Оценка возможных погрешностей при анализе профилей поверхности малых капель металлов Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 518.8:53

ОЦЕНКА ВОЗМОЖНЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ ПРИ АНАЛИЗЕ ПРОФИЛЕЙ ПОВЕРХНОСТИ МАЛЫХ КАПЕЛЬ МЕТАЛЛОВ

© 2009 г. В.З. Канчукоев1, В.Н. Лесев1, В.А. Созаев2

1Кабардино-Балкарский государственный университет, 1Kabardino-Balkar State University,

ул. Чернышевского, 173, г. Нальчик, КБР, 360004, Chernishevsky St., 173, Nalchik, KBR, 360004,

[email protected] [email protected]

2Северо-Кавказский горно-металлургический институт, 2North-Caucasian Mining and Smelting Institute,

ул. Николаева, 44, Владикавказ, РСО-Алания, 362021, Nikolaev St., 44, Vladikavkaz, RSO-Alania, 362021,

[email protected] [email protected]

Представлена математическая модель с последующей численной реализацией, предоставляющая возможность анализировать кинетику жидких капель расплавов на твердой горизонтальной подложке. На основе разработанного алгоритма изучена возможность решения обратной задачи, т.е. получения значений физических параметров по геометрическим характеристикам системы, а также приведены оценки возникающих при этом погрешностей.

Ключевые слова: математическая модель, капля, профиль, расплавы металлов, численное решение, оценка погрешности.

The mathematical model for analyzing the kinetics of liquid drops of melts on solid horizontal surface followed by its numerical solution is given in the paper. The possibility of solving the reverse problem namely finding the physical properties from the geometrical characteristics of the system is studied on the basis of developed algorithm and the estimations of emerging errors discussed.

Keywords: mathematical model, drop, profile, melts of metals, numerical solution, estimation of the error.

Введение

Исследование статики и динамики малых жидких капель на твердых поверхностях в различных средах является одной из основных задач современной теории капиллярности. В первую очередь это обусловлено прикладной важностью подобных исследований [1 - 4].

Для анализа результатов по адсорбции, смачиванию и растеканию малых капель важную роль играет изучение условий становления равновесия в зоне трехфазного контакта. Более глубокое понимание указанных процессов открывает новые возможности для практического их применения во многих современных нанотехнологиях, в том числе - изучения на-нокомпозитов, получаемых из металлоорганических производных [5] и обладающих качественно новыми физическими свойствами.

Сегодня день в научной литературе имеются многочисленные работы как российских, так и зарубежных авторов, посвященные задаче нахождения физических параметров трехфазной системы, являющейся по существу задачей определения параметров уравнения Лапласа по координатам границ профиля капли при обработке её видеоизображения [6].

Большинство работ, посвященных анализу факторов, влияющих на точность определения параметров висящих и сидящих капель, используют регрессионные варианты и, как правило, направлены на изучение статики и динамики капель воды и водных растворов на отшлифованных горизонтальных поверхностях [7, 8].

Последние исследования с металлическими расплавами [9 - 13] все в большей степени предполагают работу с оцифрованными данными. При этом работ, направленных на исследование вопросов точности полученных таким образом результатов, немного. В связи с этим возникают новые задачи по оценке погрешности при работе с оцифрованными данными как реальных, так и численных экспериментов. Особую значимость в таких условиях принимают сведения о критических погрешностях, вызывающих необъективные корреляции данных по результатам экспериментов.

Из принципа соответствия [14] между лежащими каплями и капиллярными поверхностями следует, что множество всех симметричных лежащих капель может быть описано с помощью однопараметрического семейства кривых. Причем параметром служит высота капли в апексе к0, а лежащая капля однозначно определяется значением объема У0 и краевого угла смачивания р( .

Указанные выше утверждения лежат в основе математической модели, используемой нами для проведения вычислительного эксперимента и решения поставленной задачи.

