CC BY
13
Динамика конструкций и сооружений
ИССЛЕДОВАНИЕ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ В КРУГОВЫХ
ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧКАХ СО СТАБИЛИЗАТОРОМ ДАВЛЕНИЯ В МАГИСТРАЛИ ДЛЯ СИЛЬНОСЖИМАЕМЫХ СРЕД
Ф.В. РЕКАЧ, канд. техн. наук, доцент Российский университет дружбы народов
Область применения компрессоров очень широка. Мощные компрессоры применяются в нефтеперерабатывающей и нефтехимической, химической и газовой промышленности, энергетике. В газовой промышленности компрессорные машины являются основным технологическим оборудованием. Все это предъявляет чрезвычайно высокие требования к эффективности эксплуатации компрессорных машин. Часто компрессоры эксплуатируются с большим перерасходом электроэнергии, чему в немалой степени способствуют вредные пульсации давления и расхода, имеющие место на выходе из компрессора и затем передающиеся в линию. Кроме того, наличие вредных пульсаций значительно снижает к.п.д. компрессорных машин, создают неудобства при наладке и эксплуатации установок, часто являются причиной преждевременного износа оборудования. Учитывая вышесказанное, можно утверждать, что работы, связанные с разработкой и применением в компрессорном хозяйстве гасителей вредных пульсаций давления, имеют важное экономическое значение.
Статистические данные последних лет эксплуатации магистральных паро- и газопроводов показывают, что применяемые методы защиты от вредных пульсаций давления являются недостаточно эффективными. Поэтому задача разработки стабилизаторов давления новой конструкции является весьма актуальной.
Полученные экспериментальные результаты показали высокую эффективность работы новых стабилизаторов давления. Однако, с целью обоснования параметров нового стабилизатора давления, необходимо выполнить теоретические исследования и сравнить их с результатами эксперимента.
Принципиальная схема нового стабилизатора давления (опытного образца) приведена на рис.1.
2
1
///////////////////////////и
Г = Г,
г = гп
г- О
ит
У/////Л
г = г„
7777?Г
ШЖ
тггж.
У///Л
О С) () о
шг
-У777Л
7777Л
г =
у//////'///////Л
Рис. 1. Расчетная схема стабилизатора диссипативного типа с одним слоем перфорации: I - труба трубопровода, 2 - камера стабилизатора
Для математического описания движения пара (газа) через стабилизатор используются уравнения акустики, написанные в цилиндрической системе координат. Рассматривается случай короткого трубопровода. В этом случае перепад давления на входе и выходе из трубопровода намного меньше пульсаций давления. Следовательно, сопротивлением движению пара (газа) в трубопрово-
де можно пренебречь. Влияние силы тяжести на движение пара (газа) также не учитывается. При расчетах предполагается, что движение пара (газа) происходит при постоянной температуре, т.е. рассматривается изэнтропическое движение идеального газа. В этом случае идеальный газ можно рассматривать как ба-ротропную среду. Цилиндрическая система координат r,(p,z выбирается таким образом, чтобы ось z совпадала с продольной осью трубы паро(газо)провода. Уравнения движения и неразрывности такой среды при отсутствии внешних массовых сил имеют вид [6]:
диг диг и ди. du. и2 1 ф
_— + И _— ц__-__— + и —----— =---—
dt r dr г dip z dz г р dr'
du du и du du и ur 1 dp
—- + u. —- + ——- + u, —+ —— =--
dt dr r dip dz r p-rd<p
du7 du2 и du, ди, 1 dp
ot or r 0<p oz p oz
rdp d(p-ur r) | dip■
dt dr d(p dz
Стационарное движение газа (в дальнейшем значок 0) в одномерной системе газопровод-стабилизатор без пульсаций давления описывается уравнения-
гх" Г/П duz 1 Ф dipuz) п
ми движения Эйлера [6]: uz—- =---—; -= 0. (2)
dz р dz dz
„ du, dp d r 2 п Л
Из (2) получаем: pu. - q = const, puz —- + — = —[puz + p] = 0,
dz dz dz
т.е. pu\ + p = const.
