CC BY
12
ИССЛЕДОВАНИЕ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ В КРУГОВЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧКАХ МЕТОДОМ Д'АЛАМБЕРА СО СТАБИЛИЗАТОРОМ ДАВЛЕНИЯ ДИССИПАТИВНОГО ТИПА
Ф.В. РЕКАЧ, канд.техн.наук, доцент Российский университет дружбы народов, Москва
Одним из эффективных средств гашения волновых процессов в трубопроводных системах являются стабилизаторы давления. Принцип их работы основан на распределенном по длине трубопровода диссипативном и упругодемп-фирующем воздействии на пульсирующий поток перекачиваемой среды.
Рассмотрим стабилизатор давления, принцип работы которого основан на применении упругих камер некругового сечения [3], конструктивная схема представлена на рис.1. Устройство включает центральный трубопровод 1, с перфорацией в виде отверстий 2, через которые с ним сообщается демпфирующая камера 3, образованная упругой оболочкой 4 с поперечным сечением в виде эллипса. Центральный трубопровод частично охвачен кожухом 5. Оболочка 4 установлена коаксиально трубопроводу 1 внутри кожуха 5 и закреплена по торцам посредством фланцев 6.
Стабилизатор работает следующим образом. При распространении волны повышенного давления происходит перетекание транспортируемой среды через отверстия 2 из трубопровода 1 в демпфирующую камеру 3. Упругая оболочка 4 при этом деформируется: отношение большой и малой полуосей эллипса стремится к единице, т.е. форма поперечного сечения приближается к круговой. Объём демпфирующей камеры при этом увеличивается. При понижении давления деформации оболочки 4 имеют противоположный знак. Часть заполняющей её среды вновь перетекает в трубопровод 1, обеспечивая сглаживание провала давления. Гашение пульсаций осуществляется также за счет дросселирования среды через перфорационные отверстия 2.
Рассмотрим схему магистрали (рис.2), открытую в сечении хх = 0, в которую подается расход жидкости G(t) в сечении х2 = 0 (* = /]+ /2), /3 = 0. Упругие камеры стабилизатора с суммарным поперечным сечением FK представлены в виде поршня, прикрепленного к пружине и двигающегося без трения в трубе с поперечным сечением FK. Основная магистраль трубопровода соединена с предкамерой стабилизатора перфорированным участком трубопровода, показанным на рис.2 пунктирной линией. Если известна суммарная податливость П[МУН] упругих камер стабилизатора давления, то жесткость пружины £["/м] определяется следующим образом:
П = ^-,АУ = ЛАр,РкА1 = ПАр,
Ар Д/ П Др Д/ П Др
откуда * = Fl / П, е = Fl / П, (1)
Неустановившееся движение сжимаемой жидкости в трубопроводе без учета трения описывается уравнениями движения и неразрывности следующего ви-
да 1.1.1 • г - „ г; » а, - г, ~ » Vй/
дх Р дс д( г дх
где -давление в трубопроводе, ], ^ - площадь поперечного сече-
ния магистрали, с(сг в дальнейшем) - скорость распространения волн давления в магистрали, С - массовый расход жидкости в магистрали, [кг/с ].
4ЧЧЧЧ | КЧ 11ЧЧ 11ЧЧ | КМ | КМ 1144111ЧЧ 11УЧ | 1 ууччу
>>>»>>1>}>и>}>}>>>>т*>}**}*>>>>
71
(3)
Рис. 1 Стабилизатор с упругой камерой эллиптического сечения
Дифференцируя первое уравнение (2) по х, второе - по г (аналогично, первое уравнение (2) по 7, второе - по X), после преобразований, получим: д2р(х,1)= 1 д2р(х,1) дх2 с2 дг2 '
д2в{х,{)_ 1 д2в(х^) дх2 ~ с2 д(2
Общее решение системы (3) в форме Д'Аламбера для участков х1 =0 +
х2=0+12, х3=0ч-/3, х4=0 + 14 (см. рис.2) записывается в виде суммы двух волн - прямой и обратной (4)-(11):
Л
ст
+ /2
ст
(4)
А (*!.')=-«Г /1 / \ ~/2 / V Х\ / + — ,(5 )02{х2л) = -Р
_ 1 СТ) 1 ст)_
/з
I—
V ст)
+л
V ст)
р2(х2,()=-ст
/ N Г \~1
/з -А
_ Ч 1 ст)
/5
\\
+ /б
//
/ +
Ск
,(6)
(7)
(8)
/5
Ч ч
<р +
-/б
/у
/
Ч V
<р +
х3
\\
С4(* 4,() = -Рш
/7
\
, х4
СК
+ Л
/ \
скл , РЛХ4>{)=~СК '
(9), (Ю), (11)
/7
{ х4
ск)
-л
/ +
X4
с*;
где - смещенное время, связанное с работой упругого элемента, [/¡] = кг/с-м2, ск — скорость распространения волн давления в камерах и предкамере стабилизатора, Рт - площадь поперечного сечения предкамеры.
