CC BY
29
акустика
Исследование звукоизоляции анизотропных конструкций
B.Н. Бобылев, В.А. Тишков,
C.А. Паузин, С.Г. Данилин, В.В. Дымченко
Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет
Решение проблемы прохождения звука через анизотропные конструкции имеет важное теоретическое и практическое значение. Опыт показал, что методы расчета, содержащиеся в главе СНиП 23-03-2004 «Защита от шума», не позволяют рассчитать звукоизоляцию анизотропных ограждающих конструкции, в частности, ортотропных. Поэтому возникает необходимость выяснения особенностеи прохождения звука через такие конструкции.
Прохождение звуковых волн через изотропное ограждение реальных размеров рассмотрел проф. М.С. Седов с учетом явления согласования звукового поля с волновым полем пластины [1].
Уравнения согласования для случая взаимодеи-ствия звуковых волн с вибрационным полем прямо-угольнои ортотропнои пластины запишем в виде [2]:
М(ка б1п а) = к0аБ1п 9 б1п а 0 Ы(кЬ соб а) = к0Ьб1п 9 соб а0 '
(1)
где М = т>о/т, N = по/п— коэффициенты самосогласования.
Решая совместно уравнения (1), получаем выражение резонансных частот с тои или инои степенью согласования [2]:
^ = с^д/ц (М2 б1п2 а + И2 соб2 а)
2п б1п2 9
с^д/ц(М2 б1п2 а + И2 соб2 а)
^О б1п4 а + 2О3 б1п2 а соб2 а + й2 соб4 а
(2)
На рис. 1 показана обобщенная частотная характеристика звукоизоляции ортотропного ограждения реальных размеров, разделенная граничными часто-
Я, дБ
Гц
Рисунок 1. Обобщенная частотная характеристика звукоизоляции прямоугольной ортотропнои пластины.
тами на пять участков, механизм прохождения звука в которых различен. Это дорезонансная область, области простых, простых пространственных, неполных и полных пространственных резонансов [3].
С целью управления граничными частотами при проектировании звукоизоляции ортотропных конструкции важно наити их аналитические зависимости и численные значения.
Основная резонансная частота 0 = 'гц■
Известно [2], что для прямоугольной ортотроп-нои пластины справедливы выражения:
ка б1п а = тп, т = 1,2,... кЬ соб а = пп,п = 1,2,.. ,
(3)
где к = ю/с, а — угол падения изгибных волн на краи пластины, а, Ь — размеры пластины в плане.
Скорость распространения свободных изгибных волн в ортотропнои пластине равна [2]:
= л/ю 4
(й| б1п4 а + 2йъ б1п2 а соб2 а + й2 соб4 а)
.(4)
Следуя работе [4], получим формулу частот собственных колебании ортотропнои пластины, для чего выразим из системы (3) тригонометрические функции и подставим их в уравнение (4). После преобразовании получаем [5]:
г =П.±.
< Г+^ (Ь + * (Ь
(5)
При этом основная резонансная частота при т = п = 1:
0 = { = Я+Я + Я
/0 = " = а4 + а2Ь2 + Ь4
(6)
Граничныи простои пространственныи резонанс г.
В случае простых пространственных резонансов (ПрПР) составляющие характеристик волновых полеи не согласуются, но амплитуда вынужденных колебании максимальна по сравнению со случаем промежуточных соотношении т и то, п и по. По [3] значения коэффициентов самосогласования равны:
М = 2т,2т / 3,2т /5,... N = 2п,2п /3,2п /5,..
(7)
Из рассмотрения картины распределения линии равных фаз звуковых волн в плоскости пластины ча-
х
акустика
стота ПрПР в первом приближении определится для ортотропной пластины в виде [3]:
Сп
(8)
(/ - ип
'г111 ~ .
4а
Точное значение:
Г - Г + А^гШ '
(9)
где А^ — положительная поправка до ближайшей большей частоты собственных колебаний (5).
Граничный неполный пространственный резонанс
(нпр) г1у.
Эффект НПР будет иметь место, когда одни составляющие характеристик волновых полей согласуются полностью, а другие находятся в таких соотношениях, при которых амплитуда вынужденных колебаний пластины максимальна [3]:
М- 1
N - 2п,2п /3,2п/5,...
(10)
N - 1
М- 2т,2т/3,2т/5,.