На входе в трубопровод имеем: uz - uz - ит = const;
,0 /. __„„, . „ „0 „/„Oi
p = p -q!um = const; p = p -p{p ) = const. Следовательно,
pu) +Р = Рвхи1вх +рвх,
Р = Р(Р°)-
Полученная система имеет решение: иг = и°2, р- р°, р = р°. Между перфорированной трубой и корпусом стабилизатора пар (газ) при отсутствии пульсаций давления неподвижен. Следовательно,
"г =0, р = р°, р = р°. Нестационарное движение (значок ') пара (газа) в трубе паро- и газопровода описывается уравнениями акустики [7], полученными из уравнений (1), при этом возмущения всех величин считаются малыми:
о ди'г ди др о ди' ди' др' р —- + д—- = ——, р т—- + —2- = ——,
Э/ дг дг дг д(р
о ди\ ди'г др' . dp оч ■
р = Р =-т-(р )р,
дt дг дг ар
др о д(и'гг) 0 ди 0 ди' о др л дt дг д<р дг дг
В стабилизаторе имеем,
= = О ди* = Ф'
Э? дг 5 <3/ 0<г>' 5/ ' (4)
' Ф , (К ' ф' о д(игГ) 05и<Р О 9мг л, ар от от- д(р 02
В трубе газопровода иг =иг,и<р=и(р,иг =и°2 +и,, р- р° + р , = р° + р , в стабилизаторе иг =иг,и9=и1р,иг-и2, р = р° + р , р = р° + р .
Осредним уравнения (3) и (4) по поперечному сечению газопровода и по поперечному сечению стабилизатора по формулам:
— \\г/{г,(р,2,^г(1<р=][{2Л) (труба), (5)
тр О О , 2гг/,
^^{г,(р,1,{)с1гс1(р=}ст{г,() ((стабичизатор), (6)
где - площадь поперечного сечения трубы газопровода, - площадь поперечного сечения стабилизатора (рис.1).
Для газопровода (в дальнейшем значок ' опускается) получим:
от ог сж от ог ог
где с2 -йр!йр - квадрат скорости звука в газе. Утр =5'трХ и /тс(г, 0~ поток
массы через боковую поверхность трубы газопровода в сечении г, [кг/сек]:
В поперечных сечениях со стабилизатором давления третье уравнение (7)
_ др о о др 1 :
будет иметь вид: + — + иг —— = -—— /тс(г,/), (7а)
от & &
где = 5трЬ и 1тс(г,() - поток массы через боковую поверхность трубы га-
2/г
л о Г *
зопровода в сечении г, [кг/сек]: /тс(г,0 = 2я£р 1|/иг],=,о ¿<р.
о
Положим ртр(г,0 = р{2,0 + дйг(г,0 , (8)
где (г,0-давление в трубе с учетом давления дй,^,!) от переносного ускорения стационарного члена # = и°гр0 нестационарной скоростью и. (г,0 .
Подставляя (8) в (7) и учитывая, что р = \р, получим:
с
+ 2ы° + п° Гс2 - I2 7—5- = 0 Исключая из уравнений (9) и„(г,0> получим:
^„^'-^„ЭТ^о. СО)
Выполняя аналогичные выкладки для уравнения (7а), получим:
а2 д/я/> я2 птР Я2 <~2 Я/
+ --= (10а)
д[2 С(д2 * Эг2 а?
Возмущения скорости, плотности и давления в стабилизаторе будем обозначать соответственно щт (г, рст, рст (г, О-
Для стабилизатора, с постоянным объемом Уст приток (отток) газа массы Ат сопровождается увеличением (уменьшением) осредненной плотности газа в стабилизаторе на величину Арст; А/я = Арст ¥ст.
Для рассматриваемой баротропной среды Арст =Арст /с2 , где Ьфст (г,г) - осредненное приращение давления в стабилизаторе.
\пст
Следовательно, Ат = , Уст. (11)
с
Приток газа массы т за время I равен т= ртс(г,1)Ш (12)
Интегрируя (11) по времени (учитывая (12)), имеем
с2 г-
= _ \1 (г.ЯЖ (13)
Г т / J - /не V - ' ' -
ст
Перетекание газа через отверстия
Будем считать, что длина стабилизатора Ь « Я, где Я - длина волны основного тона пульсаций массового расхода. Поэтому давление по длине стабилизатора в момент времени ¿0 считается постоянным. Систему перфорированных отверстий, равномерно распределенных по длине стабилизатора заменим одним отверстием в сечении г = гп. Общий поток газа через это отверстие будет рав-
£
но: А](0= ртс (14)
о
Проведенные к настоящему моменту исследования показали, что зависимость скорости перетекания гпер газа через отверстие от разности давлений в
магистрали и стабилизаторе можно аппроксимировать формулой [8]:
Ртр(ги,0- рст(ги,0 = А^пер + В]утр|у„ер|, (15)
где Ах и Вх- постоянные коэффициенты, полученные экспериментально. Уравнение (15) можно линеаризовать, полагая 5, =0 при упер « \тр.
