Моделирование итерационной факторизации для эллиптической краевой задачи второго порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.63

МОДЕЛИРОВАНИЕ ИТЕРАЦИОННОЙ ФАКТОРИЗАЦИИ

ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

АЛ. Ушаков

Эллиптическая задача второго порядка в прямоугольной области при определенных краевых условиях с помощью методов сумматорных тождеств и итерационной факторизации сводится к системам линейных алгебраических уравнений с треугольными матрицами, в которых количество ненулевых элементов в каждой строке не более трех. Повторяющаяся факторизация оператора, энергетически эквивалентного оператору приближенной решенной задачи, обозначается в данном случае как моделирование интеграционной факторизации, так как оператор исходной задачи не факторизуется точно.

1. Введение. В статье рассматривается эллиптическое уравнение второго порядка в прямоугольнике со сторонами параллельными осям координат при этом на правой и верхней сторонах прямоугольника задано главное краевое условие, а на остальной части границы задано естественное краевое условие. Для численного решения рассматриваемой задачи предлагаются варианты итерационного процесса, использование которых дает убывание ошибки в энергетической норме за каждую итерацию не менее чем в два раза. На каждом шаге итерационного процесса возникают две системы уравнений с нижне- и верхнетреугольными матрицами, в которых количество ненулевых элементов в каждой строке не более трех. Указываются варианты решения последних систем, когда счет по производным формулам устойчив. Таким образом, найдена и указана чистая задача для эллиптического уравнения второго порядка, которая после аппроксимации по методу сумматорных тождеств не факторизуется, но имеет факторизующийся переобуславли-ватель наиболее естественной конструкции, как, например, в попеременно треугольном методе.

2. Непрерывная задача второго порядка. Рассматривается задача:

ueW:Л(u,v) = C(v)VveW,CeW^, (1)

где

Ж = ЩП) = (у е И^(О) :у|Г1 =о|,

0 = (0,6,)х(0,А2), Ь1,Ь2е(0,оо), т.е. исследуется задача в прямоугольной области,

Г1 = {б1}х[0,г>2)у[0,г>1]л:{А2}

и билинейная форма

Л(к,у)= |(ыл +иууу +сиу)с1П, се[0,оо). а

Заметим, основываясь на [ 1,2], что

3с1 с2 е(0,°о): с, |М£,(П) <А(и,и)<с2 ||у||^(П), VveW

следовательно, решение задачи (1) существует и единственно [1,3].

Можно отметить, что при достаточно гладком решении задачи (1), как следствии, например, того, что, если

/(У)= \fvdCl, п

где/- достаточно гладкая функция, имеем (Г = сЮ):

\(их ух -иу уу +сиу)сЮ. = п

= ^(-иххУ-иууу+сиу)сЮ.+ п

+ 1(их УСОЯ(п,х) + иу УСОБ(й, у)^(ІГ =

Г

предыдущее равенство имеет место, т.к. [1]

Уг йО, = - у*Ю+ §1¥УС05{п,г)йГ,г = х,у

п п

= ІС-м^ -иуу + си)\йО.+ |—уйГ2 = |/ усЮ. а г2 ^ п

таким образом, задача (1) при сделанных выше предположениях представляется в следующем виде (Г2=Г\Г1)

-Ли + си = -и 2-м 2+см = /,

Xі у1 ’

и/Гх=Аг2=0.

ап

3. Дискретная задача второго порядка. Рассматривается система линейных алгебраических уравнений, получающихся при дискретизации задачи (1) на основе метода сумматорных тождеств [4-8]

и є :Аи=1,

где

при этом считается, что

уєК^ :У = (У].= тп,т,пєЩ,

(2)

=1 .-.и,; = 1-,п,

ау, у являются значениями функций дискретного аргумента соответствующего узлами сетки

(*».?/) = ((*—0,5)Л(|,О' “0,5)^2), г, у е г,

/?!=&) /(т + 0,5),^ = Ь21{п + 0,5) шаги сетки, состоящей нз указанных выше узлов сетки, а матрица размерности ЫхЫ, определяемая следующим образом:

___ т п

(Ли,у)=- ии)(ч+и - \]Ж2 +

/=1 ]=\

+0*и+1 ~ииУУи+1 +£|%/у)^>

мг',л+1 —уг',и+1 ~ Vm+l,j = ®>j ~

здесь (.,.) - скалярное произведение векторов следующего вида:

N

(и, у) = ^ГиуУуй^Х/к.у е ,

7=1

и вектор / определяется по функционалу/(■) с учётом краевых условий. Отметим, что Л > 0 и, следовательно, решение задачи (2) существует и единственно.

