Итерации целых трансцендентных функций с правильным поведением минимума модуля Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.53

ИТЕРАЦИИ ЦЕЛЫХ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ С ПРАВИЛЬНЫМ ПОВЕДЕНИЕМ МИНИМУМА МОДУЛЯ

А.М. ГАЙСИН, Ж.Г. РА ХМ АТУЛЛИТТ А

Аннотация. В статье речь идет о множестве Фату целой трансцендентной функции, т.е. о наибольшем открытом множестве комплексной плоскости, на котором семейство итераций заданной функции образует нормальное в смысле Монтеля семейство. Предполагается, что целая функция имеет бесконечный нижний порядок. Найдена в определенном смысле оптимальная пара условий (она сильнее, чем лакунарность по Фейеру) на показатели ряда, при выполнении которых каждая компонента множества Фату ограничена. Данный результат при более сильных достаточных условиях ранее был доказан Ю. Вангом и Ж.Г. Рахматуллиной.

Ключевые слова: целые функции, лакуны Фейера, итерации функций, множество Фату.

1 ]/[ СВОЙСТВА

Пусть / — нелинейная целая функция комплексной переменной г. Определим естественные итерации функции / следующим образом:

/°(г) = г, /1(г) = / (г), ..., / к+1(г) = / (/к (г)) (к = 1, 2,...). (1)

Определение 1. Класс N аналитических в области И комплексной плоскости С функций называется нормальным (по Монтелю) в Б; если из любой последовательности {/к} функций из N можно выделить подпоследовательность {/&р} обладающую свойством: либо {Др(г)},

либо { ——сходятся всюду в Б, причем равномерно на каждом компактном подмножестве

области Б [1]. В этом случае говорят, что последовательность {Др} сходится локально равномерно в Б [2].

Определение 2. Множеством Фату Т(/) (или множеством нормальности) функции /(г) называется наибольшее открытое множество комплексной плоскости, на котором семейство итераций {/к}, определяемых формулой (1), нормально (в смысле Монтеля). Дополнение множества Фату называется множеством Жюлиа ^(/) = С \ Т(/).

Множества Фату и Жюлиа целой функции / обладают следующими свойствами:

Свойство 1. Множество Фату целой функции открыто, а множество Жюлиа — замкнуто.

Свойство 2. Множества Т(/) и ^(/) вполне инвариантны относительно / (то есть каждое из этих множеств совпадает как со своим, образом, так и с полным прообразом) [3], [4]:

1°. /-1(Т(!)) = /(Т(/)) = Т(/); 2°. /-\а(/)) = /(з(/)) = з(/).

Свойство 3. Для любого к > 0 множество Фату (Жюлиа) к-кратной итерации функции / совпадает с множеством Фату (Жюлиа) сам,ой функции / [3], [4]:

3°. ТVк)= Ти); 4°. 5Vк) = 5V).

А.М. Gaisin, Zh.G. Rakhmatullina, Iterations of the entire transcendental functions with regular

BEHAVIOR OF THE MINIMUM OF THE MODULUS.

© Гайсин A.M., Рахматуллина Ж.Г. 2012.

Поступила 18 декабря 2011 г.

Напомним еще одно определение. Компонентой К множества Б называется любое его макси-

Б

ным образом может быть представлено как (конечное или бесконечное) объединение своих компонент.

Если / — многочлен степени не менее 2, то множество Т(/) содержит компоненту К = {г: /к(г) ^ те}, которая не ограничена и вполне инвариантна [4]. Например, множеством Жюлиа функции $ (г) = г2 является единичная окружность: ^ (/) = {г: \г\ = 1}; а множество Фату состоит из двух компонент: ограниченной — {г: \г\ < 1} и неограниченной — {г: \г\ > 1}.

Если / — трансцендентная целая функция, то множество ^(/) всегда не ограничено, а множество Т(/) может иметь либо бесконечно много неограниченных компонент, либо ровно одну, либо не иметь их вовсе [4]. Причем, имеем следующее

Свойство 4. Любая неограниченная, компонента, множества Т(/) целой, трансцендентной функции / односвязна, [6].

