Исследование влияния периодической продольной неоднородности на формирование волнового фронта излучения, распространяющегося в градиентных волноводах Текст научной статьи по специальности «Математика»

С.Г. Кривошяыков, С. Н. Янченко

ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ПРОДОЛЬНОЙ НЕОДНОРОДНОСТИ НА ФОРМИРОВАНИЕ ВОЛНОВОГО ФРОНТА ИЗЛУЧЕНИЯ, РАСПРОСТРАНЯЮЩЕГОСЯ В ГРАДИЕНТНЫХ ВОЛНОВОДАХ

В настоящее время практический интерес представляют вопросы разработки и создания интегрально-оптических средств обработки информации, отличающихся как высокими быстродействием, информативностью, так и миниатюризацией геометрических размеров. В этой связи важное значение имеют задачи формирования волновых пакетов с заданными волновыми фронтами. Известно, что знание модового состава излучения, распространяющегося в оптическом волноводе, коэффициентов трансформации между модами позволяет эффективно управлять волновым фронтом излучения. Однако моды вводятся для однородных в продольном направлении (направлении распространения излучения) волноводов [1]. Целью настоящего сообщения

является исследование в параксиальном приближении влияния периодической продольной крупномасштабной (Т » X, X - длина волны, Т - период неоднородности) неоднородности на формирование волнового фронта излучения, распространяющегося в градиентном волноводе. Для решения указанной задачи удобно ввести представление квазимод градиентного периодически-продольно-неоднородного волновода. Под квазимодой градиентного периодически-продольно-неоднородного волновода будем понимать решение уравнений Максвелла для напряженностей поля, удовлетворяющее всем гра-

ничным условиям задачи и имеющее вид:

эхр {л. (со 1 - 0 г )}

(1)

Ег(х1, х2, г; Ю = Е^х,, х2, г) ехр {1 (со 1 - 0г)}

Н2 (х,, х2, г; = Н2 (х-,, х2 , г) ехр {1 (со 1 - 3 7. )},

где собственное значение 3 будем называть квазипостоянной распростране-2 2

ния, Е0 , Н0 - периодические по г функции, период которых совпадает с периодом Т периодической продольной неоднородности волновода. При замене г - г+Т квазимоды удовлетворяют условию:

Е(х-,, х2, г+Т) = Ё(х,, х2, г) ехр {-± 3 Т} (2)

Н (х 1, х 2, г + Т) =Н(х1, х2, г) ехр { - 1 3 Т} , т.е. повторяют себя с точностью до фазы на расстояниях, равных периоду Т периодической продольной неоднородности, напоминая тем самым свойство мод повторять себя в точках г = 2п N /3 (3 - постоянная распространения). В случае слабонеоднородной среды (А. IУпI/п «1 (п - показатель преломления волновода) уравнения Максвелла могут быть сведены к скалярному уравнению Гельмгольца [1]:

14 + + Т^Т + к2п2(Х1, х2, 2)Е = 0 , (3)

Эх2 Эх2 Э т.* 1 2

где:{х-|, х2, г) - декартова система координат; Е - одна из компонент поля; к = 2п/Х0 - волновое число в вакууме.

Подставляя выражение для напряженности поля квазимоды (1) в уравнение (3), можно получить уравнение, которому должны удовлетворять ква-зимоды:

|1-§1 + + 11|1 . 213^ + [к2п2(х1, х2, 2)-^2]Еа=0. (4)

Э х2 э х2 Э г2 Э 2

1 2

Возможные значения квазипостоянной распространения определяются из граничных условий. В том случае, когда продольная неоднородность отсутствует, квазимоды переходят в моды волновода с соответствующим переходом спектра квазипостоянных распространения в спектр постоянных распространения. С математической точки зрения квазимоды градиентного перио-Дически-продольно-неоднородного волновода в параксиальном приближении аналогичны квазиэнергетическим состояниям (КЭС) квантовых систем, их можно описать с помощью уравнения Шредингера с периодическим во времени

гамильтонианом [2,3]. В этом нетрудно убедиться, если учесть, что в параксиальном приближении уравнение Гельмгольца (3) может быть сведено к уравнению типа нестационарного уравнения Шредингера, в котором роль времени играет продольная координата Е и 1/к [4] :

i Э Ф 1 , Э2Ф

ЕП^'П!^1 + ¿(n2 -п2)фННф, (5)

где:

i

Ф(х1, х2/ z) = n ^2Е(xi, х2, z) ехр {-i к ! n0(z)dz}; (6)