Формулировка математической модели

Математическая модель, используемая для описания профиля малой капли, лежащей на твердой подложке, опирается на хорошо известное уравнение Лапласа:

(л л \

AP = &

1 1 — + —

R1 R2

(1)

где АР - разность давлений на поверхности капли; а - поверхностное натяжение; ^ и Я2 - два главных радиуса кривизны (рис. 1).

—f-*

Zi' 9 1 \l

/R1

V R

r z /Ri

Рис. 1. Профиль капли с привязкой к системе координат

Здесь и далее будем считать, что капля симметрична относительно вертикальной оси г и, следовательно, 1/ = 1/Я2 = Ь .

При отсутствии любых внешних усилий, кроме силы тяжести и температуры, для АР можем записать [6]:

АР = АР0 + g ■ г -Ар , (2)

где АР0 - разность давлений на плоскости г = 0 ; g -гравитационная постоянная; Ар - разность плотностей жидкой капли и окружающей среды; г - вертикальная координата точки, принадлежащей поверхности капли.

Помимо ориентации координатных осей х и г целесообразно в рассматриваемом случае выбрать направления возрастания длины дуги £, а также угол р, образованный касательной к профилю и осью абсцисс (см. рис. 1). При этом имеют место соотношения:

dx ^

— = созр , — = зт р. (3)

d£ d£

Из (1)-(3), с учетом введенных обозначений, будем иметь

dm sin ф — = 2b + cz--- .

dl x

(4)

где с = Ар ■ g|а - капиллярное число, принимающее положительное значение для капель, лежащих на подложке и отрицательное - для свисающих; dр| d£ = 2Ь при х = 0 .

x

x

Принимая во внимание формулы для объема V и площади поверхности тела вращения £ части мениска до уровня г , соответственно, имеем

= 2ж . (5)

Таблица 1

Теоретико-экспериментальные значения параметров системы

dV 2 . -= лх sin р,

dl

dl

Дополним систему (3)-(5) начальными условиями:

х(0) = г(0) = <р(о) = V(0) = £(0) = 0 . (6) Соотношения (3) - (6) представляют собой математическую модель, описывающую профиль поверхности свободно лежащей жидкой капли на горизонтальной твердой подложке при известных значениях параметров Ь и с . Параметр Ь в такой постановке задачи является геометрической характеристикой системы и определяется на основе данных о краевом угле смачивания и объеме капли.

Определение профиля капли

Для оценки влияния ошибки измерения геометрических параметров (центральная высота й0, экваториальный радиус Я, радиус основания г капли и др.) на значения поверхностного натяжения металлических расплавов вычислительный эксперимент проводился в два этапа.

На первом этапе определяли «идеальный» профиль капли с использованием экспериментальных данных [9 - 13]. Для этого по экспериментальным данным Ар и 7 рассчитывали значение параметра с .

Задавая в качестве значения параметра Ь некоторое нулевое ее приближение Ь , организовывали с переменным шагом АЬ циклический вычислительный процесс. Тело цикла содержало численное решение задач Коши (3)-(6) методом Рунге-Кутта [15]. Условием окончания данного циклического процесса служило выполнение требования < = <, V = V при

2 = А0 .

Таким образом, устанавливали соответствие между тройками параметров (с, Ь,<0 ) и (к0^0<0), которые однозначно определяли один и тот же профиль капиллярной поверхности.

При проведении вычислительного эксперимента разница по абсолютной величине между экспериментальными и рассчитанными значениями краевых углов смачивания и объемов не превышала соответственно 10-3 и 10-9

Из решения (5) с учетом начального условия (6) находили площадь поверхности части мениска £ 0 до определенного уровня г = к0 , а затем площадь поверхности капли объема V, по формуле £* = £ 0 + ж 2, где г - радиус основания капли.

Вычисленное таким образом значение £ * зовалось далее на втором этапе проведения вычислительного эксперимента для дополнительного контроля качества проводимых численных расчетов.

Некоторые результаты теоретических расчетов, полученные при соответствующих им значениях экспериментальных данных, приведены в табл. 1.

