CC BY
126
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2008 Математика и механика № 1(2)
УДК 532.516.5:532.69
М.А. Пономарева, Г.Р. Шрагер, В.А. Якутенок ИСПОЛЬЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ ДЮПРЕ - ЮНГА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О РАСТЕКАНИИ ЖИДКОСТИ ПРИ ОГРАНИЧЕННОМ СМАЧИВАНИИ1
В настоящей работе предлагается способ численного моделирования процесса растекания вязкой жидкости по твердой стенке в условиях ограниченного смачивания. Краевое условие на линии трехфазного контакта получено с привлечением уравнения Дюпре - Юнга. Представленные результаты подтверждают адекватность предложенной постановки задачи и алгоритма получения численного решения.
Ключевые слова: Растекание, смачивание, вязкая жидкость, динамический краевой угол, линия смачивания.
Растекание объема вязкой жидкости по твердой стенке сопровождается непрерывным изменением краевого угла от некоторого начального значения, как правило, близкого к п, до его равновесной величины 05. Это изменение происходит в
условиях движения линии смачивания (границы контакта трех сред: газа, жидко-
сти и твердого тела) по твердой стенке. После достижения свободной поверхностью ее равновесной формы течение прекращается. Такой процесс называют растеканием при ограниченном смачивании [1]. Основной характеристикой взаимодействия трех сред при этом является равновесный краевой угол 0Я а равновесная форма определяется условием Лапласа
ок = РЕХ2 (1)
и уравнением Дюпре - Юнга на линии смачивания
0 008 0а = о1 - о2, (2)
где о, оь о2 - коэффициенты поверхностного натяжения на границах раздела жидкость - газ, твердое тело - газ и твердое тело - жидкость соответственно, р -плотность жидкости, § - ускорение силы тяжести, х2 - вертикальная координата, ортогональная твердой стенке (рис. 1).
Исследованию эволюции динамического краевого угла в процессе растекания посвящено значительное количество работ, например [2 - 6]. В то же время не существует общепринятого подхода к формулировке граничного условия в окрестности линии смачивания, учитывающего взаимодействие трех контактирующих фаз. Возможные варианты решения проблем, возникающих при численном моделировании растекания для краевого угла 05 = п, приведены в [7 - 8] для произвольных чисел Бонда (Во = р§Л2/о).
1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 08-08-00064-а, 06-08-00107-а).
Рис. 1. Объем жидкости на твердой поверхности в начальный момент времени и в условиях равновесия
Постановка задачи
Рассматривается процесс растекания объема вязкой несжимаемой жидкости, имеющего в начальный момент времени форму цилиндра, касающегося твердой сухой поверхности (рис. 1). Влиянием торцевых стенок цилиндра на течение в рассматриваемом сечении пренебрегается, поэтому в безынерционном приближении возможно использование уравнений Стокса в двумерном виде
Щи- +рgi = 0, и7 = 1,2 , (3)
дху
и уравнения неразрывности
^ = 0, (4)
дх.
где П = -рду + 2^ёу - компоненты тензора напряжений, р - давление, х - оси декартовой системы координат, £,{0,- g) - компоненты вектора силы тяжести,
1
еу - 2
^ ди, ди .■ ^
—- + —-
дх,■ дх,
V ] 1 У
■ компоненты тензора скоростей деформаций, и, - компонен-
ты вектора скорости, ц - коэффициент динамической вязкости. На горизонтальной поверхности х2=0 выполняется условия прилипания
Щ = 0. (5)
Динамические граничные условия на свободной поверхности, заключающиеся в отсутствии касательных напряжений и равенстве скачка нормальных напряжений капиллярному давлению, можно записать в проекциях на оси координат х, в виде
и = Пп] = -сткп, (6)
где ?,• - компоненты вектора усилий на свободной поверхности, п, - компоненты внешней нормали, к - кривизна свободной границы.
Кинематическое условие, которому подчиняется свободная поверхность, используется в лагранжевом представлении:
Уравнение движения (3) можно переписать в виде
Щ
5Х;
- = 0,
(8)
с использованием потенциала силы тяжести ф = для преобразованных компонент тензора напряжений = -(р - рф)8 ^ + 2р,егу. В этом случае краевое условие (6) запишется следующим образом:
Ь = П] п] = -(ок + р#х2 И . (9)
Движущую силу, отнесенную к единице длины, на линии трехфазного контакта при ограниченном смачивании можно представить в виде [1]
Ао = (О! - С2) - 00080^ ,
где 0^ - значение динамического краевого угла в процессе растекания. С учетом уравнения Дюпре - Юнга (2) получаем
Ао = 0(008 0^ - 008 0^ ) . (10)
Таким образом, для учета межмолекулярного взаимодействия на линии смачивания достаточно знания значения равновесного краевого угла 0Я которое гораздо проще определить экспериментально для исследуемых сред, чем величины 01 и о2. В конце процесса растекания, при выполнении равенства 0^ = 0„ должна реализовываться равновесная форма свободной поверхности, определяемая равенствами (1) и (2).
Для перехода к безразмерным переменным используются масштабы: длины -Я, скорости - о/ц, давления - о/Я. Тогда видоизменятся только граничные условия (9) и (10), которые с сохранением прежних обозначений запишутся в виде
^ = -(к + Бох2 )иг; (11)
Ао = ОО80„ - сов(
(12)
Метод решения
Для численного решения поставленной задачи используется непрямой метод граничных элементов, подробно изложенный для задач рассматриваемого класса в работе [9]. Используемая при этом дискретизация показана на рис. 2.