Задача (2) может быть записана в следующем виде:

Ом -Щ-и -Щ+иЖ2+(2ии —»/,;+хЖ2 +

+сии =/,•._/,* =1,-у =1 ,...,п,и10=иц (3)

«/,«+1 =0,1 = 1,...т,и0] =м1у,мт+1у =0,7=1,...,«.

Можно заметить, что при достаточной гладкости решения задачи (2), например, при

1и = \/§(хпУ^а ~ п

задача (3) аппроксимирует задачу (2) со вторым порядком.

4. Решение дискретной задачи второго порядка Утверждение 1. Если для матриц QJ,j = 1,2 имеет место неравенство

то тогда выполняются и неравенства

2) е2>о,а'>о, з )е2*а'>о,

4) (02х0.')'>О,

5)е2*а'+(е2ха')'>о.

Доказательство. 1) =>2)=>3)=>4)=>5) см., например, [9].Определим матрицы Ух,Уу размерности Л^хЛ^

__т п

(Ухи>*)=££(-(м/+и ~ииЖ1)\А^

/=1 &

__т п

(Уу,и,у)=^^<Ч^\~ииЖ1)\А^

1=1 м

Щ,п+\ — у/,и+1 — — 1, — ут+1,у = =

Дополнительно введём матрицы: V,,/ = 1,2 размерности рхр, где р = (2-])т + (у- 1)и, которые связаны с предыдущими матрицами следующим образом:

Здесь Еп Ет единичные матрицы размерности их» и /их/и соответственно.

Утверждение 2. Имеют место следующие отношения:

1)У; + У;с = £ихУ'1+(£„хУ;у>0,

2) У^ + У^=У2х^+(У2х^)'>0,

3) у;у,+у;ул=у2 х у;+(у2 х у; у > о.

Доказательство. Следует из утверждения 1. Определим матрицу и при уе (0,8), й е[0,8):

_ _ т п

(ии,ГV) = ££к-(и,+и-»и)К' -(«/,;+1 ~ииЖ1 +

'=1 7=1

+Л*и)уИУмц-Уи)^х ~(уи+1 + еЬ>и)И1к2,

М(,и+1 — У;>+1 = = Ъ'">т>Нт+\ц = = ®»У = 1»-"9И-

Возьмём матрицу Л:

А = А-сЕ.

Здесь и далее Е = Еп обозначает единичную матрицу размерности N х N. Можно отметить, что

£/ = Г(У, + У,+</е),

А = у.

Утверждение 3. Имеют место следующие оценки

(2+зёп £о-1 у~2и’и <а+агЕ < у~2и’и.

Утверждение 4. Для спектральной задачи

Л:Аи = Лу,у*0.

собственные числа имеют вид:

. . л j-2 • 2 (2/ — 1)я-/1, ., _2 . 2 (2у — 1 )л}и . . . ,

Л,о-1)+/ =\j = Ah\ sm---------------------+4hfsm ^—^—— = = \,...,n

при этом

-2 „:„2 , а Ь-2 „;„2 ^

О < min Лк= Л[- 4Af sin —3- + 4AJ sin ,

k—\y„,N 4 4Z>2

max Ak = AN = 4hi2 cos2 + 4K2 cos2 < oo.

*=i.iv * * 26, * 2Z>2

Доказательство. Вычисления указанных собственных чисел проводятся аналогично [6]. Утверждение 5. Имеют место оценки

1) К(Л, )(А + d2 Е) <А< К(А„)(А + й?2Е), c<d2,

2) К(Ддг)(А + й?2Е)< А < К ( Aj ) (А+d2E),d2 йс,

где: К (Л) = (Л+с%Л+d2)~1.

Доказательство. Ввиду [6,10,11] имеем:

min К(Лк)<>----------—^’V)_ _ < max K(Ak),v* 0.

*=i n ((A + d2E)v,v) at

При c<d2(d2 <с наоборот) К'(А)>0, т.е. функция К (А) возрастает в широком смысле и её

минимум и максимум при Ае[А,;,Ад,] достигается, соответственно, когда Л = ЛХЛЫ Легко ви-

О ’S

деть, что при d -с 1) и 2) выполняются, обращаясь в равенства.

Пусть величины Cl(d),C2(d) такие, что 0 < Cx(d) < C2(d) < со и

Cx(d)U'U^A<C2(d)U'U.

Утверждение 6. Cx(d),C2(d) могут быть вновь выбраны в следующем виде:

С, {d) = (2 + sgn d)~l y~2K(A^ ),c<d2,

C\(d) = (2 + sgndTxy-2K^N),d2 <c, c2{d)=y-2mN\c<d2,

C2(d) = y~2K(A,),d2 < c.