Т, К о, Дж/м2 Р, кг/м3 О Ро, Vo-К)"7, м3 К -10"6, м r -10"6, м

743 0,379 9405 134,27 1,5709 3517,803 4024,973

879 0,368 9324 127,36 1,5892 3415,502 4212,624

1083 0,355 9271 116,95 1,6015 3234,831 4472,606

Экспериментальные данные, представленные при трех различных температурах в табл. 1, были получены для свободно лежащей в атмосфере гелия на стали 12Х18Н9Т капли свинца с 0,1%-м содержанием лития методом лежащей капли [13].

Используя определенный набор параметров (с, Ь,<0) , строили далее графическое изображение

«идеального» профиля капли с использованием условия симметрии. При этом количество координат одной половины профиля капли составляло не менее 350 точек.

Некоторые наиболее характерные результаты проведенных расчетов с использованием данных табл. 1 в пакете «МА^АВ» представлены на рис. 2.

Для удобства восприятия рассчитанных «идеальных» профилей на рис. 2 ось абсцисс совмещена программными средствами с уровнем подложки.

Рис. 2. Профиль капли при различных температурах: 1 - Т=743 К; 2 - Т=879 К; 3 - Т=1083 К

Оценка влияния ошибки измерения

геометрических размеров капли на физические параметры системы

Профили, представленные на рис. 2, являются «идеальными», так как в полной мере не отражают структуры капли и процессов, протекающих внутри. В частности, при проведении экспериментов на снимках фиксируются отклонения от равновесного профиля, вызванные пузырями внутри капли, ее неоднородностью, а также несимметричностью, что ведет к возникновению погрешностей при работе с оцифрованными данными. В подобных случаях и на этапе распознавания границы объекта даже при субпиксельном разрешении избежать этого не удается.

На втором этапе вычислительного эксперимента оценивали влияние ошибки измерения характерных геометрических размеров капли на значения физиче-

ских параметров системы. В процессе проведения вычислительного эксперимента на этом этапе возможные случайные ошибки измерения геометрических размеров капли моделировали генерацией различных ее профилей при условии сохранения постоянства значений объема V, и краевого угла смачивания р( .

Для оценки влияния ошибки измерения, например, высоты капли в апексе Н0, варьировали ее значение

на величину ±АН . Затем с использованием модели (3)-(6) решали задачу определения физических параметров системы, т.е. задачу, обратную задаче первого этапа.

Для этого строился вложенный циклический вычислительный процесс с внешним с и внутренним Ь параметрами цикла с переменными шагами Ас и АЬ соответственно. Тело цикла содержало численное решение задач Коши (3)-(6). Условием окончания вычислительного процесса на этом этапе служило выполнение требования р = р0, V = V при

г = Н0 , где Н0 - центральная высота «возмущенной» капли.

Из условия, что тройки параметров {к0^0,р0) и {ь, с, р0) однозначно определяют один и тот же профиль капли, находили соответствующие г = к0 «возмущенные» значения параметров с = с и Ь = Ь .

При этом построенные на первом этапе вычислительного эксперимента «идеальные» профили служили в качестве исходного для построения и исследования генерированных профилей. Некоторые результаты проведенных расчетов с использованием, например, профиля капли (рис. 2) при температуре 879 К приводятся ниже.

На рис. 3 представлены: 1 - профиль капли свинца с 0,1%-м содержанием лития, а также три профиля (2-4), соответствующие изменениям центральной высоты на ±3 % и -8 % при фиксированных значениях плотности, контактного угла, объема и площади поверхности капли.

Рис. 3. Расчетные профили капли при вариации высоты в апексе

Расчеты показывают, например, что ошибка в определении высоты капли в апексе на АН = 47,244 6 м. (или и 62 пикселя для 19" монитора с разрешением

1280x1024) приводит к погрешности определения поверхностного натяжения на 1,752-Ш-3 Дж/м2. В тоже время к аналогичным изменениям значения поверхностного натяжения приводят гораздо меньшие отклонения величин К и г от экспериментальных. Некоторые наиболее характерных результаты проведенных оценок, выраженные в процентах, приведены в табл. 2.