2. Обзор РЕЗУЛЬТАТОВ

Исследование итераций целых функций было начато в 1926 г. П. Фату [7]. Спустя почти 40 лет, И. Бейкер в своих работах И, И-[12] получил результаты, оказавшие заметное влияние на развитие данной тематики. Так, Бейкером была доказана следующая

Теорема 1 ([13]). Если множество Фату целой, трансцендентной функции / содержит неограниченную инвариантную компоненту, то функция / растет быстрее целой, функции порядка 1/2 минимального типа.

В [13] показано, что при достаточно больших положительных значениях параметра а множество Фату Т(д) функции

, . 1 (вт л/аг \

д(г) = — --------+ аг + а ) , а > 0,

а \ у/ог )

(порядка р = 1/2 и тип а а) содержит неограниченную инвариантную компоненту. Другим примером может служить функция Р (г) = сов ^ а2 г + | к2, 0 < а < порядка 1 и тип а а, множество Фату Т(Р) которой также содержит неограниченную инвариантную компоненту [13], [14].

В 1981 году Бейкером был поставлен вопрос [13]: будет ли каждая компонента множества Т(/) ограничена, если целая трансцендентная функция / имеет достаточно малый порядок роста? В

силу теоремы 1 и приведенных примеров задачу Бейкера естественно рассматривать в классе

целых трансцендентных функций порядка р < 1/2.

Сам Бейкер [13], а позже Сталлард [15], Андерсон и Хинканен [16] получили различные достаточные условия, при выполнении которых в указанном классе функций / множество Т(/) не содержит неограниченных компонент. Эти условия следующие:

1) Бейкер, 1981 г., [13]: при г ^ те

1пМ(г,/) = 0{(1пг)р} (1 <р< 3),

где М(г, /) = тах \ /(г) \;

\г\=г

2) Сталлард, 1993 г., [15]: существует е € (0,1^, что при г ^ г0

1п1п М (г,!) < ;

1 (1п1п г)£

3) Сталлард, 1993 г., [15]: для целой функции / порядка р < 1/2

1п М(2г, !)

1!т -----^—’.и. = с

г-*оо 1п М (г,/) 4

где с = с(/) — конечная постоянная, зависящая только от / (эта теорема точна: функция д(г) из приведенного выше примера из [13] имеет порядок р = 1/2, и для нее (при а = 1) условие Сталлард выполняется с постоянной с = \[2. Однако Т(/) содержит неограниченную компоненту);

4) Андерсон и Хннканен, 1998 г., [16]: для целой функции / порядка р < 1/2 существует с > 0, что при х ^ Хо

^ <Л.х) = 1пМ(е*, П.

Изучение класса целых трансцендентных функций вида

ГО

/(г) = ^ апгРп, рп € М, 0 < рп | те. (2)

П=1

представляет особый интерес, поскольку наличие лакун обуславливает у таких функций ряд

Т( )

конечного и даже бесконечного порядка роста.

Т( )

лым рядом классических задач. В течение всего XX века появилось огромное количество статей, касающихся значений Пикара, борелевских и асимптотических значений, направлений Жюлиа, проблем о связи максимума и минимума модуля, а также распределения значений целых функций с различными лакунарными условиями. Приведем результаты исследований множества Фату функций вида (2).

Говорят, что целая функция вида (2) имеет лакуны Фабри, если п = о(рп) при п ^ те, и лакуны Фейера, если

ГО л

У - < те.

7=1

Ю. Ванг в работе [17] доказал следующие теоремы:

, 1п1пМ (г, /) -— 1п1пМ (г, /)

р* = Цт ------- ------ и р = Пт ---------- -------

г—<х 1пг г—<х 1пг

— ее нижний порядок и порядок соответственно. Если 0 < р* ^ р < те, и функция / имеет лакуны Фабри, то каждая компонента множества Т(/) ограничена.

Теорема 3 ([17]). Пусть целая функция / вида (2) удовлетворяет условию: существует То > 1, такое, что

1п М (гТо, f)

,-т ыко >*. (3)

Если при некотором 'ц > 0

рп >п 1пп(1п1пп)2+11 (п ^ по), (4)

то каждая компонент,а, множества Т(/) ограничена.