Рис. 2. Дискретизация границы области решения
Постановка краевой задачи для уравнений (4) и (8) требует задания на соответствующих частях границы области решения компонент вектора скорости и, или значений компонент вектора усилий ?,. В то же время на линии смачивания должно быть выполнено условие (12). Для учета движущей силы растекания, соответствующей этому условию, предлагается задавать на элементе цсь, расположенном на твердой стенке и примыкающем к линии смачивания, граничное условие в виде
Аст
Ч ~~к , и2 = 0 ,
Ау9
9С1
где - длина элемента цсь.
Точно такие же условия должны быть заданы на симметрично расположенном элементе ц^сь+г. Использование граничного условия в такой форме обеспечивает воздействие силы на указанном элементе на объем растекающейся жидкости, эквивалентной движущей силе, действующей на линии смачивания. При этом надо учесть, что величина До является фактически плотностью силы, действующей на линии контакта, а 1\ - плотностью поверхностной силы, действующей на твердой стенке вблизи линии контакта трех сред.
Кривизна свободной границы вычисляется со вторым порядком точности с использованием выражения к = (р/(у, где в - угол наклона касательной к границе относительно оси XI, я - дуговая координата, отсчитываемая против часовой стрелки.
Для вычисления форм свободной поверхности в соответствии с кинематическим условием (7) используется схема Эйлера
п+1 п . П \ ,
X = X + щ М ,
где п - номер шага по времени, Дt - шаг по времени, выбираемый в соответствии с условием Куранта: Дг<яш;п/итах, где яш;п - длина наименьшего элемента на свободной поверхности, ишах - максимальное значение модуля вектора скорости на ней.
Результаты расчетов
Результаты проведенных расчетов по вышеизложенной методике иллюстрируются рис. 3 - 6. Согласование полученных в расчетах равновесных форм с формами, вычисленными в соответствии с уравнениями (1), (2) (алгоритм вычисления приведен в [10]), доказывает возможность численного моделирования процесса растекания с использованием условия (12) на линии смачивания. При этом процесс растекания можно разделить на два этапа. На первом происходит накатывание свободной поверхности на твердую стенку, так, как это описано в [8]. Далее начинается собственно перемещение линии смачивания в соответствии с (12). Зависимости основных характеристик растекания объема жидкости, приведенные на рис. 4 - 6, позволяют утверждать, что при малых числах Бонда этап смачивания значительно длительнее этапа натекания и протекает со скоростями на несколько порядков меньшими (~102). Полученные зависимости динамического краевого угла, представленные на рис. 5, позволяют сделать вывод о том, что этап смачивания характеризуется близостью динамического краевого угла к его равновесному значению.
Х\ Х\
Рис. 3. Последовательность форм свободной поверхности для Во = 1, Дt = 1: а - 0Я = 60°; б - 0Я = 90°; в - 0Я =120° (штриховые линии - равновесные формы, полученные в соответствии с [9])
Х2
1,5
1
0,5
Рис. 4. Последовательность форм свободной поверхности для Во = 2, Дt = 1: а - 0Я = 60°; б - 0Я = 90°; в - 0Я =120° (штриховые линии - равновесные формы, полученные в соответствии с [9])
Рис. 5. Зависимость динамического краевого угла от времени для Во = 1: 1 - 0, = 120°; 2 - 0, = 90°; 3 - 0, = 60°
Рис. 6. Зависимость от времени: а - высоты объема жидкости, б - величины контактной зоны. 1 - 0, = 120°; 2 - 0, = 90°; 3 - 0, = 60°
ЛИТЕРАТУРА
1. Сумм Б.Д., Горюнов Ю.В. Физико-химические основы смачивания и растекания. М.: Химия, 1976. 232 с.
2. HockingL.M., Rivers A.D. The spreading of a drop by capillary action // J. Fluid Mech. 1982. V. 121. P. 425 - 442.
3. Hoffman R. A study of the advancing interface. I. Interface shape in liquid-gas systems // J. Colloid Interface Sci. 1975. V. 50. No. 2. P. 228 - 241.
4. Reznik S.N., Yarin A.L. Spreading of a viscous drop due to gravity and capillarity on a horizontal or an inclined dry wall // Phys. Fluids. 2002. V. 14. P. 118 - 132.
5. Пухначев В.В., Солонников В.А. К вопросу о динамическом краевом угле // ПММ. 1982. Т. 446. № 6. С. 961 - 971.
6. Воинов О.В. Течения с квазиравновесными свободными границами в динамике смачивания твердых тел // ПММ. 2006. Т. 70. № 2. С. 264 - 275.
7. Пономарева М.А., Якутенок В.А. Моделирование растекания капли вязкой жидкости в плоской постановке при больших числах Бонда // Вестник ТГУ. Математика и механика. 2007. № 1. С. 79 - 83.
8. Якутенок В.А., Пономарева М.А., Архипов В.А. Численное моделирование в плоской постановке растекания капли по твердой стенке // Изв. вузов. Физика. 2006. № 6. Приложение. С. 172 - 176.
9. Якутенок В.А. Численное моделирование медленных течений вязкой жидкости со свободной поверхностью методом граничных элементов // Мат. моделирование. 1992. Т. 4. № 10. С. 62 - 70.
10. Пономарева М.А., Тимохин А.М., Якутенок В.А. Определение равновесной формы объема капиллярной жидкости, расположенного на горизонтальной поверхности // Изв. вузов. Физика. 2007. №9/2. C. 269 - 273.
Принята в печать 07.04.08.