Обозначим А = А^{ртс • Ртр), где ртс - плотность газа, перетекающего из трубы в стабилизатор, ртс ~ р°. Тогда, формула (15) примет вид:
ртр(2п,()-рст(ги,0 = А-1и0), (16)
Л
А1(О= упер ■ Р ■ Роте > где Рот« ~ площадь отверстия в сечении ги, равная суммарной площади перфорированных отверстий. Коэффициент Л характеризует зависимость проводимости отверстий от формы и геометрических размеров.
Движение газа в трубопроводе.
Разобьем магистраль трубопровода на два участка: Iучасток (/ = 1): II участок (/ = 2 ): ге[гп;£2].
Будем искать решение уравнения (10) для /-го участка трубопровода в ви-
+00
де ряда Фурье: р/тр(2>0 = ^а^(2)соз(т/с0 + КРШп(щ0, (17)
/Ы
где тк = 2лк/Т, Т ~ главный период пульсаций давления. 50
Подставляя (17) в уравнение (10) (коэффициент / опускается), получим:
!,яр литР
о1 ~ <«! )2 ]~Т~ ~ ~~ + ^ =
йг (Ь (]8)
В дальнейшем будем рассматривать случай и°г/с = £«1 и пренебрежем членами, содержащими
<ЛЬкр /ск и с1акр/ог. Отбрасывая указанные члены и члены порядка е1, получим следующую систему уравнений:
тр
а ак . ..г ,то,\ л
7 (19)
И2Нтр аг
ГПЙ — IС ~1твс1() Сист^чя Г19) пягпядартг,а ня пая rrrnenim.iv ппинякп.
* Г** к к / ^ V Ж / • ^ ' " ^ Ч У а - - -V - ,»—^.. . О,.«. V
вых (с точностью до обозначений) уравнения для функций акр(г) и Ькр {г). Решение системы имеет вид:
ак = С\ сое+ С2 ип(^г),
3 4 (2°)
= ск соб(^г) + С,
Тогда, давление в магистрали для /- го участка примет вид:
-ЧР, Л V + С2 Б1п(^г)]соз(/и4/) + 1
р/(г,0 = 2_1у г 1 >. (21)
*-1 I + [С,к сов^г) + С1к &т(ркг)]8т(тл/)]
Из второго соотношения (9), имеем: р Ртр —- = -Р,
ОН.
тр ы тр &
едртр
Массовый расход газа 6тр =р°Ртри, = -Ртр (22)
Подставляя (21) в (22), получим:
^тр
г' , , 1 (23)
с ¿=1 I + г С;к соь{ркг) + Сл 8т(/^г)]8т(ткЩ
Краевые условия
1) Пусть в некотором сечении газопровода г = заданы пульсации массового расхода О, (-1, = (/). (24)
РазложимО0(/) в ряд Фурье: б0(Г) = (г)со$(тк0 + Ик (г)Бт(тк(), (25)
ы
2) При г = 12 примем давление в магистрали равным нулю, т.е.
ртр(12,О = 0. (26)
3) Условие равенства массовых расходов газа в узле 2 = 2,,:
+ 1и (/) - = 0. (27)
4) Давление при г = гх, - 0 и г = гп + 0 должны быть равны, т.е.
-Я^п.О^и,, ,0- (28)
5) Условие (16) перетекания газа через перфорационное отверстие (через
А
систему отверстий) при г = гп: ртр(гп,1)~ рст (гп,г) - А ■ 1п(г). (29)
Исходные уравнения. Массовый расход газа через отверстие в сечении г = гп представим в виде
МО - У ак совКО + рк $т(тк1).
