ёУ у, ьЬ — (V /- ёУ у' )(у х + ёу у) — А + ёв,
(ЬЬ )2 — (А + ёв)2 — Мв + ёвА
тогда
(Мв + ёвА)(« + ё«2) — & + ё&2,
что равносильно системе:
Г М5м; -вАы 2 — &1, « + ё^ — й,
+ Мв« 2 — ^ & + ё&2 — в и действительно на каждом шаге итерационных процессов из (6) возникают задачи типа
с« — &, и — («1, «2)’, &—(&', &2)’.
Утверждение 2. Если в итерационном процессе из (6) $к е N : м -1 — и , то и и — м .
Пусть йк — м + ук, "к е N и {0} .
Утверждение 3. Для итерационного процесса из (6) выполняется
вАук + Мву2 — (1 - тк) (вАу1к-1 + М5у2;-1), "к е N , ук е Ц "к е N и {0}.
Замечание 1. Имеют место неравенства
$с1, с2 е (0; +¥): с1Мв < Л < с2Мв [3, 4].
Утверждение 4. Имеет место равенство
{ду, у)— {Мв¥1 , У) -{Мв¥2 У2) " У е ^,
2N
где также (и,— (м,v)h1h2 — ^ukvkh1h2 "«,* е .
к—1
Доказательство. Учитывая, что
вАУ1 + МвУ2 — ^ вА — -вА ,
получается
(Су у) — (МвУ1, у) - (в^ У) — (МвУ , У) +
+ (У2вАУ1 ) — ^вУУ) -(МвУ2У2) .
Предположение 1. (О фиктивном продолжении действительной части на мнимую часть) Имеет место неравенство
$а2 е (0;1): (МвУ2,У2) <а2(МвУ1,У1) "Уе^.
Можно отметить ( 7 — (1 - а2 )-1 или а2 — 1 - 7_1 ), что
$7е (1; +¥): (МвУ1,У0<г(сУ,У) — г((Мв¥1,¥1)-(МвУ2,У2>) "Уер^
т.к. матрица Мв > 0 потому, что "у Ф 0
(МвУ1, У) — (( а2 - ^У^ У)— (а2Уъ У) - (^Уъ У) — ( AУl, АУ1 >+(вУl, вУ0 > 0
и матрица С > 0 , в нашем случае при Уе Ц , т.к. выводится, что
( СУ, У) — (МвУ1, У1) - (ваУ2,У1) — ((А2 - в2)У, У1) - ((Ав + вА)У2, у) —
— (Ау)2 + (ву1)2 -(ву2,Ау;) + (Ау2,ву) — (Ау; -ву2)2 + (Ау2 + ву)2 > 0, "у Ф 0 , последнее потому, что (VX -ёУУ)(Ух + ёУу)(У; + ёу2) Ф 0 "у Ф 0 .
Также можно отметить, что для уеР1, т.е. для функций из соответствующего подпространства
Ушаков А.Л. Итерационная факторизация на фиктивном продолжении для
численного решения эллиптического уравнения четвёртого порядка
ЭЛ~2 е (0; +¥): 0< (МвУ2,У2) — (М-ЧУ^аУ) <(А_2влУ,влУ1) —
— ((в + А~1вА)у1,(в + А~1вА)У1) < 2(ву1,ву1) + 2 (А~1вАу1, А~хвАу^ <
< 2(ву1, ву1) + 2Л~2 (вАу1, вАу1) < 2(ву1, ву1) + 21_2 (в(р1,в(р1) ® 0 , при \,h2 ® 0, где Л — Ау; , т.е. (МвУ2,У2) ® 0, у2 ® 0 , при h2 ® 0 , т.к.
ву1 — (У/уу -Уу'Ух )у1 ® 0 вЩ1 — (Ух'Уу -УУУх)Щ ® ^ при Кh2 ® 0,
по формуле Тейлора, если Щ, у - дискретные аналоги достаточно гладких функций. Утверждение 5. Имеют место неравенства
С1(су,у<(Ъуу<гс2(сСуу), "УеЦ1.
Доказательство. Заметим, что
с; (су у — с; ({МвУ1 , У ) {М вУ2, У2 >) < С1{МвУ1 , У ) < (Л Уl, У1) — (ПУУ) .
С другой стороны,
ус^Су,у — ус2 ((МвУ1 У1) -{МвУ2 У2^ ^ 7^ (1 - а2)(МвУ1 , У ) ^{ЛУУ)—( ЩУ) .
Утверждение 6. Если в итерационном процессе из (6)
Тк — Т — 2(с1 + Ус2 ) и Я — (7с2 - + С1),
то
(сукук)<Я2(Сук-1ук-^, ке N .