Отметим, что в теореме 2 условие (3) явно не фигурирует, а требуется, что 0 < р* и р < те. Однако, легко проверяется, что в этом случае левая часть в оценке (3) равна +те. Так что в

теореме 2 при То ^ д — (ц > 1) условие (3) выполняется автоматически.

Р*

Далее, для всякой целой функции / и для любого Т > 1 из теоремы Адамара о трех окружностях следует, что [18]

1п М (гт) . .

Пт -—л ^ Т. (5)

г—ж 1п М (г)

В теореме 3 речь идет о целых функциях произвольного роста (возможны ситуации р* = 0 и р = те), поэтому в отличие от теоремы 2 приходится постулировать выполнение более сильной оценки, чем (5).

Что касается условия (4), то при этом условии в [19] Хейманом показано, что для любой целой функции / вида (2) при г ^ те вне некоторого множества нулевой логарифмической плотности

1п М (г) = (1 + о(1))1п т(г). (6)

При доказательстве теоремы 3 данная оценка используется по существу. Так что условие Хенмана (4) в теореме 3 продиктовано именно оценкой (6).

Условие (4) может быть заменено на более слабое. В работе [20] доказана

Теорема 4. Пусть / — целая трансцендентная функция, заданная лакунарным степенным, рядом, (2); для, которой при некотором То > 1 верна оценка (3). Если п = о('рп) при п ^ ж и

£

п=1

1 1 Рп ^

---- ІП------- < Ж,

Рп П

(7)

то каждая компонента, множества Т(/) ограничена.

Дело в том, что равенство (6) остается верным и при выполнении условия (7) [21]. В остальном доказательства теорем 3 и 4 почти не отличаются.

Цель статьи — показать, что теорема 3 верна в самой общей ситуации, а именно, условие (7) может быть существенно ослаблено. Оказывается, последнее условие можно заменить на пару оптимальных условий, при выполнении которых для любой функции вида (2) справедлива оценка типа (6).

Данная пара условий является критерием выполнения оценки типа (6) и состоит из условия Фейера и некоторого условия на концентрацию точек рп в терминах

Рп

К'Рп, ^

і

-йі,

где р,(рп]Ь) — число точек р^ = рга из отрезка {х: |рп — х\ ^ £}.

Оказывается, условие лакунарности по Фей еру является и необходимым для того, чтобы для

Т( )

Для доказательства основного результата нам понадобится следующая лемма, которая доказана Бейкером [13] с применением теоремы Шоттки.

Лемма 1 ([13]). Пусть аналитическая в области И функция д из некоторого семейства С не принимает, значений 0 и 1. Если Щ — компактное связное подмножество в Щ на котором Iд(г)1 ^ 1 для всех д € С, то существуют, постоянные и, V, зависящие только от, Щ и Щ т,акие, что для любых г, г1 из Щ и для всех функций д € С верна оценка,

1г(/)| < иШ1У.

Нам потребуется также следующая теорема из [22] (формулировка дается применительно к степенным рядам вида (2) и в несколько упрощенном виде).

Теорема 5 ([22]). Пусть выполняются условия:

где

1)

СІЇ ) = тах ап,

Рп<Л

^ — < ж; 7=1Рп

2)

с(і)

—^(И < ж, і2

(8)

дп = - 1п 1д'(рп)1 д(г) =

Тогда, существует множество Е С [0, те) конечной, логарифмической меры, такое, что для, любой окружности С (г) = {г: 1г1 = г} найдется измененная «окружность» С *(г), обладающая свойствами:

1. Если теве — длина, дуги е С С (г), то

ншз \С(г) П С*(г)1 Пт ------^------------- = 2ъ;

2. 1іт тах 1п — = 0;

г^<х гЄС*(г) ІгІ

3. при г ^ ж вне Е

где т*(г) = тіп I/(г)|.

гЄС*(г)

1пМ(г, /) = (1 + о(1)) 1пт*(г),

Для того чтобы для любой функции / была справедлива теорема 5, выполнение пары условий (8) и необходимо [23].

Основным результатом статьи является

Теорема 6. Пусть / — целая трансцендентная функция, заданная, лакунарным степенным рядом, (2); для, которой при некотором То > 1 верна оценка, (3). Если выполняется пара условий (8), то каждая компонента, множества Т(/) ограничена.