Частоте, с которой начинают удовлетворяться условия НПР, соответствует мода с числом т = 1, поскольку в этом случае длина изгибной полуволны имеет наибольшее значение. Принимая угол 8 = 900, граничную частоту НПР для ортотропной пластины выразим через соотношение [3]:
(/ - £0 'г/У ~ т
2а
(11)
ственным значением
п/
г1У
получаем:
Пг/У -'
ь 1
м А
А + о2
Л, 2 2
- А
- А
. (12)
Теперь фактическая граничная частота НПР с учетом спектра собственных колебаний ортотропной пластины найдется из формулы (5):
/ Ь — + 20 -ПгУ
Г'У - ЪЦЧ3 а2Ь2
+Ь
2 Ь4
(13)
где пг!У = ^ПУ + °ь({г,у), п/пу —
по зависимости
(12); °(1уу) — нерегулярная ступенчатая функция [1, 2], обеспечивающая целочисленность т и п, по знаку положительная, по величине — порядка единицы.
Величину можно определить и по формуле:
- ^ +А/г1У (13а)
Граничный полный пространственный резонанс (ППР) (гУ
Для случая полного пространственного резонанса справедливы следующие соотношения коэффициентов согласования:
М- 1
N - 1
(14)
Частота изгибных колебаний, соответствующая моде, на которой впервые будет удовлетворяться условие (14), определится в зависимости от соответствующего значения чисел т и п. Эти числа определятся из условия пространственно-частотного резонанса [6], то есть резонанса по частоте с точным одновременным соответствием пространственного распределения давления в падающих звуковых волнах вдоль пластины с одной из форм ее собственных колебаний.
Значения т и п выразим в виде [2]:
= ^ + Оа(1гУ) с0
^ + оМу) с0
(15)
В формуле (11) число полуволн в направлении У выступает в неявной форме, и имеет в общем случае нецелочисленное значение п/у. Решая совместно зависимости (5) и (11) и, ограничиваясь веще-
где /гу — приближенное значение граничной частоты ППР.
°((1у) и °ь«г1у) — нерегулярные ступенчатые функции.
Граничная частота ППР в первом приближении найдется, если функции °а(^у) и °ь(^гу) принять равными нулю. В данном случае вектор колебательных скоростей звуковых волн будет иметь направление, параллельное плоскости пластины.
п - п'гУ --
- / - 2а{гУ Подставляя т - тгУ - '
-о
С
0
в формулу (5), где (тп - ({у, получаем:
// - £0
2к\ О, + 2О3 + й2
(16)
Теперь, зная числа туу и пуу из выражений (15) граничную частоту ППР для ортотропной пластины
П-
2
I
4
П
г/У
акустика
определим по формуле (5) с заменои ^ на /гу т и п на ту, и п у
п
гУ
{гу =
2^
х
1
+ 2й3
аЬ
+ й2
Ь
(17)
где тгу и п_у по выражениям (15). Граничную частоту (у можно выразить также в форме [3]:
?гУ = Г,V + Чу,
(18)
уу = р0С0 - ^0тп
>2
соб 9 соб 9
г-Ь
Р2
Щ. =
р0С0 - 0т0"0 8
соб 9 соб 9С
г-Ь
(19)
(20)
И^Опад =
2
р0пад
8Росо
а-Ь
(21)
Тогда:
2,3пц2п - ?
соб 9 - соб 9
р2
р2со2А4
+1
%И .2..2 2
п Ц / соб 9 - соб 9„2
„2 2 с-2
Росл
+ 1 ,
(22)
(23)
!дт
1 / 3 /
3 У И 1—< г—4 к N
у п >—н
/ 2
где Vуу — по формуле (16), Д(у — положительная поправка до ближаишеи большеи частоты собственных колебании (5).
Акустическую мощность, излученную ортотроп-нои конструкциеи в резонансном и инерционном режимах, представим как:
где РоСо — характеристическии импеданс среды, Ар и Аи — характеристики самосогласования волнового поля пластины и поля прошедших звуковых волн, 92 — угол излучения, $о — амплитуды колебательных скоростеи.
Далее, принимая 9ср = 9( = 9р2 = 9и2 [1], определим значения коэффициентов прохождения звука (звукопроницаемости) в резонансном и инерционном режимах. При этом мощность в падающих волнах примем:
оо ошоооооооооооо
•ОО 1Л--ООГ0ОО1ЛООО1ЛОО --ГМ г\г0'"4,1л>0000г\'001л--00
Гц
Рисунок 2. Частотные характеристики коэффициентов прохождения звука для ортотропнои пластины.
1 — резонансное прохождение; 2 — инерционное прохождение; 3 — общии коэффициент прохождения.
где П — коэффициент потерь, Р — функция отклика [3].
Из анализа формул (22) и (23) следует, что прохождение звука через ортотропную пластину реальных размеров зависит от частоты, массы, размеров ограждения и коэффициента потерь.
