Исследование задачи о растекании жидкой капли по горизонтальной поверхности Текст научной статьи по специальности «Физика»

ФИЗИКА

УДК 518.8:53

ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧИ О РАСТЕКАНИИ ЖИДКОЙ КАПЛИ ПО ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПОВЕРХНОСТИ

© 2010 г. В.Н. Лесев1, В.А. Созаев2

'Кабардино-Балкарский государственный университет, 1Kabardino-Balkar State University,

ул. Чернышевского, 173, г. Нальчик, КБР, 360004, Chernishevsky St., 173, Nalchik, KBR, 360004,

[email protected] [email protected]

2Северо-Кавказский горно-металургический институт, 2North Caucasus Institute of Mining and Metallurgy,

ул. Николаева, 44, г. Владикавказ, 362021, Nikolaev St., 44, Vladikavkaz, 362021,

[email protected] [email protected]

Построена математическая модель, описывающая процесс растекания капли на ровной горизонтальной поверхности. Для предложенной модели, редуцированной к задаче для нелинейного уравнения второго порядка, квазистационарным методом найдено аналитическое решение. На основе полученных соотношений проведены численные эксперименты, результаты которых согласуются с общей теорией капиллярности.

Ключевые слова: физико-математическая модель, растекание капли, профиль, автомодельное решение, численный эксперимент.

The mathematical model describing the process of drop spreading on flat horizontal surface has been built. The offered model reduced to the task for the non-local second order equation has been solved analytically with help of quasistationary method. The numerical experiments have been carried out on the basis of obtained relations, results of which agree with the general theory of capillarity.

Keywords: physical mathematical model, drop spreading, profile, automodel solution, numerical experiment.

О существенной роли смачивания и растекания свидетельствуют многочисленные исследования, проводимые в различных направлениях, связанных с проблемами фазовых переходов, очисткой и защитой поверхностей, созданием композиционных материалов, пайкой и сваркой, изучением процессов роста полупроводниковых кристаллов, развитием электроники и медицины, защитой окружающей среды [1-6].

Устанавливаемые зависимости для расчета кинетики процессов капиллярного течения, растекания и кок-соотложения, а также критических тепловых потоков при кипении могут быть использованы при модернизации действующих и проектировании новых трубчатых печей и закалочных аппаратов промышленных установок пиролиза, создании теплообменников для нагрева и переработки нефтяного сырья, обогреваемых теплоносителем ядерного реактора [7], и т.д.

Отметим также, что наряду с хорошо известными статическими методами определения свойств жидкостей (жидких сплавов) [8, 9] широко используются и динамические методы [10, 11], позволяющие определять на основе анализа формы капли физические параметры системы. Однако сложность в развитии указанных методов связана с отсутствием аналитических решений уравнений, описывающих профили свободной поверхности капли, и разработкой численных методов реализации математических моделей более высокого уровня. В то же время применение квазистационарного подхода к решению задач растекания

жидкости позволяет получать основные количественные закономерности в тех случаях, когда строгие аналитические методы неприменимы, что делает актуальными проводимые исследования.

Постановка задачи

Рассмотрим «плоскую» каплю вязкой нелетучей жидкости, расположенной на гладкой горизонтальной поверхности. Введем прямоугольную систему координат хОу, совместив ось абсцисс с уровнем подложки, а ось ординат с осью симметрии капли, проходящей через ее апекс (рис. 1).

У1

y = h(x,t)

\ X

О хо

Рис. 1. Профиль капли в положении равновесия

Принимая высоту капли в апексе достаточно малой величиной и учитывая соотношение скорости растекания и скорости теплообмена в жидкости, мо-

жем считать, что температура в капле постоянна по ее толщине и совпадает с температурой соответствующей ей точки подложки.

Кроме того, будем учитывать скольжение, которое возникает из-за поверхностной диффузии молекул жидкости вдоль твердой поверхности вблизи линии трехфазного контакта под действием градиента химического потенциала.

Тогда в приближении теории смазки, предполагающей изменение величины углов трехфазного контакта в интервале (0,90° ] окончательно, для осесим-метричной капли в безразмерных переменных можем записать

dh_ 8_ dt dt

h3 dh-ß-x0 (t )• h

dx

(1)

dh d — v— = а—

h3

или

— vh = а

,3 dh h--ßh

+ ci.