гск
„ т
л:, к^р / Узел
р» СД,0 ОД,О
пк,-перфорация
■I
■и
}ис.2
Краевые условия имеют вид: ^¡(0,/) = 0, (12)
а2(0,*)=0(0, *2=0, (13); С3(О,О,0 = О, ¿>=0, /3=0. (14)
В узле Ф (рис. 2) запишем граничные условия равенства расходов, давлений и условие перетекания жидкости через перфорированный участок стабилизатора [3]: С, (/,, /) + С?2 (/2, /)+(/4, /) = 0, (15)
АМ = ЛМ. 06) л(/|,0-/'4(/4.0 = -4-С4(/4,О. (17)
ррф
Граничные условия равенства расходов и давлений в сечении ;с3 =/3 (/4 = 0) выражаются формулами:
С7з(^0,0 = <?4(0,0, (18) р3(^,0,О = Р4(0,О, (19) где р - плотность жидкости, Л - экспериментальный коэффициент, связывающий разность давлений жидкости до и после прохождения перфорированного участка со скоростью (или массовым расходом) жидкости, Рф - площадь пер-
форированного участка трубы, F0 = lCT ndT, 1СТ - длина стабилизатора, dT - диаметр магистрали трубопровода.
Подставляя (12) в (5), (14) в (8); а полученные выражения в (4)-(11); затем в (15)-{ 19), получим:
F
F[fl{t-T1) + f1{t + Tl) + f3{t-T2) + f4{t + T2)] + FnK[f1{t-T4)+fi{t + T4)] = 0,
fi(t~Tx )-/1(^ + r,) = /3(i-r2)-/4(/ + r2),
cT[h(t-r2)-fA(t + T2)]-cK[f1(t-xJ-ft(t + TA)J = (20)
A F
^-f-iMt-Tj + Mt + Tj], ррф
FK [f5 (t-<p)~ f5 (t + V)] = FnK [fn (t) + fb (t)J,
fs(t-9) + fs(t + 9) = f1(t)-ft(t).
h h U
где г, = -S т2 = —, т4 = — • сг ст ск
Разложим функцию G(t) в ряд Фурье на отрезке t е [0;Г]:
п 2лк
G(t) = ^[akcos(a)kt) + bksm(a)kt)], где а)к=—. (21)
А=1 1
п
Зададим вид функции (t) = ^ Aik cos(ci)ki) + Bik sin(a>kt). (22)
k=1
Число n выбирается таким образом, чтобы максимально приблизить ряд Фурье к функции G(t); при этом необходимо учитывать условие, что длина волны Лк, которую гасит стабилизатор, должна значительно превышать длину стабилизатора 1СТ (т.е. Як = 2ж / а>к »1СТ). Для каждого сок найдем смещенное время 1рк = <рк / со к, (рк определяется согласно [4]:
i \ PfkCK
<Pk =-arctg
£Armú)k
(23)
где m - масса поршня упругого элемента.