Показано, что для любой целой функции / вида (2), для которой

ГО 1

У- = те,

^ р™

существует компонента множества Т(/), содержащая луч [0, те).

3. Доказательство теоремы 6 Согласно условию (3) при некотором Т1 > То > 1 верна оценка

1п М (гТ°,/)

1пМ(г,/) ^ 1 Г ^ Х°. ^

Пусть То <Т <Т1, а д > 1 такое, что дТ < ГТ1. Тогда (1 — е)ГГ1 ^ дТ при некотором е > 0.

По теореме 5 по выбранному таким образом е > 0 существует множество Е С [0, те) конечной логарифмической меры, что

т*(г) >М(г,/)1-£ (10)

при г € [0, те) \ Е, т*(г) — минимум модуля функцпп / по кривой, близкой (в смысле теремы 5) к окружности 1г1 = г.

Далее, функция / — трансцендентная, поэтому М(г,/) растет быстрее любой степени гм. Пусть К1 > 0 такое, что

М(г, /) > 2гдТ при г ^ К1.

Имея это в виду, рассмотрим последовательность {Кп}, где Кп+1 = М(Кп, /) (п ^ 1). Ясно, что Кп ^ те при п ^ те, причем ,1п С 1п, где

■]п = [К^,1 В^т\, 1п = [Кп, Кп+1] (д> 1, Т > 1).

Так как при п ^ те

К^Т

1п -шее = 1п —~т = — 1п 2 + (д — 1)Т 1п Кп ^ те,

2Ш

Т,1п -шее (Е П .1п) < те,

П=1

т0

Пт Ь-тев (Е П <1п) = 0.

П—ГО

Значит, при п ^ щ каждый отрезок ,1п содержит точку рп, не принадлежащую Е. Так что, если учесть оценки (9), (10), получим

т*(рп) > М(рп, /)1-£ ^ [М(КТп, /)]1- > М(Кп, /)(1-£')Т1, п ^ щ.

Так как (1 — е)Т1 ^ дТ, то при п ^ п1

т*(Рп) >М(Кп,/УТ = К^+1, (11)

где д > 1, Т > 1.

Наша задача — показать, что каждая компонента множества Т(/) ограничена. Предположим противное. Пусть Т(/) имеет неограниченную компоненту Щ Тогда по свойству 4 она односвязна.

Далее воспользуемся некоторыми идеями Бейкера. Поскольку И — компонента Т(/), и она не ограничена, то существует номер п ^ Щ, такой, что И П Ап = 0 при всех п ^ п2, где Ап = {г: |г| = Кп}.

а

Введем в рассмотрение также окружности

Сп = {г: |г| = рп}, Вп = {г: |г| = В^} (д> 1, Т > 1).

Напомним, что В^ ^ рп ^ 1В^, Вп < В^ < В^ < Вп+1.

Пусть п ^ п2- Так как множество И связно, и И П Ап = 0, то в И найдется кривая 7, соединяющая некоторую точку ап € Ап с какой-то точкой Ьп+1 € Вп+1 (Рис. 1). Так как т*(рп) ^ те при п ^ те (это видно из оценки (11)), то /(И) — неограниченное связное подмножество Т(/), содержащее континуум / (у). Здесь

т*(рп) = шп ^

геС*

где С^* ^ близкая (в смысле теоремы 5) к Сп «окружность». Согласно теореме 5

И ^1 (12)

при п ^ те равномерно по г из С*п.

Пусть с-п — точка кривой 7, через которую проходит С* Ясно, что при п ^ пз > п2 7 содержит также И некоторую точку С.п+1 измененной окружНОСТИ С*+1, прпчеМ < В^+1 (это следует

ИЗ ТОГО, ЧТО ВТ+1 ^ рп+1 ^ если учесть (12)).

Так как ап — точка 7, = Вп, то (ап^ ^ М(Вп, /) = Вп+1- С другой стороны, из (11)

следует, что

и^а+1^ > т*(рп+1) > В*+2.