Таблица 2

Изменения геометрических и физических параметров системы, %

h R r с 2b а

98,50 100,68 100,80 105,23 95,81 95,03

101,51 99,20 98,94 95,50 104,19 104,71

97,00 101,29 101,65 109,90 92,17 90,99

103,05 98,37 97,90 90,72 108,76 110,23

91,98 103,85 104,75 128,86 78,47 77,60

Относительная погрешность определения значения поверхностного натяжения при этом не превышала 3 %. Отметим, что результаты, полученные на основе предложенного метода, согласуются с основными выводами, представленными в работах [10-13].

Из вышеизложенного следует, что проблемы математического моделирования задач теории капиллярности с параллельной разработкой новых методов оценки информативности и достоверности экспериментальных результатов приобретают все больший интерес.

Проведенные модельные расчеты показывают, что ошибки в определении физических параметров системы (в частности, поверхностного натяжения) зависят от формы и размеров капли и могут достигать существенных (десятков процентов) величин. Лишь соответствующим образом подбирая размер капли и подложку, можно улучшить качество проводимых исследований методом большой капли.

Результаты проведенных исследований могут быть использованы для анализа кинетики адсорбции, изучения изотерм расклинивающего давления, проведения многофакторного анализа влияния различных факторов на статику и динамику капли на твердой поверхности, оценки и контроля качества проводимых исследований, что представляет значительный практический и теоретический интерес.

Литература

1. Попель С.И. Поверхностные явления в расплавах. М., 1994. 440 с.

2. Объекты и методы коллоидной химии и нанохимии // Успехи химии. 2000. Т. 69, № 1. С. 95-138.

3. Теория стабильных сверхструктур поверхностного слоя упорядочивающихся сплавов / А.Ю. Гуфан [и др.] // Фазовые переходы, упорядоченные состояния и новые материалы. 2006. № 5. С. 1-2.

4. Ахкубеков А.А., Орквасов Т.А., Созаев В.А. Контактное плавление металлов и наноструктур на их основе. М., 2008. 147 с.

5. Кербер М.Л. Полимерные композиционные материалы: структура, свойства, технологии. М., 2008. 500 с.

6. Русанов А.И., Прохоров В.А. Межфазная тензометрия. СПб., 1994. 400 с.

7. Емельяенко А.М., Бойнович Л.Б. Применение цифровой обработки видеоизображений для определения параметров сидячих и висяшдх капель // Коллоидный журн. 2001. Т. 63, № 2. С. 178-193.

8. Hoorfar M., Neumann A.W. Recent Progress in Axi-symmetric Drop Shape Analysis (ADSA) // Advances in Colloid and Interface Science. 2006. Vol. 121. Р. 25-49.

9. Влияние малых примесей на поверхностное натяжение свинца / М.М. Губжоков [и др.] // Расплавы. 2006. № 3. С. 76-79.

10. Канчукоев В.З., Карамурзов Б.С., Лесев В.Н. Динамика проводящей капли на твердой поверхности в электромагнитном поле // Экол. вестн. науч. центров Черноморского экономического сотрудничества. 2007. № 3. С. 33-39.

Поступила в редакцию_

11. Понежев МХ., Созаева А.Б., Созаев В.А. Политермы углов смачивания расплавами стали 12Х18Н9Т // Теплофизика высоких температур. 2008. Т. 46, № 2. С. 310-312.

12. Созаева А.Б. Поверхностное натяжение жидких индия, свинца, кадмия с малыми добавками лития и натрия и смачиваемость ими конструкционной стали 12Х18Н9Т : автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. Нальчик, 2008. 19 с.

13. Политермы поверхностного натяжения и плотности расплавов системы свинец-литий / В.З. Канчукоев [и др.] // Теплофизика высоких температур. 2009. Т. 47, № 2. С. 1-4.

14. Финн Р. Равновесные капиллярные поверхности. Математическая теория. М., 1989. 312 с.

15. Самарский А.А. Теория разностных схем. М., 1977. 656 с.

_16 марта 2009 г.