о z

F = / п-1(z)dz; По = п(0, 0, z) - показатель преломления на оси z. Таким о 0

образом, с учетом (1), (6) в параксиальном приближении квазимоды, подобно КЭС, образуют в каждой точке продольной оси z полный набор ортогональных базисных функций, что позволяет разложить произвольное поле в таких волноводах по полному набору квазимод в каждой точке продольной оси и тем самым свести задачу к исследованию свойств квазимод. Перечисленные свойства квазимод позволяют рассматривать их как некие моды соответствующего эффективного продольно-однородного волновода. Для решения системы (5) могут быть применены известные квантовомеханические методы: метод интегралов движения, метод когерентных состояний, метод динамической группы симметрии [5, б].

В качестве конкретного примера рассмотрим планарный градиентный волновод с параболическим профилем показателя преломления:

п2(х, £) = п2 (х, £) - ш2(£)х2 - 2f(£)x, (7)

где ш2(£) - градиентный параметр и функция (£), описывающая искривление

оси волновода есть периодические функции £ с периодом Tg = Т'. Явные

выражения для напряженностей полей квазимод будем представлять через

решения уравнения движения для классического осциллятора:

ё + со2 (g) е = 0; со2 (£ + Т') = со2 (£) . (8)

Согласно теореме Флоке решения уравнения (8) могут быть разбиты на

два типа - устойчивые и неустойчивые. Устойчивые решения имеют вид:

e(g + Т') = е (£) ехр {i XT' k}; е*(£ + Т') = е*(£) ехр{- i XT' к }, (9)

Т 1

1 2

где точка в (8) означает дифференцирование по х = srrr • / lei dr - дейст-

Т К о

вительное число.

Следуя [5,7], приведем явное выражение для напряженностей полей направляемых квазимод градиентного периодически-продольно-неоднородного волновода с показателем преломления (7):

En(z) = n~* (|¡r) /г(п!п* k *е)ехр {ik/ n0(z)dz} exp{^-'k nff (х-л)2} * * ехр í i i' nQk (х-л) + ik f[\ ТА2 - § со2л2 + f (x) л] >,

где:

Нп - полиномы Эрмита; п - вещественное решение уравнения.

Л + ш2(Е)п = f(£) . ((11)

Выбирая в качестве п(Е) периодическое решение (11), нетрудно получить спектр квазипостоянных распространения 0:

£п = к<по>-к< 1/п0 > Х(п + 1/г) ~ А В, (12)

где:

= ^^Т1^-/ [ |п2 - |о)2(Е)п2 + £(е)л ]а Е» (13)

Т' т

<п0> = ^ • / п0(г)<1г; <1/По> = ^ / п"1 (г^г .

Спектр квазипостоянных распространения Вп (12) для направляемых квазимод оказывается чисто дискретным.

Излучательные квазимоды, отвечающие неустойчивым решениям уравнения (8) :

е 1 (Б+Т') = е,<£) ехр{-хТ'к}; еа(£+Т') = еа (Е) ехр{ХТ'к}, (14)

где е,, е2 - два линейно независимых решения (8), причем е2ё., ~ 1;

X2 > 0 имеют вид:

/г, 1 , , * к (х-п)2,

Еи1 ±(х,г) = п0 /2 |0,г>Г(± - IV) ехр { ^ }

2

(ik^)"i+iv exp{ik/n0dz} expii n' п0 к (x-n) + (15)

+ ik{[§ Л,2п0 - §<o2n2 + fCOnldT^ T}D ±/ik(x-n)K

5

где:

+ ^ ~ Функция параболического цилиндра;

v

i ike.

- вещественное число, вакуум I0,z>= (k/2ue., 2 ехр {у^—1 nQx }

■ 1

(штрих у е, Г) означает дифференцирование по г). Спектр квазипостоянных распространения В для излучательных квазимод

В = к<п0> - к<^/п0>х V - ДВ » (16)

где ДЗ, данное по (13), оказывается непрерывным и двухкратно вырожденным.

Непрерывность спектра (16) есть следствие того, что в области неустойчивых решений (14) среда, в которой происходит распространение излучения, перестает обладать волноведущими свойствами и излучает падающий на нее свет во всех направлениях в плоскости [х,г], согласно (15).