Следовательно, кривая /('у) содержит дугу 7(1), соединяющую некоторую точку € Ап+1 с ТОЧКОЙ Ь^+-2 окружноеТИ Лга+2- При ЭТОМ 7(1) СОДврЖИТ некоторую точку С^+-2 измененной окружности С*+2- Продолжая рассуждать по индукции, получим, что $к(И) является неограниченным связным подмножеством Т(/), содержащим дугу 7(к^ кривой /к('у), которая соединяет точки

ап+к € Ап+кЪ Ь™ к+1 € Вп+к+1 и содержит точку Сп^)к+1 € С*п+к+1, где п (п ^ пз) фиксировано, к ^ 1. Более того,

ик ^ = и (*к^ ^ Яа+к,

гетк>

где гк — некоторая точка 7.

Семейство {/к} нормально в И. Следовательно, существует подпоследовательность {/кр }, которая сходится локально равномерно в И. Не нарушая общности, будем считать, что гкр ^ го € 7.

Так как и(хкр)| ^ те при кр ^ те, т0 последовательность {/кр} сходится к бесконечности равномерно на 7. Значит, для любого в > 0 при кр * N (в) > пз

тт икр (г)| * в. (13)

геу

ркр

9к„ (г) =

Рассмотрим семейство функций С = {д^р }кр*N1 гДе

/кр (г) — а Ь — а ’

а, Ь — произвольные, но фиксированные точки из множества Жюлиа ^(/), такие, что а = Ь. Значение N выберем позже.

Убедимся, что при некотором N семейство функций С удовлетворяет условиям леммы 1, если в качестве области И взять рассматриваемую нами неограниченную компоненту множества Т(/) и положить Ио = 7.

Так как по свойствам 2, 3 для всех к * 1, для любых а,Ь € ^(/) при г € И С Т(/) итерации /к (%) не принимают значений а, Ь, то функции д^р ^) не принимают значений 0 и 1 в И при всех

р * 1. Кроме того, выбрав в (13) з0 = а,ь) = |а| + \Ь — получим, что при кр * N(в0) > п3

, |Л(г) — о\ * \икр(^)| —Н\* 1 _

К--ь—^—- * ц — — * 1 г € г

Таким образом, семейство функций С удовлетворяет условиям леммы 1 при N = N («о) - Значит, существуют постоянные и, V, зависящие только от 7 и И, что

^ <иМУ (14)

для всех г, г' € 7.

Проверяется, что для всех г € 7

А\/крШ < ЫР| < ВЦ'кр(г)1

где

А = —, В = , зо = ^ ^ — аI (15)

Зо во^ — сЦ

Следовательно, для всех г, г' € 7 при кр * N

ттпУ

Цкр (х' )| <и * Цкр (г)^, и * = —.

Пусть кр * Ж, г, х' — точки 7, такие, что:

1) !к’ М = . аЦ+1 € Аил;

2) {'кр (у') = кр) ^кр) а П *

2) Э (^ ) сп+кр+1, сп+кр+1 € °п+кр+1.

Тогда при кр * N

{кр) I — I А^'М ^ ТТ*\ 4кр(„\\У _ тт*\п{кр) IV _ тт*Г)У

м(Кп+кр,1) = Яп+кр+1 < (*')| < и*ик?(г)^ = и^ = и*К1+кр,

что противоречит тому, что / — трансцендентная функция, так как Кп+кр ^ те при кр ^ те. Теорема доказана.

4. О СУЩЕСТВЕННОСТИ УСЛОВИЯ Фейера

Условие 1) из (8) для справедливости теоремы 6 и необходимо. Действительно, для любой последовательности {рп}-, такой, что

ГО л

У - = те,

7=1 р’‘

существует целая функция

ГО

/ (?) = ^ апгРп

П=1

с вещественными коэффициентами, ограниченная на вещественной оси [24], [25]. Значит, имеется открытое связное множество D D М, на котором функция f также ограничена. Пусть If (z)| ^ 1 при z Е D. Так как для вещественных х все итерации fk(х) вещественны, то Ifk(ж)| ^ 1, х Е М. Очевидно,

ГО

а = ^2 IanI <

П=1

Пусть К — любой компакт из D. Тогда для z Е К имеем:

If(z)I < 1,

ГО ГО

W2(z)I = | Е an[f (z)\Pn | < Е (z)IPn < a,

n=1 n=1

ГО

Ifk(z)I = 1 Ё an[fk-1(z)]PnI < a.

n=1

Таким образом, семейство [fk} нормально в D. Отсюда следует, что R С D С Т(f). Это означает, что множество Т( f) содержит неограниченную компоненту.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Монтель П. Нормальные семейства аналитических функций М.-Л.: ОНТИ, 1936. 238 с.