Подставляя (21), (22) в (20) при заданном к, получим:
. „ „ akcoscokt + bksincokt
Азк coscokt + Bik sincokt + А4к coscokt + В4к sincokt = —------—,
F
F[A\k cosfi)¿(í-rj) + B]¿ úna)k(t~T\) + AXk eoscok{t + r¡) + B¡k sin ftty (f + r j) + + A3k eos озк (t-r2) + Bu sin щ (t-T2) + A4k eos a>k(t + T2) + B4k sin cok (í + r2)] + + FnK[A7k eoscok(t+ B-¡k sincok(t-) + Agk eoscak(t + T4) + + %sinfi>*(í + r4)] = 0,
Alk cos o)k (t - Ty) + Bxk sin cok (t - тх) - AXk cos cok (t + тх) - BXk sin <ok (t + rx) -- A3k cos cok (/ - r2) - B3k sin ¿y¿ (í - т2) + Aik cos ak (t + r2 ) + £4Ar sin o>k (t + т2) = 0, CT[ A$k cos0>k(t-r2) + Взк sin«>*('-г2)- Ла cosú>¿(? + r2) - B4jt sin(f + r2)] -~cKÍAlk со$Щ(1-Ч) + в7к sina)k(t-T4)~ Au cosa>k(l + T4)-Bu sincok(t + r4)]- (24)
--^ [^7A cos (f - r4) + B7A sin (i - r4) - 41 COS ity (/ + r4) - % sin wk (t + r4)] = 0,
РГф
FKlA5k coscok{t-(jjk) + B5k sincok(t-<pk)-A5k coso)k(t + pk)~B5k sinщ(t + ^)]-
coso)kt + Blk + cosa)kt + B%k sin<H¿í] = 0,
Asк cos®k(t-¥k) + B5k sina>k(t-¥k) + A5к c°sa>k(t + pk) + B5k sin(ok{t + pk)~
- Alk coscokt-Blk s\no)kt + Au coscokt + Bu sin£ü¿/ = 0, Преобразовав выражения по формулам тригонометрии и приравняв выражения при sin CQkt и cos a>kt, получим линейную систему уравнений относительно неизвестных А1к, В1к,А3к, Взк, Л4к, В4к, АЬк, В5к, Аи, В1к, Аи, Ви .
Найдя для каждого к значения Ajk, Bik и суммируя решения для п членов разложения G(t), получим выражения для f¡(t):
к—ti
fi (0 = 2 Aik sinK0 + Bik COS(<V)-
k=l
Подставляя найденные ft(t) в формулы (4)-(ll), получим выражения для Gx, рх, G2, р2, G3, р3, G4, Р4, которые полностью определяют решение поставленной задачи.
Алгоритм реализован в среде MAPLE7(Dugl50v). Глобальная система координат (ГСК) показана на рис.2. Наибольшее гашение амплитуды давления при
заданной частоте со достигается, когда (ócp близко к ^ + m (и-целое число), т.е. - тсо приближается к нулю (режим работы стабилизатора «близок» к режиму работы открытой трубы), см. формулу (23).
t сек
Рис.3
Пример (исходные данные взяты из [5]). Исходные данные: длина магистрали трубопровода / =50л< (7, =49.9м,
/2 = 0.1 м), длина стабилизатора 1СТ = 0.4 м, /4 = 0.2 м, диаметр трубопровода
2 2
dT= 0.1 м (площадь поперечного сечения F = 0.7854-10" м ), площадь попе-
-3 2
речного сечения одной упругой камеры fK =0.628-10 м (FK= fK-NK), число упругих камер NK =8, площадь поперечного сечения предкамеры
FnK = 0.628-10"2 м2, плотность жидкости р =1000 [%]> скорость звука в
трубе ст =1200 м/с, скорость звука в камере ск= 70 м/с, массовый расход жидкости в магистрали G = 15.708-sin(10;r-1) [K2/c](G = u(t)pF, где u(t)- скорость движения жидкости, ma.x[u{t)] = 2M/c), суммарная податливость упругих камер
П=0.425 10_9л</^ , коэффициент А = 3.2-106 И/М,с , масса поршня принята равной 5 кг.
Определим жесткость пружины по формуле (1), е = 6.01 • 104 н/м . На рис.3
изображены графики давления в сечении х = 10 без стабилизатора - кривая 1 и со стабилизатором - кривая 2.
Литература
1. Махин В.А., Присняков В.Ф., Велик Н.П. Динамика жидкостных ракетных двигателей. - М.: Машиностроение, 1969. - 384 с.
2. Чарный И.А. Неустановившееся движение реальной жидкости в трубах. -М.: Недра, 1975.-296 с.
3. Ганиев Р.Ф., Низамов Х.Н., Дербуков Е.И.. Волновая стабилизация и предупреждение аварий в трубопроводах.- М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1996,-260 с.
4. Низамов Х.Н., Рекач Ф.В., Тагасов В.И. Определение и способы изменения частоты свободных колебаний трубопровода с упругим элемен-том//Двойные технологии, 2003 №3 стр.31-33.
5. Низамов Х.Н, .Чучеров А.И., Галюк В.Х. и др. Пульсации давления в трубопроводах и способы их устранения М.: ВНИИОЭНГ, 1991. 87 с.
ANALYSIS OF FORCED OSCILLATIONS IN CIRCULAR CYLINDRICAL SHELLS BY D'ALAMBER METHOD WITH PRESSURE STABILIZER
OF DISSIPATIVE TYPE
F.V. Rekach
Analysis of effective facility for reduction of harmful wave processes in circular cylindrical shells based on dissipative and elastico-damping action is descibed.