Доказательство. Из итерационного процесса получается, что
с(Ук - ук-1) — -чЗук-1, У — тук-1, т — е - тс_1^3, т—т' > 0,
тогда
(сту,ту)
сук ,ук) - (стук-1, гук-м <
8ир ________
ує^і {Су,у
сук-1,ук-1
: 8ир
уєя
-и
СТу,у Су,у
сук-1, ук-1
-и
( С -тіТ)у,у
Су,у
сук-1, ук-1
: 8ир
уєЯ
1 -т
_____\Л
іу,у
Су,у
Введём норму
(сук-1, ук-1) - тах{(1 - т^)2, (1 - ус2)2} (Сук-1, ук-^ - д2 {дук-1, ук-1).
N1л-^, .
Теорема 1. В итерационном процессе из (6), при тк — т — 2/(с; + ус2), ке N, будет
и1к - и1
<е
и и
где
0 <є<4ус2і с1чк.
Доказательство. Из утверждения 5 получается
ук
-{Лук,ук) <ус2ІСук,ук) <ус2д2к (Су0,у0) <
< (УС2Іс^Ч2к (Лу0,у°)- (ус2Іс^д2к
у0
Вывод. Учитывая вид матриц Ь, Ь, можно отметить, что для решения задачи из (4) с N неизвестными, на основании приведенной теоремы 1, предложенными итерационным процессом из
2
2
2
Л
Л
2
Л
(6) с относительной погрешностью е , требуется не более чем 0(N 1пе_1) арифметических операций. Для выбора итерационных параметров тк не требуется точного знания констант 7, с1 и с2 , т.к. для ускорения сходимости итерационного процесса из (6) можно использовать известные вариационные методы и рекомендовать, например, метод скорейшего спуска.
Литература
1. Ландау, Л. Д. Теория упругости / Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. - М.: Наука, 1965. - 204 с.
2. Оганесян, Л.А. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений / Л.А. Оганесян, Л.А. Руховец. - Ереван: Изд-во АН АрмССР, 1979. - 235 с.
3. Ушаков, А.Л. Модификация итерационной факторизации для численного решения двух эллиптических уравнений второго порядка в прямоугольной области / А.Л. Ушаков // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математика. Механика. Физика». - 2013. - Том. 5, № 2. - С. 88-93.
4. Ушаков, А.Л. О приближённом решении одной эллиптической краевой задачи четвёртого порядка / А.Л. Ушаков. - Челябинск: Челябинский государственный технический университет, 1997. - 30 с. (Деп в ВИНИТИ 21.04.97, № 1346 - В97).
Поступила в редакцию 21 февраля 2014 г.
Bulletin of the South Ural State University Series “Mathematics. Mechanics. Physics” _________________2014, vol. 6, no. 2, pp. 17-22
ITERATIVE FACTORIZATION ON FICTITIOUS CONTINUATION FOR THE NUMERICAL SOLUTION OF ELLIPTIC EQUATION OF THE FOURTH ORDER
A.L. Ushakov1
The elliptic differential equation of the fourth order is considered under the mixed boundary conditions. The numerical solution is reduced to the solution of the system of linear algebraic equations with triangular matrices, in which quantity of nonzero elements in every line is less than three, by means of iterative factorization on fictitious continuation.
Keywords: iterative factorization, fictitious continuation.
References
1. Landau L.D., Lifshits E.M. Teoriya uprugosti (Theory of Elasticity). Moscow, Nauka Publ., 1965. 204 p. (in Russ.).
2. Oganesyan L.A., Rukhovets L.A. Variatsionno-raznostnye metody resheniya ellipticheskikh uravneniy (Variational-difference methods for solving elliptic equations). Erevan: AN ArmSSR Publ., 1979. 235 p. (in Russ.).
3. Ushakov A.L. Modifikatsiya iteratsionnoy faktorizatsii dlya chislennogo resheniya dvukh ellipticheskikh uravneniy vtorogo poryadka v pryamougol'noy oblasti (Updating iterative factorization for the numerical solution of two elliptic equations of the second order in rectangular area). Vestnik YuUrGU. Seriya “Matematika. Mekhanika. Fizika”. 2013. Vol. 5, no. 2. pp. 88-93. (in Russ.).
4. Ushakov A.L. O priblizhyennom reshenii odnoy ellipticheskoy kraevoy zadachi chetvyertogo poryadka (An approximate solution of elliptic boundary value problem of fourth order). Chelyabinsk: Chelyabinskiy gosudarstvennyy tekhnicheskiy universitet Publ., 1997. 30 p. (in Russ.).
Received 21 February 2014
1 Ushakov Andrei Leonidovich is Senior Lecturer, Differential and Stochastic Equations Department, South Ural State University.
E-mail: ushakov_al@inbox.ru
