CC BY
45
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ В ТРУБОПРОВОДЕ С УПРУГИМ ЭЛЕМЕНТОМ
Е.К. Синиченко, Ф.В. Рекач
Российский университет дружбы народов ул. Орджоникидзе, 3, Москва, Россия 117923
Рассматривается задача определения частот свободных колебаний в трубопроводе при наличии упругого элемента.
Ключевые слова: частота свободных колебаний, упругий элемент.
Практика эксплуатации магистральных трубопроводов систем водоснабжения и напорных сетей канализации показывает, что пульсации давления и расхода, возникающие на выходе нагнетательных установок и затем передающиеся в магистраль, а также возмущения ударного характера, имеющие место при пуске и выключении нагнетательных установок, срабатывании запорных элементов, являются причиной воздействия на трубопровод динамических нагрузок, которые могут вызывать аварии и катастрофы с тяжелыми последствиями, человеческими жертвами.
Одним из эффективных средств гашения волновых процессов в трубопроводных системах являются стабилизаторы давления. Принцип их работы основан на распределенном по длине трубопровода диссипативном и упругодемпфиру-ющем воздействии на пульсирующий поток перекачиваемой среды. Наибольший эффект гашения достигается при диссипации энергии пульсаций на перфорационных отверстиях, равномерно распределенных по длине стабилизатора, а также вследствии демпфирования, обусловленного податливостью упругих элементов стабилизатора, выполняемых в виде газовой подушки, камер и сильфонов со стенками из пружинистых и эластичных материалов.
Однако наличие в трубопроводной системе стабилизатора давления может привести к значительному изменению параметров, в том числе и собственных частот водопроводной или напорной канализационной схемы. Это необходимо учитывать, так как при совпадении частоты вынужденных колебаний с собственной частотой системы возникает резонанс колебаний, ведущий к выходу из строя отдельных агрегатов водоснабжения или напорной канализации. Этой проблеме и посвящена данная работа.
Неустановившееся движением несжимаемой жидкости в трубопроводе без учета трения описывается уравнениями движения и неразрывности следующего вида:
дp(х, 1)_ 1 дG (х, t) дp (х, t)_ a2 ЭG (х, t)
Эx Е д1 ’ д1 Е дх ’
где р(х, 1) — давление в трубопроводе, [Н/м2]; О = руЕ — массовый расход жидкости в магистрали, [кг/сек]; р — плотность жидкости в трубопроводе; Е — площадь поперечного
сечения магистрали; а — скорость распространения волн давления; V — скорость движения жидкости.
Дифференцируя первое уравнение (1) по х, второе — по t, после преобразований получим:
12 ( Л , -ч2 ( Л ~\2^( Л л "\2,
' ' " Т\ X, t I
(2)
д р(х,t) 1 д р (х, t) д G (х, t) 1 д G (х, t)
Эх2 а2 дt2 ’ дх2 а2 дt2
Общее решение системы (2) в форме Д’Аламбера для участка х1 = 0^/1 (рис. 1) записывается в виде суммы двух волн — прямой и обратной:
Gl (х1, t) = - •
/1 [t '] + /2 [t +х-
[ а) [ а
Р1 (х1, t) = -а •
/1 [t -^'] ~/2 [t + х [ а) [ а
[/] =
кг
сек • м
.2 '
Волновое уравнение для участка х2 = 0^/2 имеет следующий вид:
х2 а
G2 (х2 , t ) = -^ Р2 (х2, t) = -а-
/з\ t-^ | + /А\t + х2
/з| t-а |-/4\ t+^
Волновое уравнение для участка х3 = 0^/3 имеет следующий вид:
Gз (ф, хз, t) = -^ Рз (ф, хз, t) = -а•
/5
/5
(, - (1+х=" 1
[ [ ю а))
t -1Ф+хз
[ [ю а))
+/б \ ( - /б
t + | Ф+хз
[ [ ю а))
t + \ Ф+хз
[ [ю а))
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
где ю — круговая частота собственных колебаний; ф — фазовый угол упругого элемента [2], который равен:
ф = -агС£ ((р^0а)/(с / ю-тю))-), к = 1, 2, з;
(9)
р — плотность жидкости в трубопроводе, с — жесткость пружины в упругом элементе, [Н/м], Г0 — площадь поперечного сечения упругого элемента, т — масса поршня упругого элемента.
Рассмотрим систему, открытую с двух сторон при 1з = 0 . Тогда краевые условия примут вид:
Л(0, t) = 0, х1 = 0, (10)
Р2 (0, t) = 0, х2 = 0, (11)
G3(0, 0, t) = 0, ф = 0, 1з = 0. (12)
8з
В узле ® (рис. 1) запишем условия равенства расходов и давлений:
^1 (А* 0+^2 (Л ’ 0+03 (ф, о, ?) = о,
Р1 (l1, t) = Р2 ^, t),
Р1 (^ t) = Рз (Ф,0, t).
(13)
(14)
(15)
Рис. 1. Движение жидкости в трубопроводе
Подставляя (12) в (6), получим: -а • [/ ( - 0)- /2 ( + 0)] = 0, т.е. /1 () =
= /2 () = /7 (t).
Аналогично, подставляя (11) в (6), получим:
/з () = /4 () = /8 (). (16)
Подставляя (12) в (7), получим: /5 (t) = -/6 (t) = /9 (t).