2. Хейман У.К. Мероморфные функции М.: Мир, 1966. 287 с.

3. Milnor J. Dynamics in one complex variable: Introductory lectures Friedr. Vieweg & Sohn. Braunschweig. 1999.

4. Еременко А.Э., Любич М.К). Динамика аналитических преобразований j j Алгебра и анализ. 1989. Т. 1. Вып. 3. С. 1-70.

5. Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного М.: Наука, 1984. 320 с.

6. I.N. Baker The domains of normality of an entire function // An. Acad. Sci. Fen. Ser. A. I. Math. 1975. V. 1. P. 277-283.

7. P. Fatou Sur Viteration des fonctions transcendantes entieres // Acta Math. 1926. T. 47. P. 337-370.

8. I.N. Baker Multiply connected domains of normality in iteration theory j j Math. Zeitschr. 1963. V. 81. P. 206-214.

9. I.N. Baker Wandering domains in the iteration of entire functions // Proc. London Math. Soc. 1984. V. 49. P. 563-576.

10. I.N. Baker Repulsive fixpoints of entire functions / / Math. Zeitschr. 1968. V. 104. P. 252-256.

11. I.N. Baker Completely invariant domains of entire functions // Math, essays dedicated to A. J. Mac-Intyre. Athens, Ohio: Ohio Univ. Press. 1970.

12. I.N. Baker Limit functions and sets of non-normality in iteration theory / / An. Acad. Sci. Fen. Ser. A. I Math. 1970. V. 467. P. 2-11.

13. I.N. Baker The iteration of polynomials and transcendental entire functions j j J. Austral. Math. Soc. Ser. A. 1981. V. 30. P. 483-495.

14. P. BhattacharyyaItera£ion of analytic functions // Ph.D. thesis. University of London. 1969.

15. G.M. Stallard The iteration of entire functions of small growth // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 1993. V. 114. P. 43-55.

16. J.M. Anderson, A. Hinkkanen Unbounded domains of normality // Proc. Amer. Math. Soc. 1998. V. 126. P. 3243-3252.

17. Yu. Wang On the Fatou set of an entire function with gaps // Tohoku Math. J. 2001. V. 53. N. 1. P. 163-170.

18. Титчмарш E. Теория функций М.: Наука, 1980. 463 с.

19. W.K. Hayman Angular value distribution of power series with gaps // Proc. London Math. Soc. 1972. V. (3) 24. P. 590-624.

20. Рахматуллина Ж.Г. Множество Фату целой функции с лакунами Фейера // Уфим. матем. журн. 2011. Т. 3. N. 3. С. 120-126.

21. Гайсин А.М. Об одной теореме Хейм,а на j j Сиб. матем. журн. 1998. Т. 39. N. 3. С. 501-516.

22. Гайсин А.М., Рахматуллина Ж.Г. Поведение минимума модуля ряда Дирихле на системе отрезков // Уфим. матем. журн. 2010. Т. 2. N. 3. С. 37-43.

23. Гайсин А.М. Оценки роста и убывания целой функции бесконечного порядка на кривых // Матем. сб. 2003. Т. 194. N. 8. С. 55-82.

24. A. J. Macintyre Asymptotic paths of integral functions with gap power series // Proc. London. Math. Soc. 1952. V. (3) 2. P. 286-296.

25. Юсупова H.H. Асимптотика рядов Дирихле заданного роста // Дисс. ... канд. физ.-мат. наук. Башкирский гос. ун-т. Уфа. 2009.

Ахтяр Магазович Гайсин,

Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112,

450008, г. Уфа, Россия E-mail: gaisinam&nail .ru

Жанна Геннадьевна Рахматуллина,

Башкирский государственный университет, ул. Заки Ва.тн.тн. 32,

450074, г. Уфа, Россия E-mail: rakhzhaSgmail. com