Принимая во внимание соотношение = 0,

заключаем, что с1 = 0.

Разделяя переменные в последнем уравнении, по-

аВ-и , 2 „ лучим —-Сд = п Сп .

а

Интегрируя полученное равенство, находим

(з

h=3\3aßzv^.

(4)

Удовлетворяя (4) условию (2), которое с учетом (3) примет вид

0

1 h{§) d{ = S ,

- *о {t)

получим

3_3¡3 aß — v 4/3

—xo(t)

= S.

(5)

где a,p = const - безразмерные параметры, определяющие отношения характерных гравитационных и капиллярных сил к вязким силам; x = x0 (t) - граница растекания капли.

Для создания более адекватной математической модели дополним уравнение (1) условием сохранения объема xo (t) . .

\ h(x, t)dx = S , (2)

o

где S = const - половина площади сечения капли в апексе.

Полученная система (1), (2) представляет собой математическую модель, описывающую процесс изотермического растекания капли вязкой жидкости по гладкой горизонтальной поверхности.

Здесь следует отметить, что частный случай уравнения (1), не учитывающий эффект проскальзывания, рассматривался в работах [12, 13]. В постановке же (1), (2) задача представляет собой более общий случай, но не допускает точного аналитического решения, а ее численное решение трудоемко.

Построение квазистационарного решения

Будем искать решение задачи (1), (2) в виде h = h®, (3)

пологая при этом ¿; = x — xo (t), xo (t) = и .

Подставляя (3) в (1), приходим к соотношению

, з dh

Отсюда следует, что

4(tMx0(t)"a] = b ,

пи 64 „з где a = ар , b = — S а .

81

Таким образом, на основании (4), (5) принимая во внимание (3), заключаем, что профиль поверхности капли определяется равенством

h = 4S>0 (t)- x = 3 3 x4 (t) .

Далее определим закон изменения радиуса растекания капли. Используя замену z = x-5 (t), преобразуем (5) к виду z' + 5bz2 + 5az65 = 0 .

Откуда после разделения переменных получим

г dz

-fi/Г = -5t - сз . (7)

(6)

bz2 + az65 Для интеграла в левой части имеем

dz 5 5

a • r

2

bz + az

где c = —

6/5

81ß 64S 3

2a • Vc

Iln

2

r + yc

r + yc

+arctg 4=

причем c > 0 , так как ¡3 < 0.

Возвращаясь к старым переменным из (7) с учетом последнего равенства, получим

5

+

5

a•z15 ' 2a•4c

Iln

2

+ 4Tc

,1/5

+ 41c

,1/5

+ arctg -

= 5t + c

3

или

5 • x0 (t)

5

2a • 4c

" iln x-1 (t) + 4Tc

x—1 (t) + Tc

2

+ arctg -

1

/С • х0 ()

= 5t + с3. (8)

Полагая t = 0 в (8), выражаем постоянную интегрирования с3 через значение радиуса растекания капли х0 в начальный момент времени.

Следовательно, решение задачи (1), (2) представи-

мо в виде (6), где Х0 () определяется неявно из соот-

ношения (8).

Используемый метод при анализе неизотермиче-

ского растекания капель помимо обычных гидроди-

намических проблем вблизи линии трехфазного контакта позволяет учитывать и другие эффекты. В частности, если считать, что краевой угол смачивания является функцией, зависящей от времени, то задача

(1), (2) также допускает решение. Например, точное автомодельное решение и для профиля, и для радиуса растекания может быть получено в случае, когда параметр В отличается от функции, описывающей ско-

0

а

4

а

рость растекания капли, на постоянный множитель, т.е. имеет вид /3 = yv, где у = const.

Действительно, при этом для к(§) будем иметь

а

(9)

Учитывая условие сохранения объема, для радиуса растекания х0 (/) получим соотношение

хо4 (¿К (0(1 -ау) = Ь . (10)

Интегрируя уравнение (10), в результате элементарных преобразований находим

5/ч 320-а-S3 Хб (t -^ t .

(11)

81-(1 -а-у)

Таким образом, принимая во внимание (10) и (11), функция к(х, /), описывающая профиль поверхности капли, может быть явно определена из (9).