Подставляя (16) в (з)—(8), получим:
Gl (х1, t ) = -F •
Р1 (х1, t) = -а •
^ (х2, t ) = -^ • Р2 (х2, t) = -а •
Gз (ф, 0, t) = -^ • Рз (ф, 0, t) = -а •
/91'-ю I - /9 [ t+ю
Л\>-ф)+Л [ <+ф
(17)
Подставляя (17) в (1з)—(15), получим:
/7 (t -т1 ) + /7 (t + Т1 ) + /8 (t Т2 ) + /8 (t + Т2 ) + /9 ( -ф) - /9 (t + ф) = 0,
/7 (t-Т1 ) /7 (t + Т1 ) = /8 ( Т2 ) /8 (t + Т2 ), (18)
/7 (t -Т1 ) - /7 (t + Т1 ) = /9 (t -ф) + /9 (t + ф) ,
/ /2 _ ф
где Т1 = —, Т2 = —, ф = —.
а а ю
Зададим вид функции
ft (t ) = A cos Ш + B{ sin Ш. (19)
Подставляя (19) в (18), получим:
A7 cos - т1) + B7 sin - т1) - A7 cos + т1) - B7 sin + т1) =
= A8 cos -т2) + B8 sin -т2) - A8 cos + т2) - B8 sin + т2).
A7 cos ro(t - t1 ) + B7 sin ro(t - t1 ) - A7 cos ro(t + t1 ) - B7 sin ro(t + t1 ) =
= A9 cos -ф) + B9 sin -ф) + A9 cos ro(t + ф) + B9 sin ro(t + ф).
Преобразовав последние выражения по формулам тригонометрии, получим: cos rot • (A7 cos (Ш^ + A8 cos шт2 - B9 sin ф) +
+sin rot • (B7 cos ro^ + B8 cos гот2 + A9 sin ф) = 0,
cos rot • (-B7 sin шт1 + B8 sin ror2) + sin rot • (A7 sin шт1 - A8 sin гот2) = 0, cos rot • (-B7 sin шт1 - A9 cos ф) + sin rot • (A7 sin шт1 - B9 cos ф) = 0.
Приравнивая выражения при cos rot и sin rot к нулю, мы получаем систему из шести однородных линейных уравнений относительно A7, B7, A8, B8, A9, B9, которая разбивается на две эквивалентные системы:
A7 cos шт1 + A8 cos шт2 - B9 sin ф = 0 A7 sin шт1 - A8 sin гот2 = 0 и
A7 sin шт1 - B9 cos ф = 0
B7 cos шт1 + B8 cos шт2 + A9 sin ф = 0 -B7 sin шт1 + B8 sin гот2 = 0 -B7 sin шт1 - A9 cos ф = 0.
Решая одну из систем, получим зависимость между ю, т1, т2, ф:
ctg ют1 + ctg ют2 + tg ф = 0. (20)
Заменяя условие (9) на условие G2(0, ^ = 0 и выполняя аналогичные выкладки, получим решение для трубопроводной системы с открытым (в сечении х1 = 0) и закрытым (в сечении х2 = 0) концами:
^ ют1 - tg ют2 + tg ф = 0. (21)
Пример. Исходные данные: р = 1000 кг/мз, Г0 = Г = 0,7854 м2 (диаметр трубы 0 = 1 м), а = 1500 м/с, с = з,14 • 107 - з,14 • 108 Н/м, т = 1500 кг, /1 = 50 м, /2 = 50 м, /з = 0.
На рис. 2 показаны три первые круговые частоты ю1, ю2, юз для трубопроводной системы с открытыми концами (сплошные линии) и с открытым и закрытым концами (пунктирные линии) в зависимости от жесткости пружины с.
1 23456789 10
Рис. 2. Круговые частоты для трубопроводной системы
Следовательно, при расчете систем водоснабжения и напорной канализации важно определять спектр собственных частот трубопроводов, особенно при наличии стабилизаторов давления, включающих упругие элементы, способные значительно повлиять на общие параметры системы. В данной работе рассмотрен элемент трубопровода водоснабжения (или канализации), который может быть включен в общую схему. Методика подобного расчета подробно описана в работе [2]. Авторы рекомендуют не пренебрегать анализом вышеперечисленных факторов и в случае совпадения (или приближения) собственной частоты системы к частоте вынужденных колебаний воспользоваться методами ее изменения, описанными в данной статье.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Гидроупругие колебания и методы их устранения в закрытых трубопроводных системах / Под ред. Х.Н. Низамова. — Красноярск: ВНИИГИМ, 1983.
[2] Махин В.А., Присняков В.Ф., Белик Н.П. Динамика жидкостных ракетных двигателей. — М.: Машиностроение, 1969.
[3] Чарный И.А. Неустановившееся движение реальной жидкости в трубах. — М.: Недра, 1975.
DETERMINATION OF FREE OSCILLATIONS FREQUENCIES IN WATER LINES WITH ELASTIC ELEMENT
E.K. Sinichenko, F.V. Rekach
Peoples’ Friendship University of Russia Mikluho-Maklaja str, 6, Moscow, Russia, 117198
Pressure oscillations in water lines with elastic element are considered. D’Alamber method is used. Problem of determination of free oscillation frequencies is investigated.
Key words: free oscillation frequencies, elastic element.