Доказательство. Следует из утверждений 3 и 5.

Утверждение 7. Если 2AN -ЗА, < 0 или 2Лм-ЗА, > 0,с < Л[ЛМ/(2AN -ЗА,)то

1^ Cx(d) С,(0) A,(A*+c) ^ 1

-< max - . = 1 = 1 п——<—,

3 dko,«>)Cx(d) С2(0) 2 Ад-(А, +с) 2

если 2Ад, -ЗА, >0,А,Ад,/(2AW-ЗА,)<с, то

de[0,co)C2(d) С2(\1с) 3 Утверждение 8. Величина Cx(d), в частности, может быть выбрана в следующем виде:

y~2\ /(2Aj + 2лДЛ^ + d + d2),c = 0,0 < d < оо, у~\Лы + с)/(2Адг + 2-^2A^d + б/2),

0^f/<min{c-y/2A^1,>/c}.

Утверждение 9. Если 2AW - ЗА, < 0 или 2АДГ-ЗА1 > 0,с < А[АМ1{2ЛЫ -ЗА,),то (здесь С, (г/) из утверждения 8):

I< sup C,W С,(0) А,(Адг + с) 1

3 ^€(о,оо) C2{d) С2(0) 2Адг (А, +с) 2

Доказательство. Следует из утверждений 7, 8.

Утверждение 10. Величина Сх(с1), в частности, может быть выражена в следующем виде:

Сх{(1) = у~2\ /(2Л) + 2^2Ахс1+ Л2), с = 0,0 < ^ < оо,

Сх((1) = у-2/3,с>0,а = ^с.

Доказательство следует из утверждений 8 и 3.

Введём норму

Нл =>ЛАу>у)-

Рассматривается итерационный процесс:

.-*-1

и еЖ":и'Щи -и~Х) = -тк{Аи' -/), к = 1 ,...,К,Ке М,\/й° е Ж*,тк = 2(С1(<0 + с2(с!)).

(4)

Используется следующая оценка сходимости и к и:

\\-к -\\и -и

-о -и -и

,КеЖ

При этом

С2(с1)-С^к (

1 -сх{Я)1с2{а)

[\ + Сх{с1)1С2(<1))

С2(<*) + Сх(с1)]

Итерационные параметры тк в (4) можно выбирать и на основе вариационных принципов. Заметим, что в итерационном процессе (4) возникают задачи с факторизованными операторами и следующего вида

и е : £/'й' = £,£ е

при этом возможно расщепление на более простые задачи

:и’^ = ^еЖК,

иеМ.1* :ии = м>,м>е.

вАГ

которые могут быть записаны в таком виде:

К*и + У(™и ~щ,н)Ьх +

/ = 1,..., ш, у = 1,..., и, и'»,о =0,/ = 1,...,ти,^07. =0,у = 1,...,и

и

-г(»/+1,у ~ииЖ1 -г(ии+1 -м^-Ж1+уаииц>и

1 = 1,...,т, 7=1,...,и,

^/,Л+1 — 0, / — 1, ...,7И, ^(Я+1,у — У — 1,...,И.

Из (5) можно найти неизвестные

М'//,1‘ = 1,...,»!,7=1,...,И,

исходя из формул

"у = + 32*и-1 + ^ёи

и из (6) находятся неизвестные

ии,1 = т-1х+1^' = п-^ +1=1,...,/и,71 = 1...,и,

исходя из формул

“«,7 = ^1м/+1,у + $2ии+\ +

где

<5; = уН[1 /з4,з2 = /з4,

8Ъ=\! 84,84 = у}\х + уЫ^ + у(1.

(5)

(6)

(7)

(8)

Отметим, что 8Х +82£1, т.е., в соответствии с [10], имеется пространственная счётная устойчивость для (7), (8). Если 8-8^ =8х+82 + 8г <1,, то в соответствии с [33, 35] счет по формулам (7), (8) будет устойчив.

Теорема 1. В итерационном процессе (4), если 2Ад, - ЗА, < 0 V 2Адг - ЗА, > 0, с < Л,Ад, /(2Л.ДГ -ЗЛ1) и выбрать с/ = 0,у - достаточно большое, и если

4 =

ЗА, Ад, + с(2Лл, + Л,)

то

<сг =

Л, Ад, + с (2 Ад, — Л}) ЗЛ,Л№ + с(2Адг + А,)

а^(^)-» 1,когда ^ -><ю.

Если 2ЛИ-ЗЛ[ >0, Л1А;1//(2Л^-ЗЛ1)<с и взять с14с,у^:(1 ** =-^-,то сг =

Доказательство. Следует из утверждений 6, 7.