Результаты вычислительных экспериментов

Безразмерный профиль капли, рассчитанный на основе (9) для различных моментов времени /, представлен на рис. 2.

h

0,6 0,4 0,2

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0

Рис. 2. Профиль капли для различных моментов времени: 1 - х0 (¿)=1,4; 2 - х0 (¿) = 1,6; 3 - х0 (¿) =1,8; 4 - х0 (¿) =2

Численная обработка полученных результатов производилась в пакете Mathcad. С использованием того же пакета было выполнено построение графика функции х0 (/), рассчитанного на основе (11) для безразмерного случая (рис. 3).

Рис. 3. Зависимость радиуса растекания капли от времени

Точкам х0 и хм на рис. 3 соответствуют значения границы растекания капли в начальный момент време-

ни и максимальная величина радиуса капли, при котором она стремится принять равновесное положение.

Использованный в работе метод исследования разрешимости задачи гравитационного растекания капли вязкой жидкости по гладкой горизонтальной поверхности позволяет учитывать влияние поверхностных сил гидродинамической природы и специфические эффекты (расклинивающее давление). При этом квазистационарный подход демонстрирует свою эффективность в условиях отсутствия точного решения, обеспечивая возможность получать и анализировать основные закономерности кинетики капли. Кроме того, значимым оказывается тот факт, что, располагая даже приближенными аналитическими решениями, описывающими форму профиля капли используя современные перспективные методы, основанные на анализе оцифрованного изображения системы: твердое тело - жидкость - окружающая среда [14, 15], можно определять с достаточной степенью точности не только поверхностное натяжение, но и важные физические параметры (вязкость).

Литература

1. Адамсон А. Физическая химия поверхностей. М., 1979.

568 с.

2. Гуфан А.Ю., Кукин О.В., Гуфан ЮМ. Теория фазового

перехода типа несобственного распада бинарного твердого раствора // Фазовые переходы, упорядоченные состояния и новые материалы. 2008. № 11. С. 1-5.

3. Попель С.И. Кинетика растекания расплавов по твердым

поверхностям и кинетика смачивания // Адгезия расплавов и пайка материалов. 1976. № 1. С. 3-28.

4. Френкель Я.И. Собрание избранных трудов. М.; Л.,

1959. Т. 3. 460 с.

5. Chandrasekhar S. Hydrodynamic and Hydromagnetic Sta-

bility. Oxford, 1961. 430 p.

6. Preiser F., Schwabe D., Sharman A. Steady and oscillatory

thermocapillary convection in liquid columns with free cylindrical surface // J. Fluid Mech. 1983. Vol. 126. P. 545567.

7. Фейгин Е.А., Рауд Э.А. Перспективы использования ядерных реакторов для энергообеспечения нефтеперерабатывающих заводов // Химия и технология топлив и масел. 1984. Вып. 12. С. 2-7.

8. Русанов А.И., Прохоров В.А. Межфазная тензометрия.

СПб., 1994. 440 с.

9. Kanchukoev V.Z., Lesev V.N., Sozaev V.A. The non-

isothermal spreading of the conductive drop in magnetic field // High Temperature Capillarity: 6th International conference. Athens (Greece), 2009. P. 144.

10. Paradis P.F., Ishikava T., Yoda S. Non-contact Measure-

ments of the Thermophisical Properties of Hafnium -3 mass % Zirconium at High Temperature // Jnt. J. of Thermophisics. 2003. Vol. 24. P. 239-258.

11. Лесев В.Н. Аналитическое решение задачи о нахожде-

нии стационарного профиля малой «плоской» капли, лежащей на неровной поверхности // Экол. вестн. науч. центров Черноморского экономического сотрудничества. 2009. № 2. С. 38-42.

12. Быховский А.И. Растекание. Киев, 1983. 191 с.

13. Калинин В.В., Старое В.М. О квазистационарном под-

ходе к решению задач растекания жидкостей // Коллоидный журн. 1992. T. 54, № 2. С. 90-96.

14. Емельяенко А.М., Бойнович Л.Б. Применение цифровой

обработки видеоизображений для определения пара-

метров сидячих и висящих капель // Коллоидный журн. 2001. Т. 63, № 2. С. 178-193. 15. Bateni A., Amirfazli A., Neumann A.W. Effects of an electric

field on the surface tension of conducting drops // Colloids and Surfaces A: Physicochem. Eng. Aspects. 2006. Vol. 289. P. 25-38.

Поступила в редакцию

26 января 2009 г.