На рис.2 представлены частотные характеристики коэффициентов инерционного и резонансного прохождения для стальнои гофрированнои пластины размерами а х Ь = 1,1 х о,78 м2, толщина пластины о,55 мм, высота гофра 18 мм. Данную пластину можно считать ортотропнои [5,7].
Из рис. 2 видно, что основнои вклад в прохождение звука вносят свободные волны, вклад же инерционных волн незначителен, особенно в области высоких частот.
Путем последовательного увеличения демпфирующих своиств можно достичь пределов роста звукоизоляции однослоинои ортотропнои пластины ограниченных размеров заданнои поверхностнои массы [3]. При этом в предельном случае в пластине не возникают свободные изгибные волны, и ограждение начинает совершать колебания лишь вследствие суперпозиции чисто вынужденных волн.
На рис.3 представлены частотные характеристики коэффициентов прохождения звука двух ортот-ропных стальных пластин одинаковых размеров и жесткости с демпфирующим слоем и без него. Кривая 1 показывает значения коэффициента прохождения звука пластины без демпфирующего покрытия. Для изменения значения коэффициента потерь ортотропнои пластины к неи был приклеен слои резины толщинои 5 мм. На рис. 3 кривая 2 выражает частотную зависимость характеристики коэффи-
4
2
4
т
ГП-\/П
п
а
2
2
акустика
!дт
1 у 2
т к н Н у 1—1 1—1
/в —^ и п П
Г" *
0001Л0000000000 ЮО 1п--00г0001п0001п
------ Г\| Г\| го
о о о о о о
и, Гц
Рисунок 3. Изменения значений коэффициента прохождения звука при демпфировании стальной ортотропной пластины слоем резины.
1 — до демпфирования; 2 — после демпфирования; 3 — значение минимального коэффициента прохождения.
циента прохождения ортотропной конструкции с демпфирующим покрытием.
Сравнение частотных характеристик коэффициентов прохождения звука позволяет сделать вывод, что вибродемпфирование собственных волн ортот-ропного ограждения, выполненное за счет резины, значительно снизило резонансное прохождение звука во всем рассматриваемом диапазоне частот.
Одним из известных видов анизотропных ограждающих конструкций являются конструкции, подкрепленные ребрами жесткости, которые широко применяются в гражданском и промышленном строительстве, но в большинстве случаев более низкая звукоизолирующая способность по сравнению с простыми однослойными ограждениями накладывает ограничения на применение ребристых ограждающих конструкций. В связи с этим актуальной задачей является исследование звукоизолирующих свойств указанных ограждений.
Рассмотрим собственные колебания, шарнирно опертой трехпролетной полосы (стержня) с произвольным соотношением длин пролетов (рис. 4),
и
7/
Рисунок 4. Трехпролетный стержень с произвольным соотношением пролетов.
используя представление волнового переноса энергии с ее минимальной затратой [2], то есть, учитывая, что процесс становления собственных колебаний идет по пути наименьшей затраты энергии [3]. Полоса в рассматриваемом случае будет являться моделью ограждающей конструкции с ребрами жесткости.
Выбираем прямоугольную систему координат, такую, что ось «ОХ» совпадает с геометрической осью стержня, ось «Ои»» направлена вверх и начало отсчета совпадает с крайней левой опорой. В рассматриваемом случае за положительное смещение принимаем смещение точек конструкции вверх. Бегущая волна и^1 амплитуда, которой Ц^ распространяется в левом пролете стержня от второй опо-
п
ры к первой с начальной фазой ф— — —.
В направлении к опоре 1 распространяется и неоднородная волна Цт с амплитудой Ц^. Обратные волны Ц2 и Ц12, бегущие от первой опоры с амплитудами Ц^ Ц^, выражающимися через амплитуды Цо21 и Ц^, падают на промежуточную опору 2. Часть энергии бегущей волны отразится с й ///
волной и',
021е
а часть пройдет во второй про-ю/—к(х—1 )],где 1 — длина первого пролета. Так же часть энергии бегущей волны Ц^
лет с волной и023 е
//
отразится с волной и
023 е
а часть пройдет в третий пролет с волной ¿/0з4е~'кХ—(/1+/2 где ¡2 — длина второго пролета. Энергия волны ^2, распространяющейся во втором пролете от опоры 3 к 2, частично пройдет через опору 2 в первый пролет с волной и/2\е'(+кХ и частично отразится с волной . Энергия бегущей волны
Ц034, отразившись от опоры 4, вместе с волной Цо4з пройдет из третьего во второй пролет с волной иыЪек[х—(+'2)].