ряда Фурье:
Подставляя (14) в (13) и используя (30), получим:
л »
А
(2,,, 0 - ~ Г Л, (0Л - X — "п(%0 - ~со8(т,0
^стЫ\тк тк
(30)
(31)
Подставляя выражения для р?р{г,(), рст/п(Г) в краевые
условия (24), (26)-(29) при фиксированном к (к в уравнениях опускается) и группируя выражения при со$(тк1) и ь\п(тк1) , получим систему из десяти уравнений
_________________ /"1 <-'2 гЪ ¿-ч1 ¿-.4 д,
ишисшсльни , , , , «-г ' ,-/2' 2 » "> " •
Г К
И/> (с? ) + С,4 сюС/Д, )).£, (- С, 81П(/£1 ) - С,2 С08(/^ ))= А,
С2" со5(/£2) + С2 ) = О,
/г /
—— I-С,3 5т(/си) + С4 СОБ^Ц) + С2 8£п(х^г,^ - С2 соз^ 1); + а = О,
С2 С08(/£2) + С2 8Ш(^£2) - О,
1 мр С
(с,1 5т(/сп) + С2 со8(/яи) - С2 вт^л) + С2 со8(/яп)) + р = О, с' С08(/Хги) + с,2 8т(/Еп) - С2 С08(//гп) - с\ 8ш(/Си) = О,
С\ + С* ш(/дп)~ С\ со$(/ди )~ С\ 81п(/гги) = О,
с2 В с1а
С1 сое /си + С,2 вт + —= Аа, С3 соз/^гг1г + С* вт ргп - ■
тУ.
(32)
■А/?
ДАВЛЕНИЕ В МАГИСТРАЛИ , МПа
Решая систему (32) для каждого к и суммируя решения для п членов разложения С0(г), получим выражения для Дтр(г,/), рст(ги,г), 6™р(г/), /п(г)
согласно формулам (21), (31), (23), (30). Алгоритм реализован в среде МАРЬЕ (ОавТл^У)
Пример
Исходные данные:
I; -10л«, 12 -15л, ^ -0.7854л<2
■39.27 л<2. Коэффициент проводимости отверстий А - 30 Массовый расход
С0(0-100 вт(й> 0 , где со = 4яУс ,Т= 0,5 с; с = 500 м/с, На рис.2 изображены графики дав-
-0.005
-0.015-1
02 0.4 0.6 0.8 1 1 сек
1.2 1.4
ления в сечении z = 7,5 м без стабилизатора (кривая 2) и со стабилизатором (кривая 1).
Выводы
1) Компактных размеров стабилизатора давления можно добиться при относительно малых периодах пульсаций давления (Т< 0,1 с). В противном случае необходимо устанавливать упругие камеры.
2) При увеличении частоты массового расхода (и (или) уменьшении скорости звука) при расчетах возникают ограничения по длине рассматриваемой магистрали. Для более протяженных систем необходимо введение дополнительных участков магистрали.
Литература
1. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. М.: Наука, 1967. - 444 с.
2. Рэлей Д.В. Теория звука: в 2 т. -М.:Гостехиздат, 1955. Т.1. - 504 е.; Т.2. - 476 с.
3. Жуковский Н.Е. О гидравлическом ударе в водопроводных трубах. - М.- Л.: Гос-техиздат, 1949. - 103 с.
4. Ржевкин С.h. Курс лекций по теории звука. — M.: IiSa-bg МГУ, 1960. — 336 с.
5. Бутпковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. - М.: Наука, 1975. - 568 с.
6. Кочин Н.Е., Кибель И.А.,Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. - М.: Физмат-гиз, 1963,- 4.1.-583 с.
7. Мясников М.П., Низамова Г.Х. Расчет стабилизатора давления диссипативного типа// Отчет № 4286 Института Механики МГУ. - 1993.-42 с.
8. Рахматулин Х.А. Обтекание проницаемого тела// Вестник МГУ. Серия физико-математических и естественных наук. - М.: Изд-во МГУ, 1950. - С.41-45.
ANALYSIS OF FORCED OSCILLATION IN CIRCULAR CYLINDRICAL
SHELLS WITH PRESSURE STABILIZER OF DISSIPATIVE TYPE FOR HIGHLY COMPRESSIBLE MEDIUMS
F.V. Rekach
Analysis of effective facility for reduction of harmful wave processes in circular cylindrical shells based on dissipative and compressible action in highly compressible mediums is described.
ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ДИНАМИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ПЛАСТИН
С.П. ИВАНОВ, д-р техн. наук, доцент О.Г. ИВАНОВ, канд. техн. наук Е.С. ИВАНОВА, студентка
Марийский государственный технический университет, г. Йошкар-Ола Введение
В настоящее время широко используются пластины в различных областях техники и строительства. При действии динамической нагрузки в плоскости, совпадающей со срединной плоскостью пластины, возникает вопрос о динамической устойчивости. Причем, если материал пластины имеет нелинейную диаграмму деформирования, то будет ставиться задача динамической устойчивости физически нелинейной пластины. Нелинейными свойствами обладают некоторые сорта сталей, сплавы, цветные металлы, композиты. В имеющейся литературе, в основном в физически нелинейной постановке, рассматривались вопросы, связанные с прочностью [1].