Теорема 2. В итерационном процессе (4), если с = 0 и взять 0 < й? достаточно малое у>.сГх,

2(2Л, + 2у12\с1 + с12)(Ам+с12)у2

4 ~ ЗА,Ад, + гТЦ’й? + (Ад, + А )</2 ’

то

, а £<1.

ч*/

<7 = <Т(У) =

Л, Ад, + 2^2А[ Ад,<^ + (Ад, — Л, )с?

2 А

ГГ*

,3

^ 3 А, Ад, + 2 2А1Ад, с/+(Ад, + А, )£/ когда с1~> 0, а. 8 <,1.

Если с > 0, при этом 2Ад, -ЗЛ1 < 0 или 2ЛМ - ЗА, > 0,с < Л1АЛ,/(2АЛГ -ЗА,), и выбрать с/ достаточно малое:

0 < (1 < тт{су]2Л^,>/с},у £ */-1,

2(2Ад, + 2^2у/ + </2ХЛ + ___________

то

0 = ((1) = (

ЗЛ1ЛМ + с(2Ад, + А,) + 2^2ЛМ (А, + с)й? + (Ад, + А, + 2с)с12

А, Ад, + с(2Ад, — А,) + 2^2ЛК (А, + с)с?—(Ад, — А, )б?2 ЗА,Адг + с(2Ад, + А,) + 2Л/2АЛ, (А, + с)б? + (Ад, + А, + 2с)й?2

\* /-^\А

2,

Л[Л^ + с(2Адг — А,)

ч ЗА,Адг + с(2 Ад, + А,), когда <5? —> 0, а <5 < 1.

Если 2АДГ-ЗА, >0,А1АЛГ/(2АЛГ-ЗЛ1)<с и с1 = '1с,у^<1~х, тк=1,2у2,то сг= — , а££1.

\.2у

Доказательство следует из утверждений 6, 7, 8,9,10.

Вывод. Учитывая вид матриц £/',£/, нетрудно заметить, что решение задачи (2) с N неизвестными можно получить на основании теорем 1 и 2 предложенным итерационным процессом (4) с относительной погрешностью о- за 0(Ы£па~1) ) арифметических операций.

Литература

1. Оганесян, Л.А. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений / Л.А. Оганесян, Л.А. Руховец. - Ереван: Изд-во АН Арм ССР, 1979. - 235 с.

2. Соболев, С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике / С.Л. Соболев. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1950. - 256 с.

3. Обэн, Ж.П. Приближённое решение эллиптических краевых задач / Ж.П. Обэн. - М.: Мир, 1977.-383 с.

4. Ладыженская, О.А. Краевые задачи математической физики / О.А. Ладыженская. - М.: Наука, 1973.-407 с.

5. Ладыженская, О.А. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа / О.А. Ладыженская, Н.Н. Уральцева. - М.: Наука, 1973. - 576 с.

6. Самарский А.А. Теория разностных схем / А.А. Самарский. - М.: Наука, 1989. - 616 с.

7. Самарский А.А. Разностные методы для эллиптических уравнений / А.А. Самарский, В.Б. Андреев. - М.: Наука, 1976. - 352 с.

8. Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач математической физики / Н.Н. Анучина, К.И. Бабенко, С.К. Годунов и др.; под ред. К.И. Бабенко. - М.: Наука, 1979.-296 с.

9. Воеводин, В.В. Матрицы и вычисления / В.В. Воеводин, Ю.А. Кузнецов. - М.: Наука, 1984.-320 с.

10. Дьяконов, Е.Г. Минимизация вычислительной работы. Асимптотически оптимальные алгоритмы дня эллиптических задач / Е.Г. Дьяконов. - М.: Наука, 1989. - 272 с.

11. Самарский, А.А. Методы решения сеточных уравнений / А.А. Самарский, Е.С. Николаев. - М.: Наука, 1978. - 592 с.

12. Марчук, Г.И. Методы вычислительной математики / Г.И. Марчук. - М.: Наука, 1989. - 608 с.

13. Ушаков, А.Л. Метод итерационного расщепления для специальных эллиптических краевых задач /А.Л. Ушаков. -Челябинск: ЧПИ, 1990. - 32 с. - Деп. в ВИНИТИ 23.11.90, №5892-В90.

14. Ушаков, А.Л. Метод итерационной факторизации / А.Л. Ушаков. - Челябинск: ЧГТУ, 1994. - 31 с. - Деп. в ВИНИТИ 17.10.94, № 2375-В94.

Поступила в редакцию 30 июня 2006 г.