Записывая выражения суммарных волн для каждого из пролетов, учитывая ранее полученные собственные функции для первого и второго пролетов [8], в окончательном виде форму суммарных смещений точек конструкции можно записать следующим образом [9]: формулы (24) и (25).
Найденные собственные функции выбранного образца позволяют в любой момент времени и в произвольном месте (в пределах полосы) найти амплитудное значение смещения точек колеблющейся пластины. Известно, что излучаемая мощность пропорциональна квадрату амплитудного значения
2
3
I
I
I
2
3
акустика
,, _ -ULr" 'о ' ~ ---~/о] eik[x-(l\+l2)]
u III _ e
U, _ U0 [sin kx - ß , ekl( e~kx + ß , ek(x-l( ) ]cos Ю • t [sin kl( cos k(x - ( ) - [sin k^ (l + cthkl) - cos kl( + 2ß2e~k'2 ]sin k(x - |) -j (24)
U// _ Uo j - (sin kl+ß2e-ki2)e-k(x-i. ) +ß2ek[x-(l +12)] j COs fflt ^
uJ-D£kio+2++2C—Dio
4/[[ - 2e~kl3 sinkl3 - e~2kl3 ] + U0 [- De~'kl'i - 2Ce kl - 2Ce-k + 2Dek + De-kl3 /] ^[-(l^ +ls)] + 4/[[ - 2ek sin kl3 - e~2k/3 ] e
+ Uo [D+ De~2kl - 2Cekl(/-[) - De^3 - D/ - 2Ce"2kl3 ] ]^)] + +-^-e 1 + (25)
+ Uo[2C+ 2Ce~k>3([+/) + Dek("[) - Dekl3("[)] ^[(l^) 4/[ - De~kl3 sin kl3 - e~2kl3] e
скорости колеблющеися пластины. Но так как
^ = "ду, получается, что наиденные собственные
функции задачи однозначно дают возможность наи-ти величину колебательнои скорости. Полученные амплитудные значения скорости и значения собственных чисел могут быть использованы для сравнитель-нои оценки вклада различных типов волн, участвующих в формировании собственных колебании. К тому же при определении звукоизоляции ограждающеи конструкции в резонансном режиме прохождения звука, необходимыми параметрами являются колебательная скорость и излучаемая мощность. Следовательно, наиденные параметры позволяют пе-реити к формулам для определения звукоизоляции ограждающеи конструкции, подкрепленнои ребрами жесткости.
Список литературы:
1. Седов. М.С. Механизм прохождения звука че-
рез тонкую пластину ограниченного размера / М.С. Седов / / Изв. Вузов. Стр-во и арх.,1964. — № 7. — С.67-73.
2. Бобылев. В.Н. Эффект пространственно-частот-
ного резонанса для ортотропных конструкции / В.Н. Бобылев, В.А. Тишков, С.А. Паузин / / Вестник ВРО РААСН. — Вып.5. — Н. Новгород: ННГАСУ, 2оо2г. — С. 169 — 173.
3. Седов. М.С. Звукоизоляция. Регулирование зву-
коизоляцией и звукопоглощением / М.С. Седов, В.Н. Бобылев, В.А. Тишков, Л.В. Едукова, Л.А. Борисов / / Звукоизоляция и звукопоглощение: учебное пособие / Под ред. Г.Л. Оси-пова и В.Н. Бобылева. — М: ООО «Издательство АСТ» : ООО «Издательство Астрель», 2004. — Разд.1. — С. 9-156.
4. Седов. М.С. Решение некоторых основных за-
дач о собственных колебаниях упругих тел / М.С. Седов — Горький: ГГУ им. Н.И. Лобачевского, 1970. — 64с.
5. Лехницкий. С.Г. Анизотропные пластинки / С.Г.
Лехницкий — М.: Гостехтеориздат, 1957. — 463с., ил.
6. Лямшев. Л.М. Отражение звука тонкими пласти-
нами и оболочками в жидкости / Л.М. Лямшев
— М.: Изд-во АН СССР, 1955.-73с.
7. Лизин. В.Т. Проектирование тонкостенных кон-
струкций / В.Т. Лизин, В.А. Пяткин. — М.: Машиностроение, 1985. — 344 с.: ил.
8. Данилин. С. Г. Теоретическое исследование соб-
ственных колебаний ограждающей конструкции, подкрепленной ребрами жесткости / С.Г. Данилин, В.В. Дымченко // Приволжский научный журнал. Н.Новгород: ННГАСУ, 2009 — № 1 (9)
— С. 21-24.
276 5 2009
