Моделирование растекания капли вязкой жидкости в плоской постановке при больших числах Бонда Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2007

Математика и механика

№ 1

УДК 532.516.5:532.69

М.А. Пономарева, В.А. Якутенок

МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСТЕКАНИЯ КАПЛИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ПЛОСКОЙ ПОСТАНОВКЕ ПРИ БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ БОНДА1

В настоящей работе рассматривается растекание капли вязкой жидкости по горизонтальной твердой стенке в плоской постановке для различных чисел Бонда, в том числе соответствующих значительному гравитационному воздействию (в рамках модели ползущего течения), без каких-либо ограничении, накладываемых на характер изменения динамического краевого угла. Численное решение находится на основе использования метода граничных элементов.

Исследованию процесса взаимодействия капель жидкости с твердой стенкой, смоченной или сухой, посвящено значительное число работ, например [1 - 4]. При этом, в случае использования методов математического моделирования основные трудности связаны с получением решения в области линии трехфазного контакта (ЛТФК) и построением эффективного вычислительного алгоритма.

Для многих технологических приложений важно знать подробности растекания капель жидкости при достаточно медленном течении. В этом случае инерционными эффектами можно пренебречь. Это предположение имеет место при малости величины числа Рейнольдса, которое в данном случае можно представить в виде Re = рЯа/р << 1 (р - плотность, Я - радиус капли, а - коэффициент поверхностного натяжения, р - коэффициент динамической вязкости). В настоящей работе не используются дополнительные предположения о характере изменения динамического краевого угла (ДКУ). Тем самым фактически игнорируются силы межмолекулярного взаимодействия на ЛТФК, и ДКУ близок к п. Как следует из работ [2, 4], это предположение для гидрофобных поверхностей подтверждается экспериментально и теоретически.

Таким образом, рассматривается процесс растекания капли вязкой жидкости по сухой горизонтальной несмачиваемой гладкой поверхности. При формулировке задачи используется плоское приближение, тем самым фактически рассмотрение касается растекания цилиндрического объема. В то же время, как показано далее, результаты расчетов в плоской постановке достаточно хорошо описывают процесс растекания капель, не только качественно, но и количественно. В начальный момент времени граница области, занимаемой жидкостью, может иметь форму окружности радиуса Я или прямоугольника эквивалентной площади. Последнее необходимо для выяснения поведения решения в окрестности ЛТФК.

В рамках модели ползущего течения [5] уравнения движения и неразрывности в безразмерной форме записываются в виде

где хі, х2 - горизонтальная и вертикальная оси декартовой системы координат. При обезразмеривании использованы масштабы: длины Я, скорости а/р. Под без-

д 2Уі др дУі

0, і,] = 1, 2,

(1)

дх j дх j дхі дхі

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 06-08-00107-а).

размерной величиной давления понимается величина р = рЯ/а + Во • х2, где р -

размерное значение давления; Во = рgЯ2/а - число Бонда, характеризующее отношение гравитационных сил к силам поверхностного натяжения (% - ускорение силы тяжести). Граничные условия на свободной поверхности и на твердой стенке имеют вид

= -(к + Во х2 )и;; (2)

V, = 0, (3)

где - усилия, приложенные к свободной поверхности, к - кривизна, П, - компоненты внешней нормали к границе области.

Для случая Во ^ <» в уравнениях (1) используется масштаб скорости рgЯ2/р, а под давлением понимается величина р = ~рр§Я + х2. Вместо (2) на свободной поверхности должно выполняться

и = -Х2 п,. (4)

Деформация формы свободной поверхности растекающейся капли с течением времени происходит в соответствии с кинематическим условием

— = V . (5)

Для решения задачи используется непрямой метод граничных элементов [5]. Исходная система дифференциальных уравнений (1) заменяется эквивалентной системой граничных интегральных уравнений

V (х) = |^ (х, ^)фу (£)*(£), ^ (х) = |^ (х, £)Ф] , (6)

где с1з(£) означает интегрирование по поверхности 5; плотность фиктивных источников фу(^) находится исходя из граничных условий; Fij(x,Q и G у(х,^) - фун-

даментальные сингулярные решения линеаризованной системы уравнений Навье - Стокса.

Граница области разбивается на N прямолинейных отрезков (элементов), вдоль которых искомая функция фу(^) считается постоянной. Полученная система алгебраических уравнений решается методом Гаусса. Значения скоростей и напряжений находятся численным интегрированием. Для вычисления новой формы свободной границы в соответствии с (5) используется схема Эйлера. Шаг по времени выбирается из условия Куранта. Вычислительная схема позволяет с высокой точностью получать на каждом шаге по времени решение краевых задач (1) - (3) и (1) (3) и (4).

Расчеты показали, что без всяких затруднений возможно моделирование процесса растекания для чисел Во < 5. При этом движение ЛТФК сводится к накатыванию свободной границы на твердую стенку подобно «тракторной гусенице» и возможно получение равновесных форм. Для чисел Во > 5 при достижении ЛТФК точки с координатой г ~ 1,77 дальнейший расчет по вышеописанной методике приводит к появлению зоны вторичного течения в окрестности ЛТФК и остановке ее перемещения по твердой стенке (рис. 1).