Из (12) , (13) , (16) следует, что периодическое искривление оси волновода не меняет характера решений, а приводит к общему смещению спектра квазипостоянных распространения 0 на величину Д(3 (13) . Соотношение (12) позволяет оценить величину смещения спектра квазипостоянных распространения Вп направляемых квазимод относительно соответствующего спектра постоянных распространения Эп« Так, в случае, когда градиентный параметр co(g) есть функция, мало отличающаяся от постоянной величины со0 - градиентного параметра продольно-однородного волновода:

co2(g) = со2(1 + 4h cos cog) , (17)

где

ш = I4hl « 1, величина кванта х при h - 0 дается выражением [7]:

y = So-х к

/e2-h2 , со = 2ш (1 + е), е — О

(18)

1 -

S h2

4coa-co2 о

Ограничиваясь значениями со, близкими к 2со0, т.е. учитывая члены первого порядка малости по h и е, можно определить интервал изменения со, соответствующий зоне устойчивости: со0 < со < 2со0 (1 - I h I )

1 A fi n п (19)

1 < е < -1 h I ; h = = ÊJLlDo

7 ч ь v. -.и, ; » -

2,2

2соо а

где

б по - индуцированное изменение показателя преломления на оси волновода п0 ;

б со - амплитуда изменения градиентного параметра co(g)=ы0+бcocos со g ;

а - глубина волновода.

Таким образом, величина смещения спектров

ЛВш - - = + !> - 1] <20)

пропорциональна номеру квазимоды ш (п0 предполагается независящим от g) ■

При со далеких от 2со0 величина смещения спектров определяется следующим соотношением:

дв = з _ е . _ »а (т + 1, . (21)

т мт п0 2' 4со§-со2

Смещение спектров (20) и (21) относительно спектра постоянных распространения происходит в противоположных направлениях. Величина смещения Д$т существенно зависит от величины параметра Ь, в основном определяющейся значениями индуцированного изменения показателя преломления б п0 на оси волновода и ограничена техническими возможностями. Так, для волновода, сформированного в Ь1ЫЬ0Э показатели преломления на оси п0 = Дп + пз V 2,2, где Дп = 2 «Ю-2 - градиент показателя преломления, п = п = 2,17 - показатель преломления на оптической оси ЫЫЬ03 глуби-

—Дп—

ной а=5 мкм с 6n0 ~10-5, градиентный параметр со0л --- = 8-Ю-2 и,

_<4 а

таким образом, h ~10 . Увеличение h(6n0 ) при постоянном е приводит к тому, что возрастает чувствительность низших квазимод. Следует отметить, что в пределе, когда e=h, тогда величина х=0, что соответствует случаю, возникающему на границе областей устойчивости и неустойчивости уравнения (8). При этом направляемые квазимоды переходят в излучательные, спектр которых становится непрерывным. Использование призменного метода ввода-вывода излучения в волновод позволяет оценить угловое смещение спектров:

В В

де = е - в = arc sin j--arc sin —— , (22)

m m m k n k n 1 '

np np

Так, для указанного волновода для со близких к 2со0 при е - h величина Д6т для нулевой квазимоды составляет Д60 = б', а для ш=5, Д6 = Io при

угловом расстоянии между соседними модами Дв =10' (показатель прелом-

0,1

ления призмы п —2.5; X = 0,63 мкм и Д6П . = в0-в.. Таким образом, изме-пр 0,1 1

няя период продольной периодической неоднородности градиентного волновода, можно управлять спектром квазипостоянных распространения, возбуждая тем самым, различные группы мод соответствующего эффективного продольно-однородного волновода. Это дает возможность формировать различные фронты излучения, распространяющегося в градиентном периодически-продольно-неоднородном волноводе. Необходимо отметить, что отклонение профиля показателя преломления от параболического может нарушить эквидистантность спектра квазипостоянных распространения [12] и привести к возникновению межквазимодовой дисперсии dg/d к, где k - волновой вектор. Таким образом, появляется возможность управления формой сигнала, передаваемого по оптическим волноводам, что представляет практический интерес для волоконно-оптических линий связи.

Литература

1. Маркузе Д. Оптические волноводы. М.: Наука, 1979.

2. Зельдович Я.Б. ЖЭТФ, 1966, т. 51, с. 1492.

3. Р и т у с В.И. ЖЭТФ, 1966, т. 51, с. 1544.

4. А г n a u d J.A. BSTJ, 1970, vol. 49, p. 2311.

5. M а л к и н И.А., Манько В.И. Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем. - М.: Наука, 1979.

6. Кривошлыков С.Г., С и с а к я н И.Н. - Квантовая электроника, 1980, т. 7, с. 553.

7. Перломов A.M., Попов B.c. ЖЭТФ, 1969, т. 57, с. 1684.