Данный вычислительный эффект, лишенный физического смысла, можно связать с резким ростом касательных напряжений на твердой стенке вблизи ЛТФК. На рис. 2 приведены картины растекания столбиков жидкости без учета сил поверхностного натяжения и распределение касательных напряжений вдоль твердой

стенки при достижении точки с координатой г , которая и в этом случае ~ 1,77 (формы границы указаны через временной интервал At = 0,5). Дальнейший расчет приводит к появлению течения, подобного изображенному на рис. 1. Эффект роста касательного напряжения вблизи ЛТФК связан, по-видимому, со скачкообразным переходом от условий прилипания на твердой стенке к условиям на свободной границе.

1

0,5-

0.002 0.16

—ггптптт

^ ЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЬг-і Н ^ЧЧЧЧЧЧЧЧЧЦШ///*^!^

ЇНШН*""""'"* и чччххчхччччци\\\\ /7

хжчч\чч\. ^ Ч. V '

І І І I

-1,5

І І І I

-0,5

І І І I

0

I—|---1—I—г

0,5

І І І І І І I

1 1,5

бп

3 -21 -

0

Рис. 1. Картина течения при использовании условий прилипания

2

-2

-1

0

1

2

Рис. 2. Последовательности форм свободной поверхности и распределение касательного напряжения вдоль твердой стенки при растекании столбиков жидкости

0

5

4

2

Для устранения вышеуказанной вычислительной проблемы в настоящей работе предлагается в малой окрестности ЛТФК (фактически на примыкающем к ней элементе, расположенном на твердой стенке) вместо (3) использовать условие скольжения

V! - р-^ = 0, (7)

дх2

где в - безразмерный коэффициент скольжения, значение которого бралось равным 10-6. В этом случае равновесные формы свободной границы капли можно получить практически для любых значений числа Во. Тем не менее, при переходе ЛТФК точки г наблюдаются исчезающие в последующем колебания свободной поверхности в окрестности твердой стенки. Полностью избежать нежелательных искажений свободной границы в этот момент удается с использованием вычисли-

тельной процедуры, заключающейся в том, что при появлении расчетной точки, с положительной вертикальной составляющей скорости (что предшествует зарождению вихревой зоны), данная точка считается принадлежащей твердой стенке. Значение вертикальной составляющей скорости является малой величиной, а сама точка является краем первого элемента свободной границы, примыкающего к твердой стенке.

На рис. 3. представлена картина растекания цилиндрического объема жидкости, моделирующего в плоском приближении каплю жидкости, без учета поверхностного натяжения (А? = 10). Штриховой линией изображена форма свободной поверхности в соответствующий момент времени, полученная в приближении теории смазки [3]. Характер изменения радиуса пятна контакта со временем демонстрирует рис. 4, где штриховая кривая построена с использованием решения [3]. Значительные отличия наблюдаются только на начальном этапе процесса растекания, когда пленочная модель течения является достаточно грубым приближением.

Рис. 3. Последовательности форм свободной поверхности (Во = да, сплошные линии) и сравнение с данными работы [3] (штриховая линия)

Рис. 4. Зависимость радиуса пятна контакта г от времени (сплошная линия) и сравнение с [3] (штриховая линия)

Результаты моделирования растекания объема жидкости при Во = 3 (рис. 5, а), Во = 15 (рис. 5, б) и Во = 50 (рис. 5, в) подтверждают эффективность предложенной методики и в случае учета поверхностного натяжения. В случае конечных значений чисел Во расчет продолжается до достижения поверхностью жидкости равновесной формы.

2-

ц

0-

2'

1-

0-

-5 -4 -3

“I IIГ"

-2 -1 0 1

2

345

Рис. 5. Последовательность форм свободной поверхности: а - Bo = 3; б - Bo = 15; в - Bo = 50

Достоверность полученных результатов подтверждается сравнением расчетной стационарной формы свободной поверхности с формой, полученной фотосъемкой капли ртути массой 0,15 г (рис. 6, а). В ходе эксперимента каплю ртути помещали на пластину оптического кварцевого стекла, предварительно обезжиренную 5% раствором бихромата калия и спиртом.

Рис. 6. Капля ртути на кварцевом стекле (а); сравнение равновесных форм свободной поверхности (б) для Во = 0,5 (сплошная линия (ж) - расчет, штриховая (•) - эксперимент)

6

6

Число Бонда в этом случае равно 0,5. Наблюдаемое согласование форм (рис. 6, б) позволяет сделать вывод о том, что плоское приближение дает результаты, достаточно хорошо согласующиеся с осесимметричным случаем.

ЛИТЕРАТУРА

1. Lavi B., Marmur A. The exponential law: partial wetting kinetics and dynamic contact angles

// Colloid and Surfaces A: Physicochem. Eng. Aspects. 2004. V. 250. P. 409 - 414.

2. Hocking L.M. Moving fluid interface - 2. The removal of the force singularity by a slip flow

// J. Fluid Mech. 1977. V. 79. No. 2. P. 209 - 229.

3. Nakaya C. Spread of fluid drops over a horizontal plane // Journal of the Physical Society of Japan. 1974. V. 37. No. 2. P. 539 - 543.

4. Reznik S.N., Yarin A.L. Spreading of a viscous drop due to gravity and capillarity on a hori-

zontal or an inclined dry wall // Phys. Fluids. 2002. V. 14. P. 118 - 132.

5. Козлобродов А.Н., Шрагер Г.Р., Якутенок В.А. Моделирование гидромеханических течений в технологии переработки полимерных материалов. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1999. 230 с.

Принята в печать 03.12.07